CC BY
53
УДК 517.53+517.54
ЛИНЕИНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В Lp -ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Н.М. Ткаченко
В статье строится ограниченный интегральный проектор из весового Lp (ß, G) пространства измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций и описываются линейные непрерывные функционалы в Lp -пространствах аналитических функций.
Ключевые слова: весовые пространства, интегральные представления, проекторы, линейные непрерывные функционалы, сопряженные пространства.
Пусть S = {z е C : |z| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, G -некоторая односвязная область на С; d(w, SG) - расстояние от точки w до границы dG, y - функция конформно отображающая область G на единичный круг.
Пусть также Lß (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций f таких,
что
J|f (w)|pdß(w,SG)dm2(w) <+¥,0 < p <+¥,ß >-1,
G
(1)
где dm2 - плоская мера Лебега; Aß, (G) - множество аналитических в G функций f, для
которых справедливо условие (1); Lp (G) = L0p (G), A p (G) = A0p (G).
Обозначим аналогично Lp (ß, G) - класс измеримых по Лебегу функций, для которых
\\f\\Lp (ß ,G) = i I f (w)|p (1 - У (wf)ß У '(wf dm2 (w) < +¥,0 < p < +¥, ß > -1,
G
и Ap (ß, G) - соответствующее подпространство Lp (ß, G), состоящее из аналитических в G функций.
Справедливо следующее утверждение: Теорема 1. Пусть G - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; j(z) - функция Римана, отображающая S на G,
j(0) = w0, w0 е G, j'(0) > 0, y - обратная функция для j. Тогда интегральный оператор
2.
h+if (1 -У(m) )
h
2
рл(/)(н) = ^(но = \ /(т'(т) т(т)
л р ' (1 - ¥ (ту (н))л+2 1 1
непрерывно отображает пространство Ьрф,G) на Арф,G), 1 < р <+¥, 3 > -1, ц ^ 3 при 1 < р <+¥ и ц > 3 при р = 1, причем существует постоянная с(3, р) такая, что справедлива оценка
И1ар(3,о) < с(3, рА\ьр(3,о)•
(2)
Доказательство. Отметим, что если / е Ар (3, О), 1 £ р < +¥, 3 > -1, то /(ф) е Ар (£), 1 £ р < +¥, ( > -1. Действительно, если у = ф(2), то
¡\/(Ф))\р (1 -| 22)3 т(2) =Л /(ур (1 - у (у)|2) 3у йтг(у) <+¥.
£ О
А значит, для функции /(ф) е А(р (£), 1 £ р < +¥, ( > -1, справедливо представление (см.[1], [4]):
f (j(z)) = J ^ z^ f (j(Z ^(Z > b,
или
I |2 h
ft 4 h + If (1 - )h ,, ч| v Ч^Л / 4 ^Я
f (w) =J—I _L- ' --уf(m)\y (m) dm2(m),h >b• p J (i-\(m\(w))h+2 1 1
(3)
Обозначая
I |2 п
тт. ч п+и (1 -у(т)\ г г, ч| ,, ч|2л / ч
¥(у)=J—I, —' -г-2 /(т)у (т) ^(т),п ^3, р О(1 -у(ту(у))п+2 1 1
получим, если / е Ар ((, О), 1 £ р < +¥, ( > -1, то ¥ (у) = / (у), у е О. Покажем, что если / е £р ((, О), то ¥ е Ар ((, О) и справедлива оценка (2) или эквивалентная ей
II¥(ф(2))|р (1 -12)3йт2(2) £ с||/(ф(2))|р(1 - 21)3 йт2(2).
В дальнейшем применяется методика работы [4] при с (^) = ^3, п = 1.
1 1
Пусть сначала 1 < р <+¥ и, как обычно, ( С) = (1 - С) рч, — + — = 1,
р Ч
0 < у < шт{(( + 1)ч;(п +1)р}.
Из представления функции ¥ (у) с помощью неравенства Гельдера получаем:
II¥(ф(2))|р(1 -|2)3дтД2) £
£
£ q J|f (j(Z))Р(1 -Z|2)h(1 -|C\Y9 |
(1 - Zl)
b
У/
£ £ (1 - 21/ Ч 1 -Но, как нетрудно показать (см., например, [3], [4]):
h +2
~dm2 (z)dm2(
(1 -I z|)
b
У/
(1 - z у 9 1 - Zz
h +2
-dm2( z ) £
2
(1 -I Z I)b
У/
(1 - z У9 (1 - Z )h
при о < у/ < 3 +1, п > 3 - у/.
Подставляя последнюю оценку в предшествующее неравенство, получаем справедливость (2) для 1 < р < +¥.
