Критический случай устойчивости равновесия двухзвенного маятника со следящей и консервативной силами с учетом в шарнирах нелинейных моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

III МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА

МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 531. 31/39:519.85

Канд. физ.-мат.наук И. А. Костюшко Запорожский национальный университет, г. Запорожье

КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ

ДВУХЗВЕННОГО МАЯТНИКА СО СЛЕДЯЩЕЙ И КОНСЕРВАТИВНОЙ СИЛАМИ С УЧЕТОМ В ШАРНИРАХ НЕЛИНЕЙНЫХ МОМЕНТОВ

Рассмотрен маятник Циглера с вязкоупругими шарнирами, дополнительно нагруженный консервативной и следящей силой. Решена задача устойчивости положения равновесия в нелинейной постановке. Показана дестабилизация равновесия системы малыми диссипативными силами. Найдено значение консервативной силы, при котором дестабилизации не происходит. Рассмотрен критический случай устойчивости одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Ключевые слова: маятник Циглера, устойчивость движения, дестабилизация движения, критический случай, вязкоупругие шарниры, нелинейные моменты, следящая и консервативная силы.

Уравнения движения

Рассмотрим маятник Циглера, представляющий собой систему двух невесомых стержней КгК2, К2К3 одинаковой длины I (рис. 1).

Рис. 1. Маятник Циглера под действием следящей и консервативной сил

Шарниры обладают вязкоупругими свойствами, так что восстанавливающие моменты в них равны

м 1 = - Аех - 591 - сё3 - ^е12ё1,

м 2=- 4)2 -е1)-в(е 2 -е 1 )-- с (е 2-е 1) - ^-е1 )2 (е 2-е,)

Здесь А, В, С, Б — заданные положительные постоянные. В шарнире К2 и на свободном конце К3 расположены две одинаковые массы т. На свободный конец маятника К3 действует следящая сила Р, направленная

вдоль стержня К2 К3 , на шарнир К2 действует постоянная по величине и направлению консервативная сила Р, направленная вертикально вниз.

Положение маятника определяется углами ф1 и ф2. Уравнения движения системы запишем согласно урав -нений Лагранжа

А

дЬ

дфк ) дФк

дЬ_ дГ

- Ук --

дф к

к -1,2,

(1)

где Ь - К - П, К, п — кинетическая и потенциальная энергии соответственно, имеющие следующий вид

2К -

т12 (2ф2 + ф2 + 2ф 1 Фф2 соб( -ф2 )) (2)

П -1 Аф2 + 2 А(ф2 -ф )2 + ^/(со8ф1-1). (3)

Ук — обобщенная сила, соответствующая I -й координате, так что

© И. А. Костюшко, 2014

— Р1 ¡ип(р -Ф2), Q1 — 0; (4)

№ - дисипативная функция Рэллея

№—2 вФ2 + 2 в(сф 2 -Ф1 )2 + 4 сф 4 +

+ 1 С ((2 -ф1 )4 +1 ^Ф12(ф12 +1 -Ф1 )2 (2 -ф1 )2(5)

точка означает дифференцирование по времени (.

Подставляя соотношения (2)-(5) в (1), получаем уравнения движения маятника

2т12ср1 + т12Ф2 cos(ф1 -ф2 ) + т12ф2 sin(ф1 -ф2) = ар2 - 2Ф1 ) + Врр2 - 2ф 1 ) -

- Сф^ + С((2 -ф 1 )3 + Б(2 -Ф1 )2 (Ф2 -ф 1 )-

- Лр^ 1 + П sin ф1 + Р1 sinф1 -ф2),

т12ср1 cosф1 -ф2) + т12ф2 + т12ср12 sinф1 -ф2) =

= - ар2 -Ф1 )-в(ф 2 -ф 1 )-- с(ф2 - ф 1 )3 - °(Ф2 - Ф1 )2 (ф2 - ф 1 ).

