CC BY
91
, AC2 + 4BH2
l =--arccos(1 - -
8BH
AC2
-) -
ж
2
Uc 2 + 4BH 2V' 180 с
v 8BH J 32BH2 • AC2
(AC2 + 4BH 2)2) ^ 180
, AC2 + 4BH2
l =--arccos(1 -
8BH
Подставим ВН=1,2м и АС=5м.
, 25 + 4 • 1,44 „ 32 • 1,44 • 25 Л ж l =--arccos(1---) •
ж
8 • 1,2
(25 + 4 • 1,44) 180с
l = 5,73 м
Для выполнения этого проекта необходимо знать: формулу длины дуги, формулы площадей треугольников, теорему Пифагора, теорему косинусов, определение арккосинуса числа, как осуществляется перевод градусной меры угла в радианную. В качестве других объектов, рассчитанных по этой формуле можно выбрать (рис.5):
о
Рис. 5
Использование метода проектов в образовательном процессе обучения математике способствует:
- развитию познавательного интереса к математике за счет реализации межпредметных связей;
- созданию устойчивых мотивов изучения стереометрических понятий на уровне представлений и обобщенных представлений;
- повышению уровня осознанности учащимися профессиональных училищ теоретических знаний по геометрии с точки зрения профессиональной направленности;
- интеграции профессиональных и математических знаний, которые могут положительно влиять на формирование профессиональной компетентности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вербицкий А.А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения. М.: ИЦ ПКПС.-2004.-84с.
2. Дорибидонтова А.А., Макарченко М.Г. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. 2009.
С.И. Дяченко
КУРС ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДСТВО ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА
Обратимся к проблеме соотношения истории математики как науки и как учебного предмета. История математики как самостоятельная наука начала формироваться в XVIII веке. Но это не означает, что до этого ученые не ощущали потребность в исторических исследованиях науки. Можно выделить следующие предпосылки для возникновения истории математики как науки:
■ античные историки науки, ученые средневековья, знакомясь с методами и результатами предшественников, сохраняли научные традиции, что важно с точки зрения оказания влияния математики на последующие эпохи;
■ возникновение научных сообществ: госучреждения (академии, университеты); общества любителей науки, важны для становления истории математики, т.к. с них началась практика составления обзоров, исторических исследований математических тематик того или иного периода;
■ классические научные произведения содержат исторические главы или экскурсы;
■ обзорные доклады ученых-математиков о достижениях в той или иной области математики.
Причем значение истории математики для развития математики со временем все больше возрастает. В настоящее время невозможно представить работу математика без изучения истории развития той области, которой он занимается.
В современных условиях история математики как наука исторического ряда относится к гуманитарным наукам, поэтому использует не сравнительные, а абсолютные категории (временной ряд «было - есть - будет», пространственные характеристики «здесь - там»), тяготеет к чистым описаниям, обсуждает прошлое с точки зрения настоящего. Исторические науки заняты конкретными, специфическими событиями и их объяснением [2]. Поскольку исторические науки описывают изучаемые объекты в системе абсолютных категорий, истолковывают мир как становление, постоянно порождающее новое, то они не формулируют научных законов, все это относится к истории математики как исторической науке. Но, с другой стороны, ряд современных математиков, подтверждая тезис о том, что история математики - историческая наука, дополняют его тем, что она одновременно является и дисциплиной математической. «В наше время основной ее задачей должно считаться выяснение закономерностей возникновения и развития математических идей. Естественно, что в таком плане историей математики более успешно могут заниматься лица, обладающие, помимо специальной математической подготовки, опытом самостоятельной работы в науке. До некоторой степени это уже подтверждено ходом дела, и вот примеры: Ф. Клейн, с его интересным, хотя и несколько субъективным обзором математики XIX столетия, Нейгебауер, с его превосходными исследованиями математики древнего мира, Стройк, с небольшим, но увлекательным и в идейном отношении превосходным кратким курсом истории математики, А.Н. Колмогоров, с его большим и глубоким обзором истории математики, Ван дер Варден, с книгой «Пробуждающаяся наука» [1, 76].
В различные эпохи при изучении закономерностей развития математики исторический и математический контексты находились в различных отношениях. В современных условиях усиливаются математические элементы, но, несмотря на это, по-прежнему эта наука не устанавливает научных законов. Представления историков о прошлом постоянно изменяются в силу изменения истолкования настоящего. Поэтому современное развитие математики как науки оказывает влияние на изменение отношения к истории математики. На первых этапах развития истории математики преобладал описательный характер, основное содержание историко-математических сочинений - биографии ученых, пересказ и сравнительная оценка математических результатов. Но значение, роль и предмет исследования истории математики как науки о становлении постепенно изменяется и усиливается.
