CC BY
43
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
УДК 51.72/74 Б01 10.23683/0321-3005-2019-1-10-16
КРИТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ СКВОЗНОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА - ТЕЙЛОРА
© 2019 г. К.И. Ильин1,, А.Б. Моргулис2 3
1Йоркский университет, Иорк, Великобритания, 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 3Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
CRITICAL CURVES FOR THE COUETTE-TAYLOR THROUGHFLOW
K.I. Ilin1, A.B. Morgulis2'3
1University of York, York, UK, 2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 3 Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Ильин Константин Иванович — кандидат физико-математических наук, доцент, Йоркский университет, г. Йорк, Великобритания, e-mail: [email protected]
Моргулис Андрей Борисович — доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]
Konstantin I. Ilin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, University of York, Heslington, YOlO 5DD, UK, e-mail: [email protected]
Andrey B. Morgulis - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematical Institute-Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Os-setia-Alania, 362027, Russia, e-mail: [email protected]
Речь идёт о линейной устойчивости течения вязкой несжимаемой и однородной жидкости в зазоре между соос-ными пористыми цилиндрами. Движение жидкости создаётся вращением цилиндров и нагнетанием/забором жидкости через них. При указанных граничных условиях имеется простое плоское и осесимметричное течение жидкости, отличающееся от классического течения Куэтта - Тейлора радиальным потоком. Мерой интенсивности последнего служит радиальное число Рейнольдса R, построенное по радиусу внутреннего цилиндра и радиальной скорости на нём. Из предшествующих исследований известно, что в пределе бесконечно большого R (эквивалентном пределу исчезающей вязкости жидкости), равно как и при больших конечных R, это течение может быть неустойчиво относительно и плоских, и трёхмерных возмущений, моды которых представляют собой азимутальные или винтовые волны. Цель настоящей работы - дать подробную картину критических кривых этой невязкой неустойчивости, позволяющую, в частности, понять, в какой мере она сохраняется при умеренных радиальных числах Рейнольдса. Решая линейную задачу устойчивости численно, показываем, что невязкая неустойчивость может вытеснить неустойчивость Ку-этта - Тейлора в область более высоких азимутальных чисел Рейнольдса и коротких волн и стать доминирующей даже при радиальных числах Рейнольдса ~ 10.
Ключевые слова: течение Куэтта - Тейлора, пористые цилиндры, устойчивость, неустойчивость, критические кривые.
In this article, we consider the linear stability of a viscous incompressible and homogeneous fluid flow in the gap between coaxial porous cylinders. The flow is driven by rotating the cylinders and pumping/withdrawing fluid through them. Under these boundary conditions, there is a simple plane and axisymmetric flow, which differs from the classical Couette-Taylor flow by the radial flux offluid. As a measure of the intensity of the latter, we use the radial Reynolds number R, based on the radius of the inner cylinder and on the radial velocity on it. From previous studies, we know that, in the limit of an infinitely large R (that is equivalent to the limit of vanishing fluid viscosity), as well as for large finite R, this flow can become unstable. The corresponding modes of the linear instability are planar azimuthal waves or three-dimensional helical waves. The purpose of the present
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
work is to detail the picture of the critical curves of this inviscid instability to such the extent which allows one to understand whether it survives at moderate radial Reynolds numbers. Solving the linear stability problem numerically, we show that the inviscid instability can press out the Couette-Taylor instability down to the region of higher azimuthal Reynolds numbers and short waves and become dominant even at radial Reynolds numbers of ~ 10.
Keywords: Couette-Taylor flow, porous cylinders, stability, instability, critical curves.
Введение
В этой статье мы продолжаем исследование так называемой невязкой неустойчивости течения типа Куэтта - Тейлора с радиальным потоком и в этом смысле развиваем результаты [1—3], группирующиеся вокруг асимптотики больших радиальных чисел Рейнольдса, включая исследование невязкой неустойчивости предельных течений идеальной жидкости и сращивание асимптотических результатов с численными. Речь идёт о продолжении невязкой неустойчивости в область умеренных радиальных чисел Рейнольдса, в частности приводятся диаграммы устойчивости, по степени подробности сравнимые с имеющимися в случае классического течения Куэтта -Тейлора [4].
