Кубатурные формулы, инвариантные относительно групп преобразований многогранников Госсета Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 519.644

КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОГОГРАННИКОВ ГОССЕТА

Э.А. Шамсиев

Ташкентский государственный технический университет E-mail: [email protected]

Построены кубатурные формулы для шестимерного, семимерного и восьмимерного шара, инвариантные относительно групп преобразований многогранников Госсета. Числа узлов полученных формул минимальны или близки к ним.

Пусть О конечная подгруппа группы всех ортогональных преобразований О(п) евклидова пространства Я' в себя. Характерным свойством ортогонального преобразования является сохранение длины векторов.

Область а^Яп и функция ф(х), заданная в Я', называются инвариантными относительно преобразований группы О, если и ф(^с)=ф(х) для любого ge О. Совокупность точек вида ga, где а -фиксированная точка Я', g пробегает все элементы группы О, называется орбитой или О-орбитой, содержащей точку, и обозначается |О(а)|. Количество точек орбиты зависит от точки а.

Формула

| р(х)/(х)йх С/(х(;)) (1)

а ;=1

называется инвариантной кубатурной формулой относительно О, если область интегрирования а и весовая функция р(х) инварианты относительно О, и совокупность узлов формулы (1) представляет собой объединение О-орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопоставляются одинаковые коэффициенты.

Рассмотрим последовательность функций {ф;(х)|™ь заданных в ОсЯ", и таких, что существуют интегралы

|р (х)ф1 (х)ёх, I = 1,2,...

а

Обозначим через \ вещественное векторное пространство функций - линейную оболочку пер-

вых М функций последовательности. Предположим, что векторное пространство \ инвариантно относительно группы О: для любой фв\ имеем \при всех ge О.

Имеет место следующее утверждение [1].

Теорема 1. Для того чтобы кубатурная формула (1), инвариантная относительно преобразований группы О, была точна для всех функций конечномерного векторного пространства Т, инвариантного относительно О, необходимо и достаточно; чтобы она была точна для тех функций из Т, которые инварианты относительно О.

Обычно в качестве группы О используются группы преобразований правильных многогранников (в Я2-группы преобразований правильных многоугольников). Это связано, во первых, тем обстоятельством, что упомянутые группы имеют, как правило, больший порядок по сравнению с группами одинаковой размерности, что уменьшает число инвариантных многочленов, относительно которых кубатурная формула должна быть точна. Во вторых, существенно упрощается выбор узлов, так как центры ^-мерных граней (&=0,1,2,...,п-1) образуют О-орбиты. Аналогичными свойствами обладают точки, равноудаленные от вершин многогранника и лежащие на ребрах, биссектрисах двумерных граней и т. д.

Но в отдельных пространствах существуют группы, которые имеют больший порядок, чем соответствующие группы правильных многогранников. Эти группы оставляют неподвижными многогранники, не являющиеся правильными в класси-

ческом их понимании. Центры £-мерных граней (&=0,1,2,...,и-1) таких многогранников не всегда образуют одну О-орбиту.

Гладкая кубическая поверхность трехмерного проективного пространства содержит 27 прямых, которые определяют многогранники 221, 321, 421-многогранники Госсета, инвариантные соответственно относительно групп Е6, Е7, Е8, порожденных отражениями [2, 3]. Ниже строятся кубатурные формулы, инвариантные относительно этих групп. Сначала докажем одно утверждение, позволяющее установить является ли рассматриваемое множество точек одной О-орбитой или оно объединение О-орбит.

Теорема 2. Пусть О - конечная подгруппа группы О(п), порожденная отражениями, т1, т2,...,тп -степени её базисных инвариантных форм и наименьшая из них равна двум. Если точка а отлична от начала координат, то для длины О(а)-орбиты справедлива оценка

■ ■ (п +/ - 2)!(п + 21 -1)

О(а) > -

(п -1)!/!

где / =

т2 -1

т2 -1

- целая часть ■

2

к! = 1-2 • 3 •... • к.

| Дх)СЖ =

2пп

(а )|

п. * (а ")'

Г( |)| 0(а)\ i=l

где Г(1) =| г1-1в~1С( = | (¡и1)1-1 Л - гамма функ-0 0 ция Эйлера.