Соответствующая оценка для р = 1 доказывается аналогично. Имеем:
/1 ¥ (р (г))|(1 -1 )Р йш2 (г) £ сз /1 / (р (С ))|(1 - \С |2 / (1 - ^+2 т ( (С ).
5 5 51 - С г
, (1 - г )Р с4(1 - 1С I)Р „
Но Г-—г) <——при ч > Р.
51 - сг|ч+2 (1 - С
Подставляя данную оценку в неравенство (4), получаем справедливость оценки (2) при р = 1. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть О - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; р(г) - функция Римана, отображающая Б на О,
р(0) = н0, н0 е О, р'(0) > 0, у - обратная функция для р. Пусть также 1 < р < +¥,
-+1 = 1; ^ (т) =-1— р+2, н т е 5 Р > 2.
р д (1 - у (т)у (н))р+2
1) Если Фе (Ар) , 4(н) = Ф(еН), то
а) g е Ад ф, О), при этом V/ е Ар (О) Ф(/) представим в виде
Ф(/) = //(Н4(Н)(1 - у (н)|2)Р у'(н)|2 йШ2 (н),
О
(5)
б) существуют константы с > 0, С2 > 0 такие, что справедливы оценки
С114Ад(ро) <1ф11< С214Ад(рО).
(6)
2) Обратно, если 4(н) - произвольная функция из Ад (Р, О), то по формуле (5)
порождается линейный непрерывный функционал Ф( / ) на А р (О), для которого справедливы оценки (6).
Доказательство. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (О). Покажем,
что существует функция 4 е Ад (Р,О), для которой справедливы оценки (6).
По теореме Хана-Банаха существует Ф1 - линейный непрерывный функционал на
Ьр(О) такой, что ||Ф|| = ЦфЦ, при этом Ф 1(/) = Ф(/), если / е Ар(О).
Заметим, что для любой однолистной в единичном круге 5 функции справедливы оценки (см., например, [3], с. 53):
1 - Ы , , 1 + ы
< р'(г) < ■
(1+|z)3 1 1 (i -Iz)3
а значит, в условиях теоремы получаем:
1 - У(w)l < 1 < 1 + У (w)l
(i+y(^)|)3 y'(w)\ (1 - y(w))3
или
1 - У (w) 1 2
< :-г < ■
8 У (1 - у (н)|)3'
то есть (1 - у (н)|)2 у'(Н)|2 < 64, "н е О, а значит, (1 - у (н)|)Р\у'(н)|2 < с, Р > 2, поскольку 1 - у (н)| < 1, "н е О.
Тогда, если / е Ьр (О), то
\\/\\ьр (3 О) = |1 / (у) р (1 - У (у)|2) 3У '(у)|2 ^(у) £ £ с || / (у) рйт2(у) = ||/\\ьР (О} <+¥
ОО то есть Ьр (О) е Ьр (3, О), при этом Ьр (О) - линейное подпространство пространства
ьр (3, о ).
Поэтому по теореме Хана-Банаха существует Ф 2 - линейный непрерывный функционал на Ьр (3, О) такой, что ЦфЦ = ||Ф 2||, причем Ф 2( /) = Ф1( /), если
/ е Ьр (О), и тем самым Ф2(/) = Ф1(/), если / е Ар (О).
Таким образом, существует Ф 2 - линейный непрерывный функционал на
Ьр(3,О) такой, что ||Ф|| = ||Фи Ф2(/) = Ф(/), если / е Ар(О).
Далее, по теореме Ф. Рисса существует функция И е Ь9 (3, О) такая, что
Мьч (3 О) =11Ф 21 и
ф 2 (/)=I / мИйа - у (у)2) 3у »|2 т(у\
О
3+1_1
р (1 (у))3+2
поскольку
3+1 1 3+1 1
Пусть теперь е^ (у) = —--=-3—г, 3 - 2. Очевидно, что е^ е Ар (О),
| ^(w) |£^_ „ ,—......b+2 £ _ .......b+2 .b > 2
ж
(1-1\(m)ll\(w)|)b+2 ж (1-1\(w)|)b+2
Обозначим
J2) b
- b+1f (1 - y(m) )p , , l2
g(w) = o(ew) = -— I, -4- '—Д+Гh(m(m) dm2 (m)
ж G(1 -y(m\(w))b+2 1 1
где h e L9 (fi,G), b > 2.
По теореме 1 g e Л9 (b, G), причем c1|g|^9 (b ,G) £ |h||L9 (b ,G), b >-1
Но если f e (G), то
J f (w) g (w)(1 - \ (w)|2) b \' (w)|2 dm2 (w) =
G
С- , |2 b| , |2 b +1 f (1 -У(w)2)b I , |2
= I h(m )(1 - \ (m rr y'(m) — I—==НН -g+2 f (w)\ (w) dm2(w)dm2(m) =
3 + 2
ОО
= |/(т)вд(1 - у (т)|2)3 У'(т)|2 ^ (т) =ф2(/) = Ф(/).
