Квантово-когерентные состояния кристаллической решётки и межзонная теория фазовых переходов Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №8/2015 ISSN 2410-6070

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 537.9

З. П. Мастропас

к. ф.-м. н., доцент Физический факультет Южный федеральный университет г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация

КВАНТОВО-КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ И МЕЖЗОННАЯ

ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ.

Аннотация

Рассмотрена модель кристалла с широкой запрещенной зоной как система носителей заряда и фононов с межзонным электрон-фононным взаимодействием. Показано, что фазовый переход второго рода может реализоваться как флуктуационный фазовый переход первого рода со скачкообразным возникновением конечной по величине деформации решетки, стабилизированной электрон-фононным взаимодействием.

Ключевые слова

фазовые переходы, когерентные смещения, межзонное электрон-фононное взаимодействие, поперечные

дипольные оптические колебания

Квантово-когерентным состоянием любого бозе-поля, в том числе и поля фононов в кристалле, является состояние с неопределённым числом квантов, но с определённой фазой полевой функции. Так как между неопределённостями числа квантов Ап и фазы Аф существует соотношение Аф-Ап«1, то квантово-когерентные состояния являются противоположностью состояний с определённым числом квантов, которые чаще всего и рассматриваются в квантовой теории. В частично квантово-когерентных состояниях можно выделить квантовые средние значения полевой функции, закономерно меняющиеся в пространстве и времени (т.е. имеющие определённую фазу), и её квантовые флуктуации, связанные с наличием некоторого среднего числа квантов. Квантово-когерентные состояния полей формируются под воздействием внешнего когерентного источника или возникают одновременно в двух подсистемах квантовых полей в результате их взаимодействия. Разрушаются такие состояния диссипативными процессами.

Хорошим примером возникновения когерентных деформаций кристаллов являются их структурные фазовые переходы, поскольку возникающие при таких переходах смещения атомов (ионов) имеют определённое значение в каждой элементарной ячейке. Например, при сегнетоэлектрическом фазовом переходе эти смещения имеют в основном поляризационный характер и, следовательно, переход в сегнетофазу сопровождается конденсацией квантов дипольных ветвей колебаний кристаллической решётки.

Известно [1-3], что причиной сегнетоэлектрического фазового перехода является нестабильность одного из поперечных дипольных оптических колебаний с волновым вектором к = 0. В работах Н.Н.Кристофеля, П. И. Консина и И.Б.Берсукера [4,5] было показано, что ответственность за стабильность такого колебания несёт межзонное электрон-фононное взаимодействие. Это взаимодействие приводит к "примешиванию" состояний зоны проводимости к состояниям валентной зоны с одновременным появлением деформации вакуума дипольных колебаний решётки, к изменению частот этих колебаний и ширины запрещённой зоны между валентной зоной и зоной проводимости. Кристалл при этом переходит из более симметричной фазы в менее симметричную сегнетофазу с когерентной спонтанной поляризацией решётки.

Простейшая схема расчёта когерентной деформации в сегнетофазе такова. Рассматривается

электронная подсистема при учёте существования двух зон: валентной зоны с энергией E1 и зоны проводимости с энергией Е2 (зависимостью этих энергий от волнового вектора электронов пренебрегают). Подчеркнём, что дипольный момент перехода между состояниями этих зон должен быть отличным от нуля. Только в таком случае "перемешивание" состояний этих зон может совершить дипольное оптическое

7

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №8/2015 ISSN 2410-6070

колебание кристаллической решётки, нормальную координату которого обозначим переменной U, а частоту - О .

Гамильтониан такой системы записывается в виде:

H = Е Е

а+„ а +

а а а

f h2 52

M cu2

■+ Mo u

22

\

2 V ,

аа a H a ,u,

а а

+ m4n

(1)

где а+а и аа - операторы рождения и уничтожения электронов в зоне с номером а , Vаа< - константа

а=1

электрон-фононного взаимодействия, M - массовый фактор дипольного колебания, N - число ячеек в кристалле. Диагонализация Гамильтониана (1) по электронным операторам при учёте только межзонного взаимодействия (только V12 = V ф 0) приводит к перенормировке зонных энергий:

E * _ E1 Н Е2 -г

Е2 = 2 +'

1 Г2 V2 2

—E 0 н--и

4 g 0 N

(2)