Но с другой стороны, правая часть неравенства (2) даёт нижнюю границу для числа узлов кубатур-ной формулы, алгебраическая степень точности которой равна т2-1 (Теорема 3.10 из [4. С. 85]). Та-

ким образом, мы получили кубатурную формулу, содержащую меньшее число узлов по сравнению с нижней границей. Противоречие возникло из предположения, что существует О(а)-орбита, для которой неравенство (2) не выполняется. Теорема доказана.

Следствие. Если в условиях теоремы 2 группа О содержит преобразование центральной симметрии относительно начала координат, то для длины О(а)-орбиты справедлива оценка 2(п -1 + /)!

\в(а) >-

(п -1)!/!

Доказательство. Так как О есть ортогональная группа, то одной из базисных инвариантных форм является г2=х12+х22+...+хп2. Не нарушая общности, можно предполагать, что числа т1,т2,...,тп расположены в возрастающем порядке. Так как шт{тьт2,...,тп}=2, то т1=2. На поверхности сферы ¿,п-1={хеЛп|х2+х22+...+хп2=1|} г=1 и кольцо инвариантных форм группы О в этом случае порождается остальными п-1 базисными инвариантными формами [4. С. 133].

Таким образом, если построить на £п-1 кубатур-ную формулу, инвариантную относительно группы О и точную для константы, то она согласно теореме 1 будет точно интегрировать все многочлены, степени которых меньше чем т2. Допустим, что существует О(а)-орбита, для которой неравенство (2) не выполняется. Тогда спроектировав на поверхность сферы £п-1 точки этой орбиты и взяв их в качестве узлов, из условия требования точности для константы получаем следующую кубатурную формулу (т2-1)-й степени точности:

т2 - 2 где / = —22—.

Доказательство. Если группа О содержит преобразование центральной симметрии относительно начала координат, то все базисные инвариантные формы будут иметь четные степени, т. е. т2-1 является нечетным числом. Правая сторона последнего неравенства есть нижняя граница для числа узлов кубатурной формулы на £п-1, имеющей (т2-1)-ю степень точности в случае, когда т2-1 есть нечетное число (Теорема 9.2 из [4. С. 203]). Поэтому, предположение о существовании О(а)-орбиты,

2(п-1 + /)!

длина которой меньше чем -Ь—, снова при-

(п -1)!/!

водит к противоречию. Следствие доказано.

Известно [5], что группа Е6 порождена отражениями и базисные инвариантные формы имеют степени соответственно 2,5,6,8,9,12.

Координаты 27 вершин многогранника 221 в пространстве В зададим строками следующей матрицы [2]:

0

0

где с1 = со8

1 "1 2п1

с1

0 0 с1

- 0 0

2п1

S1 = Б1И „

1 3

1, И = 1,2,3.

Плоскости симметрии 221 (их 36) определяются уравнениями [6]

х2 = 0, х4 = 0, х6 = 0, -\Z3xj ± х2 = 0, -73х3 ± х4 = 0, \/3х5 ± х6 = 0, х1 + х3 + х5 = 0, х1 ± \/3х2 - 2х3 - 2х5 = 0,

х; ± %/3х2 + х3 ±-^х4 -2х5 = 0,

х1 ± >/3х2 - 2х3 + х5 ± л/3х6 = 0, х1 ±л/3х2 + х3 ± \/3х4 + х5 ±\[Ъх6 = 0, 2х1 - х3 ±у/3х4 + 2х5 = 0,

2х1 - х3 ± л/3х4 - х5 ± \/3х6 = 0, 2х1 + 2х3 -х5 ±**[Ъх6 = 0.

Через яй (/=1,2,...,27) обозначим проекции на сферу £;={хеЛ6|х12+х22+...+х62=1|} вершин многогранника 221, а через Ь() )(/"=1,2,...,72) - точки

ж

п-1

(0,1,0,0,0,0), (0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,0,1), J^, ± 2,0,0,0,0 ^ 0,0, ^ ± "2' 0,0

± 2 H^^àr0

± 1, 1 0, 1,0

2>/з' 2' л/з' ' л/з'

^± ± 1.-^0

2-Js' 2'2Тз' 2' л/з'

1 +11

± 1,—0.