Устойчивость течений Куэтта - Тейлора с радиальным потоком изучалась многими авторами [5-14]. Большинство исследований были мотивированы приложениями к технологиям динамической фильтрации [15, 16] и к формированию аккреционных дисков чёрных дыр [7, 8, 17, 18]. В [5, 10, 13] установлено, что сходящийся радиальный и достаточно сильный расходящийся потоки стабилизируют основное течение. Однако слабый расходящийся поток его дестабилизирует [10, 13]. Отметим попутно, что этот вывод верен, если зазор между цилиндрами относительно мал, и неверен, если зазор между цилиндрами достаточно большой. Вопрос, который оставался открытым, заключался в том, может ли радиальный поток сам по себе привести к неустойчивости потоков, которые без него были бы устойчивы. На этот вопрос был дан положительный ответ в [19], а затем в [7], где, в частности, была обнаружена неустойчивость специальных классов течений Куэтта - Тейлора с радиальным потоком по отношению к плоским (трансляционно-инвариантным) возмущениям, причём последние возрастали немонотонно, но представляли собой азимутальные волны. Позже было установлено, что такого рода колебательная неустойчивость имеет место в случае невязких безвихревых потоков и сохраняется при малой вязкости [1]. В [2] этот результат был распространён на общие течения Куэтта - Тейлора с радиальным потоком (как сходящиеся, так и расходящиеся) без каких-либо ограничений на угловые скорости цилиндров. Дальнейшее развитие плоской теории
можно найти в статье [8], где, среди прочего, обсуждаются эффекты сжимаемости, трехмерности и нелинейности. В этой статье также отмечена аналогия с так называемой страторотационной неустойчивостью, индуцированной осевой стратификацией плотности в потоке Куэтта - Тейлора [20, 21]. Трехмерное обобщение результатов [2] получено в [3], где показано, что практически во всех случаях наиболее опасны в смысле неустойчивости плоские азимутальные волны (ниже мы покажем, что есть исключения). Наконец, в работе [12] исследована комбинация течения Куэтта -Тейлора с радиальным потоком и аксиальным течением пуайзелевского типа и, в частности, обнаружено, что критический режим становится неосесимметричным, когда радиальный поток достаточно силен и зазор между цилиндрами достаточно широк.
Хотя перечисленные исследования привели к значительному прогрессу в понимании влияния радиального потока на устойчивость течения Куэтта -Тейлора, полной картины они не дают ввиду различных ограничений на типы возмущений и/или диапазоны параметров. Наши результаты заполняют большинство существующих пробелов в этой области. Здесь мы даём краткое изложение. Подробности см. в [22].
Постановка задачи
Пусть вязкая несжимаемая и однородная жидкость прокачивается через зазор между двумя круглыми пористыми соосными цилиндрами с радиусами г2 > гх, так что её расход равен некоторой постоянной Q, причём внутренний цилиндр вращается с угловой скоростью Пх = = const, а внешний - со скоростью П2 = const. В качестве уравнений движения принимаем уравнения Навье - Стокса. На граничных цилиндрах задаем все компоненты скорости жидкости, причём радиальная скорость определяется расходом, а остальные - движением цилиндров. Такая постановка граничных условий соответствует первому приближению условий на интерфейсе жидкость - пористая среда [23].
Безразмерные уравнения движения имеют вид
V V2
Щ + UUr + —Un+ wuy--=
t г г ь z г
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
1Щ\ г2 г2 tíJ
= -Pr+-lV2u
V UV Vt + UVr + —Vg + wuy +--=
t r r r
1 1 / „ V 2
r2Ue
"Ре+Щ^-^
r
V
r
)
wt + uwr + —we + wwz
V2 = д2 + 1dr + -^dg + v и w - радиальная,
1 1
- (ги)г + -Рв + = 0.
Здесь (г, в, г) - цилиндрические координаты;
1
-I
г ' г2
азимутальная и осевая компоненты вектора скорости жидкости; р - давление; И = Q/v (где V обозначает кинематическую вязкость жидкости) -радиальное число Рейнольдса. В зависимости от направления потока величине <2 приписывается знак «+», если поток расходящийся (направлен от внутреннего цилиндра к внешнему), «-» - если сходящийся (направлен от внешнего цилиндра к внутреннему); Q = 0, если радиального потока нет. Соответственно, И > 0 (И < 0) в случае расходящегося (сходящегося) потока; И = 0, если радиального потока нет.
