Кумулянтный анализ случайной погрешности одного класса нелинейных измерительных преобразователей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Кузнецов Б.Ф. УДК 519.21

КУМУЛЯНТНЫЙ АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Анализ погрешности является одной из основных задач при проектировании и эксплуатации измерительных приборов и систем. Точный анализ погрешности измерений является достаточно сложной задачей в силу множества причин и сложности процессов обуславливающих появления погрешности. Особую сложность представляет случай, когда статическая характеристика первичного измерительного преобразователя нелинейная. В этом случае в состав измерительного канала включается линеаризатор, функцию которого, как правило, выполняет нормирующий преобразователь.

Очевидно, что функция нелинейности первичного преобразователя /(х) должна быть би-екцией. Функция /: X ^ У называться биекцией (и обозначается /: X У) если она [1]:

1. Обладает свойством инъективности:

е X, е X / (х) = /(^) ^ ^ = ^ (1.1)

2. Обладает свойством сюръективности:

Уу еУ, Зх е X /(х) = у. (1.2)

Другими словами, биекция это функция, для которой существует обратная функция:

у = / (х)о х = /-1 (у), или (2)

/ о = 1ёу, /-1 о / = ы X

где о - композиция функций, Ыу ,1dx - тождественные отображения на X и У соответственно.

Таким образом, идеальный измерительный канал математически будет определяться парой

преобразований /(х)= у и /_1 (у) = х, в дальнейшем будем обозначать через х - измеряемую величину. В реальных условиях, при наличии внешних влияющих факторов, (внутренних шумов и нестабильности параметров компонентов изме-

рительного канала и т.д.) приводит к появлению погрешности в результатах измерений.

Рассмотрим случай, когда погрешность £ возникает на промежуточном этапе преобразования - между первичным преобразователем и нормирующим, тогда уравнение измерительного преобразования в общем виде:

у = /-1 (/ (х) + £) , (4)

где у - результат измерений.

Наиболее общим подходом к анализу погрешностей является представление х и £ случайными величинами с известными плотностями распределения вероятностей ^(х) и ^(£) соответственно. При наличии статистической связи исчерпывающие описание может быть представлено совместной плотностью ^ (х,£) . Параметры

распределения могут быть заданы либо моментами (моментное представление) либо кумулянтами (кумулянтное представление). Совместная плотность при кумулянтом представлении может быть записана в следующем виде:

х х х £ £ £

х,£-, Х1 , Х2 , Х3 Х1 , Х2 , Х3

Хх,£ Хх,£ Хх,£ Хх,£ Хх,£ Хх,£ )

А1,2 >А1,2 >А1,3 2,ПЛ2,^Л2,3 •••)>

или w(х,£, ч), где хкх = Хк£ - собственные кумулянты случайной величины х (аналогично для £), Хы - совместные кумулянты порядка п = к +1, ч - матрица кумулянт.

Прежде чем перейти к рассмотрению случая (4) введем понятие действительного (реального) и требуемого (идеального) измерительного преобразования (рис. 1). Действительное преобразование

определяется (4), требуемое у = /-1 (/(х)) согласно (2) тождественно отображает х в х. Однако такой подход не является избыточным, так как

Рис. 1. Измерительное преобразование

позволяет несколько облегчит получение некоторых расчетных формул. Несложно заметить, что схему преобразования можно упростить, как это сделано на втором изображении рис. 1.

Общий алгоритм анализа погрешности для случая (4) состоит из следующих шагов:

1. Нахождение кумулянт х* случайной величины * = I (х) и совместных кумулянт хПХ'т

при наличии статистической связи между X и ^.

2. Нахождение кумулянт суммы случайных величин г = * + ^ и совместных кумулянт х£т

3. Нахождение кумулянт случайной величины у = I 1 (2) на выходе измерительного преоб-

X, у п,т

Общее уравнение измерительного преобразования с учетом погрешности для случая (5) будет иметь вид:

разователя и совместных кумулянт х

4. Определение кумулянт хА погрешности

преобразования А.

