Квазиклеточные сети. Синтез и циркуляция Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.О. Аристов, 2013

УДК 519.179.2:004.94 А.О. Аристов

КВАЗИКЛЕТОЧНЫЕ СЕТИ. СИНТЕЗ И ЦИРКУЛЯЦИЯ

Рассмотрен новый тип дискретных структур не имеющих сигнатуру — квазиклеточные сети. Они обладают свойствами графов, клеточных автоматов, сетей Петри. Квазиклеточные сети позволяют моделировать во времени на макро- мезо- и микроскопическом уровне системы, для которых характерна циркуляция потоков. Ключевые слова: квазиклеточная сеть, дискретная структура, поток, циркуляция, моделирование.

В настоящее время в различных отраслях науки широко используются дискретные структуры. Среди распространённых дискретных структур широко используются графовые модели, в частности алгоритмы поиска путей в графе [1,2], потоков в сетях [2], сети Петри [3] и др. Графы представляют собой двусорт-ные множества, включающие в себя носитель и сигнатуру [1].

Рассмотрим разновидность дискретных структур, не имеющих сигнатуру.

Пусть имеем граф С = < V, и > являющийся сетью (рис. 1). Считаем, что каждая вершина V¡ е (V1, V2,...,Vn) имеет координаты (х1, У,), т. е.

X, е (Х2 , • • •, хп ), У, е (У^ У2 , * ■ •, Уп).

Выделим вокруг каждой вершины круглую область, радиуса Я.

Имеем рёбра и1 е (и1,и2,...,ии). Каждое ребро можно представить в виде V V) . Тогда длина ребра:

Ц =7 (Х,Ь - Х,а )2 + (У,ь - У а )2 . (1) Для ребра ,Ць) (рис. 2) обозначим

Ах, = Хь - ха , (2)

АУ, = Уь - У а . (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в (1) получим:

Ц =у1 (Ах, )2 + (АУ, )2 .

(4)

Возьмём на каждом ребре (V а ^¡ь) точки с шагом 2Я. Вокруг каждой точки выделим область, радиуса Я , определяемую неравенством:

(х'- хс )2 + (У'- Ус )2 < Я2,

где х', У'— координаты произвольной точки в заданной области, хс, Ус - координаты центра каждой области, лежащие на ребре ,Ць) .

Рассмотрим разбиение ребра графа. Количество областей для раз-

биения п = юипв(

2 • Я

где Я —

радиус области вокруг точки, лежащей на ребре, Ь — длина ребра, гоипв(...) — округление до ближайшего целого.

Обозначим с1х' = —, dy' = —, топ п

гда для любой области р на ребре

(V а, Viь) справедливо:

хр = х,а + Р • ¿х'

Ур = У а + Р •

(5)

(6) 125

Рис. 1. Исходный граф

Фактически области, центры которых лежат на рёбрах расположены по касательным друг к другу, т. е. фактически на ребре найдётся пара областей р и р+1, для которой система уравнений:

Г (х - Хр )2 + (у - Ур )2 = И2

[(х - Хр+1)2 + (у - Ур+1)2 = И2

радиуса И, где каждый элемент взвешен соответственно элементами из множеств

Хр = (Хp1, Хр2 ,'' •, Хрп ) и

ур = (Ур1, Ур2, —, Урп). Для элементов множества О справедливо, что система уравнений

Г (Х - Хр1)2 + (у - Ур1)2 = И2

(7)

будет иметь как минимум одно решение при р=1,2,3, ..., п-1.

Поскольку в общем случае

п =-г Z , то система уравнений:

2 • И

Г (Х - Хп )2 + (у - Уп )2 = И2

ГХ - х;ь )2 + (у - у;ь )2 = И2 ( )

в общем случае имеет 2 решения.

Таким образом, получаем некоторое множество областей О = (О1,О2, — , Оп),

R

|(Х - Хр2 )2 + (у - ур2 )2 = И2

(9)

V

|а

Рис. 2. Разбиение ребра исходного графа 126

^р2> 1 Ур2>

имеет хотя бы одно решение при р1, р2).

Фактически, получаем некоторое множество областей заданного радиуса, между которыми возможно касание, либо пересечение. Фактически, наличие пересечения или касания определяется только множеством О = (О1,О2, — ,Оп) и весами из множеств Хр = (хpl, Хр2 , • • •, Хрп ) и

ур =(ур1, ур2, ■ ■ *, урп), т. е. получаем

некоторую дискретную структуру, не имеющую сигнатуры в явном виде. Фактически, в полученной дискретной структуре нет явного задания отношений между элементами множества О = (О1,02, —, Оп). Отношение задаётся условием наличия решений системы уравнений (9). Назовём предложенную дискретную структуру квазиклеточной сетью (рис. 3), а граф на основе которого она получена — базовым графом квазиклеточной сети (см. рис. 1).

