CC BY
1
Haydarov M. A. Assistent
Andijon qishloq xo'jaligi va agrotexnalogiyalar instituti
KVADRAT TENGLAMALARGA DOIR BA'ZI MASALALARNI YECHISHDA VIET TEOREMASINING O'RNI
Annotatsiya: Maqolada Viet teoremasi va uning tadbiqlari haqidagi muhim tushinchalar keltirib o 'tilgan. Viet teoremasidan foydalanib kvadrat tenglamaning ildizlarini va tenglamada berilgan parametrlarni oson aniqlash bo 'yicha tushunchalar keltirilgan. Shuningdek, keltirilgan tushunchalarning amaliy masalalarga qo 'llanilishi keltirib o 'tilgan.
Kalit so'zlar: Viet teoremasi, ozod xad, kvadrat tenglama, ildiz, yechim, pa, rekkerent qoida, qisqa ko 'paytirish formulasi, ratsional tenglama.
Haydarov M. A. Assistant
Andijan Institute of Agriculture and Agrotechnologies
THE ROLE OF VIET'S THEOREM IN SOLVING SOME PROBLEMS ON QUADRATIC EQUATIONS.
Annotation: The article mentions important concepts about Vieta's theorem and its applications. Ideas for easily determining the roots of a quadratic equation and the parameters given in the equation are presented using Vieta's theorem. Application of the presented concepts to practical issues is also mentioned.
Keywords: Viet's theorem, free function, quadratic equation, root, solution, pa, recurrence rule, short multiplication formula, rational equation.
ax2 + bx + c = 0 tenglamada tenglikning chap va o'ng tomonlarini a ga bo'lamiz natijada quyidagi tenglama hosil bo'ladi:
Butenglamada^ = p va^ = q bo'lsin. Hosil bo'lgan tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:
Bu tenglama keltirilgan kvadrat tenglama deb ataladi. Keltirilgan kvadrat tenglamada birinchi koeffitsiyent doim birga teng bo'ladi.
Masalan: 4x — 3* — 1 = 0 tenglamani keltirilgan kvadrat tenglama ko 'rinishida yozish uchun tenglikning chap va o 'ng tomonlarini 4 ga bo 'lamiz va quyidagiga ega bo'lamiz:
Viyet teoremasi. + px + <7 = 0 keltirilgan kvadrat tenglamaning haqiqiy
ildizlari mavjud bo'lib, ular xx va x2 bo'lsin. Bu ildizlarning yig'indisi tenglamadagi ikkinchi koeffitsiyentning qarama-qarshisiga, ulaming ko'paytmasi esa ozod hadga teng bo'ladi, ya'ni
tengliklar o'rinli bo'ladi.
Masalcin: x2 — 6x + 4: — 0 tenglamaning ildizlari x1 va x2 teng bo 'Isa, x2 + x\ ni toping.
Yechish: Viyet teoremasiga asosan bu tenglamada
munosabatlar o'rinli. Qisqa ko'paytirish formilasiga asosan quyidagini yozish mumkin:
Viyet teoremasiga teskari teorema. Agar x1 va x2 sonlari uchun
munosabatlar bajarilsa, u holda x1 va x2 sonlari x2 + px + q = 0 keltirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'ladi.
Masalan: Ildizlari 2-V2 va 2 + V2 teng bo 'lgan kvadrat tenglama tuzing. Yechish: 2 — ^2 va 2 + V2 sonlari x2 + px + q = 0 ko 'rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo 'Iganligi uchun quyidagi tengliklar o 'rinli:
Demak, izlangan tenglama ko'rinishda bo'ladi.
P(.v) = 0 tenglamada noma'lum sonning darajasi ikkidan katta butun sonlar bo'lsa bunday tenglama yuqori darajali tenglama deyiladi.
