CC BY
17
УДК 517.9
КВАЗИВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ©Е.С. Жуковский
Zhukovsky E.S. Quasi-Volterra operators. The operator working in the functional space is called a quasi-Volterra one in the finite system of the measurable sets e0 С ег С • • • С efc, if the image of the function equal zero in e( is the function equal zero in e{. The conditions of the existence of the inverse quasi-Volterra operator are obtained. The results are applied to the studying of the quasi-Volterra integral operator in the space of summable functions.
Вольтерровым операторам и их различным обобщениям посвящены многочисленные исследования [1-12]. В литературе подробно описаны свойства таких операторов, рассмотрены их многочисленные применения.
Приведем определение, позволяющее перенести на более широкий класс операторов некоторые результаты и методы работ [5-7]. Пусть дана конечная система Ук вложенных измеримых множеств
0 = е7о С е71 С ... С е7<> = [а, Ь]\
М(е7.)=7п г=1, к.
Пусть, далее, У, В - линейные пространства функций / : [а, 6] —>• Я771. Линейное отображение Р : У -> В будем называть квазивольтерровым на системе г;*;, если для каждого г = 1,к и любого у € У из у (в) = 0 на е7. следует (Г у) (в) = 0
на е
Vi'
Отметим, что если Ук С V, где совокупность у = {е7} удовлетворяет условию
V7 Є (0, b — а] /х(е7) = 7,
V7, г) Є (0, 6 - а] 7 < г? => е7 С ev
(1)
то любой вольтерровый на у оператор [7] является, конечно же, квазивольтерровым на у к- Сумма и композиция линейных квазивольтерровых на системе Ук операторов является линейным квазивольтерровым на ук оператором.
Будем говорить, что в пространстве В выполнено Ук-условие, если это пространство является банаховым и для любого множества е7< € € Ук и для любой сходящейся последовательности {у^} С В, || у,- — у || в 0, из равенства уj(t) = 0, 1 = 1,2,..., при всех £ € е7. следует, что и предельная функция у (£) = 0 при £ е е7.. Отметим, ЧТО при выполнении Ук-условил, множество В (е7 ), элементами которого являются сужения на е7 функций из В, является банаховым пространством, если положить
II уТі II в (Є, ) = inf II у II в > гДе нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у Є В функции у7. Є £?(е7 ). Определим оператор П7 : В —> Б(е7.) равенством (П7.у)(£) = у (t) при всех t Є е7.. Пусть оператор Р7 : В (е7.) —> В некоторым образом продолжает каждую функцию у7. навесь [а, 6].
Приведем несколько утверждений о свойствах квазивольтерровых операторов.
Т еоремаї. Пусть в пространстве В выполнено Vk-условие; {Fj} - последовательность линейных квазивольтерровых на Ук операторов Fj : У -> В. Если \\Fjy — F у || в —»• 0 при каждом у Є У, то и предельный оператор F : У -+ В также квазивольтерров на системе у к-
Следствие. Если К : В -> В - линейный ограниченный квазивольтерровый на системе Ук оператор со спектральным радиусом р{К) < 1, то оператор (I — К ) - 1 также квазивольтерровый на у к-
Т е о р е м а 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнено Vk-условие, оператор Q : В -> В является линейным ограниченным и квазивольтерровым на системе у к- Тогда каждый оператор Q7 = П7.QP7., і = 1 ,k, ограничен
и || <Э7. || < II Q || •
Теорема 3. Пусть в банаховом пространстве В выполнено Vk-условие, и пусть квазивольтерровый на системе Ук оператор Q : В -» В обратим. Тогда, чтобы обратный оператор Q~l был квазивольтерровым на системе у к, необходимо и достаточно обратимости операторов Q7 для каждого i = l,k.
Следствие 1. Если оператор Q~1 квазивольтерров на системе у к, то операторы Q~ 1 :
' *
Я(е7 ) -* В(е1.) ограничены в совокупности, и выполнено неравенство Q~1 < || Q~1 ||.
Следствие 2. Спектральные радиусы ква-зивольтеррового на системе Ук оператора К :
В —» В и оператора Ку = П7 К Р7 : Р(е7.) -> Р(е7 ) при любом і = l,fc удовлетворяют неравенству р ( Ку.) < р (К).
Обозначим
= {у7. Є Р(е7.) y7.(t) = 0, t Е е7._1 } .
Если выполнено Vk-условие, то подпространство В і С Р(е7.) является банаховым пространством. Пусть линейный оператор К : В -ь В квазиволь-терров на Vk; оператор Я"7. : В * —> Р j определяется равенством {K1.y^ ){t) = (Щ КРу.у^ )(t).