(6)

Вводим безразмерное время т = и—2 , приводим

А

т12

систему (6) к безразмерному виду

2ф1' + ф3c0s(фl -Ф2)+Ф22 э1пф1 -Ф2)=Ф2 - 2Ф1 + + Ьр2 - 2ф1 )- ссф\ + с(ф2 - ф1 ) + аф1 - Ф2 )2 ф2 - ф1 )-

- ^Ф2Ф1 + / 8Ш Ф1 + Р 8т(ф1 -ф2 ),

ф1' сов(1 - Ф2 ) + фЦ + ф12 зт(ф2 - Ф1 ) = Ф1 - Ф2 -

- bфф2 - ф1 )- сф2 - Ф1 ) - аф2 - Ф1)2 ф2 - Ф1 ); (7)

где

Ь — . -, с — ——, d — -

л/А

т12

т13 V т

V—

т12

= П р = Р1

безразмерные параметры задачи; штрих означает дифференцирование по т.

Записывая систему (7) в нормальной форме, введя

новые переменные z1 — ф1, г2 = ф2, z3 = ф1 , г4 = ф'2 и

разлагая нелинейные слагаемые полученной системы в ряды Маклорена, ограничиваясь членами третьего порядка, приходим к новой системе дифференциальных уравнений следующего вида

z3 =(р + / - 3))+(2 - р)2 - 3Ы3 + 3Ьz2 -

ф1 - г2 )(р + г4 )-1" (р - г2 )2 pz2 - 7г3 ) +

+1 (р - ^)3 (3 - Р)-21(г1 - 22)2 (Р + / - 3)-

6

22 (р - ^ )2 (2 - Р)-1Л! + 2с(р - 23 )3 -6

- czl + 2d ф1 - 72 )2 ф4 - Z3 )-dz12 Z3 +...

74 = (4 - / - р) + (ф - 3)z2 +4Ьz3 - 3Ьz4 +

(z1 - Z2 ( + Z42 )+ )Ь(z1 - Z2 )2 (-10Zз + 7z4 ) +

+ Р (z1 - z2 )2 (/ + -3 Р - 5) + Z2 (z1 - ^ )2 - -3 Р )

3c(z2 - z3 )3 + cz3 -

- 3d(z1 - z2 )2 ф4 - z3) + dz'22z3 +

+112/[ - Z2)3 + Z23]+...

Исследование устойчивости по первому приближению

(8)

Система первого приближения согласно (8) имеет

вид

3'

^ — 2 й.

= (р + / - 3)+(2 - Р)z2 - 3Ьz3 + 2Ьz2, — (4 - / - р) + (Р - 3)z2+4Ьzз - 3bz2.

(9)

Записывая соответствующее характеристическое уравнение

X4 + 6ЬХ3 + Х2 (ь2 - 2 р - / + б)+^(2Ь - Ь/)-/ +1 — 0, (10)

согласно критерия Рауса-Гурвица получаем условия асимптотической устойчивости системы (7)

/ < 1,

р < р, р —

6Ь2 - 3Ь2/- 4/ + -5/2 +16

6(2 - /)

(11)

При

/ = 1,

~ ~ 1 (, 2 29 р < p, р=613Ь +1"

(12)

характеристическое уравнение (10) имеет один нулевой корень и три корня с отрицательными действительными частями.

z, = z

13

Zo = z

24

2

z

При

Г I < 1,

6Ь2 -3Ь2I - 4I + 5I2 +16

Р - P, Р ='

(13)

6(2 - I)

уравнение (10) имеет пару чисто мнимых корней и два корня с отрицательными действительными частями. При

¿3 (21, 2 2 , ^ 2 4) --(2 - 22 ^ + 24 )

24 I-

2 - 22 )2 (4 - 7 23 )-[ ^ + -73 - 22

- -6 23 + 2с(4 - 23 )3 - сг\ + 2А( - 22 )2 (4 - 23)- А?223 +...;

I -1,

Р - P, Р = ■

6Ь + 29

(14)

12

получаем один нулевой и пару чисто мнимых корней уравнения (10).

В случаях (12)—(14) присутствие нулевого и чисто мнимых корней характеристического уравнения подразумевает критический случай устойчивости. Следовательно проблему устойчивости следует решать, учитывая нелинейные слагаемые системы (8). Случаи (12), (13) исследованы в работе [1]. Установлено, что в случае (12) тривиальное решение системы (8) всегда асимптотически устойчиво. В случае (13) можно найти значение критической нагрузки /*, такое что при / < /* имеет место асимптотическая устойчивость, а при I* < I < 1 — неустойчивость нулевого положения равновесия системы (8).