1 ± 1

2>/з' 2' л/з' '2>/з' 2

1 ± ± 1 -Л= ± 1

2 2 2 2 2 2 I Pz — I Х2 , Р2 — Х3 I Х4 , Р3 — Х5 +

U3

а 2 1 3 2 13 2

I = 3 Х1 — Х1Х2 ' q2 = 3 Х3 — Х3Х4 ' q3 = 3— Х5Х6 '

Нам потребуются значения многочленов P2(x) и P6(x) в точках # и ¿>®. Прямым подсчетом, убеждаемся, что

P2(a«) = >) = 1, P6(a(i>) = p^>) = 0.

Переходим к построению кубатурных формул для шара Д6={хеЛ6|х12+...+х62<1|}, инвариантных относительно E6.

U3

Группа Е6 имеет три линейно-независимых инвариантных многочлена до 4-й степени включительно:

1, Р2(х), Р2(х). (3)

Кубатурную формулу 4-й степени точности, инвариантную относительно группы Е6 будем строить в виде

J f (x)dx = A0 f (в) + л£ f (la(i)),

(4)

где 6»=(0,0,0,0,0,0).

Требуя, чтобы кубатурная формула (4) была точна для многочленов (3), получаем следующую систему

2л/з' 2'2л/з' Г 2,3' 2

л/з^ 21з , ± ^л/з^

I 0 ± 1 —L. ± 1 S' ' 2VJ' 2' 2-Тз' 2

Тз^i

и центрально-симметричные с ними точки.

Согласно теореме 2, для длины Е6(я)-орбиты справедлива оценка |Е6(я)|>27, поэтому точки а® образуют одну Е6-орбиту.

Отметим также, что Ь0) являются проекциями на ¿5-центров пятимерных граней - правильных симплексов. Проекциями на ¿5 центров других пятимерных граней - специальных десятивершинни-ков являются точки - ай.

Существуют различные способы записи базисных инвариантных форм группы Е6 [7]. Для наших целей достаточно знать, что

Р2 (х) = х12 + х22 + х32 + х42 + х52 + х62;

р6(х)=Х ^Я- 10Х +Х рЯ рл- 3 Р1Р2 л>

где индексы Я, /л различны в каждом члене соответствующей суммы.

A 0+ 27A —

„з

27l2 A — п 8

27l4 A

решением которой является

A

A 0— 96

A —

5П 864

, l —■

Дополним группу Е6 преобразованием центральной симметрии относительно начала координат. Полученную группу обозначим через Е6*. Следующая кубатурная формула 5-й степени точности инвариантна относительно группы Е6*:

J f ( x)dx = П6 f (в)

5п

1728

I

f Ía(') J+f a( °

(5)

Число узлов кубатурной формулы (4) совпадает с нижней границей для числа узлов [4. С. 81], а число узлов кубатурной формулы (5) на 12 единиц превышают соответствующую нижнюю границу [4. С. 196].

Линейно-независимыми многочленами до 7-й степени, инвариантными относительно Е6* являются многочлены (3) и Р23(х), Р6(х). Кубатурную формулу 7-й степени точности будем искать в виде

J f (x)dx = Af(в)-

+А£ [ f (Aa(i)) + f (-Aa(i))] + B £ [ f fab ())]. (6)

i=1 j=1

Требуя, чтобы кубатурная формула (6) была точна для линейно-независимых инвариантных многочленов до 7-й степени включительно, приходим к следующей системе:

i—1

А0 + 54 А + 72 В — П-

5412 А + 72 ¡и2 В = П

5414 А + 72 л4 В — П 5416 А + 72 л6 В = П

54 • 1А=ш-

Решая систему, получаем

Ао =

3493+3150 240(6 ± 1)3

п3, А —

(5 ± 2)3П 480 (6 ± 1)3

В —-

343 п

, 12 = К6±1), Л2 = 6 ± 1

3(5 ± 2) ;

7 '

1440 (6 ± 1)3

Здесь верхние знаки параметров дают одну ку-батурную формулу, нижние - другую.

Число узлов кубатурной формулы (6) всего на две единицы превышает соответствующую нижнюю границу для числа узлов.