Безразмерные граничные условия Р
и\г=1=р, u\r=a=-, у\г=1 = У1, У2
У\г=а=—, W\r=l = Ш\г=а = 0, где
Г2 П.1Г1 ПтТ2
а = г- Г2=Ж
а гил Г0/\0\, 0*0 Р = ^(0)={°;\ \ R = 0;
П1 и П2 - угловые скорости внутреннего и внешнего цилиндров соответственно; Р = ±1 (плюс - в случае расходящегося потока, минус -сходящегося). Мы введём ещё два числа Рейнольдса, основанных на угловых скоростях цилиндров,
П1Г1(Гт-Г1) П2г2(гт-г1)
0е1 =-, 0е2 =-,
(1)
называть сквозным течением Куэтта - Тейлора (СКТ).
Исследование устойчивости СКТ-течения по линейному приближению сводится к изучению собственных мод
и, д,у/,р =
= [й(г), р(Г), Щг), р(г)}еа1+1пв+1кг, где п - целое, Задача на собственные
значения а зависит от параметров И (И имеет знак Q), 0е,, I = 1,2, волновых чисел п, к и а = г2/г1. Для решения спектральной задачи применялась версия [24] спектрального метода Петрова -Галеркина. На этой основе построены нейтральные кривые 0е1(к) (при фиксированных Я,п,а и 0е2) и 0е2(к) (при фиксированных Я,п,а и Ое^. Параметрам, принадлежащим нейтральной кривой, соответствует собственная мода с Яеа = 0. Ниже нейтральной кривой собственные моды с соответствующими ей волновыми числами затухают. Критические значения 0е1 (или 0е2) получены путем минимизации значений, лежащих на нейтральных кривых, по п и к. Значения п,к, доставляющие указанные минимумы, также называем критическими. По найденным критическим значениям построены критические кривые на различных плоскостях параметров Д, 0еъ0е2, п, к.
Нейтральные кривые
Анализ нейтральных кривых (рис. 1) показывает, что расходящийся радиальный поток вытесняет классические осесимметричные моды Куэтта -
при этом
_ 1 _ а Я2
^1 = a-l'\R\, У2 =
Данные граничные условия определяют ровно одно вращательно-инвариантное плоское стационарное решение, которое представляет собой непосредственное обобщение классического течения Куэтта - Тейлора на случай проницаемых цилиндров. В дальнейшем это течение будем
Рис. 1. Нейтральные кривые при и=0, 1, 2, 3, a=2, Re2=0: a - R=0; б - R=30; в - R=50; г - R=70 / Fig. 1. Neutral curves for n = 0,...,3, a = 2, Re2 = 0: a - R = 0; b - R = 30; c - R = 50; d - R = 70
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
Тейлора в область больших Rex и больших осевых волновых чисел; при увеличении радиального числа Рейнольдса появляются новые спиральные длинноволновые неустойчивые моды, и они становятся более опасными (в смысле неустойчивости), чем осесимметричная мода Куэтта - Тейлора. Эти спиральные волны - продолжение в область ненулевой вязкости невязких неустойчивых мод [1-3]. Рассмотрение нейтральных кривых расходящегося потока приводит к аналогичным выводам.
Критические кривые при покоящемся выходном цилиндре
Пусть Re2 =0 в случае расходящегося потока (т.е. при Д > 0) и Re1 = 0 - в случае сходящегося (т.е. при Д < 0), так что выходной цилиндр покоится. Рассмотрим критические кривые расходящегося потока на плоскости (Д, Re1) и соответствующие критические значения осевого и азимутального волнового чисел (рис. 2 и 3). C ростом Д происходит переход от осесимметричной критической моды к неосесимметричной. При достаточно больших Д азимутальное волновое число наиболее неустойчивого режима выше при меньших а (псг = 2 и при а > 8); значение Д, при котором происходит переход от осесимметричной критической моды к неосесимметричной, становится меньше при больших значениях а; при больших Д наклон каждой из критических кривых стремится к пределу, определяемому первой из формул (1), где у1 принимает критическое значение, полученное из невязкой теории [3], так что неосесимметричные критические моды -продолжение невязких мод [1-3]; эти невязкие моды проникают в область умеренных Д: Д < 50 при а = 2, Д < 12,8 при а = 4, Д < 7 при а = 8.