Критический случай устойчивости одного нулевого и пары чисто мнимых корней

Рассмотрим случай (14). Характеристическое уравнение (10)принимает вид

X4 + 6ЬХ3 +1X2 + ЬХ- 0 6

и имеет один отрицательный Х1 - -6Ь , один нулевой X2 - 0 и два мнимых корня Х3,4 - ±Х/, X - .

При выполнении условий (14) система (8) примет

вид

24(2Х,22,23,24) - - 22)(2232 + )+ + ь(( - 22)25х3 + 7х4) +

+ 21(( - 22 )2

2 2 (1 2 2 )

( 5Ь 2 1 -+ —

6 36

V )

Л

(5Ь2 19 -+ —

6 36

V

- 3с(4 - 23 )3 +

+ с?3 - 3А( - 22)2(4 - 23)+ А?223 +

12 [(221 - 2 2 )

3 + 1+ ...

(15)

Здесь многоточие означает совокупность слагаемых порядка не ниже четвертого. Если задачу не удастся решить слагаемыми третьего порядка, то необходимо рассмотреть слагаемые более высокого порядка.

В (15) введем новую переменную

х - а121 + а2 х2 + а3 23 + а4 24

. Коэффициенты ах (/' -1,4)

ах (/' - 1,4]

выбираем таким образом, чтобы для линейных слагае-

Ах

мых системы (15) выполнялось равенство ~ ~ • В

итоге находим:

а] - -Ь

6Ь + 41 6Ь2 + 5 ;

а2 - Ь

6Ь + 29 6Ь2 + 5 ,

6Ь - 7 6Ь2 + 5,

а4 -1.

В новых переменных (х, 22, 23, 24) система (15) примет вид:

21 - ^

( Ь 2

Л

5

— + —

2 12

V )

( Ь 2

Л

5

+

2 12

V

- 3Ьх3 + 2Ь24 + 23(21,22,23,24),

Л

( Ы+7

2 12

V )

Л

( Ь2 7 -+

2 12

V )

г 2+

+ 4Ьг3 - 3Ь24 + 24(22,23,24);

х'- а323 (х, г2,23,24)+ а4 24(х,22, , 2

¿4 (

4 )

12Ь

(бЬ 2 + 41)

<|^-(бЬ2 + 5)2 х - 12Ь(6Ь 2 + 5)) 2-(180Ь4 + 1488Ь2 + 35)3 1-(180Ь 4 + 1044Ь 2 + 25) ]+ 23 (х, г2, г3, г4 )

12Ь1

(6Ь2 + 41)

[(6Ь2 + 5)ь2 - 7) + 12Ь(Ь2 - 7) + (42Ь2 -1)2 + 49) -

- (2 + 35)(42Ь2 -1)24]+ ¿4(х,х2,23,24); (16)

а

2о - 2

2

2^=2

2

2л =

2

2

2

2

2

2

2

где

~ Р

x, z'), z•з, z

х a^z | _

-^-z2,z3,z2 I,. — 3,4.

В системе (16) вводим две комплексно-сопряженные переменные

Х1 — С1X + С2 Z2 + С3 Zз + С4 Z2 , у 1 — Х1 — С1X + С2 Z2 + С3 Zз + С 4 Z2.

Здесь черта означает сопряжение. Константы с. (. —1,4) выбираем так, чтобы для линейных слагаемых системы (16) выполнялись соотношения

dх1 — -Г У —

— iXхl, ~ . Приравнивая в данных уравнениях коэффициенты при независимых переменных х, zi ф —1,4) находим

6ь2 + 5

с1 12ь(6ь2 + 41), С2

1

6Ь +41'

(42ь2 -1)(7 - 6ь2 + 4146Ы + 64вЬ3.)

12ь

(6Ь2 + 41)

.36^ + 204Ы2 +1)

5 18ы 36ы3 + 30ы -4в.(з0Ь2 +1)

С л —----f-т +--f-N \

4 492ы 41(6ь2 + 41) 12(36ь4 + 204ы2 +1)

В переменных (х, х1,у1, z3) система (16) перепишется следующим образом

х — ^3 + а 42 4,

х1' — .Хх1 + (с1 а3 + С3 )3 + (р а4 + С4 ) 4,

У1' — -.~У1 + ( + С3) + (С1а4 + С4 ),

z3 — к1х + к2 х1 + к3 у1 + к4 z3 + 23; (17)

где

21 — 21 (Р, т1 х1 + т2У1 + т3х + т4Zз, Zз, п^ + п^У1 + П3х + п4Zз )

Р — 3,4)

т., п., к. - известные постоянные, представляющие собой линейные комбинации коэффициентов

с.,Ь ф —14).