Рассмотрим метод анализа погрешности для случая (4) на классе показательных функций. Выбор позволяет охватить широкий класс измерительных приборов, в частности приборы, основанные на абсорбционно-оптическом методе (закон Бугера - Ламберта - Бера), радиоизотопные плотномеры (уровнемеры, толщиномеры), аэрозольно -ионизационные газоанализаторы и др. Для данного класса преобразователей их статическая характеристика может быть записана в виде:

* = а ехр (-Ьх), (5)

где а, Ь - коэффициенты определяемые методом измерения и конструктивными параметрами прибора, х - как и ранее измеряемая величина. Несложно построить обратную функцию для (5):

х = -Ь 11п (а ) . Следует отметить, что (5) есть

биективная функция только в □ + =(0, «), однако, это не накладывает ограничений на дальнейшие рассуждения, поскольку физически реализуемое а е □ +.

У =

1'п ( 1 (

ае Ьх +

а

«)).

Измеряемая величина и величина обуславливающая погрешность описывается матрицей кумулянт ч, в некоторых случаев, для упрощения

выкладок будем принимать что х и ^ имеют совместное гауссово распределение и описываются матрицей вида:

(6)

I шаг алгоритма. Найдем выражение для первого кумулянта случайной величины * использую равенство:

' " (7)

0 х0,'/ х0,2

ч = Л 1,0 0

X 2,0 0 0

X* I (х)),

здесь аП - начальный момент порядка п, среднее

значение от функции находим как решение дифференциального уравнения [2]:

й

¿х*

а~ьх)=т!

т! \ йх*

■ае

-Ьх

-Ь*

*!

(ае~Ьх), (8)

в соответствии с [2] и с учетом (7):

* (*(-ь ) ххл

х1 = аехР —— . *=1 *!

для случая (6):

х1 =аехр

гь2х!

л

- Ьхх

В дальнейшем ^ ^ будут обозначать как

моментные скобки, так и кумулянтные скобки, отличие заключается в знаке, разделяющем заключенные в нем переменные: - куму-

лянтная скобка, - моментная скобка.

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

Кумулянт второго порядка определим на ос- Полученное выражение (10) позволяет стро-

нове соотношения: ить уравнение для кумулянта любого порядка на

Х2Я =(/(х),/(х)Н/(х)-/(х)) + (/(х)Х/(х)), (9) основе выражения для 5 > 2 [3]:

учетом того, что (х) - /(х) = ^а2е 2Ьх^,

(/ (х))(/ (х)) = а2 ехр

5=1

(-ъ) Хл

5!

х2 = а 2

( (»(-2Ъ ) Л 2"-7-Х

ехр

V V

5 !

ехр

х "

5 !

/У

Х3З = а

(

-3ехр

ехр

v v

5

X

5=1

5!

2ЦТ ХХ +2^ Х

5=1

5!

5=1

5!

+ 2ехр

( ^ (-Ъ) ^

з2L-L хх

х4 = а

( -

V

( (

ехр

v v

5=1

5!

уу

5=1

5!

-4ехр

1(=3Ъ) Xх+¿1^ хХ

5=1

5!

5!

(

- 3ехр

( „

5=1

, лл

22^ X

5=1

5!

уу

+12ехр

¿Ш! Xх + Xх

5=1

5!

5=1

5!

- 6ехр

( - (-Ъ)5 ^

5=1

5!

Несложно заметить, что:

уЛ п (2 (-Ъп у Xх Л с) )=а ехр 2 ,!

(-Ъ ) X

5=1

п

(У (х ))" = ап ехр

или объединяя

(/(хУ)" = (<)п = ап+т ехр (10)

2

у

х л

5=1

2

5=1

5!

(-Ът)5 Хх

5 !

X, =а, + 5

5га,- 2 а ■

к 5-к+1

5-к+2

1

к=2

5, =1 51!

5к =1 5к !

5. +5,----+5к = 5>2

и применив (10),

( ( " (-Ъп)т XЛ

Х5 = а

ехр

V

2-

т=1

Кумулянты следующих порядков находятся по аналогичной процедуре:

( ( „ / „ л

v

5-к+1 1

x 2 —-ехр

.=1

+ *! 2

т! У к=2

(2 (-Ът) хх л

(-1)

5=1 ■ 5-к+2 1

т=1

т!

