Критические параметры устойчивости и расслоения в двухслойном кольце при температурных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. Я. Павилайнен, М. С. Сайкова КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

УСТОЙЧИВОСТИ И РАССЛОЕНИЯ В ДВУХСЛОЙНОМ КОЛЬЦЕ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Введение. Обзор исследований процессов расслоения в деформируемых системах. Композитные материалы слоистой структуры обладают высокой прочностью в направлении слоев, но имеют низкую прочность при межслойном сдвиге и отрыве. Из-за этого конструкции из слоистых материалов особенно чувствительны к дефектам типа расслоений, основная часть которых появляется на стадии технологического процесса. Причинами могут служить непроклеи, усадочные напряжения и т. д. В процессе эксплуатации образование дефектов продолжается под влиянием температурных напряжений, ударных и циклических нагрузок. Наибольший интерес представляют отслоения, возникающие при потере устойчивости элементов и разрыве в области контакта в условиях сжатия. В композитах слоистой структуры, где коэффициенты температурного расширения сильно изменяются при переходе от одного слоя к другому, даже при равномерном нагреве могут возникнуть сжимающие деформации.

Одним из первых явление отслаивания исследовал Л. М. Качанов [1] при решении задачи о расслоении сжатой внешним давлением стекловолокнистой трубы, в которой на основе сравнения энергетических уровней и представления о работе разрушения по Гриффитсу рассматривалось скачкообразное отщепление внутреннего слоя. Полученная расчетная формула определения критического окружного напряжения на внутреннем контуре при отрыве была применена И. И. Бугаковым [2] для исследования расслоения колец из волокнистого и слоистого стеклопластика при различных видах намотки, для которых экспериментально определяется величина 7 — удельная работа разрушения на отрыв. В работах Ю. М. Тарнпольского и Ю. Н. Работнова [3-4] на основе энергетического критерия рассматривается задача о разрушении слоистого композита при сжатии путем выщелкивания «крайних» слоев. В [4] отмечается, что возможны различные виды прощелкивания тонкой полосы над расслоением. Реализуется тот вид выпучивания, который соответствует наименьшему критическому напряжению.

Л.М. Качановым в работе [5] был предложен энергетический подход, позволяющий находить предельное состояние равновесия отслоения, предшествующее его дальнейшему распространению. При этом характерный размер (длина) отслоения много больше его толщины. Согласно этому подходу при составлении энергетического баланса отслоившаяся часть моделируется балкой, пластинкой или незамкнутой оболочкой, закрепленными на соответствующих участках контура. Это соответствует «балочному» приближению, введенному в механику разрушения В. И. Обреимовым [6].

В работах В. В. Болотина [7-8] с единых позиций рассмотрены задачи устойчивости сжатых упругих композитных элементов (стержней, пластин и оболочек) с дефектами типа расслоений. Вопрос устойчивости сводится к задаче на собственные значения. На примере сферической оболочки под действием равномерного внешнего давления показано, что потеря устойчивости может происходить в разных формах. Если потеря устойчивости происходит так, что берега расслоения не расходятся совсем или раскры-

© В. Я. Павилайнен, М. С. Сайкова, 2006

тие берегов трещины мало по сравнению с прогибами монолитной части оболочки, то говорят об общей форме потери устойчивости. Возможны смешанные формы.

В большинстве исследований рассматриваются задачи с имеющимся начальным расслоением. Потеря устойчивости отслоившегося тонкого участка при дальнейшем сжатии вдоль расслоения является одним из основных начальных этапов разрушения, после которого к механизму разрушения за счет потери устойчивости могут подключаться и другие механизмы разрушения. В работах H. Chai, С. А. Кислякова, W. J. Bottega, И. В. Шебунина и др. [9-14] рассмотрен рост отслоений (однопараметрического в стержнях [9], эллипсоидального в пластине [12] и ортотропном цилиндре [10-11, 13] в условиях квазистатического сжатия. В работе [14] в постановке несвязанной термоупругости исследуется устойчивость эллиптического отслоения в ортотропной пластине при поверхностном квазистатическом нагреве в режиме постоянной температуры или при воздействии теплового импульса.