Таким образом, оператор Jf7 является сужением оператора , = П7 ifP7i : Р(е7.) —> Р(е7.) на подпространство Р і .
Сформулируем основное утверждение настоящей работы.
Теорема4. Пусть в банаховом пространстве В выполнено Vk-условие, и пусть линейный ограниченный оператор К : В В является квазивольтерровым на системе Vk • Тогда его спектральный радиус определяется формулой
р(К)= шах р(К~, ).
i = l,Jfc
Доказательство. Возьмем любое число А, удовлетворяющее неравенству | А | < —тКтт • То-
р(К
гда существует обратный оператор (I — А К)-1, который является квазивольтерровым. Вследствие этого, существует и обратный оператор (/7. - А #7і)-1 = (П7. (/- ХК)РУ.)~\ являющийся также квазивольтерровым. Поэтому, если выполнено fy.it) = 0 при £ Є в7і і, то
((/7; - АК^.) _1 /7.) (*) = 0, £ Е е7._1. Это
означает, что оператор /7. — А К7 , являющийся сужением оператора /7 — А К7. на пространство В і , обратим. Таким образом, для всех г имеет место неравенство р{К) < р(Ку.). Следовательно, р(К) < шах р ( К7 ).
*= 1, к '
Теперь выберем произвольно число А, удовлетворяющее неравенству
А | < шах р(Ку ). i = l,k
(2)
и рассмотрим уравнение
*(() - Х(Кх)(і) = /((). (3)
Квазивольтерровость оператора К позволяет записать уравнение (3) при і Е е71 в виде
(4)
Здесь /7і : Р(е7і) —> Р(е7і) - тождественный оператор, ІІГ7і = П7і К Р7і, х7і Є Р(е7і), /7і = П7і /. В силу предположения (2) уравнение
(4) однозначно разрешимо. Обозначим его решение через г71. Выберем некоторое продолжение г Е Р функции г7 1 .
Для нахождения решения уравнения (3) при £ Е [ а, 6 ] \ е7 сделаем замену у = х — г . Получим
(1-ХК)у = /-{1-ХК)г. (5)
Здесь операторы /, К будем считать действующими в подпространстве Р7] С Р функций, тождественно равных нулю на е7 г. Обозначим / = = / — (/ — АК) г Е Р71- При £ Е е7^ уравнение
(5) запишем в виде
( ^7, ^7,)У7, — /'
(6)
В силу предположения (2) уравнение (6) однозначно разрешимо. Обозначим его решение через 27г. Функция (П7ог + 27,)(0 является решением уравнения (3) при £ Е е7г.
Продолжая аналогичные рассуждения, можно за конечное число к шагов построить определенное на всем отрезке [ а, Ь ] единственное решение уравнения (3). Тем самым доказано существование обратного оператора (I — АК)~1. Согласно теореме Банаха [13], этот оператор ограничен. Итак, А является регулярным значением оператора К. Таким образом, для всех г выполнено неравенство р(К) > р(К^ ). Следовательно,
р{К) > шах р(Ку ). i=l,k '
Теорема доказана.
Обозначим Г* = {7*} и определим отображение £*;:1\.хР-»Р формулами Z к{ 0, у) = 0,
Zkhi,y) = П7 у
г = 1, к. Линей-
<» у II В (е7 .)
ный оператор К : В -» В назовем квазиулучшающим на множестве Ук , если существует такое число А, что для любого г = 1, к и для всех х Е Р, если || г || < 1, то имеет место неравенство
Z{4.,Kx) - ,Кх) < Д
(7)
Заметим, что если в пространстве Р выполнено условие С (см. [7]), то линейный улучшающий оператор К : В —> Р будет также квазиулучшающим на множестве Vk •
Теоремаб. Пусть в банаховом пространстве В выполнено Vk-условие, и пусть линейный ограниченный оператор К : Р —> Р является квазивольтерровым и квазиулучшающим на системе v к • Тогда для спектрального радиуса этого оператора имеет место оценка
Р(К) < А,
(8)
где Д определяется из условия (7).