(

•■• 2

5к =1 5к

ехр

2

т=1

(-Ът ) X

л

т!

51+52 —+5к = 5>2

Нахождение совместных кумулянт при нелинейном преобразовании при произвольных распределениях полезного шумового сигналов достаточно сложное, что не позволяет его рассмотреть в рамках статьи в полном объеме. Поэтому ограничимся допущением (6). Поскольку для гауссова совместного распределения понятие корреляции и статистической зависимости совпадают, решение задачи будет представлять разложение по степеням ковариации Вх £. Обозначим функцию

: х, £ I—^ у, £ (заметим, что в нашем случае

Е(х,£) можно представить в виде /1 : х — g,

/2 : £ — £ ), тогда для гауссового случая [2]:

л

(Е (х£)) = 2 А (*£',

5=0

где А =( /()(х )}( /()(£)},

(11)

из данного выражения легко получить искомое разложение (принимаем во внимание, что для

/2(5) (£) существует только первая производная):

Хп£ = -аЪ ехр

■Х--Ъххо£

Л

А1,1 '

(х £ х х £ х \ Х1,0 = Х1 , Х2,0 = х2 ) ,

в рассматриваемом частном случае существует только совместный кумулянт второго порядка, кумулятны более высоких порядков будут равны нулю.

II шаг алгоритма. Следующим шагом алгоритма является нахождение кумулятн суммы слу-

с

а

чайных величин z = g + £, которые находятся как [2]:

Xk = 2 Ck Хк-1,1 •

l=0

Для случая (6) формулу суммирования кумулянт можно упростить:

Xg + x7 + 2Xg\ пРи k = 2

Xk = I £ •

X +Xkk ПРи k * 2

Теперь найденные кумулянты позволяют определить совместные кумулянты величин z и g, данная задача решается достаточно тривиально для случая (6) на основе свойств кумулянтных скобок:

(g, z)=( g, g+£)=( g, g> +( g, ^,

,z — nsg + Vg

III шаг алгоритма. Следующим шагом алгоритма является нахождение кумулятн выходной величины y • Нахождение среднего значения от логарифма через простое решение дифференциального уравнения, как это было сделано для экспоненты (8), не представляется возможным. В связи с этим воспользуемся формулой среднего от произвольной функции [2]:

(/(У ))=f «У> )+2* f "Ks'«y) )•

s=2 Л !

в результате применение приведенной формулы получим:

f Л

1

х- =<-(a

ztsm* -,„

/ \s ' s

s=2 (хУ) s!

(xX ^

v а У

Полученное выражение представляет собой разложение кумулянт выходной величины по центральным моментам ¿иу порядка т входной величины. Центральный момент порядка т , (* > 4) выражается в терминах кумулянт соотношением

[3]:

[*/2] 1 п-2к+2 1 п-2к+2

1

* =xs + s! 2 77 2 "Г Xs, ■■■ 2 —! X

k=2 k ! s. =2 s1!

sk =2 Sk !

+*2---+*к=*>4

где [п/2] - целая часть числа п/2 .

Для кумулянта второго порядка по аналогии

с (9):

xZ f-1 (у ), f -1 (у })-{f -1 (у )• f-1 (у })+( f -1 (у })( f -1 (у )

(f -1 (у) f -1 (у }) =

* ds

■In

- In

а

v а У

^*=2 йх ^"Ух=х( у у

кумулянты высших порядков строятся по аналогии с методикой использованной на первом шаге алгоритма. В полученном выше выражении возникают сложности для вывода уравнения производной квадрата логарифма в общем виде (далее потребуются более высокие порядки), однако это не снижает ценности предлагаемого метода т.к. эта задача может быть достаточно просто реализована алгоритмическим путем (в виде программы).

Для выполнения последней операции А = х - у необходимо определить совместные кумулянты операндов, как и в случае (11), и с учетом, что функции идентичны (рис. 1):

^ 1 . XУ=2 Ч f "1(

=1 s!

s =1

1(s'( z ))(г ))

-1(s),

(z) имеет все произ-

поскольку функция

водные, то х11У будет раскладываться в бесконечный ряд по степеням х*12 :

(

xy,x = — Xu = b2

2

s=2

f

(-1)' (XZ )Ss!