В настоящее время значение и роль истории математики как науки определяются следующими направлениями:
■ описание и осмысление исторического пути математики (биографии ученых; пересказ и оценка математических результатов);
■ выяснение закономерностей возникновения и развития математических идей;
■ ослабление вредного воздействия узкой специализации математики в настоящее время; история математики дает представление об основных направлениях исследований, о тенденциях развития и проблемах математики;
■ содействие рациональному использованию математического материала для применения в науке и в практике;
■ «локальные» знания - каждый математик изучает историю того вопроса, которой он занимается, т.е. каждый новый шаг в математике требует исторического подхода;
■ связь с историей мышления; анализ процесса математического творчества;
■ совершенствование математического образования в школе и вузе.
Помимо традиционного взгляда на значение истории математики для самой математики, история математики дает возможности и для изучения развития общества, для философии науки и общего образования. Например, возникает возможность рассмотреть вопросы, связанные как с генезисом мышления человека, так и со стилем научного мышления определенного исторического периода, со сравнительным анализом западного мышления и восточного мышления в определенные эпохи. Например, считается, что метод западного мышления анатомичен, т.е. явление расщепляется на элементы и изучается их связь между собой, а мир воспринимается как неживой объект для препарирования. Для восточного мышления характерно следующее: путем самосовершенствования можно достичь такого состояния сознания, когда подключаешься к информационно-энергетическому полю Земли и получаешь готовую информацию без всяких устройств, а мир -живой, человек как часть мира через ощущение осуществляет познание. Эту сравнительную характеристику возможно рассмотреть при изучении особенностей математики Древней Индии. Кроме того, при изучении математики Древнего Египта и Древней Индии появляется возможность знакомства с мнением историков по поводу деления всех знаний древности на экзотерические и эзотерические.
Рассмотрение математики исламского Востока после упадка Древней Греции позволяет даже сравнить особенности женского и мужского мышления путем сравнения математических идей, заложенных в алгебре и геометрии. Исходя из четырех стихий: огонь, вода, воздух, земля; по мнению мудрецов древности на Западе господствует стихия огня, в странах Арабского Востока - стихия воды. Стихия воды, соответствующая женскому началу, женскому типу восприятия и мышления, находит отражение в основной идее алгебры: составление уравнения и произведение определенных действий над уравнением, в результате, чего удается определить неизвестное. Так же действует женщина, сталкиваясь с экстремальной ситуацией: она сначала действует по интуиции, а затем выясняет, что получилось. В геометрии заложен мужской пифагорейский принцип огня -мужчина сначала осмысливает ситуацию, а затем действует. Это не означает, что женский тип мышления присущ женщинам. Так одни философы, обладающие мужским стилем мышления, искали метод достижения достоверного знания (например, Аристотель), а итальянские мыслители XVI века, считается, обладали женским стилем мышления; Бертран Рассел, развивший математическую логику, считал: «Философия учит нас, как жить без уверенности и в то же время не быть парализованным неопределенностью».
Итак, история математики дает возможности для изучения истории мышления, в которой выделяются пять основных периодов развития, соответствующих главным этапам развития общества. Стили мышления, последовательно сменявшие друг друга, вполне соответствуют периодизации развития математики: первобытный стиль мышления, древний (или античный) стиль мышления, средневековый стиль мышления, стиль мышления Нового времени и современный стиль мышления.
Курс истории математики как научная дисциплина должен включать исследование следующих элементов:
- связь развития математики с общим развитием цивилизации (краткая характеристика соответствующего исторического периода);
- влияние организационных мероприятий внутри отдельных государств на уровень математических знаний, реорганизация системы образования конкретной страны приводили к росту ее математических достижений;
- вклад математиков в мировую культуру;
- развитие математических понятий, идей и методов;
- изменение представлений о математике и изучение факторов влияющих на эти представления.
Изучение истории математики позволяет выделить общие принципы развития наук, определить внешние и внутренние факторы развития научных теорий. Любая наука находится в процессе постоянного развития. В науке существует преемственность идей, новые научные теории возникают в результате критики прежних теорий. С другой стороны, наука существует в определенном социальном контексте и испытывает постоянное влияние со стороны культуры того общества, в рамках
которого она развивается, но не каждое научное достижение есть ответ на назревшую социальную потребность. «История науки при описании развития науки должна соединять влияние культуры на науку с филиацией научных идей, последовательным продолжением того, что говорилось в конкретных областях знаний на предшествующих стадиях их развития» [2, 149].