Доказательство. Согласно теореме 4 для некоторого г выполнено р(К) = р{К7.). Так как
р(^7 ) ^ 11-^7 II > Т0 нам нужно оценить НОрму
оператора Ку : В і —> В і . Возьмем произвольно є > 0. Для каждого элемента ї7і £ В; С 5(е7.), _
||х7 || < 1 построим так его продолжение х Є В, /С(£, в) =
чтобы || ж || < 1 + є. Используя условие (7), получаем \\К^хъ\\ = ||П7.М|| = \\и^.Кх\\ —
- цп7._1 лгзс|*| = гк(іІУКх) - ^*!(71._1,кж) <
< (1+є)Д. В силу произвольности є отсюда следует неравенство ||АГ7 || < Д. Оценка (8) спектрального радиуса оператора К доказана.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда при любом А, удовлетворяющем неравенству | Л | < ^ , обратный оператор (I — ЛЯ")-1 является квазивольтерровым на Ук-
Полученная здесь оценка (8) спектрального радиуса квазивольтеррового оператора К достаточно точна, о чем свидетельствует следующий пример. Рассмотрим оператор К : Ь[о,1] 4у ^[од]>
1
(Кх)(і) = ! /С(І, 8)х(з)<І8.
(9)
ным. Его ядро
если (£, в) Є [7,-1, 7і ]2 , если (*, в) Є ([0, 7; ]2\[7<—і > 7і ]2 )» представлено на рис. 2.
Iі’
10,
Рис. 2
Пусть совокупность у к образована отрезками
0, ^ , г = 0, к. Оператор (9) будет квази-вольтерров на такой системе множеств тогда и только тогда, когда /С(£, в) = 0 при почти всех
0 < 5 < (здесь символом [•] обозначена
целая часть действительного числа). Пусть при
остальных (£, в), т.е. 1 > 5 > выполнено
/С(£, в) = 1. Схематично это ядро представлено на рис. 1.
1 Б
Рис. 1.
Оператор К7. : £[0,7. ] -^[0,7. ], (Кх)(і,) =
7і
J /С(£, 5) х7. (в) сів также является интеграль-
Спектральный радиус оператора К7. легко вычислить: р(Ку.) = £. Таким образом, на основании теоремы 4 получим р (К) = ^ .
Теперь проверим эффективность оценки (8) для оператора (9). Имеем
7і 1
/'/ /С(£, в) ж(в) сІ8\сІІ =
7і 1 7 І
= 111 ^— /* =\ 4*11’
7і-і
7і —і
Таким образом, Д = ^ , и оценка (8) принимает
вид р(К) < ^ , т.е. является точной.
Линейный оператор Т : В —»• В будем называть т-квазивольтерровым на системе у к, если для любого х Є В выполнено (Т х)(£) = 0 при і 6 е
и для всех і = 2, к из равенства і Є е7._г следует (Т х)(і) = 0 ,
х(Ь) = 0,
I 6 е7. В этом определении абстрактному символу г, как мы сейчас увидим, можно придать конкретное числовое значение, тесно связанное со свойствами такого оператора.
Расширим систему у к до некоторой системы у, удовлетворяющей условию (1). Это можно, например, сделать следующим образом. Для всех £ € £ [а, 6] и каждого г = 1, к определим множество
Е{(Ь) = е7._1 и^[о, £] П ^е7. \ е71_г)) . Мера этого
множества является непрерывной функ-
цией. Для любых £1 , £2 € [а, Ь] из £1 < £2 следует Е{(Ь 1) С Е{(12), кроме того, Е{(а) = е7._1 ,
Ег(Ь) = е7 . Объединим в классы эквивалентности множества, имеющие одинаковые меры, и выберем из каждого класса по одному представителю. Это и будут множества е7 , удовлетворяющие условию (1).
Т еоремаб. Пусть у к Су. Если линейный оператор Т : В —»■ В является т-квазивольтер-ровым на системе у к , то оператор Т2 : В -> В будет т-волътерровым на системе у со значением г = шт ^е7. \ е7._1 ^ | .
Доказательство. Возьмем 7 € (7<>7*-ы].
Пусть х (£) = 0, при £ € е7_т . Так как 7 — т € € (7»—1, 7*+1)» то х(«) = 0, £ е е7._1. Следовательно, (Тж)(£) = 0, £ € е7. ; (Т2ж)(£) = 0,
£ € е7.+1 . Отсюда (Т2 я)(£) = 0, £€е7.
Доказанное утверждение позволяет в определении т-квазивольтеррового оператора придать символу г значение г = тт |/л (е 7. \ е 7. _ г ^ | .
Вернемся к рассмотренному выше интегральному оператору (9). По-преджнему считаем, что
совокупность у к образована отрезками
0,
г = 1, к. Оператор (9) будет г-квазивольтерро-вым на системе у к тогда и только тогда, когда
его ядро /С(£, б) = 0 при почти всех 0 < £ < •
Такое ядро представлено на рис. 3.
