CC BY
42
КВАНТОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ СОСТОЯНИЯ КАК ДВИЖУЩАЯ СИЛА КОГЕРЕНТНОЙ ЭВОЛЮЦИИ И «НАГРЕВА» ИЗМЕРЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
На примере двухуровневой системы показано, что измерительный прибор индуцирует квантовую эволюцию в измеряемой системе, если оператор измеряемой величины не коммутирует с гамильтонианом, что происходит даже если в начальный момент система находится в основном состоянии. Предложено решение задачи о переходе системы в ортогональное возбужденное состояние. Предложены два вида квантовой эволюции: осциллирующая и кинетическая (неосциллирующая), - а также условия их проявления. Утверждается, что измерительный прибор способен увеличивать энергию невырожденной системы («нагревать» ее).
Ключевые слова: квантовые измерения, квантовая динамика, двухуровневая система.
Развитие спинтроники [1] и наноэлектроники [2] сделало актуальной и практически важной классическую проблему квантовой механики -влияние измерительного прибора на состояние квантовой системы, в том числе и вопрос о «физическом» происхождении коллапса волновой функции при измерении квантового состояния. Примером нетривиального влияния процесса измерения и измерительного прибора на эволюцию квантовой системы является квантовый эффект Зенона [3, 4]. Суть этого эффекта заключается в замедлении эволюции квантового объекта в результате повторных измерений состояния. В пределе непрерывных измерений возможно эффективное выключение квантовых переходов и «замораживание» системы в исходном (даже возбужденном) состоянии. Недавно в работе [5] было показано, что процесс квантовых измерений способен влиять на термодинамические свойства измеряемой системы и термостата, например не температуру и энтропию. Цель данной работы - показать, что процесс измерения может быть движущей силой этой эволюции, и рассчитать вероятность перехода в возбужденное состояние.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
1. Получить аналитическое решение стохастического уравнения Неймана - Лиувилля для двухуровневой системы.
2. С помощью найденного решения рассчитать кинетику населенности возбужденного уровня.
3. Определить аналитический вид возможного сигнала.
В работах [6, 7] показано, что аналогом процесса измерения являются селективные процессы, т.е. такие процессы, развитие которых зависит от состояния системы в данный момент.
Поэтому теория квантовых измерений важна и для построения теорий необратимых селективных процессов и реакций, например для спин-селективных реакций.
Рассмотрим двухуровневую систему, изначально находящуюся в одном из собственных состояний гамильтониана Н, например в основном состоянии |^). Пусть н|и н| V2) = Е2 |у2), где 1^) и |у2) - ортогональные собственные функции гамильтониана, а Е1 и Е2 - соответствующие значения энергии, и Е2 > Е Очевидно, что невозмущенная прибором система, находясь в собственном состоянии гамильтониана, не эволюционирует. Она будет оставаться в этом состоянии бесконечно долго, а вероятность обнаружить частицу в другом собственном состоянии равна нулю №2=0.
Пусть измерительный прибор селективно (с вероятностью т) детектирует и поглощает из ансамбля только частицы, находящиеся в произвольном суперпозиционном состоянии |уз) =с^ VI) +с2 IV2), которое не является собственным состоянием гамильтониана Н. В качестве ¡Vз) могут выступать, например, собственные функции оператора проекции спинового момента на произвольную ось, отличную от оси квантования, оператор проекции импульса частицы или кинетической энергии и т.д. В общем случае коэффициенты с1 и с2 могут быть комплексными величинами, однако мы здесь ограничимся только действительными значениями.
В данной работе мы придерживаемся традиционных представлений о действии измерительного прибора как «идеального фильтра» [8, 9]. Он селективно реагирует только на частицы, находящиеся в состоянии ¡Vз), необратимо поглощает их и не реагирует на остальные. Взаимодействие квантовых частиц с прибором заставляет
описывать измеряемую двухуровневую систему с помощью матрицы плотности.
Состояние ансамбля двухуровневых частиц, взаимодействующих с измерительным прибором, описывается модифицированным уравнением Неймана [10] для матрицы плотности р:
dp = -ih-1 [H,p] - w{P3P + PP3}. (1)
Здесь P3= Iv3XV3\ - оператор проектирования в суперпозиционное состояние. Вероятность w является мерой «эффективности» измерительного прибора. Если обе величины с1 и с2 не равны нулю, то оператор Р3 не коммутирует с гамильтонианом H. Коммутатор этих операторов [H,P3] = qc2Ae{ ()(V2 -1V2xV1 |) (2)
имеет вид оператора переходов из состояния V^ в |y2) и обратно, и ЛЕ = E2 -E1 = hArn.
