Квазигазодинамические уравнения для течении газа с внешними источниками тепла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:533.7

КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА С ВНЕШНИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

Т. Г. Елизарова*^, А. А. Хохлов

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Построена система жвазигазодинамичесжих уравнений для течений в присутствии внешних сил и источнижов тепла. Выведено уравнение баланса энтропии, демонстрирующее диссипативный харажтер вознижающих дополнительных слагаемых.

Введение

Актуальными задачами численного моделирования газодинамических течений являются задачи с внешними источники энергии. В качестве таких проблем укажем, в частности, задачи горения, исследование возможностей управления потоками с помощью энерговложения, расчеты активных сред в резонаторах газовых лазеров и течения излучающего газа [1].

Для численного решения задач динамики вязкого газа разработаны эффективные разностные алгоритмы, использующие специальный вид регуляризации. Регуляризаторы строятся на основе квазигазодинамических уравнений (см., напр., [2-4]), которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми дивергентного вида. Эти слагаемые имеют диссипативный характер, что демонстрируется справедливостью теоремы о неубывании полной термодинамической энтропии в замкнутом объеме, доказанной для этих уравнений. Однако построенные алгоритмы не охватывали задач с внешними источниками энергии.

В настоящей работе на основе подхода [2] построены квазигазодинамические уравнения при наличии в потоке тепловых источников. Показан диссипативный характер возникающих добавок.

КГД уравнения при наличии внешних сил

и тепловых источников

Следуя методике, изложенной в [2], заметим, что из системы уравнений Эйлера

д д

-р+—рщ = О, ^рщ+Орщщ+^рЪ,

(1) (2)

д (и

dip\т + е

д (и2 р\

d^ri\-2+£ + -p)=pUlFl + Q

(3)

для идеального политропного газа с уравнением состояния

р = pRT, £ = -^Т (4)

7-1

следуют тождества

д 1 д 1 1 д -7Г,- + Щ ъ----—Щ = 0,

at р oxi р р oxi

д

д

-Uj + Ui

■p~Fi = О,

_ ]_д_

I И-, Щ + -

at ' oxj р oxl д д р д Q п

тт-i + Щ 77— i + - Щ--= О,

at oxi р oxi р

(5)

(6) (7)

|р + и^Р + 7Р^-(7-1)0 = 0. (8)

Здесь и далее использованы обычные обозначения: р — удельная плотность, щ — компонента скорости, р — давление, — компонента внешней силы, е — удельная внутренняя энергия, <2 — мощность тепловых источников. В формулах подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Справедливость тождеств (5)-(8) можно проверить непосредственной подстановкой в них выражений для производных по времени из уравнений Эйлера (1)-(3) с последующим приведением подобных слагаемых.

Запишем интегральные законы сохранения для малого объема V в конечно-разностном виде, заменяя производные по времени разностным отношением для моментов времени t и t + At, где № — малый промежуток времени. Тогда законы сохранения массы, импульса и полной энергии можно представить в виде соответственно:

Р-

At

■ d х -

р*и* den = О,

(9)

рщ - рщ з

At

dax■

р*и*и* d<jj

P* doi =

Институт математического моделирования РАН.

р(й2/2

р*Р{ с1Ах ■

р(и2/2

"хь// ^а/'

(10)

(1АХ

р*и*

Р* и* Р{ (I X ■

г/"г*

=

Я*(1ЪХ. (11)

Здесь вектор теплового потока и тензор вязких напряжений вычисляются как

д „ дх{

Щ5Ц = '0

д

1,~ч\ дхГ1

д_

дХ;

2г 9

з8ч дъ*

(12) (13)

7} и ж — коэффициенты вязкости и теплопроводности. Величинами со звездочками в (9)-(11) обозначены значения газодинамических параметров в момент времени t < ^ < t + At. Обозначим At/2 = т и определим параметры газа в средней точке 1 = 1*, ограничиваясь первым порядком малости по т:

др дщ

Р

Р+ г-

р =р + Т■

т

др 'д.V

(14)

(15)

(16)

Подставим эти выражения в формулы (9)-(11). Величины и <2 считаем мало меняющимися за время т, поэтому звездочки возле них просто отбросим. Заметим также, что фактически использованное нами соотношение

ф-ф д 1 Ы д2 £

~Ж=тф + ТдГ2ф

(17)