Практически во всех исследованиях развитие расслоения анализируется в рамках концепции Гриффитса—Ирвина—Орована, которая основана на сравнении энергии, выделяющейся при развитии расслоения, с энергией, идущей на разрушение межслойно-го связующего. При этом полагается, что ввиду малости отслоившегося участка рост расслоения в процессе нагружения не влияет на напряженно-деформированное состояние монолитной части структуры. Это позволяет моделировать отслоившуюся часть в виде стержня, пластины или оболочки, что упомянуто выше как «балочный» метод В. И. Обреимова. Принимается, что в невозмущенном состоянии все расслоения нерас-пространяющиеся, и рост трещины возможен только после выпучивания в послекрити-ческой стадии, когда поле напряжений вблизи границ расслоения начнет качественно меняться. В упоминавшихся работах [5, 9-13] не рассматривается процесс накопления повреждений на фронте дефектов, то есть рассматриваются только равновесные дефекты. Уравнения квазиравновесного роста трещин при длительно действующих или циклических нагрузках были получены в работе В. В. Болотина [15] на основе объединенной механики разрушения с учетом накопления на фронте отслоения. Тем же автором [16] дано обобщение теории на случай многопараметрических отслоений.

В монографии Г. П. Черепанова [17] на основе теории инвариантных Г-интегралов в механике разрушения исследуется поведение трещин расслоения, развивающихся вдоль границы различных слоев в многослойных пластинах и оболочках.

Проблемы взаимного влияния отслоившейся и сплошной частей структуры сформулированы и рассмотрены в работах В. Н. Трошина, H. Chai и др. [9, 18]. В работе W.-L. Yin [19] исследуется закритическое поведение многослойной полосы с внутренним расслоением под воздействием сжатия, изгиба, кручения и температурного поля, произвольным образом изменяющегося по толщине.

Постановка задачи. В работе рассматривается двухслойное круговое кольцо, внешняя 1 и внутренняя 2 части которого представляют кольца с прямоугольным сечением единичной ширины и имеют различные толщины hi, h-2, модули упругости Ei, E2 и коэффициенты температурного расширения ai, a2. Радиусы осевых линий колец R и а соответственно (рис. 1), а между кольцами расположен достаточно прочный теплоизолирующий слой, малая толщина которого при расчете не учитывается. В результате нагрева внутреннего кольца и охлаждения внешнего между кольцами возникает сжимающее усилие взаимодействия с абсолютной величиной р, что может привести к локальной потере устойчивости и отслоению внутренней части. Целью работы является определение критических температур потери устойчивости при различных геометрических и физических параметрах элементов конструкции.

У

Рис. 1.

Основные соотношения. Уравнение баланса энергии системы. От воздействия контактного давления нормальные напряжения в поперечных сечениях внешнего и внутреннего колец равны

Рн Ра , ^

‘’■“V "2 = -г2 (р>0)

и им соответствуют деформации

£1 = -=^- ~ СУ1ДТ1, £2 = + а2ДТ2,

Е\ Е2

где —АТ1 < 0, АТ2 > 0 интервалы изменения температур колец. Деформации связаны с радиальными перемещениями соотношениями и1 = Яг1, и2 = ае2. Из условия

совместной деформации колец на линии их сопряжения е1 = е2 находим контактное

давление

(а2АТ2 + а1 АТ1 )^1 Е1Н2Е2 ( ^

р =-------вд + «--------------->0' (1)

Для решения задачи устойчивости сжимаемого внутреннего кольца используется энергетический подход [1], основанный на сравнении энергетических уровней форм равновесия до и после выщёлкивания. Пусть отслоилась дуга —р1 < р < р1 (рис. 1). Из условий симметрии достаточно рассмотреть половину дуги 0 < р < р1.

Условие расслоения имеет вид

и(1) + V(1) > и(2) + V(2) + П, (2)

где и(1) и и(2) —потенциальная энергия упругого деформирования дуги внутреннего кольца 0 < р < р1 до и после отслаивания, соответственно, V(1) и V(2) — потенциальная энергия упругого деформирования дуги внешнего кольца 0 < р < р1 до и после отслаивания, П — работа разрушения.

Заметим, что условие (2) отличается от принятого в работе Л. М. Качанова [1] учетом энергии V внешнего кольца до и после разрушения.