Уравнение (1) описывает необратимый процесс, в котором число частиц не сохраняется, поэтому матрица плотности р нормирована на 1 только в начальный момент t=0 и р(о)= | v1 X V11. Однако если учесть частицы, поглощенные прибором, то общее число частиц в системе сохраняется в течение всего процесса эволюции и измерения. Условие нормировки выполняется для полной матрицы плотности p(t) =p(t)© ’p(t), где p’(t) - матрица плотности частиц, поглощенных измерительным прибором.
Уравнение (1) имеет точное формальное решение
p(t) = exp (B*t>(0)exp(Bt) (3)
где B = iH + wP^ = - Tr(B) + A, h 2 2
. . H + wP3 1
B =-i +----------- = — Tr
h 2 2
(b* >-
Здесь А, А*, В и В* - неэрмитовы матрицы, описывающие обратимую и необратимую эволюцию системы с селективным выбыванием частиц, а I - единичная матрица. При таком представлении матриц В и В* неэрмитовы матрицы А и А* оказываются бесследовыми матрицами, размерность которых 2x2; они обладают свойством
ехр(А^ = л((й) А
va
sh1
(at)
(4)
Лю2
16
. wAw + i-----СО,
где а = - det(A)=
Обычно длк решения эволюционных уравнений типа (1) используют теорию линейного
отклика [11-15], справедливую лишь при выполнении условия w << /Е/й . Представление (4) позволяет получать точные аналитические решения эволюционного уравнения (1), в том числе и для нетривиального и наиболее интересного случая w > /Е/ й [6].
Подстановка выражения (4) в формальное решение (3) позволяет получить точное аналитическое решение уравнения (1) и определить вероятность обнаружения системы в возбужденном состоянии IV2) для любых соотношений т и Дю в том числе и для наиболее интересного случая т>Дю:
"2 ()=(у 2 |р()У 2) =
= (у2 |А|А*|у2) ехрГ- wt^1ъ(а1]^ь(а*1). (5)
л/аа* ^ 2 J ^ '
Из формулы (5) следует, что вероятность Ш2@) обнаружения частиц в возбужденном состоянии ¡V2) не равна нулю; это доказывает, что в результате действия измерительного прибора и измерения частица переходит из исходного основного состояния ^1) в ортогональное возбужденное состояние IVз).
Вводя обозначения
Y = , 2
D +-------
16
Лю2
0 = . 2
2 Лю2
----1--------
16 4
^ w Лю' D--------+
(6)
(7)
где
D = v aa* =
w Лю 16 4
w2 Лю^ 2 2
+---------С - Со
, (8)
получим выражение, описывающее временную зависимость появления частиц в возбужденном состоянии ¡V з):
W2 (t)=
" [exp(- rt) - exp(-Yt))2
16D
+ 4 exp(- wt / 2 )sin 2 (Ot / 2)]
(9)
где Г= т/2 - у.
Из формулы (9) следует, что вероятность квантового перехода пропорциональна квадрату «эффективности» измерения т. Если же т = 0 (отсутствие квантовых измерений и проектирования), то вероятность W2(t)=0 и система (частица) все время остается в исходном состоянии | V1).
Изменение населенности состояния ¡V 2) описывается двумя слагаемыми. Первое описывает «кинетическое» появление частиц в состоя-
2
4
и
2
4
нии IV 2) и их последующее исчезновение в результате селективного поглощения измерительным прибором (проявляется при больших значениях Ь и характеризуется сравнительно медленным убыванием). Второе (осциллирующее)
Рисунок 1. Изменение населенности Ш2(Ь) возбужденного состояния (V 2) в результате действия измерительного прибора при т/0’№=0,39, с12=0,85 и с22=0,15. Представлен начальный участок с ярко 2 выраженными квантовыми биениями.
Рисунок 2. Зависимость частоты квантовых биений Ш от эффективности действия измерительного прибора т, состояний ^з) с коэффициентами с. и с : 1) с12-с22=0; 2) (Ч2)2 = 0,05; 3) (Ч2 )2 = 0,25; 4) (-С)=1.