Согласно основной теореме о критических случаях [2] ищем функцию и(х, х1, у1), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

др р323 + а424 ) +

+ -ди[^х1 +(С1а3 + С3 )3 +(С1а4 + С4 )4 ]+ дх1

+ [- .~У1 + (фа3 + С3 )3 +фа4 + С4 ) ] —

ду1

— к1х + к2 х1 + к3 у1 + к4и.

(18)

В (18)

21 — 2. (х, т1х1 + т2у1 + т3х + т4и, и, п1х1 + п2у1 + п3х + п4и), Р — 3,4).

Функцию и ищем в виде и(х, х1,у1) —11 х +12х1 +13у1. Подстановка последнего выражения в (18) определяет неизвестные значения констант

/ — к1 1 — к п — - т", /2 — -

к4

2 / —-/з -

к3

к4 -

к4 +

. Таким образом,

задача об устойчивости для системы (17) эквивалентна аналогичной задаче для системы

х' — а32 3 + а424,

х1' — .Хх1 + (С1а3 + С3 )23 + (С1а4 + С4 ) 4,

у1' — -Ку1 + (Ф(а3 + С3 )3 + (Ф(а4 + С4 ), (19)

где

2. — 2. (х, П1х + П2х1 + П3у1, /1х + /2х1 + /3у1, 01х + 02х1 + 03у1),

Ф — 3,4)

П — т3 + т4/1, П2 — т1 + т4/2 , П3 — т2 + т4/3,

01 — п3 + п411, 02 — п1 + п4/2,03 — п2 + п4/3. Используя метод нормальной формы [3, 4], существует полиномиальное преобразование переменных

X — V + Р3 (у, у1, м), У1 — м + Яз (у, У1, м),

где

х1 — V + бз(v, М ),

X — V + Р3 (у, у1, м ), У1 — м>1 + Яз ф, У1, М1 ),

х1 — V + бз (ф v1, М ),

V' — с (з-0-°)у3 + С (1ДД)уу1м1,

V — Пу + сфдч2у1 + сф,2^! м1, , .Х ^(0,1,2) 2 + ^(2,0,12) 2 (21)

Здесь значения С'з^0', Сфдд) равны коэффициентам

при х3; хх1 у1 разложения а323 + а424;

С1(2,1,0),ф2,1) - коэффициенты при х2х1, х12у1 разло-

/ / —(0,1,2) —(2,0,12) жения (С1а3 + с3)23 +(С1а4 + с4)24 ; С ,С -

коэффициенты при у2х1, х2у1 разложения

(С1а3 + с3 )2~3 +(С1а4 + с4 )~4; функции определены формулами (20).

а

Со — -

з

В системе (21) делаем замену переменных Vj =p(cos 6+ i sin б), w1 =p(cos 6- i sin б), выделяя в полученной системе действительные и мнимые части, приходим к задаче об устойчивости для системы следующего вида:

L = с (3-0-V + С (u)v р2 + U* (v, р, 6),

(р' = Re cj2,j,0)v 2р+ Re С^р3 + R(v, р, 6). (22)

Функции U*, R при достаточно малых р, v и любом 6 удовлетворяют условиям:

U*(v,р,6) < С(v| + |р|), ^(,р,6) < С(( + |р|),

где С > 0 - постоянная.

Если положение равновесия v = р = 0 для уравнений (22) (где 6 - произвольная функция времени) будет устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций U*, R , то положение равновесия x = x1 = y1 = 0 для системы (19) будет соответственно устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво. Этот же вывод справедлив и для положения равновесия

z1 = z2 = z3 = z4 = 0 системы (15).

Систему (22) перепишем в виде:

fv' = U *3)(v, р)+ U * (v, р), 1р' = R (3)(v, р) + R(v, р)

Рассмотрим две формы четвертого порядка

G(v, р) = vR (з)-рU *3) =

(Re C(,j,0)- С + р2 (Re С(,21- С (ш>),

= vр

2

p(v, р) = vU*3) + рR( =

= С (w)4 + vY + р4 Re С!,2,1).