верно с точностью до членов второго порядка по поэтому в получающихся формулах слагаемыми порядка 0(т2) можно пренебречь. Возвращаясь вновь к дифференциальному виду производной по времени в интегралах по объему, получим

9 л -рс1х-

Г д_ д1

рщй X

рщ + т^рщ) й<л = 0, (18)

9 X ; рщ + Т -^рщ ) Щ й(Т)

9 И трщ —Щ йсГ/

р + т§-{р) ^=

Г д

ж

й X

Пнвг/йЦ', (19)

рщ

8

ттрщ

(1а;

трщ ( щ

д

Ж

д

ж

^Ыв! (¡-01 —

рщ

д 1 1 д \ , рт-р + -ртр)

т Ъ1рщ) ^ ^х +

Пив ц Щ ¿о!

Я (рх. (20)

Считаем, что в нулевом по т приближении для нашего газа справедливы уравнения Эйлера (1)-(3). Используем эти уравнения и следующие из них тождества (5)-(8) для того, чтобы исключить производные по времени в слагаемых, линейных по т. Приведем подобные члены, сгруппируем однотипные слагаемые и используем произвольность объема V, чтобы перейти от интегральной формы уравнений (18)—(20) к дифференциальной. Получим систему квазигазодинамических уравнений в виде законов сохранения:

д д . А Ъ1Р+ а?' '

д_

д1 д_ д1

рщ

р

д .

д_

дх!

р = р*ъ

д , / щ-

2 ) дхГ V 2

д

= ПР; + —П/Я/. + <2, где введены обозначения

д_

дх1

Р Р

Ш

(21) (22)

д_

дх!

41

п = р(щ - щ),

щ р*

Щ = п

т ( д д

-р\щрщи^жгрр1

"у

(23)

(24)

(25)

(26)

ЫЭ г/ '

трщ +

\_д_

р сЦ

д

д

тбц Щ —р + 7р —щ - (7 - 1)0

д д 1

<7/ = ШI - трщ I щ—е+ рщ —

(27)

(28)

дхи дхи

V Р Р,

При т = 0 квазигазодинамическая система уравнений совпадает с системой уравнений Навье-Стокса.

Уравнение баланса энтропии

В работе [4] было показано, что в случае <2 = 0 производство энтропии для системы (21)—(23) является неотрицательным. Обобщим этот результат на случай <2 ф 0.

Обозначим полную производную по времени оператором

(29)

Будем считать, что параметры рассматриваемого газа удовлетворяют тождеству Гиббса

77)л'-£>•:••+ /)£>-. (30)

Р

Используя систему (21)—(23), получим из этого равенства уравнение для энтропии я. Перенесем в уравнении (22) все слагаемые в левую часть и домножим на щ:

( д д д д \ 0= Ч &рщ + р*р1 - а^П/7 =

.и2 д

Т + и'д~Х1

Отсюда следует соотношение

~ д О—+ Щ —р - р^щ - щ — Щ. (31)

и2 д д

О— = -щ -7^-р + р^щ + щ о^гЩ- (32)

Уравнение (23) можно записать в виде

д . р д

д

° Иг +е + ТГ7П- + -гг-т = пЪ + я-Щщ + <Э

дх{ р дх.

дх;

(33)

откуда, используя предыдущее равенство, получаем

8

д

Ое— ¡¡Р, + ^^ Пуг'Ыг'

д . р д д

Т{ /г Р*' г'^г Щ "К И/г "I" Щ "К

0X1 р ОХI ' 0X1

д д д . р д

= {п-р*ит+щ щщ-шн-+щ

Заметим, что О^ = — шг-), поэтому

1 р 1 1

д

Г) Б — £)•:'•' + £) — I (/; /'*£/;) Р; + 11/; и• Т Т р Т \ ' ОХ]

д qi 0 1,1

д

(н - Р*Щ) Ъ + Щ —щ

дх;Т "" дх;Т 'ТУ11 ' /г дхГ

Получаем уравнение баланса энтропии в виде

(34)

О* = X,

дх{ Т

где производство энтропии X имеет вид

Х = Я1

1

Ох, Т + Т д-Р ,

(й - Р*Щ) Ъ +11,

д_

дХ;

8

д

р + Я+р—{щ-т{) . (35)

о

0X1 р 0X1 0Х1

Критерием физической корректности теории является неотрицательность X ^ 0 при <3 ^ 0. Из полученного выражения (35), на первый взгляд, неотрицательность X не следует.

