CC BY
19
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014 Математика и механика № 4(30)
УДК 515.127
А.В. Титова
ЛИНЕЙНЫЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПОЧТИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ И СОВПАДЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Рассматривается пространство всех непрерывных функций Cp(X, G), где G - некоторое топологическое пространство. Если множество G наделено структурой почти кольца, то можество Cp(X, G) является топологическим почти модулем. Доказано, что размерность dim топологического пространства X является изоморфным инвариантом его топологического почти модуля Cp(X, I), где I = [0,1) - естественно определенное почти кольцо.
Ключевые слова: почти кольцо, топологический почти модуль, непрерывный гомоморфизм, пространство непрерывных функций, топология поточечной сходимости.
Все неопределенные в статье понятия можно найти в [1].
В статье В.Г. Пестова [2] было доказано, что из линейной гомеоморфности пространств непрерывных функций Cp(X, R) и Cp(Y, R) следует совпадение размерностей dim X = dim Y, где dim X обозначает обычную лебегову размерность [1]. В данной статье вместо поля R рассматривается почти кольцо I = <[0, 1), +, •> и вместо топологического векторного пространства Cp(X, R) - топологический почти модуль Cp(X, I) и доказывается аналогичный результат о совпадении размерностей.
Под почти кольцом G понимается абелева группа по сложению и полугруппа по умножению < G, +, •>, причем существование единицы в G не предполагается (и закон дистрибутивности, вообще говоря, не имеет места). Если G наделено топологией и обе операции в G непрерывны, то G называется топологическим почти кольцом.
Будем называть непустое множество A почти модулем над почти кольцом G, если выполнены следующие условия:
1) <A, +> является абелевой группой;
2) для любых а, Ре K, x е A, выполнено (ха)Р = х(ав) и афх) = (аР) x.
Пусть X- вполне регулярное ^-пространство и G - произвольное топологическое почти кольцо. Рассмотрим пространство всех непрерывных функций {f | f: X ^ G}, наделённое топологией поточечной сходимости. введём на этом
пространстве две операции: операцию сложения, в которой для любых g,h е{ f | f: X ^ G} положим (g + h)(x) = g(x) + h(x) и внешнюю операцию умножения (а,g) ^а-g(x) на число а из [0,1) соответственно. Получаем топологический почти модуль, который будем обозначать Cp(X, G).
Определение 1. Топологические пространства X и Y называются G-эквива-лентными, если топологические почти модули Cp(X, G) и Cp(Y, G) топологически линейно гомеоморфны.
Далее в качестве О будем рассматривать топологическое почти кольцо I = <[0, 1), +, •>, где умножение определяется стандартным образом, а сложение -следующим образом: для любых х, у е I положим
(х + у, если х + у < 1; х + у -1, если х + у > 1.
Далее рассматривается только 1-эквивалентность.
Перейдем к изложению нашей модификации упомянутой выше теоремы В.Г. Пестова [2]. Отметим, что теорема Пестова являлась обобщением ряда предшествующих результатов [3-5] и была обобщена на случай равномерных гомеоморфизмов в [6].
Рассмотрим множество линейных непрерывных гомоморфизмов Ьр(X,I)={/1 /:Ср(X,I) ^I} , которое наделено топологией поточечной сходимости. Аналогично известной теореме об общем виде функционала на пространстве СР(Х, К) [7] сформулируем следующее утверждение.
Лемма 1. Если /: Ср (X, I) ^ I - непрерывный гомоморфизм, то
/(ф) = ^"_1агф(х) для всякого фе Ср(X,I) и для некоторыхх^ е X, аг- еI, I = 1, 2,..., п.
Доказательство. Возьмем д = 0 е Ср (X, I). Тогда /(д) = 0 (в силу линейности /), и, так как/непрерывно, то существуют х1,х2, ...,хп е X,е > 0 , такие, что
1 I I 2
/(0(я, х1,..., хп, е)) с [0,3)^ (3,1), где О^, х1,..., хп, е) - окрестность функции д в
Ср (X, I). Можно считать, что хфху при i ^у. Возьмем теперь фе Ср (X, I) так, что
1 2
ф(xi) = 0, 1 = 1,...,п. Покажем,что тогда /(ф) = 0. Ясно, что /(ф) с [0,3)^(у^).