где Eg0 =E2—E1. Величину U здесь рассматривают как классическую переменную (не оператор), с помощью которой можно описывать только когерентную деформацию. Её отличие от нуля приводит к изменению энергий электронов Е'а и ширины запрещённой зоны

E* = е; — E = 2 1E2 + — и2 g 2 1 V 4 g 0 N

(3)

Соотношение (3) показывает, что ширину запрещённой зоны появление когерентной деформации увеличивает. Далее находят свободную энергию системы как сумму свободных энергий электронов и колебаний кристалла. Из условия минимума этой энергии находят равновесное значение и0 (T) . В частности, при температуре T = 0K

V2 _ Ек"

(Mo2} 4V2 _ •

откуда видно, что вещественным и0(0) будет при достаточно сильном взаимодействии (большом V ).

U;(0) = N

При повышении температуры и0 (T) уменьшается и обращается в 0 при T = Тс, где Тс - температура сегнетоэлектрического фазового перехода.

Все закономерности этого процесса качественно согласуются с данными эксперимента. Основной принципиальный недостаток этой теории (кроме чисто технических упрощений) в том, что она

количественно несостоятельна, так как V2и 2 /N никогда не может быть величиной, заметной в сравнении с

Eg0 ( как предполагается в (3)) из-за больших N .

Более точный расчёт когерентных смещений в решётке кристалла в сегнетоэлектрической фазе (относительно решётки в параэлектрической фазе) при T = 0 можно легко выполнить, используя теорию когерентных состояний [6]. Для этого гамильтониан системы (1) перепишем, используя вторичное

квантование дипольных колебаний решётки, (и- = .Jh;Mo (b k н b+kk )):

2 2 1 H = Z Еа(к)ааak +Zho(qm + £N 2КЛЬ*’ЪЛ-а '(h—k + K-,t,).

k ,а=1

k ,k' ct'*ct=1

(4)

Энергия взаимодействия ¥аа, (k, k ’) = Va& (k, k ’) •

h

лК

2Mo (k — k ’ )

пропорциональна дипольному

моменту daa,(k, k ’) перехода электрона из состояния (а, k) в состояние (а ’, k ’), так как участвующие в этом взаимодействии колебания решётки сопровождаются дипольной её деформацией и порождают при

8

международный научный журнал «инновационная наука»

№8/2015 ISSN 2410-6070

фазовом переходе спонтанную поляризацию. Применим к гамильтониану (4) унитарное преобразование

db+-d *b j

= e , позволяющее выделить в отдельную классическую переменную а- сдвиг

U(p, q) = eй(pQ~qF) - ~db+-d*b

средних значений координаты q и импульса p к -той гармоники колебаний решётки. Предположим, как это полагалось в первых работах по межзонной теории сегнетоэлектричества, что кванты возбуждения во всех гармониках отсутствуют, и квантовые флуктуации координат и импульсов гармоник не играют существенной роли в формировании сегнетоэлектрической фазы. С учётом этого после указанного унитарного преобразования оператор (4) примет вид:

H = V Еа (к )а++к аок + V ^(q)dq4 + V N Еаа'(к, к ')ata£v- (dk-k + d-k+k').

(5)

а,к

к ,к' а,а'

Для нахождения основного состояния системы с гамильтонианом (5) необходимо определить минимальную величину среднего значения (5)

(я) = £ Еа (к)(а>а ) + V %a(q\dq\ + N^ Faa' (к, к - ^(^аОМа'^ |2C0S^q (6)

а,к

(dq = dq epq)

к ,к' ,а,&

по варьируемым характеристикам

d~

(р~, Ш. Приравнивая нулю производную

(6) по

dq

, найдём экстремум по

d

и) = V Еа (к)(а +каЛ - V--------1----Faa, (к,к - q)(at а-ч , W 2cosp

/ш 4^ ^w\ a 4 4Npim(n) \ ка !q-qa /

Y

(7)

ка ' 4N^(q)

Поскольку оказалось, что энергия взаимодействия отрицательна и по величине превосходит собственную энергию деформации каждой гармоники, то минимуму по Pq будет соответствовать cos pq = 1

. В качестве волновой функции для усреднения используем функцию, заданную числами заполнения пл этих состояний:

все пк =1 кр(°ме пк = 0;

Ш = Со |все п1к =1, все n2i = 0 + V С1 (ко, к0 )

все n2P = 0 кРоме П2Р =1

(8)

считая, что рассматриваемый блок кристалла имеет такое число N ячеек, что смешивание состояний двух зон приводит в среднем к появлению лишь одного электрона в состоянии зоны проводимости ( а = 2)

Условие нормировки для Ш выражается соотношением |С0| + V С1(к,к' ) = 1. В результате усреднения

kk'

получим:

(9)

И =£Е,(к) + ^|Е2(к)С,(ко,к) -Е,(к)С1(к,ко

W к кк0 t

Ек(*.к -qСУДМ - q) + Г^к, к -q)C;(к -qJXo

У та (q) ^

х [Г!2(к', к' - q)C*C1 (к ', к'- q) + F21(h ', к' - q)C (кr- q, к ')Q ].

Для простоты предположим, что вариационные параметры Сх не зависят от волновых векторов. Условие нормировки при этом примет форму:

|С0| + N2|Cj| = 1 = n2 + N2m2, где |С0| = n, C0 = ne1<p\ |Cj = m, Cx = mem .

С учётом (10) получим:

(10)

ч

к0 ,к0

9

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №8/2015 ISSN 2410-6070

H = 2 Et(k) + (1 - n 2)AEg~2

^ v^2(1 - n2)l7

Nha (q)

V (q),

(ii)

где 2V(q) = 1 2К(к,k - q)e<(*-Ы + ^(k,k - q)e’(?°^ }.

Условие минимума \H) , т.е. условие, при котором волновая функция у будет волновой функцией

основного состояния, примет вид:

5 / =

дп2 ' 'w

Из (12) получаем:

(H )=-АЕ, - (1 -2" 2)2

^ 4V 2(q)

N ha (q)

(12)

п2 =

' 2у4К1Шл ~v

v q Nha(q)

AEg +2

N ha (q)

4 V 2(q)

q1 N ha(q)

n < 1 при 2 ~> AE

g ’

то есть 1 < N < AEg 12

- 4V 2(q)

1

ha(q)

; да =T72(1 -n ) = N

1

2 4V2 (q) -ae„

4V (q) I q N ha(q)

H

2N22 " 1 q -

N ha(q)

Следовательно, энергия основного состояния с деформированной решёткой 2 E1(k ) — \ 2-------(q)— AEg I меньше энергии 2 E1 (k ) .

у min

2 IY N ha (q)

В этом состоянии параметр

значение и величина смещения щЛ =

Y =

1

2 N12 f (q)\

h 1

vy

C^N ha (q)

-ae :

имеет вещественное

f

2

4V 2(q )

Y

N ha (q)

-AEg также вещественна [7].

, 2NMa V (q)] [ 9

Таким образом, межзонное электрон-фононное взаимодействие может привести к спонтанному нарушению симметрии структуры в соответствии с симметрией нормальных координат колебаний решётки (в случае сегнетоэлектрического перехода нормальные координаты должны соответствовать деформации решётки кристалла дипольного типа) только при условии сильного электрон-фононного взаимодействия

^ V 4V 2(q) ^ \Е 1 э (3) б

— 2 --------> AEg . Это условие выполняется гораздо легче, чем условие, следующее из (3), благодаря

N j ha (q) g J

тому, что множитель 1/N компенсируется суммой по q. При таком переходе не должно наблюдаться уменьшения частоты какой-то моды до нуля и, естественно, переход будет иметь черты перехода первого рода.

Список использованной литературы

1. Смоленский Г.А., Боков В.А. и др. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. М.: Наука, 1971.

2. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Физматгиз, 1964.

3. Гинзбург В.Л. // УФН. 1962. Т. 77. С. 621.

4. Bersuker I.B. // Phys. Let. 1966. V. 20. P. 589.

5. Kristoffel N., Konsin P. // Ferroelectrics. 1974. V. 6, р. 3.

6. Myasnikov E. N., Mastropas Z.P. // Physics of the Solid State. 2010. V. 52, No 3, pp. 599-604.

7. Myasnikov E. N., Mastropas Z.P. // Ukr. J. Phys. 2011. V.56, No.10^. 1030-1036.

© З.П. Мастропас, 2015

10