О
Мы воспользовались интегральным представлением типа (3) функции из класса А р (О ), справедливым при 3 - 2.
Значит, исходя из вышеизложенных соображений, а именно,
1|Ф|| = 1|Ф21|, Щьч(3О) =||Ф21|, и результата теоремы 1: С1\\^\Ад(3,О) £ Щ\ЬЧ(3О), имеем СМ8\\а*(3О) £ И = 11Ф1.
Для доказательства обратного неравенства покажем сначала справедливость пункта 2) теоремы.
Пусть g(*) - произвольная функция из Л4(¡3,О) и
ф(/) = 1/№(*)(1 - У И2) ¡у 'И2 ¿м*).
G
Покажем, Ф - линейный непрерывный функционал на Лр (О), для которого справедливы оценки (6).
Применим неравенство Гельдера, имеем:
|Ф(/)| £
f
f
; J|f(w)p(1 -\¥(wf)ß\y'(wfdm2(w)
ö УР
V G
J g (w)|q (1 - \ (w)|2) ß \' (w)|2 dm2 (w)
ö 1q 7
V G
I |2 b I |2
откуда так как (1 - У (w) )р У'(w) £ cb ß > 2, то
|F(f)| £ С2 Jf (w)|pdm2(w)
V G
а значит, |Ф (f)| £ с Л f\
J g (w)|q (1 - \ (w)|2) ß \' (w)|2 dm2 (w)
ö >q
Ap (G) HgILq (ß,G)
VG
или sup |ф(f)| £ с2 llgl
IUp (G )
£1
Aq(ß,G)
0
, следовательно,
1Ф11 £ С2 l|g|
Aq (ß ,G)
, то есть Ф - линейный непрерывный функционал на Лр (О).
Кроме того, используя снова интегральное представление (3) функции из класса Лр (3, О), имеем:
3+1Г (1 - у (т)|2)3 . , ,2 —
Ф(е*) =£— | (1 рИ(т )У' (т )|2 Лш2(т) = g (*),
где ew (m) =
1
p g (1 (m\ (w)) ß > 2.
(1 -у (т )у (*))3+2
Учитывая теперь первую часть доказательства теоремы, получаем:
c1 g
£ Ф
\\Aq (ß ,G)
Докажем единственность представления (5). Действительно, пусть gb g2 е Ap (ß, G) и
F(f ) = Jf (w)g1(W)(1 - У (w)|2)ß\y'(w)|2 ^(w),
G
F(f) = J f (w)g2 (w)(1 - \(w)|2)ß \'(w)|2 dm2 (w).
G
Но тогда по условию теоремы gl(w) = Ф(е*) и g2(*) = Ф(е*), откуда gl(*) = g2(*). Теорема доказана.
Оказывается, по формуле (5) порождается линейный непрерывный функционал и на более широком пространстве Лр(3, О):
Теорема 3. Пусть О - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; р(г) - функция Римана, отображающая Б на О, р(0) = е О, р'(0) > 0, у - обратная функция для р. Пусть также 1 < р < +¥,
1 1 1
- + - = 1; ew (m) =--ß
p q (1 (m)\(w))ß+2
ß > -1. Тогда
x
X
X
1) Если Fe (Ap (p, G))*, g(w) = F(ew ), то
а) g e a9 (b, G), при этом "f e Ap (b,G) Ф(f) представим в виде (5);
б) существуют константы c > 0, С2 > 0 такие, что справедливы оценки (6).
2) Обратно, если g(w) - произвольная функция из A9 (b, G), то по формуле (5)
порождается линейный непрерывный функционал Ф(f) на Ap (b,G), для которого справедливы оценки (6).
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.
In paper we construct an bounded integral projection which maps the weighted Lp (b, G) spaces of measurable
functions onto the corresponding spaces of analytic functions and we describe linear continuous functionales in Lp spaces of analytic functions.
The key words: weighted spaces, integral representations, projections, linear continuous functionales, conjugates spaces.
Список литературы
1. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. 1948. Вып. 2. С. 3-35.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. - М.: «Наука». 1966. С. 628
3. Ткаченко Н.М. Оценки производной аналитической функции в областях с кусочно-гладкой границей / Н.М. Ткаченко // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвузовский сборник научных трудов / Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ. 2007. Вып. 8. С. 8593.
4. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31, № 2. С. 197-215.
Об авторе
Н.М. Ткаченко - стар. перпод. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected]