До потери устойчивости потенциальная энергия внешней и внутренней части кольца равна

2 Уу Е2 2 к2Е2

V™ = - [ 2 У у

2

(3)

/у Е1 2 hlЕ1

Работа разрушения при возникновении расслоения имеет, согласно Гриффитсу, вид

П = 2ар1 ^,

(4)

где 7 — удельная энергия разрушения связующего теплоизолирующего слоя между внешним и внутренним кольцами.

>1

Р N р \ Ч

\ 01

У Уо

\ X

Рис. 2.

После отслаивания окружное напряжение во внутренней дуге упадет до некоторой малой величины, которой можно пренебречь, и форма равновесия внутреннего слоя будет определяться решением уравнения Бернулли

(5)

где М = —Р(у — уо) — внутренний изгибающий момент в произвольном сечении N

(рис. 2), 1 / р — кривизна в соответствующей точке упругой линии дуги, J = \2 — момент инерции. Энергия изгиба выщелкнутой формы равновесия равна

и(2) =

пар 1

м2

2£27

(1в =

Е21

пар 1

(6)

Уравнение (5) решается в эллиптических интегралах [20]. Дифференцируя его по 5 с учетом выражения для М, получим

о

о

и, используя соотношение j ^ и dy = sin Ods, где в — угол наклона касательной упругой линии к оси OX, а s —длина дуги, отсчитываемая от точки Oi, приводим (5) к виду

d = —к2 sm6 ds, (7)

где введено согласно [20] обозначение к2 = -щу- Умножим обе части соотношения (7) на и проинтегрируем, используя равенство sin# = 2sin | cos Первый интеграл (7) будет

Имеет место перегибная форма изгиба, то есть в некоторой внутренней точке дуги A (рис. 2) ^ = 0, и из (8) получаем, что С = sin2 Поэтому можно ввести обозначение

С = т , где 0 < т < 1. Вводя также новую неизвестную функцию ф(в) по соотношению

приводим уравнение (8) к виду

в

sin - = то sin-0, (9)

de

— = 2ктсо$ґф. (10)

ds

Интегрируя (10) с учетом (9), получим решение

dф

ГУ

ks = F(ip) - F(ip0), где F(V>) = —/=

оІ

— m2 sin2 ф

При s = 0 из симметрии упругой линии следует, что в = 0. Тогда согласно (9) фо = ф(0) = 0. Таким образом, F(ф0) =0 и

ks = F (ф). (11)

Координаты упругой линии в системе координат XiY1 с началом в точке Oi (рис. 2) с

учетом формулы (10) равны

Х\ = J cos в ds = J ^2 cos2- — 1^ ds =

f s cos | d (sin |)2,. , .

= 4 —г—-—r~ ~ s = тЕЫ’) - (12)

о

2km cos ф k

аналогично

Ґ 2m

Y\ = sin в ds = —— (cos-0 — 1),

Jo k

где Е(ф) = $ л/Т — m2 sin2 фа1ф. В конечной точке дуги si = a^i угол наклона каса-

ci>

J0

тельной e(si) = в1 = —^i и Xi = a sin y>i, а ф принимает некоторое значение ф1. Внося эти величины в уравнения (9)—(12), получим систему

у>1 І

— sin — = то sin фі,-= 2km cos фі,

2a

2

katpi = FN)A, asinc^i = —Е(фЛ — a<p\,

k

откуда можно найти следующую зависимость между ф1 и m:

[2E(ijji) — F(V’i)] cos — yjl — m2 sin2 ^1 sin ^1 = 0. Вычисляя энергию согласно формуле (10), имеем следующее выражение:

(ІЗ)

U(2) =

E2J

2

E2J

2

E2J

2

ds =

Г(» +1

Jo \ds a

pi f 81 І Cs 1

h (2km cos i/j)2ds H— Акт cos ф ds

a Jo a Jo

dф

E2ah2 ( h2 6~

(2m cos ф )2 k

pi g(m),

І , dф Л— 4m cos ip

І — m2 sin2 ф a o І — m2 sin2 ф

(І4)

где введено обозначение

g (m) =

\ + — \Е(фі) — (1 — m2)F(rp i)l + — arcsin(m sin фі) 4 Pi L Pl

Значения р1 и д(т) при различных т приведены в табл. 1. На рис. 3 изображена зависимость между р1 и д (т). В основном интервале изменения угла отслаивания р1 (р1 < 30°) функция д(т) практически постоянна, и ее значения в указанном интервале можно определить нижней границей д(0) = 2.5238. Таким образом, согласно