В случае сходящегося потока и покоящегося внутреннего цилиндра результаты аналогичны изложенным, но предельный наклон критической кривой на плоскости (Д, Re2) при Д ^ — го определяется второй из формул (1), где у2 принимает критическое значение, полученное из невязкой теории [3]. При этом невязкие моды проникают в область умеренных й не столь глубоко и наблюдаются при Д < —105,485 для а = 2, Д < —80,98 для а = 4; Д < —76,203 для а = 8. Тем не менее неустойчивость проникает в такие области в пространстве параметров, в которых в случае непроницаемых цилиндров была бы устойчивость [4, 25].
Отметим также, что во всем рассмотренном диапазоне значений а наблюдалось нулевое критическое осевое волновое число сходящегося потока, так что &сг = 0, т.е. критические моды
Рис. 2. Критические значения ncr и fccr. Кружками отмечены вычисленные точки / Fig. 2. Critical values of ncr and fccr. The circles indicate the actually calculated points
4000 Re,
3000
1000
1500 Re,
1 -/ '-' -1
г 1 unstable ...... " а-4 - а-2
1 1 1 _1_ а/а stable
500
1
Г^а.4
у 1 а«8 Н
б/ь J
Рис. 3. Критические кривые расходящегося потока при покоящемся внешнем цилиндре (Re2=0) и при a=2; 4; 8.
Кривые построены интерполяцией по отмеченным кружками точкам. На панели б показана увеличенная область, обведённая пунктиром на панели а / Fig. 3. Critical curves of the diverging flow when the external cylinder rests (Re2 = 0) for a = 2, 4, and 8. The curves are interpolated using the points marked by circles. Panel b shows the enlarged area that has been surrounded by the dotted line on panel a
всегда плоские (в отличие от расходящегося потока), а критические азимутальные волновые числа таковы: псг = 1 при а = 8; псг = 1 или псг = 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
при а = 4; псг = 1, или псг = 2, или псг = 3, при а = 2 с (псг возрастают вместе с К).
Критические кривые в общем случае. Расходящийся поток
Если оба цилиндра вращаются, то в случае непроницаемых цилиндров область неустойчивости на плоскости ^е2, Re1) располагается левее линии Рэлея Re1 = а Re2, которая представляет собой асимптоту критической кривой при Re2 ^ [4]. На рис. 4 показано, как радиальный поток изменяет критическую кривую и её расположение относительно линий Рэлея при а = 2. Сходящийся поток значительно стабилизирует в области разновращающихся цилиндров и не оказывает заметного воздействия в противном случае, что согласуется с известными результатами [10, 13]; расходящийся поток сильно дестабилизирует в области однонаправленно вращающихся цилиндров, что связано с невязкими спиральными модами [3]; с ростом Д влияние выходного цилиндра быстро падает, так что критическая кривая становится более пологой, что также согласуется с невязкой теорией [2, 3]. При а = 4; 8 результаты качественно аналогичны изложенным. Однако невязкие моды наблюдаются при заметно меньших Д; области неустойчивости проникают через линию Рэлея в виде узких языков, которые затем быстро расширяются.
Сходящийся поток может как стабилизировать, так и дестабилизировать. На рис. 5 показаны области неустойчивости на плоскости ^е2^е1) при а = 2, Д < 0 и относительно больших |Д|. Они несвязны и состоят из внутренностей нескольких овалов, сильно вытянутых вдоль оси Re1. С ростом |Д| овалы вытягиваются по вертикали и становятся столь велики, что не помещаются в рамку рисунка, а их границы выглядят как прямые, параллельные оси Re1, постепенно сдвигающиеся в её сторону. Область устойчивости при этом прилегает к оси
Рис. 4. Критические кривые на плоскости (Re2, Rei) при a = 2 и при различных R. Кривые построены интерполяцией по отмеченным кружками точкам / Fig. 4. Critical curves on the plane (Re 2, Re i), a = 2 for various R. The curves are interpolated using the points marked by circles
Рис. 5. Области неустойчивости на плоскости (Re2, Re1) при а = 2 и различных отрицательных R / Fig. 5. Areas of instability on (Re2, Re1 )-plane for a = 2 and several negative R
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
Re1. При a = 4; 8 и Д < 0 наблюдалась картина, качественно аналогичная описанной. Однако области неустойчивости возникали при меньших R (Д ~ -80,97 при а = 4 и Д « -70,203 при а = 8). Кроме того, c ростом |Д| овалы быстрее растягиваются по вертикали, а область устойчивости быстрее стягивается к оси Re1. Таким образом, сильный сходящийся поток дестабилизирует, тогда как относительно слабый - стабилизирует.