Если к е М, то кфе 0(д, х,..., хп, е) для любого к, и поэтому | / (кф) |< -1.
1 2
Если предположить, что /(ф) Ф 0, то для некоторого к: /(кф) с [3,3]. Получаем противоречие.
Таким образом, /(ф) = 0.
Выберем фi е Ср (X,I) так, чтобы было фi (xi) = -1,фi (ху) = 0 при i Ф у,
2
i = 1,...п, и положим аi = 2/(фг-).
Покажем, что для всякой функции фе Ср (X, I), / (ф) = а1 -ф( х1) +...
... + ап • ф(хп). Положим у = 2 ф - ф(х1 )ф1 -... - ф(хп )фп. Очевидно, что уе Ср(X, I) и у(хг-) = 0 при всех i = 1,...п. Действительно,
х)=1 ф( х) - ф( х1)ф1( х) -...- ф( хп )фп(х)=2 ф( х) - ф( х) 1 =0.•
Тогда 0 = f (у) = 2 f (ф) - ф(X! ) f (ф! ) -... - ф(xn ) f (ф„),
n n
получаем f (ф) = ^ 2ф(xi )f (ф, ) = ^ aiф(xi ), что и требовалось доказать.
i=1 i=1
Рассмотрим следующее множество линейных непрерывных гомоморфизмов:
Lp ( X, I ) = { f\f : Cp ( X, I ) ^ I}.
Это множество является абелевой топологической группой относительно операции сложения над почти кольцом I, то есть топологическим почти модулем. Назовем его сопряженным к Cp(X, I). Ясно, что если Cp (X, I) s Cp (Y, I), то
Lp (X, I) s Lp (Y, I).
Пусть теперь пространства X и Y являются I-эквивалентными. Введем следующее обозначение: L = Lp(X, I) (или Lp(Y, I)). Тогда X - максимальная линейно независимая система элементов в L. Отметим, что элементы из Lp(X, I) и Lp(Y, I) будем обозначать как X и y соответственно. Для элементов из X или Y «крышку»
сверху мы будем просто опускать. Обозначим теперь через
Bn(X) = {X \ X = ^n=1aixi е L, ai е I, x, е X, i = 1,...,n} .
Заметим, что система ненулевых элементов {x1, x2, ..., xn} группы L называется линейно независимой, если из равенства k1 x1 +... + knxn = 0(ki е I) следует, что k1 x1=... = knxn =0. Точнее, это означает, что ki = 0, если порядок элемента o(xi ) = да, или o(xi ) делит ki, если порядок o(xi ) элемента xi конечен. Далее положим
lX (x) = min{n е N : x е Bn (X)}, An (X) = {x е L : lX (x) = n}.
Определение 2. Пространство X назовем максимальной топологической системой образующих в L (или кратко максимальной ТСО), если X есть максимальная линейно независимая система элементов в L и для всех n е N базу открытых
окрестностей каждой точки х = ^ n_1aixi е An (X) образуют в Bn(X) множества
вида ^nj1AjUi, где ai е Ai, At открыты в I|{0}, xi еUi, Ui открыты в X и Ui n Uj = 0 при i Ф j, i, j = 1,2, ..., n.
Лемма 2. Если X есть максимальная ТСО в L, то каждое Bn(X) замкнуто в L,
n е N.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент x е L \ Bn (X), тогда x = ^^/ax-, ai е I \ {0}, xi е X, i = 1,..k, k Ф n}. Так какX есть максимальная ТСО,
то Ox = ^. _1AiUi, k Ф n, A, открыты в I|{0}, Ui открыты в X и Ui n U j = 0 при
i Фj, i, j = 1,2, ... ,k. Следовательно, Ox с L \ Bn(X).
Определение 3. Пространства X и Y назовем L -эквивалентными, если X и Y вкладываются в некоторый топологический почти модуль L в качестве максимальных топологических систем образующих.