1

o

2

Таблица 1

т Ч> і (рад) ipi (град) Фі (рад) д(т)

0 0,0000 0,0000 4,4934 2,5238

0,05 0,0976 5,5948 4,4933 2,5242

0,1 0,1955 11,2020 4,4929 2,5254

0,15 0,2938 16,8342 4,4922 2,5274

0,2 0,3928 22,5043 4,4912 2,5303

0,25 0,4926 28,2259 4,4898 2,5341

0,3 0,5936 34,0135 4,4881 2,5390

0,35 0,6961 39,8825 4,4858 2,5452

0,4 0,8002 45,8495 4,4830 2,5529

Рис. 3.

(14) энергия изгиба внутреннего слоя после отслаивания определяется формулой

ці2) = ?ШЕ2а}і2(рі = 0.4206£2аЛт

сти

(2)

определяемой равенством а\’Н\ = а\Н\ + СТ2^-2 = р(Д — а). Тогда

Напряжение во внешней части кольца после отслаивания уменьшится до величины ст(2),

у(2) = 1 [ а12) с]у _1р1К{К-а?¥1

2 ]у Е\ 2 Н\Е\ ^ ^

Определение критических температур, их зависимость от механических и геометрических параметров задачи. Внося полученные формулы для и(1), и(2), V(1), V(2), и П в условие (2), взятое со знаком равенства, получим выражение для критического контактного давления, при котором происходит потеря устойчивости во внутреннем слое:

Р 1 ^2 Д , , 47

Е2 /-, , ПЕ2н2(2Н-а) а V З V а ) ^ Е2к2 '

Vі + а^Егкг '

Тогда из формулы (1) определим соотношение, связывающее совмещенный температурный параметр ДЕ = а2ДТ2 + аіДТІ > 0 с геометрическими и физическими характеристиками внутреннего и внешнего колец

/і I Ш9Е9, (2Д-а) У 3 \ а у Е2к2

у ак\Е\ а

Примем в качестве исходных данных следующие геометрические и механические параметры

К = 21.5 см, = 1 см, Е\ = 2100000 кГ/см2,

’ 1 2 , 1 (18)

Е2 = 170000 кс/см , 7 = 2 кс/см

и будем варьировать только толщину внутреннего кольца к2. При этом будет меняться радиус внутреннего кольца а. Для принятых параметров внешнего кольца при варьировании получим а = 21 — ^/2. При заданных параметрах (18) к2 = 0.1028 см, Др = 0.0085.

Так как ^ > 0, соотношение (17) имеет минимум при к2 = ко = 0. Значение ко

можно получить из формулы (17), минимизируя величину ДР как функцию к2. Введем

соответствующее обозначение Др = Д-Р (ко), характеризующее температурный режим (рис. 4). Тогда при ДР < Др потеря устойчивости внутреннего кольца невозможна при любых значениях к2. Величину к2 = ко следует трактовать как критическое значение толщины внутреннего кольца, при которой наиболее вероятна потеря устойчивости. И наоборот, величина Др определяет нижнюю границу совмещенного температурного параметра, при котором может произойти отслаивание.

Если принять (как в работе Л. М. Качанова [1]) баланс энергии в виде

и(1) > и(2) +П, (19)

Рис. 4-

то вместо формулы (17) получим следующую:

Ші 2Е2 \ аН1Е1 )

д (0) +

47

-Е/2^2

(20)

На рис. 5 сравниваются результаты, которые иллюстрируют зависимости, определяемые формулами (17) и (20). Сплошная линия соответствует (17), пунктирная линия — (20). Сравнение показывает, что (20) дает большее значение критического совмещенного параметра по сравнению с (17). Это объясняется тем, что использование соотношения (19) возможно в случае АУ « 0, означающем пренебрежение изменением энергии деформации внешнего слоя при отслаивании. Действительно, в работе [1] изначально предполагается малость толщины отслоившегося слоя по сравнению с толщиной всей трубы. Если пренебречь сопротивлением внешнего слоя по сравнению с внутренним, то это возможно при

*£#^0 (21)

а Ні Е\

или при равносильном ему

^0.

