Критерий определения числа гармоник рядов Фурье, аппроксимирующих напряжения и токи трансформатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.314.21

РО!: 10.25206/1813-8225-2018-161-82-89

В. л. ФЕДОРОВ

Омский государственный технический университет, г. Омск

КРИТЕРИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

числа гармоник рядов фурье,

АППРОКСИМИРУЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКИ ТРАНСФОРМАТОРА

Результаты измерений напряжений и токов трансформатора часто аппроксимируют рядами Фурье. Точность аппроксимации зависит от числа удерживаемых гармоник. В статье предложен критерий определения числа гармоник, который обеспечивает коэффициент корреляции между измерениями (в виде массивов цифровых данных) и их аппроксимацией рядами Фурье, равный единице. Полученная оценка относительной погрешности аппроксимации не превышает 0,31 %. Показана работоспособность критерия в диапазонах изменения суммарных коэффициентов гармонических составляющих тока (3,27...70,97) % и напряжения (0,19...9,29) %. Установлено, что снижение величины коэффициента корреляции тока до 0,996.0,947 (при уменьшении числа гармоник по сравнению с расчетным) приводит к увеличению оценки относительной погрешности аппроксимации до (8,27.29,65) %. Предложенный критерий может использоваться: а) при исследовании периодических установившихся процессов в трансформаторе как в режиме холостого хода, так и под нагрузкой; б) для определения динамических магнитных свойств магнитомягких материалов индукционным методом.

Ключевые слова: трансформатор, ряды Фурье, число удерживаемых гармоник, коэффициент корреляции, оценка относительной погрешности.

Введение. Измерение напряжений и токов трансформаторов часто производится цифровыми осциллографами. Основой их работы является преобразование входных аналоговых сигналов в массивы дискретных цифровых данных. Использование этих массивов с целью анализа установившихся периодических режимов работы трансформатора обусловливает необходимость обратного преобразования дискретных данных в непрерывные функции времени. В итоге конечные результаты измерений являются некоторыми аппроксимирующими функциями.

Аппроксимация периодических функций часто осуществляется рядами Фурье. Их применение для исследования режимов работы трансформаторов описано в большом количестве публикаций, например, [1 — 11]. Аппроксимируемыми функциями в этих работах являются: напряжения [1, 5, 7, 8], токи [1—4], [6], [7—11], напряженность магнитного поля [3], магнитная индукция [3, 5] однофазных [1, 2, 5, 6, 8, 9, 11] и трехфазных [3, 4, 7] трансформаторов.

Любая задача аппроксимации должна быть решена с заданной точностью, т.е. отклонение аппроксимирующей функции от фактической не должно превышать некоторой величины. Применительно к сочетанию «цифровой осциллограф — ряды Фурье» результирующая погрешность зависит от ряда факторов, в том числе от погрешности аналого-цифрового преобразователя (АЦП), от наличия

внешних электромагнитных помех во входном сигнале АЦП и от количества удерживаемых гармоник в ряде Фурье.

В свою очередь, погрешность цифрового осциллографа зависит от:

1) разрядности АЦП, следствием которой является т.н. ошибка квантования (шум квантования);

2) дрожания фронта синхросигнала, следствием которого является т.н. апертурная погрешность.

Эти составляющие могут быть уменьшены рациональным выбором используемого осциллографа на этапе планирования проведения измерений. Дополнительное уменьшение погрешности осуществляет сам ряд Фурье с конечным числом гармоник. Это объясняется тем, что частота синхронизации и частота дрожания фронта синхросигнала, как правило, существенно больше частоты последней удерживаемой гармоники в ряде Фурье.

Важнейшей задачей обеспечения заданной точности аппроксимации является определение числа удерживаемых гармоник по некоторому критерию. Следствиями ошибочного выбора являются:

а) недопустимое увеличение погрешности из-за малого числа гармоник. Например, в работе [2] при аппроксимации тока используется сумма первой и третьей гармоник. Это может быть справедливо в случае, если сердечник трансформатора работает (перемагничивается) в узкой линейной зоне (вблизи начала координат) динамической кривой намагничивания. При насыщении сердечника и резком

искажении формы тока потребуется большее число удерживаемых гармоник для достижения заданной точности;

б) неоправданное увеличение времени счета ЭВМ из-за избыточного числа гармоник. Примером такой работы является [4], в которой для расчета тока используется 6000 гармоник без какого-либо обоснования их количества.