Пусть теперь X и У вложены в топологический почти модуль Ь как максимальные ТСО, п е М, 5 = (ш1,т2,...,тп) е М". Через Ь5 обозначим множество
{х е Ь : 1Х(х) = п,х = VП_1агхг,ai £ II {0}, х £ X, 1У (xi) = mi,г = 1,..п.} Лемма 3. Ь = и{Ь5 : п е М,5 е X"}.
Доказательство. Докажем, что Ь с и{Ь5 : п е М, 5 е N" }. Так как X есть максимальная ТСО в Ь, то для всякого X е Ь выбираем минимальное разложение 1Х(X) = п, Х = VП_1агхг-, е 11 {0}, х е X,г = 1,..п. Так как У есть ТСО в Ь, разложим х: для каждого хг существует т, такой, что 1У(хг) = mi, х = V"=1Р -у., Р- е I\{0}, у- е У, - = 1,..т;-,/' = 1,..,п.} Тогда в качестве 5 возьмем
(т1, т2,..., тп) е Nп. Следовательно, х е Ь5 и х еи{Ь5 : п е М, 5еМп }. Лемма 4. Если X имеет счетную базу, то каждое Ь5 имеет тип /а в Ь. Доказательство. Рассмотрим множества
/1 ={хх е Ь : /X (х) < п, хх = V г"=1агхг, а е 11 {0}, х- е X, /У (х) = , i = 1,..п.}
и ^ ={х е Ь ::/x(х) < п -1 х = V ^х,
а е 11 {0}, х е X, /У (х) = , /' = 1,..п -1}. Рассмотрим их разность
/1 \ /2 = {^ е Ь : /x (хх) = п, х = V¡"-/ах, а!- е 11 {0}, х е X, /У (х ) = , /' = 1,..п.} = Ь5. Тогда, учитывая, что X имеет счетную базу и что /1, /2 замкнуты в Ь, имеем Ь = /1 \ /2 = / п (X \ /2) = / п Мп) = (/ п Мп) е /,
где X \ /2 = Мп, Мп замкнуто в X \ /2.
Предложение 1. Пусть топологические пространства X и У являются ^-эквивалентными. Тогда У является объединением счетного множества своих подпространств У5, 5е А, причем для каждого 5е А и у е У5 существует открытая в У5 окрестность О точки у, являющаяся объединением конечного семейства своих замкнутых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому подпространству X. Если X имеет счетную базу, то каждое У5, 5е А, есть множество типа / в У.
Доказательство. Вложим X и У в топологический почти модуль Ь в качестве максимальной ТСО. Положим А = и{Мп : п е М} и У5 = У п Ь5, 5е А. Пусть
у е У5, у = V "г^Л, а е 11{0}, х е , х * х] пРи i
Фиксируем дизъюнктное семейство и1, и2, ..., ип, открытых в X окрестностей соответственно точек х1, х2, ..., хп. Множество и = VI {0}и - окрестность у
в An(X). Каждый элемент y' 6 U имеет единственное представление вида
y' = YП-а'У' ai 611 {0}, У' 6 Ui; определим для i = 1,2, ..., n отображения п. : U ^ U., положив п. (y') = y'. По определению непрерывности п. непрерывно.
цустъ при 1 <i <n x = Y%ßyyy, ßy611 {°} уу- 6 Y, j = 1,..m, i = 1,..,n. Для каждого i = 1,2, ..., n фиксируем открытые, попарно не пересекающиеся множества V-, j = 1, 2, ..., mi, в Y и такие, что y- eVy, и, если обозначить
V- = Y m= Il{°}-Vj, то X 6 X n Vi с U.
Определим естественные непрерывные отображения ю- : Vi ^ Vy аналогично отображениям п.. Пусть при 1 < i < n Wi открыто в X, Wi с Ui и
W- n Am. (Y ) = Vi n Ui.
Положим O = Y5 n Y n=/ l {°} W, где Y П_а! l {°} W открыто, тогда O открыто в Y5 и непусто: O э y.
Пусть У' 6 O, У ' = Yn=a'ix'i, x' 6 X и для каждого i: x' = Ym= ßX, У' 6 Y, тогда
n mi
У = YYaißjyj = yj
i=1 j=1
для некоторых i, j.