Рисунок 3. Зависимость скорости Г селективного поглощения частиц от эффективности измерения прибора ’№ для разных состояний |у3) с коэффициентами с и с2: 1) (-о*)=о;
2) (с12-с2) = 0,05 ; 3) (с^-с^) = 0,25.
слагаемое описывает квантовые биения с частотой О и характерным временем затухания 2/т.
Эти квантовые биения доказывают когерентный характер эволюции системы, индуцированной действием измерительного прибора. Такая эволюция сопровождается появлением недиагональных элементов матрицы плотности р12(0=р21*(0= (^і |р()у2) *0.
На рис. 1 показан характерный график зависимости W2(Ь), на котором явно выражены квантовые биения с частотой О * Дю. Эти биения экспоненциально затухают со скоростью т/2, которая определяется только «эффективностью» поглощающего измерительного прибора. Однако затухание квантовых биений не означает прекращение квантовой эволюции. Она продолжается в «кинетическом» режиме, затухая со скоростью Г < т/2.
На рис. 2 показана зависимость частоты квантовых биений О от «эффективности» квантового прибора т для разных соотношений коэффициентов с1 и с2, то есть для разных состояний | у 3). Для всех возможных соотношений с1 и с2 частота осцилляций О, индуцированных процессом селективного измерения, всегда меньше частоты переходов изолированных систем О < Дю. Уникальной является ситуация, когда с1=±с2. Только в этом случае при т>Дю/2 возможно отсутствие квантовых биений (О=0) и чисто «кинетический» режим квантовой эволюции измеряемой системы. Равенство частот О=Дю возможно, если \с12- с22| = 1, то есть только в случаях с1 = 1, с2 = 0 или с1 = 0, с2 =1. Однако при этом состояние |у 3) совпадает либо с основным состоянием | у 1), либо с возбужденным | у 2). Но в этом случае ^2(^)=0 и переходы в системе невозможны.
На рис. 3 показана зависимость скорости Г поглощения частиц измерительным прибором от его эффективности т. Видно, что только при с12=с22 и т < 2Дю возможно равенство Г = т/2. При любых других соотношениях с1 и с2 всегда Г < т/2. При т < 2Дю величина Г возрастает с ростом т. Однако при т > 2Дю повышение «эффективности» поглощающего измерительного прибора приводит к парадоксальному уменьшению скорости Г вместо ее ожидаемого увеличения. Это объясняется своеобразным проявлением эффекта Зенона в кинетических процессах [6]. Поскольку при больших значениях т лимитирующей стадией процесса является квантовая эволюция,
переводящая частицы из ортогонального подпространства в состояние | у 1), то уменьшение частоты О и замедление эволюции приводит к уменьшению скорости поглощения частиц Г при увеличении эффективности т.
Взаимозависимость величин О и у, а также Г при селективном поглощении следует из формул (6) и (7). Их произведение равно
(10)
Очевидно, что экспериментально вероятность Ш2(Ь) может быть определена только с помощью второго измерительного прибора, природа которого не уточнялась и действие которого не учитывалось в предыдущем рассмотрении.
Таким образом, показано, что с помощью второго измерительного прибора можно определять действие на систему первого прибора. Теперь после того, как мы фактически вычислили показания второго измерительного прибора, следует ответить и на вопрос о том, что же будет показывать первый измерительный прибор? Для ответа на этот вопрос следует найти вероятность нахождения частиц в состоянии IV з), то есть величину:
"з () = (Vз Ьйкз) = ^1 ИЙкО + С1С2 ^1 |р()| IV2) +
+ (V2 |р()| М)+ С2^2 |р()1 IV2> (11)
Тогда показания прибора будут пропорциональны величине:
wc1 ( ё + е
п з (t)=ww3 (t)=^d (^ )exp(- rt)i+^ )e
1 + exp(- wt / 2)f cos(flt)+g sin(flt))
где d = D + w2/l6 + A©V4 , e = + ЙАю/2 ,
■P(- 2їФ
d - e
2D ^ 2 ~ ' d + e ^
+ ex p(- wt/ 2)f cos (ot)+gsin(ot)) (12)
2/тс + л„2/4 e = wy/.
f = D - w2/16 - Лю2/4 , g = wy/4 - уЛю/2 .