Обзор публикаций по исследованию режимов работы трансформаторов с применением рядов Фурье показывает, что вопросы выбора числа удерживаемых гармоник по какому-либо условию и оценки точности результатов аппроксимации рассматриваются недостаточно полно либо игнорируются.

Наличие электромагнитных помех во входном сигнале АЦП, частота которых соизмерима с частотой полезного сигнала, делает невозможным точное определение фактической погрешности измерения. Это объясняется тем, что АЦП осуществляет преобразование не полезного сигнала, а суммы полезного сигнала с помехой. Поэтому возможно определение только оценки погрешности измерения. Несмотря на это, адекватность измеряемой величины (в виде массива цифровых данных на выходе АЦП) и результата аппроксимации рядом Фурье может быть проанализирована путем расчета коэффициента корреляции Л между ними.

Постановка задачи. Целями данной статьи являются:

1. Установление критерия для определения числа удерживаемых гармоник напряжений и токов трансформатора. Проверка получаемых результатов (числа гармоник) путем расчета коэффициента корреляции и оценки относительной погрешности аппроксимации.

2. Проведение сопоставительного анализа результатов аппроксимации с числом гармоник по предлагаемому критерию и аппроксимации с произвольным (меньшим) числом гармоник. Для этого необходимо выполнить: а) исследование влияния максимального значения напряженности магнитного поля Н и максимального значения соб-

тах

ственной магнитной индукции сердечника Вм тах, обусловленной его намагничиванием, на коэффициент корреляции и оценку относительной погрешности аппроксимации для произвольного числа удерживаемых гармоник; б) исследование влияния коэффициента корреляции на оценку относительной погрешности аппроксимации для произвольного числа удерживаемых гармоник.

Решение поставленных задач осуществляется для того же образца трансформатора без нагрузки, как и в [12]. Сердечник трансформатора представляет собой броневой ленточный магнитопровод, выполненный из магнитомягкой стали. Обозначим и1, и2 — напряжения на первичной и вторичной обмотках соответственно, г — ток первичной обмотки. Число витков первичной обмотки ж1 = 1430. Трансформатор содержит несколько вторичных обмоток с различными числами витков ж2 = 26, 33, 51. В зависимости от величины входного напряжения и1 вторичная обмотка выбиралась так, чтобы | сг | < 10 В. Активное сопротивление и индуктивность первичной катушки (без сердечника): г1 = 43,01 Ом, Ь = = 48,6 -10-3 Гн. Параметры магнитопровода:длина средней линии I = 0,146 м; площадь поперечного сечения 5 = 4,48 • 10-4 м2.

с

На первичную обмотку подавалось синусоидальное напряжение частотой { = 40 Гц. Измерение напряжений и1, и2 и тока г (рис. 1) проводилось циф-

Рис. 1. Осциллограммы напряжений u., u2 и тока i

ровым осциллографом и цифровым вольтметром при различных величинах действующего значения напряжения Ш на первичной обмотке.

Аналого-цифровой преобразователь осциллографа имеет разрядность 14 бит, частота дискретизации [аас = 40 кГц. Данная частота £аас обеспечивает 1000 измерений напряжения (тока) на одном периоде и1.

По мере возрастания напряжения Ш проводилось преднамеренное искажение его формы с целью увеличения искажения тока и проверки работоспособности предлагаемого критерия. Контроль степени искажения осуществлялся путем расчета суммарных коэффициентов гармонических составляющих напряжения первичной обмотки К и тока К.

Отметим, что по стандартам [13] и [14] величина Ки не должна превышать 8 % для электрической сети напряжением 0,38 кВ и 1 кВ соответственно. Существуют различные оценки допустимых искажений тока, например, К1 = 5 % [15], К1 = 10 % [16].

Теория. Воспользуемся следующей формой записи ряда Фурье с конечным числом учитываемых гармоник

f(t) = ^ An sin(n2f + an) ,

где п — номер гармоники; Ап, ап — амплитуда и начальная фаза п-й гармо ники.