Известно [8], что вершины многогранника З21 можно расположить в точках (±1,0,±1,±1,0,0,0) и в точках, получаемых из них циклическими перестановками координат. В этом случае центр симметрии многогранника 321 совпадает с началом координат, а 63 его плоскости симметрии определяются уравнениями хг=0 (г=1,2,...,7) х;±х;.±хк±х;=0, где индексы г, у, к, 1 принимают значения следующих четверок чисел: 1,2,3,5; 1,2,4,7; 1,3,6,7; 1,4,5,6; 2,3,4,6; 2,5,6,7; 3,4,5,7 [9]. Группа Е7 преобразований многогранника З21 порождена отражениями и базисные инвариантные формы имеют степени соответственно 2,6,8,10,12,14,18. В работе [6] определен явный вид базисных инвариантных форм. Для наших целей ограничимся тем, что две первые базисные инвариантные формы имеют вид

12(х) — х2 + х22 +... + х72, /6(х) = = У х6 + 5У х4 х2 + 30У х2 х2 х1,

где г,у'=1, 2,...,7 различны в любом члене соответствующей суммы, а I,}, к принимают значения следующих троек чисел 1,3,4; 2,4,5; 3,5,6; 4,6,7; 5,7,1; 6,1,2; 7,2,3.

Очевидно, что точки сй (г=1,2,...,56):

^-^Д ±-^=,0,0,01,{0, ±-^,0, ±±^,0,0

Е7(а)-орбиты справедлива оценка |Е7(а)|>56 (следствие теоремы 2).

Точки ¡Р (у'=1,2,...,126):

(±1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, ±1, 0 ,0, 0, 0), (0, 0, 0 , ±1 , 0 , 0, 00 , (0, 0 , 0, 0, ±1, 0 , 0), (0, 0, 0, 0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0, ±1),

(± 1, ± 1, ± 1,0, ± 1, 0,0), (± 1, ± 1,0, ± 1,0,0, ± 1), V 2' 2' 2' 2' ' 2' 2' ' 2' ' 2й

(± 1, 0, 0, ± 1, ± 1, ± 1, 0), (± 1, 0, ± 1, 0, 0, ± 1, ± 1), 4 2' ' ' 2' 2' 2' Л v 2' 2' ' ' 2' 2Ь

(0, ± 1, ± 1, ± 1, 0, ± 1, 0), (0, ± 1, 0, 0, ± 1, ± 1, ± 1), v ' 2' 2' 2' ' 2' 2' ' 2 2 2''

(0, 0, ± 1, ± 1, ± 1, 0, ± 1) V , , 2' 2' 2' 2'

имеющие с точностью до постоянного множителя одинаковые координаты с плоскостями симметрии, также образуют одну Е7-орбиту (это будет показано немного позже).

Нам потребуются значения базисных инвариантных форм в точках с® и ¡и. Прямым подсчетом находим, что

12(С(1)) = 12(С(1>) = 16(С11>) = 1, 16(е('>) =

Нетрудно также убедится, что

3 (1) = 115 П

3(12) = 16П, 3(1/) =

165

3 а/)=195 3 (16)=113

где

3(/) = | /(х)Сх,В7 — {х £ Я7 |х12 + х22 +... + х72 < 1},

В7

• Сх7

— Сх1 • 2 •

Выпишем все линейно независимые многочлены до 5-й степени, инвариантные относительно группы Е7:

1,12( х), 122( х).

(7)

Кубатурную формулу 5-й степени точности, инвариантную относительно Е7, будем строить в виде

56

I/ (х)сСх = А0 / (0,...,0) + А У /(1«).

(8)

Требование точности кубатурной формулы (8) для инвариантных многочленов (7) приводит к следующей системе нелинейных алгебраических уравнений:

+56 А — -16 П

0,0, ±^,0, ±—=,0 I,I 0,0,0, ±^,0, I,

V л/э л/3 Д л/э >/э 731

^ ±;г0Д0' ±^0 ) №°>0Д ±;1г0'

0 ±^0Д0> ±73

образуют Е7-орбиту, так как они являются проекциями на вершин многогранника 321 и для длины

5612 А —

5614 А —

105 16 , 135'

165П

решением которой является

А0 —

64 „3

п ,

8505

А —

22 П

8505

1 — Й-

1—1

и

Число N=57 узлов кубатурной формулы (8) совпадает с нижней границей для числа узлов.