Определение 1. Квазиклеточной сетью называется дискретная структура, включающая в себя множество О = (О1,02, —, Оп) круглых областей в двухмерном пространстве, имеющих радиус И, каждая из которых взвешена соответственно

V,

Рис. 3. Квазиклеточная сеть

элементами из множеств Х р-(хр1 'Хр2' ■■■ >Хрп) ,

Ур-(Ур1'Ур2, ■■■ 'Урп) , для которых справедливо, что система уравнений

[(Х - Хр1)2 + (у - ур1)2 = И2 |( Х - Хр2 )2 + (у - у„2)2 = И2

И = const при

5р е (51,52, — ,Бм) (12)

5р = (р1, р2, —, рь) (13)

где р1, р2, —, р1 - фазовые переменные. Рассмотрим квазиклеточную сеть:

О = (О1,02, —, Оп) Ор = (Хр, ур, 5) (14)

5 е (0,1)

Пусть есть две клетки, Ои = (Хи,уи,5Ц)и О, = (Х„,у,,5,), для которых система уравнений:

Г(Х - Хи )2 + (у - уи )2 = И2 1(х - ^)2 + (у - у,)2 = И2

(15)

. = . (10)

^р2> Ур2> И

имеет хотя бы одно решение при

Чр1, р2).

Область, определяемую элементом множества О = (О1,02, —, Оп) назовём элементом квазиклеточной сети, областью или клеткой.

Фактически, каждый элемент квазиклеточной сети — это вектор, задающий область пространства в виде Ор = (хр, ур). Радиус И является топологической характеристикой квазиклеточной сети, т. е.:

(11)

имеет по крайней мере 1 решение, т. е. фактически круговые области Ои и О, касаются друг друга, либо пересекаются.

Рассматривая систему уравнений (15) с точки зрения геометрии (см. рис. 2), имеем две окружности, которые имеют точки пересечения, т. е. расстояние между их центрами не превышает их диаметр:

(Хи - х, )2 + (уи - у, )2 < (2 • И)2. (16)

Рассмотрим изменение состояния клетки во времени. Обозначим состояние в выбранный момент времени 5р ^) . Если считать, что время изменяется дискретно, то состояния клеток квазиклеточной сети наблюдаются через равные промежутки времени 9 , где 9 ^ 0 . Рассмотри изменения состояния элементов квазиклеточной сети вида:

Расширим каждый вектор элементом 5р , характеризующим состояние

каждой клетки Ор = (хр, ур, 5р):

5, а) = 5 а + 9).

(17)

Фактически, предполагается, что состояние одной клетки передаётся соседней клетке.

о о

и V

о о

и V

Рис. 4. Переход фишки. Представлено состояние: а — в момент времени ^ б — в момент времени t+0

Если в качестве состояния рассматривать некоторую величину в, принимающую значение из множества (0,1), т.е. в е (0,1), то можно интерпретировать состояние клетки как наличие в ней некоторого элемента, сравнимого с фишкой в сетях Петри [3]. Тогда изменения состояния, описанные выше, можно интерпретировать как передачу фишки между соседними клетками (рис. 4). Однако, сравнивая подобную ситуацию с сетями Петри, можно заметить, что фишка переходит в соседнюю клетку только в определённые моменты времени. Таким образом, можно считать, что фишка «циркулирует» по сети.

Определение 2. Циркуляцией в квазиклеточной сети называются изменения состояний клеток, вида

Я а + 0) = ви а)

в а+0)=0

(18)

при V, и), где для Ои = (хи, У и, ви )и О, = (xv, У„, в,) справедливо

(хи - х» )2 + (Уи - У» )2 < (2 • Я)2. (19) Переход фишки из Ои и О, обозначим как Ои ^ О,, где и ф V .