Одна из самых сложных проблем философии науки - это революционный переход от старой теории к новой. Примером научной революции можно считать появление неевклидовой геометрии. Как заметил М. Планк: новая научная истина прокладывает дорогу к триумфу не посредством убеждения оппонентов и принуждения их видеть мир в новом свете, а скорее потому, что ее оппоненты рано или поздно умирают и вырастает новое поколение, которое привыкло к ней. Иногда эту идею понимания процесса принятия новой научной теории называют «принципом Планка». «Стиль мышления почти не осознается той эпохой, в которой он господствует, и подвергается определенному осмыслению и критике только в последующие эпохи. Переход от стиля мышления одной эпохи к стилю мышления другой, и значит, от одного общего типа объективности к другому, является стихийно-историческим процессом, занимающим довольно длительный период» [2, 157].
Выделяют следующие подходы ([3]) к изложению истории математики как научной дисциплины:
■ по «горизонтали», в хронологическом порядке - через биографии математиков;
■ по «вертикали» - история развития понятий, идей, методов, разделов.
Использование элементов истории математики в школьном курсе не вызывает сомнения. Начиная с 60-х годов XX века, сторонники исторического подхода к изучению математики обосновывают возможность, целесообразность и необходимость введения историко-математического материала в школьный курс математики. В связи с этим возрастают требования к уровню профессиональной подготовке в данной области к будущему учителю математики. Поэтому постановка курса истории математики в педвузе является важной с профессиональной точки зрения. Преподавание истории математики в высшей школе имело разные особенности, и исторически эта проблема решалась по-разному. Первыми систематическими курсами по истории математики были:
■ в Западной Европе - курсы профессоров Кантора, Манзиона, Фаваро;
■ курсы университетов Европы в конце 70-х - начале 80-х г.г. XIX века (обязательные и факультативные). Не было учебников по истории математики, мало специалистов, поэтому программы были подробными, представляли собой набор лекций;
■ в России - курс по истории физико-математических наук - П.Л. Лавров;
■ в России - курс по истории математики - В.В. Бобынин.
Начиная с XIX века, предлагались следующие варианты построения курса истории математики в вузе:
- линейное построение курса - развитие всей математики в хронологической последовательности (программа Г.Энестрема, послереволюционные программы университетов);
- тематическое построение - последовательное изложение истории развития отдельных понятий или теорий (программы В.В. Бобынина; К.А. Рыбникова);
- комбинированный подход - общий обзор основных периодов развития математики, затем рассматривается история формирования и развития основных понятий, теорий и методов (программа Д. Смита, факультативные курсы для пединститутов);
- курсы, посвященные деятельности отдельных математических школ или ученых;
- линейное или тематическое построение с выделением методологических проблем математики (программа Белградского университета, программа К.А. Рыбникова).
В настоящее время проблемам методологического характера при изложении истории математики в вузе уделяется первостепенное значение. Выделены критерии отбора содержания курса истории математики в педвузе [4]:
■ методологическая направленность;
■ общекультурная направленность;
■ профессионально-педагогическая направленность;
■ согласованность тематики с программами математических дисциплин педвуза;
■ минимизация.
Методологическая направленность курса истории математики позволяет решить вопросы, связанные с проблемой предмета и места математики в системе наук, с основными тенденциями и закономерностями развития математики, с проблемой периодизации математики и философскими проблемами, касающихся оснований математики. У студентов должно сложиться понимание исторической обусловленности структуры и содержания современной математики.
Общекультурная направленность истории математики предполагает, что в содержании образования должен войти материал, показывающий связь прогресса математики с развитием культуры и человеческой цивилизации.
Профессионально-педагогическая направленность курса истории математики определяет включение в содержание такого материала, чтобы студенты увидели роль и место историко-математических сведений в школе и возможностей использования этого материала в будущей профессиональной деятельности. Кроме того, возникает возможность знакомства с педагогическими взглядами выдающихся математиков прошлого и современных математиков.
В содержание курса истории математики должны быть включены вопросы, связанные с историей развития основных разделов классической высшей математики и элементарной математики, которые входят в предметную подготовку студентов педвуза. Каждый математический курс открывает перед будущим школьным учителем целый мир понятий и результатов, которые необходимо пропустить через призму их появления и развития.
Критерий минимизации требует тщательного отбора содержания курса истории математики необходимого минимума информации в силу ограничения во времени при большой смысловой нагрузке.