Переходим к построению кубатурной формулы 7-й степени. Инвариантными относительно Е7 являются многочлены (7) и /23(х), 16(х).

Кубатурную формулу 7-й степени точности, инвариантную относительно группы Е7, будем искать в виде

J (/) = | / (х)Ах = Л/(0,...,0) +

+A£ f + в£ f (ß d

i=1 j=1

Требуя что кубатурная формула (9) была точна для всех линейно независимых инвариантных многочленов до 7-й степени включительно, получаем следующую систему алгебраических уравнений:

Л + 56 Л +126 В = 105 П

56 Я2 Л+126 / В = 1З5П3

56 Я4 Л +126 и4 В = п3 165

56 Я6 Л + 126 и6 В = Ц п3 56 • 3 Я6 Л + 126 и6 В = Ц^п3.

Решая систему, получаем

27 • 13(249301 ± 45778) 33 • 5• 7• 11(78±л/78)3 ' 2 • 132 (22 ^л/78) 3

A _

B _

33 • 5 • 7-11(78 + V78) 26 • 72 -132

Я =

33 • 5-11(78 ^л/78)3

3(78 ±>/78)

п

13(22 ± V78)'

2_78 ±>/78

ß 91 •

где коэффициенты Л и B определяются из системы

56A + Nfi _ Л П

567 Л + Ы,В =16 п3. 3 1 11

Нетрудно убедиться, что последняя система разрешима, и мы получаем кубатурную формулу с ^+56<168 узлами, что и приводит к противоречию, так как число 168 является нижней границей для числа узлов кубатурной формулы 7-й степени точности. Противоречие возникло из предположе-(9) ния, что множество {й] является объединением Е7-орбит. Следовательно, это множество является Е7-орбитой. Аналогичным образом можно показать, что множество точек {й] из пункта 2 образуют одну . 6-орбиту.

3. Плоскости симметрии многогранника 421 описывается уравнениями

х,. ±х} = 0(1,] = 1,2,...,8;I < ])

и X; ± х2 ± х3 ± х4 ± х5 ± х6 ± х7 ± х8 = 0,

где количество плюсов четно [7].

Базисные инвариантные формы группы Е8 имеют степени соответственно 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 [7]. Очевидно, что инвариантный многочлен степени 2 есть /2(х)=х12+х22+...+х82.

Согласно следствию теоремы 2 для произвольной точки а, отличной от начала координат, справедлива оценка |Е8(а)|>240, откуда следует что точки

1

1

'42' л/2

,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0, ±

1

1

л/2' л/2у

и точки

1

1

1

1

2л/2 ' . 1

2^2.' 1,

2л/2 ' 1,

'242' 1

Верхние знаки параметров дают одну кубатурную формулу, нижние - другую. Число N=183 узлов кубатурной формулы (8) также совпадает с нижней границей для числа узлов.

Перейдем теперь к доказательству утверждения, что точки (№ образуют одну Е7-орбиту. Предположим обратное, т. е. что множество {сРЩ является объединением двух Е7-орбит, длины которых равны N и N2 N N>56, N+N=126). Не нарушая общности, можно предположить, что первые N точек из рассматриваемого множества принадлежат одной орбите, остальные - другой орбите. На поверхности сферы линейно независимыми многочленами до 7-й степени являются константа и /6(х).

Кубатурную формулу ищем в виде

56 N

I / (х)сЪ = Л£ / (с «) + В £ / (А (>),

X, 1=1 j=1

"272' 2>/2' 2>/2' 2^2

где количество плюсов четно, образуют одну Е8-ор-биту (группа Е8 содержит преобразование центральной симметрии, поэтому точки центрально-симметричны).

Обозначим эти точки через е(° (г=1,2,...,240). На основании требования точности для константы и /2(х), /22(х), 123(х) несложно получить следующую кубатурную формулу 7-й степени точности:

I /(х)Ах = 31п/(в) -

17п 240

8640

B8

гд2 f (в) + д2 f (в) + + д2 f (в)^

д x2 , 49п4

д x2

д x8

S f №

6 eM

где

8640

в _ (0,0,0,0,0,0,0,0) ,

B8 _ {x e R8 |xf +... + x82 < 1|}.