Итак, Vy ' 6 O 3i, j : ю- (п. |o (y ')) = ю- (y') = y' = y ', обозначим через A- -множество всех неподвижных точек отображения ю- о п. |O . В силу произвольности выбора у' имеем O = u. -A-. Каждое A-, замкнутое в O как множество неподвижных точек, а отображение п. на A- есть гомеоморфизм (так как композиция ю- о п. O есть гомеоморфизм.)
Из леммы 4 следует, что каждое Ys, 5 6 A, есть множество типа Fa в Y. Теорема 1. Пусть X и Y - пространства со счетной базой являются L -эквивалентными.
Тогда dim X = dim Y.
Доказательство. Следует из предложения 1 и теоремы суммы для размерности dim, учитывая, что для пространств со счетной базой размерность наследственна [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986.
2. Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim /-эквивалентных топологических пространств // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 3. С. 553-556.
3. Павловский Д.С. О пространствах непрерывных функций // ДАН СССР. 198°. Т. 253. № 1. С. 38-41.
4. Архангельский А.В. Принцип т-аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов // ДАН СССР. 198°. Т. 252. № 4. С. 777-78°.
5. Замбахидзе Л.Г. О соотношениях между размерностями и кардинальнозначными функциями пространств, погружаемых в пространства специального вида // Сообщ. АН ГСССР. 1980. Т. 100. № 3. С. 557-560.
6. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды Математического института РАН. 1992. Т. 193. С. 82-88.
7. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 25.
Статья поступила 15.05.2014 г.
Titova A.V. LINEAR HOMEOMORPHISMS OF TOPOLOGICAL ALMOST MODULES OF CONTINUOUS FUNCTIONS AND COINCIDENCE OF DIMENSION
In this paper, the space of continuous functions Cp(X, G), where G is a topological space, is considered. If the set G is endowed with an almost ring structure, the set Cp(X, G) is a topological almost module. It is proved that the dimension dim of the topological space X is an isomorphic invariant of its topological almost module Cp(X, I), where I = [0, 1) is a naturally defined almost ring.
This statement is based on ideas of G.G. Pestov's work «The coincidence of dimension dim of /-equivalent topological spaces», where the following theorem was formulated: if Cp(X, R) and Cp(Y, R) are linearly homeomorphic spaces, then dim X = dim Y. Here, X and Y are arbitrary totally regular spaces, and Cp(X, R) is the space of all continuous real functions on X with the pointwise convergence topology. Note that Pestov's theorem was generalized to the case of uniform homeomorphisms by S. P. Gul'ko.
Keywords: almost ring, topological almost module, continuous homomorphism, space of continuous functions, pointwise convergence topology.
A.V. Titova (M. Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Engel'king R. Obshchaya topo/ogiya. Moscow, Mir Publ., 1986. (in Russian)
2. Pestov V.G. Sovpadenie razmernostey dim l-ekvivalentnykh topologicheskikh prostranstv (1982) DANSSSR, v. 266, no. 3, pp. 553 - 556. (in Russian)
3. Pavlovskiy D.S. O prostranstvakh nepreryvnykh funktsiy (1980) DAN SSSR, v. 253, no. 1, pp. 38-41. (in Russian)
4. Arkhangel'skiy A.V. Printsip т-approksimatsii i priznak ravenstva razmernosti bikompaktov (1980) DAN SSSR, v. 252, no. 4, pp. 777-780. (in Russian)
5. Zambakhidze L.G. O sootnosheniyakh mezhdu razmernostyami i kardinal'noznachnymi funktsiyami prostranstv, pogruzhaemykh v prostranstva spetsial'nogo vida (1980) Soobshch. ANGSSSR, v. 100, no. 3, pp. 557-560. (in Russian)
6. Gu/'ko S.P. O ravnomernykh gomeomorfizmakh prostranstv nepreryvnykh funktsiy (1992) Trudy Matematicheskogo instituta RAN, v. 193, pp. 82-88. (in Russian)
7. Arkhangel'skiy A.V. Topo/ogicheskieprostranstva funktsiy. Moscow, MGU Publ., 1989, p. 25. (in Russian)