Выделенные критерии позволяют отобрать содержание курса истории математики, направленное на формирование профессиональной компетентности будущего учителя математики:
- свободное оперирование историко-математическими фактами, расширение историко-математического
кругозора;
- овладение методологическими знаниями по истории науки;
- способность использовать историко-математические знания в новых ситуациях (педагогических, методических, учебных ситуациях);
- способность проектировать учебное содержание для обучения учащихся.
Средствами учебного предмета - история математики - формируются следующие методологические знания:
- изменение предмета математики в историческом процессе и факторы, влияющие на эти изменения;
- место математики в системе наук;
- основные тенденции и закономерности развития математики;
- периодизация развития математики;
- внутреннее строение математики;
- характер взаимосвязей различных математических дисциплин;
- философские проблемы основания математики;
- математизация научного знания и практической деятельности;
- основные современные направления развития математики.
Сочетание в истории математике как науке исторического и математического контекстов накладывает отпечаток на особенности истории математики как учебного предмета. В педагогических вузах история математики занимает двойственное положение: с одной стороны, это общеобразовательная дисциплина, расширяющая кругозор специалиста в общекультурной области; с другой стороны, это интегрирующая, систематизирующая дисциплина после изучения специальных и предметных дисциплин. Поэтому данную дисциплину целесообразно изучать на старших курсах. Студенты, изучившие курс математического анализа, способны провести сравнительный анализ теории «флюксий» Ньютона и теории «анализ бесконечно малых» Лейбница. Студенты, изучившие аналитическую геометрию, векторную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, теорию вероятностей и математическую статистику, способны осознанно проследить историю математических понятий и идей, их происхождение и развитие; способны оценить значимость Международных конгрессов математиков, особенно, уникальное значение доклада Гильберта «Математические проблемы» для математики и истории математики.
Следует отметить еще одну особенность современного курса истории математики. В методологии истории математики важное значение имеет периодизация развития математики, предложенная А.Н. Колмогоровым:
I период - зарождение математики (предыстория математики и эпоха накопления первых ма-
тематических знаний);
II период - математика постоянных величин;
III период - математика переменных величин;
IV период - современная математика.
Каждый из периодов развития математики имеет приоритет при изучении математики в школе и вузе: начальная школа - I период; средняя школа - II период и частично III период; бакалавр - III период; магистр - IY период. Конечно, это деление условно, но оно позволяет выделить приоритет в изучении истории математики в педвузе. Критерий минимизации (ограничение во времени при большой смысловой нагрузке) при отборе содержания курса истории математики предполагает выделение необходимого минимума информации и приоритет тех или иных истори-ко-математических сведений для тех или иных студентов: для специалистов - будущих учителей математики - приоритет имеют первые два периода; для бакалавров - третий период; для магистров - четвертый.
Итак, целесообразность изучения истории математики в педагогическом вузе и необходимость сообщения соответствующих исторических сведений при обучении математике в школе не вызывает сомнения. Свободное оперирование историко-математическими фактами и широкий историко-математический кругозор характеризуют базовый уровень профессиональной компетентности учителя математики, основу которого составляют фактологические знания. Включение в содержание курса истории математики методологического материала как средства усиления фундаментальности образования способствует созданию условий для применения полученных знаний в различных ситуациях, создает предпосылки для использования историко-математических знаний при проектировании учебного содержания для школьников. Формируются все виды знаний в области истории математики: фактологические, методологические и технологические, с учетом сочетания образовательной и профессиональной ориентации студентов при изучении этого курса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.
2. Ивин А.А. Философия науки: учеб. пособие для аспирантов и соискателей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 264 с.
3. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 648 с.
4. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализация в педагогическом вузе: автореф. дис. ... канд. пед. наук. СПб., 1998.
Е.А. Корнилова, М.Г. Макарченко
ИЗУЧЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ТЕРМИНА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ» С ПОМОЩЬЮ МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
В курсе «теория и методика обучения математике» изучается один из важнейших разделов «Определение математических понятий и методика их изучения». Его изучение начинается с введения терминов «понятие», «содержание понятия» и «объем понятия». Логически грамотное изучение содержаний этих основополагающих понятий создает необходимый уровень мотивации изучения не только указанных понятий, но и всему разделу.
В данной статье приведен вариант методико-математических заданий, направленных на мотивацию и смысловое изучение указанных понятий. К каждому заданию указано его целевое предназначение, приведен текст задания и примерный ответ к нему.
Целью задания 1 является мотивация читающего на необходимость изучения термина «понятие».