Єї

(22)

2

С учетом (21) выражения (1T) и (20) переходят в одинаковое соотношение

af=(2з)

имеющее место при условии пренебрежения изменением энергии деформации внешнего слоя при расслоении.

Заключение.

1. В работе получена формула критического контактного давления, при котором происходит потеря устойчивости внутреннего кольца при различных исходных данных задачи.

2. Найдены критическое значение величины h2 и соответствующий параметр температурного режима AFq, при которых наиболее вероятна потеря устойчивости. При этом AFq — нижняя граница температурного режима, при котором может произойти отслаивание.

3. Получено, что при учете энергии внешнего слоя (что означает снижение жесткости системы в целом) величина AFq и, следовательно, нижняя граница совмещенного температурного параметра, при котором происходит отслаивание, оказывается меньше по сравнению со случаем неучета энергии внешнего слоя.

Summary

V. J. Pavilaynen, M. S. Saykova. Critical parameters of buckling and delamination in a two-layered ring under the thermal load.

Thermal delamination of a two-layered ring due to snap-buckling of the inner layer is explored. The critical values of the contact interlayer pressure, the temperature regime and the thickness of inner layer are obtained.

Литература

1. Качанов Л. М. Расслоение стекловолокнистых труб при внешнем давлении // Механика полимеров. 1975. №3. C.11G6-11G8.

2. Бугаков И. И. О расслоении колец из волокнистого и слоистого стеклопластика // Вестник Ленинградского ун-та. 1977. №13. C. 126-131.

3. Тарнпольский Ю. М. Расслоение сжимаемых стержней из композитов // Механика композитных материалов. 1979. №2. C. 331-337.

4. Полилов А. Н., Работнов Ю. Н. Развитие расслоений при сжатии // Известия АН СССР, МТТ. 1983. №4. C. 166-171.

5. Качанов Л. М. К вопросу о расслоении композитных материалов // Вестник Ленинградского ун-та. 1976. №3. C. 77-81.

6. Obreimov I. V. On the splitting force of mica // Proc. Roy. Soc. 127A. 193G. 129 c.

7. Болотин В. В., Зебельян З. Х., Курзин А. А. Устойчивость сжатых элементов с дефектами типа расслоений // Проблемы прочности. №7. 198G. C. 3-8.

8. Болотин В. В., Зебельян З. Х. Устойчивость упругих сферических оболочек с расслоениями // Расчеты на прочность. M., Вып. 22. 198G. C. 15G-165.

9. Chai H., Babcock C. D., Knauss W. G. On delamination modeling of failure in laminated plates by delamination buckling // Int. J. Solids Struct. Vol. 17, N 11. 1981. P. 1G69-1G83.

10. Кисляков С. А., Нефедов С. В. Равновесные размеры эллипсоидальных отслоений в ортотропной цилиндрической оболочке // Надежность и ресурс машин и конструкций. М., 1984. Вып. 26. C. 30-34.

11. Кисляков С. А. Устойчивость и рост отслоений в цилиндрической оболочке из композитного материала при сжатии // Механика композитных материалов. 1984. №4. C. 653-657.

12. Chai H., Babcock C. D. Two-dimensional modeling of compressive failure in delaminated laminates // J. Compos. Mater. 1985. Vol. 19, N1. P. 67-98.

13. Bottega W. J. Peeling of a cylindrical layer // International Journal of Fracture. 1988. Vol. 38.

C. 3-14.

14. Шебунин И. В. Поведение отслоений в композитных материалах при тепловом воздействии // Механика композитных материалов. 1988. №4. C. 644-650.

15. Болотин В. В. Уравнения роста усталостных трещин // Известия АН СССР, МТТ. 1983. №4. C. 153-166.

16. Болотин В. В. Многопараметрическая механика разрушения // Расчеты на прочность. М., 1984. Вып. 25. C. 12-33.

17. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. Наука, 1983.

18. Трошин В. Н. Влияние продольного расслоения в слоистой цилиндрической оболочке на величину критического внешнего давления // Механика композитных материалов. 1982. №5. C. 839-843.

19. Yin W.-L. Thermoelastic postbuckling response of strip delamination models // Int. J. Solids Struct. Vol. 35, N25. 1998. P. 3331-3346.

20. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М., Гостехиздат, 1948. 187 c.

21. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. M., Наука, 1973. C. 260-293.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2005 г.