Преобразуем выражение (35), учитывая (24)-(28). Рассмотрим отдельно каждое слагаемое, выделяя, где это возможно, неотрицательные комбинации величин.

Для первого слагаемого получим

41

дх I Т

= ( ( и>

д_

дх;

дх; р р д

дхТ

\Т )

трщ | щ — е + рщ

д 1 <?\ 1 д

дх; р р ) Т2 дх,

-Т =

к

VI

~Т

щщ ( д \( д

Лу

тщщр / д \ ( д

Те р\ дх1£) \ дх,Р

д

Те дх,

■е.

Преобразуем второе слагаемое: у ((/г - Р*Щ)Ъ) = у - (Р - Т

д

т ^ -рш1 + тщ—рщ

Р(Т ( д и,

_ _ д_

Т У1ЩРЩ дХ;

= -

/гр I I

рщщ - -Ц^р + рр^ =

трр( д д

р.

Заметив, что

Лшг/Лнз;; _'П_ {дщдщ _ 2дщдит | дщ дщ 2г/Т Т \ дх; дхI 3 дх^ дхт дху дх{

преобразуем следующий фрагмент в формуле для X:

\ -г д \ ( ( д

д

+трщ | щ д

_д_и _ 2$ _д_

дх( 1 3 г/ дх^ 1 д

дхъ

Р дх,

■Р - Р(

д

+тёи ик —р + тр —ик - (7 - 1)0

дх,

дхь

д_

дХ;

■и/ =

Пив г/Пне г/

2 г/Т

триj ( д 1 д —L uk — щ + -ТТ \ dxk р dxi

т ( д д . ..Л д

Наконец рассмотрим оставшиеся слагаемые:

ld.pl д р д , .

TTli- + тгР + ~ - wi) =

/ OXi Р I OXi I OXi

д_

pT \ dxj

8

рщщ + — р - pFi —р

дх,

8

dxi

Собирая все фрагменты исходной формулы вместе, получаем

тр ( д 1 д Т \ дхк р дх{

трщи; ( д

д_

Те V 9xi ) \ dxj

трщиI ( д \ ( д \ тщЯ д -- ' —е I I — р I--— е

Тер \ дх{ ) \дх

Те дхi

т ( д д . ..Л д

f[Ukwkp+7PwkUk-b-l)Q) WtUr

д

д

д

д \ Q

+ 7тщи\щр)\Щр) + т- (36)

Для краткости здесь и далее использовано обозначение (щ)2 = Ьцща^.

Используя соотношение

р = (у- 1 )ер,

можно записать (36) в виде

/УГ\2 ПМ5 ¿;Пм5 и Х = Ж\—) + 2г,Т +

тр ( д 1 д

+ \ик "Б—+ _ "Б—Р Т \ дхк р дх{

тр_ Те

д_

дх<

р д Р dxi тр f д

щ--

где

71 = Г ( 1

1 д

■Т i -и.

е

р2Т \ дх,

-рщ

д

'6 + (7 - 1) -х-Щ - —

OXi dxi ер

(37)

Как видно из полученного выражения, при Q > О (при Q < 0 энтропия может убывать) производство энтропии является неотрицательным, если величина г является достаточно малой. При г = 0 величина производства энтропии (37) совпадает с еоответ-свующей величиной, вычисленной для уравнений Навье-Стокса.

Выводы

В работе построена система квазигазодинамических уравнений в случае, когда система находится под влиянием внешних сил и источников тепла. Для этого случая построено уравнение баланса энтропии. Показано, что при условии малости параметра г производство энтропии является неотрицательным.

Полученный результат позволяет расширить область применения квазигазодинамических уравнений и соответствующих им численных алгоритмов для расчета течений вязкого сжимаемого газа в присутствии внешних тепловых источников.

Литература

1. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М., 1985.

2. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.

3. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. 11 Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2005. 45, № 3. С. 545.

4. Елизарова Т.Е., Серегин В.В. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005. № 4. С. 15 (Moscow University Phys. Bull. 2005. N 4. P. 17).

Поступила в редакцию 22.05.06