!(с ^ + Re С(д,0))

Форма 0(у, р) не является знакоопределенной. В этом случае [2] нулевое положение системы (22) будет неустойчиво, если существует хотя бы одна вещественная прямая 0(у, р) - 0, на которой Р(у, р) может принимать положительные значения, и асимптотически устойчиво, если на всех вещественных прямых

0(у, р)- 0 форма Р(у, р) может принимать только отрицательные значения.

Zl

Z2

N

A A A A A A ÍUUI/l I \ I \ I \ 11 м /1 I \ 11

" v V v V \i

У V м

Рис. 4. Зависимость zi (т) (i = 1,2) при

b = 0,1, с = 0,2, d = 5

Zl Z2

1Г

ill i

Рис. 5. Зависимость zi (т) (i = 1,2) при

b = 10, с = 0,1, d = 0,005

т

т

Уравнение G(v,р) = 0 задает следующие прямые:

v = 0, р = 0, Р:

1

С<3-°-°> - Re с(

1,0)

Re С(,2Д)- C(L

i.i) •

На этих прямых нужно проверить знак формы P(v, р). Так как р(0, p)=p4Re С^21, то

signP(0, р) = sign Re С1(0,2,1). В частном случае задачи при c = d = 0 получаем

Re С

(021) = 9b(l44b 2 + 509)36Ь4 +1)

(216b 2 +1)2

> 0

что означает

неустойчивость нулевого положения равновесия системы (15) для любых положительных значений параметра Ь .

В общем случае задачи ь2 + с2 + ё2 Ф 0 можно найти область изменения указанных параметров, где имеет место асимптотическая устойчивость. Эта область ограничена системой неравенств:

b >

л/31081 -169 ; 72 "

c + 2d >

4b((9b2 + 509) 3(72b4 + 338b2 - 35)'

(23)

Вне указанной области имеет место неустойчивость нулевого положения равновесия системы (15).

На рис. 2-5 приведено численное решение дифференциальных уравнений (15) при начальных условиях

(0) = 0,01 ( = 1,4). Рис. 2, 3 соответствуют выбору

параметров задачи Ь, с, ё, удовлетворяющих условиям (23). Рис. 4, 5 соответствуют значениям указанных параметров, находящихся вне области (23).

Согласование численных и аналитических результатов свидетельствуют о достоверности последних.

Список литературы

1. Куземко А. В. Устойчивость равновесия двухзвенного маятника со следящей и консервативной силами с учетом в шарнирах нелинейных моментов / Куземко А. В.// Вюник запорiзького национального ушверситету : Ма-тематичне моделювання i прикладна механжа. - 2010. -№ 2. - С. 76-83.

2. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Мал-кин. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 432 с.

3. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики / В. Ф. Журавлев. - М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2001. - 320 с.

4. Журавлев В. Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В. Ф. Журавлев, Д. Климов. - М. : Наука, 1988. -328 с.

Одержано 06.10.2014

Костюшко 1.А. Критичний випадок стшкосл рммкшаги двохланкового маятника i3 стежачою i консервативною силами з облшом у in;ipi прах мелiмiймих момемтiв

Розглянуто маятник Циглера з в 'язкопружними шартрами, додатково навантажений консервативною i стежачою силою. Розв 'язано задачу стiйкостi положення рiвноваги в нелiнiйнiй постановцi. Показана дестабiлiзацiя рiвноваги системи малими дисипативними силами. Знайдено значення консервативноi сили, при якому дестабiлiзацii не вiдбуваeться. Розглянуто критичний випадок стiйкостi одного нульового i пари чисто уявних коренiв характеристичного рiвняння.

Ключовi слова: маятник Циглера, стiйкiсть руху, дестабiлiзацiя руху, критичний випадок, в 'язкопружнi шартри, нелiнiйнi моменти, стежача i консервативна сили.

Kostushko I. Critical case of stability of equilibrium of double-link pendulum with tracker and conservative forces recognition in hinges of nonlinear moments

The Tsigler pendulum with the viscoelastic hinges, in addition loaded with conservative and watching force is considered. The problem of stability of balance position in nonlinear statement is solved. Destabilization of system balance with small dissipative forces is shown. Value of conservative force at which destabilizations doesn't occur is found. Critical case of stability of one zero and steams of purely imaginary roots of the characteristic equation is considered.

Key words: Tsigler pendulum, stability of movement, movement destabilization, a critical case, viscoelastic hinges, the nonlinear moments, watching and conservative forces.