Yuqori darajali tenglamalarning ildizlarini topishda yangi o'zgaruvchi kiritish yoki ko'paytuvchilarga ajratish usullari qo'llaniladi.
axA + bx2 + c = 0 tenglama bikvadrat tenglama deb ataladi. Bikvadrat tenglamaning ildizlarini topishda x2 = t yangi o'zgaruvchi kiritilib,
ko'rinishdagi kvadrat tenglama hosil qilinadi.
tL va t2 at2 + bt + c = 0 kvadrat tenglamaning ildilari bo'lsin.
t± > 0 va t2 > 0 bo'lganda ai4 + bx2 + c = 0 bikvadrat tenglama to'rtta haqiqiy ildizga ega bo'ladi va bu ildizlarning yig'indisi nolga teng bo'ladi. x2 = tx => x12 = ±Víí; x2 = t2 x3 4 = ±yt2 .
tx > 0 va t2 = 0 bo'lganda ax4 + bx2 + c = 0 bikvadrat tenglama uchta haqiqiy ildizga ega bo'ladi va ulardan biri nolga tengdir.
X2 = tr
t± > 0 va t2 < 0 bo'lganda ax4 + bx2 + c = 0 bikvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.
t± < 0 va t2 < 0 bo'lganda ax4 + bx2 + c = 0 bikvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi.
t-L = 0 va t2 < 0 bo'lganda ax4 + bx2 + c = 0 bikvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'ladi va bu ildiz nolga teng bo'ladi. x2 = 0 => x = 0;
Masalan: x4 — 10x2 + 9 = 0 tenglamaniyeching. Yechish: bu tenglamada x2 — t belgilash kiritib,
kvadrat tenglamani hosil qilamiz va bu tenglamaning ildizlari = 1 va t2 = 9 ga teng. Topilganlarni belgilashga olib borib qo 'yib, quyidagi ildizlarni aniqlaymiz: x2 = 1 ^ xlr2 = ±1; x2 = 9 ^ x3A = ±3 .
Ba'zi yuqori darajali tenglamalarda ma'lum algebraik ifodani yangi o'zgaruvchi bilan belgilab olish mumkin va kvadrat tenglama ko'rinishiga o'tib olinadi.
Masalan: x2
x*■ X
Yechish: bu tenglamada 2
i"-
0 tenglamaning ildizlari yig 'indisini toping.
ekanligidan, tenglamani quyidagi ko 'rinishda yozish mumkin:
Hosil bo 'Igan tenglamada x — - = t yangi o 'zgaruvchi kiritilib, 20 = 0
t2 + t
kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning ildizlari t± = — 5 va t2 = 4 ni aniqlab, belgilashga olib borib qo 'yamiz va quyidagi kvadrat tenglamalarni hosil qilamiz:
Hosil qilingan kvadrat tenglamalarning ikkisi ham yechimga ega, shuning uchun
Viyet teoremasiga asosan tenglama ildizlari yig 'indisi quyidagiga tengdir:
Ba'zi yuqori darajali tenglamalarda ko'paytuvchilarga ajratish usulidan foydalanish mumkin.
Masalan: x + 9x +23x+13 = —2 tenglamaning barcha haqiqiy ildizlari yig 'indisini toping.
Yechish: bu tenglamani quyidagi ko 'rinishda yozib olamiz: x3 + 9x2 +23x + 15 = 0 .
Endi о 'ng chap tomondagi ifodani ко 'paytuvchilarga ajratamiz:
Adabiyotlar
1. F.Rajabov va boshq. "Oliy matematika", Toshkent"O'zbekiston" 2007 yil. 400 b.
2. R.Jo'raqulov, S.Akbarov, D.Toshpo'latov, Matematika, darslik, Toshkent, 2022
3. Haydarov M. Differentsial-funktsional tenglamalar. "Экономика и социум" №12(115) 2023.
4. Haydarov M. Bruvy qatori yordamida bir jinsli o'zgarmas koeffitsientli differentsial-funktsional tenglamalarni yechish. Xorazm ma'mun akademiyasi axborotnomasi -2-1/2024, 190 b.
5. F.-m. f.n.,dotsent Djuraqulov R., Assistent Haydarov M.A. Matematika o'qitish metodikasining ayrim masalalariga doir.