3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сибирский математический журнал. - 1962. -Т.3. - № 5. - С. 769-791.

2. Coxeter H.S.M. The polytope 221, whose twenty seven vertices correspond to the lines on the general cubic surface // Amer. J. Math. -1940. - V. 62. - № 3. - P. 457-486.

3. Todd J.A. Polytopes associated with the general cubic surface // J. London Math. Soc. - 1932. - V. 7. - № 27. - P. 200-205.

4. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. -М.: Наука, 1981. - 336 с.

5. Coxeter H.S.M. The product of the generators of a finite group generated by reflections // Duke Math.J. - 1951. - V. 18. - P. 765-782.

6. Игнатенко В.Ф. Геометрия алгебраических поверхностей с сим-метриями // В сб.: Проблемы геометрии. - Т. 11 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР). - М.: 1980. - С. 203-240.

7. Игнатенко В.Ф. Об инвариантах конечных групп, порожденных отражениями // Матем. сборник. - 1983. - Т. 120. - № 4. - С. 556-568.

8. Frame J.S. The classes and representations, of the groups of 27 lines and 28 bitangents // Annali di matematika. - 1951. - V. 32. -P. 83-119.

9. Игнатенько В.Ф. Алгебраические поверхности с группой симметрии многогранника З21 // Украинский геометрический сборник. - 1980. - Вып. 23. - С. 50-56.

УДК 519.865

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ОБРАТНОГО ГАУССОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Е.В. Истигечева

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: [email protected]

Рассматриваются гиперболическое и обратное гауссовское распределения из класса обобщенных гиперболических распределений для описания финансовых временных рядов. Предлагается алгоритм оценивания параметров этих распределений с помощью метода максимального правдоподобия. Апробация алгоритма проведена на примерах эмпирических финансовых временных рядов.

Введение

Известно, что возвраты большинства финансовых активов являются лептокуртическими, т. е. функция плотности более вытянута в области среднего значения и имеет более тяжелые хвосты, чем у нормального распределения [1]. Неудовлетворительные результаты прогнозирования, полученные при условии нормальности распределения возвратов, заставляют искать новые распределения и разрабатывать подходы для обработки эмпирических финансовых данных. Так, Mandelbrot предложил использовать устойчивые законы Парето или а-устойчивые законы для описания финансовых временных рядов [2]. В работах [3, 4] для этих целей было использовано обобщенное t-распределение Стьюдента, в [5] -распределение Лапласа. В 1977 г. Barndoff-Nielsen [6] описал класс обобщенных гиперболических распределений (Generalized Hyperbolic - GH), который стал очень популярным в областях теоретической и практической статистик. GH-распределение активно использовалось в физике, биологии и агрономии, а в 1995 г. Eberlein и Keller впервые применили его в финансах [7]. Указанное распределение имеет ряд свойств, которые являются привлекательными для описания финансовых временных рядов: • GH-распределение позволяет учитывать асимметричность (известно, что функция плотности возвратов финансовых активов имеет асимметрию);

• хвосты GH-распределения тяжелее, чем у нормального распределения (возникновение редких событий, влияющих на форму и вид хвостов, соответствует получению наибольшей возможной прибыли или риску наибольшего вероятного убытка).

В статье рассматриваются распределения, которые являются подклассами обобщенного гиперболического распределения: гиперболическое распределение (Hyperbolic HYP) и обратное гауссовское распределение (Normal Inverse Gaussian NIG). Предлагается алгоритм оценивания параметров этих распределений с использованием метода максимального правдоподобия.

Постановка задачи

Функция плотности обобщенного гиперболического распределения имеет вид:

gh(x;X, /л,а,P,S)= =-(а'-Р?'2 (s2 + (x- л2))'2 х

Vw-1'2^^2 -в2)

хКг-1П(аф2 + (x- л)2)expв(x- /л),

где / и S - параметры положения и масштаба; в - асимметрии, а - устойчивости. Параметр X<eR характеризует определенный подкласс из семейства