На рис. 4 изображен график временной зависимости W3(t), то есть величина сигнала, который должен показать измерительный прибор. В начальный момент времени включения прибора W3(t=0)= с12 = \V1 \У3) I2. Из формулы (12) следует, а на рис. 4 отчетливо видно, что в показаниях прибора тоже могут проявляться затухающие квантовые биения. Частота осцилляций W3(t) совпадает с частотой квантовых биений вероятности W2(t) и равна О. При t > 2/w зависимость W3(t) может быть описана экспоненциально затухающей функцией с показателем Г. Это затухание соответствует поглощению частиц измерительным прибором.
Влияние селективно поглощающего измерительного прибора на состояние частиц, остающихся в ансамбле, объясняется следующим
образом. Условие полноты для двухуровневой системы
1 = I V1 XV1 I + I V2 XV2 I = | Vз XVз I + I V4 XV4 I , (13)
где IV4) - вектор состояния, ортогональный ¡V з), позволяет представить уравнение (1) в следующем виде:
dp
dt
-ih-1 [H,p] - wp + wP4 + w [P4PP3 + P3PP4 ], (14)
где Р4=\ V 4) (V 41.
Из формулы (14) следует, что действие такого измерительного прибора можно представить как поглощение всех частиц и одновременно возвращение в измеряемую систему частиц в состоянии ¡V 4). Именно поток таких «отраженных» частиц осуществляет обратную связь между измерительным прибором и измеряемой системой. Так как исходное состояние системы соответствует минимальной ее энергии, то переход в любое другое состояние будет соответствовать увеличению энергии Е измеряемой системы (ее «нагреванию»). Если Е4=0, то увеличение энергии системы Е можно представить как
Е = Е2Р22(Ь)■
Таким образом, показано, что процесс селективных измерений посредством поглощающего прибора способен индуцировать квантовую эволюцию в измеряемой системе, даже в том случае, если она изначально находилась в основном собственном состоянии. Для этого необходимо, чтобы оператор измеряемой величи-
Рисунок 4. Характерный пример зависимости «сигнала» измерительного прибора, пропорционального вероятности обнаружить квантовую систему
' з). Здесь т=0,39, с12=0,85.
в состоянии
ны не коммутировал с гамильтонианом измеряемой системы.
Выводы:
Для достижения цели в работе поставлены и решены задачи:
1. Получено аналитическое решение стохастического уравнения Неймана - Лиувилля для двухуровневой системы без использования приближений.
2. Рассчитана кинетика населенности верхнего возбужденного уровня. Она включает осциллирующий и неосциллирующий режимы квантовой эволюции, первый из которых затухает быстрее первого, проявляющегося в виде продолжительного убывающего сигнала.
3. Выведена временная зависимость временного сигнала прибора, изображенная на рис. 4.
Список использованной литературы:
1. Awshalom D.D. Semiconductor, Spintronics and Quantum Computation Springer. Berlin, 2002.
2. Щука А.А. Наноэлектроника. СПб.: Питер, 2007.
3. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М.: Физматлит, 2001.
4. Misra B. and Sudarshan E.C.G. The Zeno’s paradox in quantum theory. The Zeno’s paradox in quantum theory//J. Math. Phys., 1977.-V. 18.-P. 756-165.
5. Frez N., Gordon G., Nest M. et. all. Thermodynamical control by frequent quantum measurements // Nature, 2008. - V. 452. -P. 724-727.
6. Якунин И.Н., Бердинский В.Л. Химический эффект Зенона и его проявления // ДАН, 2008. - Т. 421. - С. 163-165.
7. Kominis I.K. Quantum Zeno effect in radical-ion-pair recombination reactions. [Электронный ресурс]. - 2008. - Режим доступа: http://Arxiv.org/abc/0804.3503.
8. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
9. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука. 1978.
10. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966.
11. Korotkov A.N. Continuous quantum measurement of a double dot // Phys. Rev. B., 1999. - V. 60. - P. 5737-5752.
12. Averin D.V. Quantun Noise in Mesoscopic Physics, edited by Nazarov Yu.V., Kluwer. Dordrecht, 2003.
13. Clerk A.A., Girvin S. M. and Stone A.D. Quantum-limited measurements and information in mesoscopic // Phys. Rev. B., 2003. - V. 67. - 165324.
14. Jordan A.N. and Buttiker M. Beliaev damping of quasiparticles of Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett., 2005. -V. 89. - 220401.
15. Korotkov A.N. and Jordan A.N. Updoing a weak quantum measurement of solid-state qubit // Phys. Rev. Lett., V.97. - 2006. -166805.