* Z" X1

2

s=2

(-1)S

'l (xg У s!

*

ss Гs xg

Xx\ +

+ -

^(-1 - s )

s=2

(xZ )s!

X1

2

s=2

1

(-1 - s )

-, *

(xg У s! x1

Л

X )2 к,

где (-1- * )* - символ Похгаммера.

IV шаг алгоритма. Этот шаг алгоритма заключается в вычислении кумулянт погрешности измерительного преобразования:

Xk = 2(-1)'CkXk-i ,i

l=0

2

1

1

X

1

1

x

4

b

х

k

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

На этом шаге процесс анализа можно считать завершенным.

Полученный результат позволяет решить не только задачу минимум - определение дисперсии погрешности, но и дает информацию о законе распределения. В данном плане продуктивным является использовать понятие модельного распределения п -го порядка [2]. Так оборвав ряд кумулянт при п = 4, получаем эксцессное приближение в виде ряда Эджворта по производным гауссовой плотности [2]:

/ л ч3к+4// А\к/ аУ (-1) (*з)(*а) /1Ч3к+4/

оо о I — I

w

(д)=22

SS (3!)k (4!)lk !l!

/ l\3

w (А)

Точность вычисления конечных кумулянт зависит от числа сохраняемых членов ряда в промежуточных вычислениях. Следует отметить, что рассмотренный в данной работе пример является

одним из наиболее сложных случаев, т.к. /(х)

имеет все производные и соответственно порождает бесконечные ряды при нахождении кумулянт.

Но даже в этом случае можно добиться весьма высокой точности вычисления при наличии соответствующего программного обеспечения. Если рассматривать, например степенные функции, то получаемые ряды будут конечны, и получаемые выражения более просты.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Верещагин, Н. К. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств / Н. К. Верещагин, А. Шень. - 2-е изд., испр. - М. : Изд-во МЦНМО, 2002. - Ч. 1.

- 128 с. - ISBN 5-900916-36-7.

2. Малахов, А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований / А. Н. Малахов. - М. : «Сов. Радио», 1978.

- 376 с.

3. Федорченко, В. А. Теория многомерных распределений / В. А. Федорченко. - М. : Русь, 2003. - 578 с. - ISBN 5-89655-021-9.

Гоппе Г.Г., Луконин А.А.

УДК 621.365.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ОТЖИГА В ПРОИЗВОДСТВЕ АЛЮМИНИЕВОЙ ПРОВОЛОКИ

Алюминиевая проволока малых диаметров (до 5 мм) применяется в качестве токоведущих жил при производстве проводов и кабелей, различных марок. Проволока получается холодным волочением через твердосплавные волоки на станах однократного и многократного действия. В процессе волочения металл проволоки получает многократные нарушения кристаллической решетки, в результате чего возрастает его временное сопротивление и уменьшается относительное удлинение. Для получения заданных физико-механических свойств проволоки применяется рекристаллизационный отжиг при температуре 250°С. Наиболее эффективны те способы нагрева, которые допускают совмещение процесса отжига с основной операцией в производстве кабельных изделий - наложение изоляции.

Индукционный высокочастотный нагрев металлов широко применяется в промышленно-

сти. Однако установки высокочастотного нагрева тонкой движущейся проволоки из цветных металлов (алюминий, медь) трудно выполнимы конструктивно, а их энергетические показатели весьма низки. Лучшие показатели в данных условиях дают низкочастотные установки (рис.1) на основе индуктора с обмоткой на замкнутом ферромагнитном сердечнике, свободный стержень которого огибает нагреваемый участок проволоки, образующий замкнутый контур с помощью отклоняющих роликов [1,2].

Условием совмещения отжига и наложения изоляции в едином технологическом процессе является наличие непрерывного контроля качества отжига, исключающего выпуск бракованной продукции. Отсутствие устройств, предназначенных для непосредственного измерения качества отжига, вынуждает применять измерение параметров, косвенно связанных с процессом отжига (ток, на-