рис
Отметим некоторые очевидные свойства г -квазивольтерровых на системе у к операторов.
1. Композиция (в любом порядке) квази-вольтеррового и т-квазивольтеррового на системе у к операторов является т-квазивольтерровым на системе у к оператором.
2. т-квазивольтерровый на системе у к оператор является нильпотентным.
3. Спектральный радиус т-квазивольтеррового на системе у к оператора равен нулю.
4. Для т-квазивольтеррового на системе у к оператора Т : В —> В оператор Т7 = = П7 ТР7. : В(е7.) -> В(е7.) при любом і = 2, к является т-вольтерровым на
системе
Уі - {<
Понятие т-квазивольтерровости позволяет
несколько уточнить полученную в работе [7] теорему 7.
Т е о р е м а 7. Пусть линейный оператор Т : В —> В является т-квазивольтерровым на системе у к ; линейный ограниченный оператор 5 : В —> В вольтерров на системе у, причем Ук С у. Тогда, если один из операторов
I — Т — 5, / — 5 обратим, и обратный к нему
оператор вольтерров на у, то обратим и другой, и обратный к нему также вольтерров.
Доказательство. Предположим, что существует и является вольтерровым на системе у оператор С = (/—б1)-1. Возьмем произвольно е7 6 у. Для некоторого г выполнено 76 (7*_1»7<]« Рассмотрим уравнение
(/7 — Г7 — 57) ж7 = /7.
Запишем эквивалентное уравнение
(/7— С 7 Т7) ж 7 = (?7 /7.
является т-квазивольтерро-
Композиция Є 7Т вым на системе у і = |е7о,е7і, ...,е7 і5е7| оператором. Следовательно, при каждом /7 Є Є В(е7) уравнение однозначно разрешимо, т.е. существует вольтерровый на системе у оператор (/ - Т - 5)"1.
Обозначив 5 = 5 + Т, докажем, что из существования вольтеррового оператора (/ — 5)-1 = = (/ — Т — 5)-1 следует существование вольтеррового оператора (/ - 5 — (—Т) )-1 = (I - в)~1.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть линейный оператор Т : В —> В является т-квазивольтерровым на системе у к , линейный ограниченный оператор 5 : В —> В вольтерров на системе у, причем Ук С у. Тогда спектральные радиусы операторов Т + 5, 5 одинаковы: р(Т + в) = р(5).
В заключение приведем еще одно аналогичное утверждение об обратимости квазивольтерровых операторов.
Т е о р е м а 8. Пусть линейный оператор Т : В -> В является т-квазивольтерровым на системе у к ; линейный ограниченный оператор 5 : В -» В квазивольтерров на системе у к ■ Тогда, если один из операторов I - Т — 5, 7 — 5
обратим, и обратный к нему оператор квазиволь-терров на ьь, то обратим и другой, и обратный к нему также квазиволътерров.
Доказательство этого факта мы опускаем, так как оно почти полностью повторяет приведенное выше доказательство теоремы 7.
Следствие. Пусть линейный оператор Т : В —> В является т-квазиволътерровым на системе у к , линейный ограниченный оператор 5 : В -> В квазиволътерров на системе у к • Тогда спектральные радиусы операторов Т + 5, 5 одинаковы: р(Т + 5) = р(б').
ЛИТЕРАТУРА
1 . Бродский М. С. Треугольные и жордановы представ-
ления линейных операторов. М.: Наука, 1969. 364 с.
2 . Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные
задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 208 с.
3 . Гохберг И.Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых опера-
торов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.
4 . Гусаренко С. А. Об одном обобщении понятия воль-
террова оператора // ДАН СССР. 1987. Т. 295. № 5. С. 1046-1049.
5 . Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра //
Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.
6 . Жуковский Е.С. Вольтерровость и спектральные
свойства оператора внутренней суперпозиции / / Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 147-149.
7 . Жуковский Е.С. Об операторах Вольтерра в банахо-
вых функциональных пространствах // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2001. Т.6. Вып. 2. С. 147-149.
8 . Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтер-
ра // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 1. С. 167-168.
9 . Лившиц М. С. О спектральном разложении линейных
несамосопряженных операторов // Мат. сб. 1954. Т. 34 (76). С. 145-198.
10 . Сумин В. И. Функционально-операторные вольтер-
ровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.
11 . Сумин В. И. Функционально-операторные уравнения
Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 4. С. 555-561.
12 . Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа
Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.
13 . Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории
функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. с. 225.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140).
Поступила в редакцию 12 сентября 2001 г.