Литература
1. Ilin K., Morgulis A. Instability of an inviscid flow between porous cylinders with radial flow // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 730. P. 364-378.
2. Ilin K., Morgulis A. Instability of a two-dimensional viscous flow in an annulus with permeable walls to two-dimensional perturbations // Phys. Fluids. 2015. Vol. 27. P. 044107.
3. Ilin K., Morgulis A. Inviscid instability of an incompressible flow between rotating porous cylinders to three-dimensional perturbations // Eur. J. Mech. B/Fluids. 2017. Vol. 62 (1). P. 46-60.
4. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 164. P. 155-183.
5. Bahl S.K. Stability of viscous flow between two concentric rotating porous cylinders // Def. Sci. J. 1970. Vol. 20 (3). P. 89-96.
6. Chang S., Sartory W.K. Hydromagnetic stability of dissipative flow between rotating permeable cylinders // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 27. P. 65-79.
7. Gallet B., Doering C.R., Spiegel E.A. Destabilizing Taylor-Couette flow with suction // Phys. Fluids. 2010. Vol. 22 (3). P. 034105.
8. KerswellR.R. Instability driven by boundary inflow across shear: a way to circumvent Rayleigh's stability criterion in accretion disks? // J. Fluid Mech. 2015. Vol. 784. P. 619-663.
9. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders // Trends in Applications of Mathematics to Mechanics / eds. G. Iooss, O. Gues, A. Nouri. Chapman and Hall/CRC, 1999. P. 221-227.
10. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Convective instability boundary of Couette flow between rotating porous cylinders with axial and radial flows // Phys. Fluids. 1997. Vol. 9. P. 910-918.
11.MartinandD., Serre E., Lueptow R.M. Absolute and convective instability of cylindrical Couette flow with axial and radial flows // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21 (10). P. 104102.
12. Martinand D., Serre E., Lueptow R.M. Linear and weakly nonlinear stability analyses of cylindrical Couette
flow with axial and radial flows // J. Fluid Mech. 2017. Vol. 824. P. 438-476.
13. Min K., Lueptow R.M. Hydrodynamic stability of viscous flow between rotating porous cylinders with radial flow // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, № 1. P. 144-151.
14. Serre E., Sprague M.A., Lueptow R.M. Stability of Taylor-Couette flow in a finite-length cavity with radial throughflow // Phys. Fluids. 2008. Vol. 20 (3). P. 034106.
15. Beadoin G., Jaffrin M.Y. Plasma filtration in Couette flow membrane devices // Artif. Organs. 1989. Vol. 13 (1). P. 43-51.
16. Wron'ski S., Molga E., Rudniak L. Dynamic filtration in biotechnology // Bioprocess Engineering. 1989. Vol. 4 (3). P. 99-104.
17. Frank J., King A., Raine D. Accretion Power in Astrophysics. 3rd Edition. Cambridge University Press,
2002. 387 p.
18. Kersale E., Hughes D.W., Ogilvie G.I., Tobias S.M., Weiss N.O. Global magnetorotational instability with inflow. I. Linear theory and the role of boundary conditions // Astrophys. J. 2004. Vol. 602 (2). P. 892-903.
19. Fujita H., Morimoto H., Okamoto H. Stability analysis of Navier-Stokes flows in annuli // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1997 Vol. 20 (11). P. 959-978.
20. GeliertM., Rüdiger G. Stratorotational instability in Taylor-Couette flow heated from above // J. Fluid Mech. 2000. Vol. 12 (8). P. 1955-1968.
21. Leclercq C., Nguyen F., Kerswell R.R. Connections between centrifugal, stratorotational and radiative instabilities in viscous Taylor-Couette flow // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94. P. 043103.
22. Ilin K., Morgulis A. On the stability of the Couette-Taylor flow between rotating porous cylinders with radial flow // arXiv preprint arXiv:1811.10043. 2018.
23. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 30 (1). P. 197-207.
24. Meseguer A., Trefethen L.N. Linearized pipe flow to Reynolds number 107 // J. of Computational Physics.
2003. Vol. 186 (1). P. 178-197.
25. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor Problem // Applied Mathematical Sciences. Springer, N.Y.: 1994. Vol. 102. 233 p.
References
1. Ilin K., Morgulis A. Instability of an inviscid flow between porous cylinders with radial flow. J. Fluid Mech. 2013, vol. 730, pp. 364-378.