Стоит обратить внимание на ряд особенностей циркуляции в квазиклеточных сетях. Рассмотрим клетки Ои,

О, и О« , для которых:

(хи - ^ )2 + (Уи - ^)2 < (2 • Я)2 (^ - х« )2 + (Уv - У„ )2 < (2 • Я)2 (20) .(хи - х« )2 + (Уи - Ум,)2 > (2 • Я)2

Предположим, что

ви ш = 1; вv (t) = 0; в« (t) = 1. Если осуществить переходы вида Ои ^ О, и О« ^ О,, то фактически Ои и О« теряют фишки, а в результате осуществления этих переходов в клетках Ои, О, и О« остаётся одна фишка, т. е. ви^ + 0) = 0; в, а +0) = 1; в« ^ + 0) = 0. Циркуляцию такого вида назовём циркуляцией с переменным количеством фишек.

Другой вариант - циркуляция с постоянным количеством фишек предполагает, что количество фишек останется неизменным. При такой циркуляции выполнение переходов Ои ^ О, и О« ^ О, недопустимо. Таким образом, переход невозможен в те клетки, где уже есть фишка. Тогда циркуляцией с постоянным количеством фишек в квазиклеточной сети называется изменения состояния для

Ои = (хи, Уи, ви)и =(х,, У,, в,)

справедливо:

в, а +0) = ви а)

ви а + 0) = 0

(хи - х, )2 + (Уи - У, )2 < (2 • Я)2 (21)

в, а) ф 1

ви а) = 1

при V, и).

Итак, выше представлены возможности циркуляции в квазиклеточных сетях, описываемые правилами и условиями (18), (19), (21). При этом, стоит отметить, что на множестве О = (О1,02,...,Оп) для Ои = (хи,Уи,1) условия (18), (19), (21) могут позво-

б

а

¥5

г^г^ююсоооса

ъ

Рис. 5. Циркуляция в квазиклеточной сети. Показано состояние сети: а — в момент времени б — в момент времени 1+0; в — в момент времени 1+29, г — в момент времени 1+39

лять выполнить различные переходы вида Ои ^ , Ои ^ О,2 и т.д.. При этом, какой переход должен выполниться, определяется дополнительными условиями. В простейшем случае, из всех возможных переходов случайным образом выбирается один, который и будет выполнен:

р(Ои ^ О,1) = р(Ои ^ 0,2) =

т '

где Ои ^ О,1, Ои ^ О,2, •••, Ои ^ От — разрешённые переходы,

= — = р(Ои ^ О,т) =■

(22)

р(Ои ^0,1), р(Ои ^0,2), •,

р(Ои ^ От) — вероятности осуществления переходов при циркуляции, т -количество допустимых переходов, удовлетворяющих (18) и (19) или (21).

Итак, выше была рассмотрена основная идея циркуляции, предполагающая возможность изменения состояния соседних клеток квазиклеточной сети. Стоит отметить, что каждый момент времени 9 производятся возможные переходы на всём множестве О = (О1,02, —, Оп). Пример циркуляции в сети приведён на рис. 5.

б

а

в

г

Итак, выше были рассмотрены основные аспекты синтеза квазиклеточных сетей как особой разновидности дискретных структур, не имеющих сигнатуры. Стоит отметить несколько наиболее существенных особенностей квазиклеточных сетей:

• простота реализации на ЭВМ;

• отсутствие явно заданной сигнатуры;

• зависимость ряда свойств и переменных состояния от топологических параметров сети;

• большое количество предметных приложений (при проектирова-

нии и моделировании промышленных, транспортных, медико-биологических систем, вычислительных сетей, организационных процессов, потоков и т.д.;

• возможность моделирования на разных уровнях[4] в рамках одной дискретной структуры - на макроскопическом (величина потока на между клетками), микроскопическом (рассмотрение каждой фишки и её свойств) и мезоскопическом (фишка как состояние клетки в квазиклеточной сети).

1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики — М.: Физ-матлит, 1999 — 544с.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход — М.:Мир, 1978 — 432 с.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. Пер. с англ. -М.:Мир, 1984 - 264 с. ил.

4. Ахмадинуров М.М. Обзор методов моделирования транспортной сети. Транспорт Урала 3/2009. С. 39—44. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Аристов Антон Олегович — доцент, [email protected], Московский государственный горный университет, [email protected]

- РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОДСИСТЕМЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ УГОЛЬНОГО МАССИВА

(№ 944/02-13 от 26.11.12, 08 с.)

Мельник Владимир Васильевич — доктор технических наук, заведующий кафедрой,

[email protected],

Сергеев Сергей Васильевич — аспирант,

[email protected],

Московский государственный горный университет.

RESEARCH OF A SUBSYSTEM OF HYDRAULIC DESTRUCTION OF THE COAL MASSIF

Melnik Vladimir Vasilyevich, Sergeyev Sergey Vasilyevich