2. Ilin K., Morgulis A. Instability of a two-dimensional viscous flow in an annulus with permeable walls to two-dimensional perturbations. Phys. Fluids. 2015, vol. 27, p. 044107.
3. Ilin K., Morgulis A. Inviscid instability of an incompressible flow between rotating porous cylinders to
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
three-dimensional perturbations. Eur. J. Mech. B/Fluids. 2017, vol. 62 (1), pp. 46-60.
4. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders. J. Fluid Mech. 1986, vol. 164, pp. 155-183.
5. Bahl S.K. Stability of viscous flow between two concentric rotating porous cylinders. Def. Sci. J. 1970, vol. 20 (3), pp. 89-96.
6. Chang S., Sartory W.K. Hydromagnetic stability of dissipative flow between rotating permeable cylinders. J. Fluid Mech. 1967, vol. 27, pp. 65-79.
7. Gallet B., Doering C.R., Spiegel E.A. Destabilizing Taylor-Couette flow with suction. Phys. Fluids. 2010, vol. 22 (3), p. 034105.
8. Kerswell R.R. Instability driven by boundary inflow across shear: a way to circumvent Rayleigh's stability criterion in accretion disks? J. Fluid Mech. 2015, vol. 784, pp. 619-663.
9. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders. Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. G. Iooss, O. Gues, A. Nouri (eds.). Chapman and Hall/CRC, 1999, pp. 221-227.
10. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Convective instability boundary of Couette flow between rotating porous cylinders with axial and radial flows. Phys. Fluids. 1997, vol. 9, pp. 910-918.
11. Martinand D., Serre E., Lueptow R.M. Absolute and convective instability of cylindrical Couette flow with axial and radial flows. Phys. Fluids. 2009, vol. 21 (10), p. 104102.
12. Martinand D., Serre E., Lueptow R.M. Linear and weakly nonlinear stability analyses of cylindrical Couette flow with axial and radial flows. J. Fluid Mech. 2017, vol. 824, pp. 438-476.
13. Min K., Lueptow R.M. Hydrodynamic stability of viscous flow between rotating porous cylinders with radial flow. Phys. Fluids. 1994, vol. 6, No. 1, pp. 144-151.
Поступила в редакцию /Received
14. Serre E., Sprague M.A., Lueptow R.M. Stability of Taylor-Couette flow in a finite-length cavity with radial throughflow. Phys. Fluids. 2008, vol. 20 (3), p. 034106.
15. Beadoin G., Jaffrin M.Y. Plasma filtration in Couette flow membrane devices. Artif. Organs. 1989, vol. 13 (1), pp. 43-51.
16. Wron'ski S., Molga E., Rudniak L. Dynamic filtration in biotechnology. Bioprocess Engineering. 1989, vol. 4 (3), pp. 99-104.
17. Frank J., King A., Raine D. Accretion Power in Astrophysics. 3rd Edition. Cambridge University Press,
2002, 387 p.
18. Kersale E., Hughes D.W., Ogilvie G.I., Tobias S.M., Weiss N.O. Global magnetorotational instability with inflow. I. Linear theory and the role of boundary conditions. Astrophys. J. 2004, vol. 602 (2), pp. 892-903.
19. Fujita H., Morimoto H., Okamoto H. Stability analysis of Navier-Stokes flows in annuli. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1997, vol. 20 (11), pp. 959-978.
20. Geliert M., Rüdiger G. Stratorotational instability in Taylor-Couette flow heated from above. J. Fluid Mech. 2000, vol. 12 (8), pp. 1955-1968.
21. Leclercq C., Nguyen F., Kerswell R.R. Connections between centrifugal, stratorotational and radiative instabilities in viscous Taylor-Couette flow. Phys. Rev. E. 2016, vol. 94, p. 043103.
22. Ilin K., Morgulis A. On the stability of the Couette-Taylor flow between rotating porous cylinders with radial flow. arXivpreprint arXiv:1811.10043. 2018.
23. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall. J. Fluid Mech. 1967, vol. 30 (1), pp. 197-207.
24. Meseguer A., Trefethen L.N. Linearized pipe flow to Reynolds number 107. J. of Computational Physics.
2003, vol. 186 (1), pp. 178-197.
25. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor Problem. Applied Mathematical Sciences. Springer, N.Y.: 1994, vol. 102, 233 p.
17 января 2019 г. / January 17, 2019