Из теоремы Котельникова (Найквиста —Шеннона) следует, что чисно удерживгемых гармоник ряда Фурье доиж но удовлетворять неравенст ву

m < ■

■ = 500.

2f

Полученное колрчестно гармоиик (¿500) являетая избыточным дчя анпрокгимацио гяпряжес ий и то -ков трансформатора. Для предварительного выбора значения т учтем рекомчндации стандартов [13] и [15]. Так, дчя расчета суммартоео кооффициеНс та гармонических составляющих напряжения Ки, согласно [13], необходимо учитывать 40 гармоник, а по требованиям [15] — 50 гармонок. ВыТерсем с некоторым запасом ур < 65. Отметим, что при необходимости величина т может быть увеличена.

Кроме того, уччем, что используемое напряжение и1 и динамическая кривая намагничивания магнитомягкой стсли сердечника трансформатора удовлетворяют условиям и^К) = — ^рч- ( 2 /) 1 ],

B.

(H ) = - B

xv max'

, — Н t и не имеют разрывов

M maxv max' 1 1

n = 1

производных. Поэтому ряды Фурье для аппроксимации массивов дискретных цифровых данных и1, и2, г должны состоять из нечетных гармоник.

Обозначим V — пока неизвестное число удерживаемых нечетных гармоник. Количество нечетных гармоник V и н омер последней нечетной гармоники т связаны соотношением

т = 2v -1.

Обозначим аппроксимацию измеренных величин и1, и2, 2 аядами Фурье в виде

)еа-1) (пп[)еа - 1)[)нНС + Р^еа-ц^

5 = 1

т2ар]С] = ¿72//2(2[-ц ТП)ее - 1)2тт^ + р2(2[-1,](

5 = 1

V .

бРг

са-1) (п/)аа 1)НПС + <з^(.15_1)]г

где UС(е=-,): Л(2в-1), Р^-1), Р2(2В-1), а(2в-1) —

д-йсчвующие значения и начальные фазы гармоник

напряжени я и тока.

Вариация числа учитываемых неоетных гармоник приводит к изменению трех вржных па/оме-трюв периодической функции. Рассмотрим эти параметры н а примере аптроксимац и и т ека Н (рис. 2-.

1. !з^зе./е]е:тбб[[на аргумента (времени): при которой функ.ия стаоовится рс^вной н}ал+) (при переходе из отриц ательных з начеаи И а пов ож иneнаныа). Обозначим эти моменты 1 ремени СТ , ()е, С'е для пряжинай иI и2 и поеа г сенав+тственно. На рис. Т приведены графики аппрсжтимации тока и=п проС извольном значении 4 = 2, V = 29 и соответствующие м оменты вр емени С/, С/9 .

2. Величина а]гумента (времени), при кстор1Й функция принимает максимальное положительное значение. Обозначим эти моменты времени

С"1 Ст

*■ о г I б

со

а -) !

е - е

V ] = ^; г(н)^|] =

,и.2 й й

Я (тЛ — V V -1 • £ ,к гп,у (п,л-1 •

6зМ - —и— ; б4(л] = —!—а—!— ;

<и1 <и1 ±ин ±ин

8 ш. V ш.у-1 • с /,.,.4 т. V ш.у-1

5(л] = ! .и. ! ; 8вМ = ! .ин !—

87(у] - ■

■; 88(т.) =

89(у] -

Нтахл Нтаху-1

Поиск числа удерживаемых гармоник будем проводить в диапазоне

Рис. 2. графики апп^ксимацсзи тока i с числом нечетных гармоник v = 2,v = 29

V = 2, 3...(т+ 1-/2.

(С)

Формулировкс нрионрия: вч1бираем такое количество гармоник V из диа пазо-а (1], д-ш котт)юг-]( о-ерв-треоно вьшолнеютсс условмя:

I а,)г)|на _ н,

к = 1 .Зд;

3? , , аа ^мн сш : ¿=1 я

(2) ) 3)

Здесь К _ Н — допустимая втличггна относитеть-ного отклонения, I? относи тельных един кцгн или процентах; д — нбще- число измеренных напряже-ний и ток ов. КЗ раснмнтрипа ем ом с л=чае г) = 3.

Результаты экспериментов. Измерения просо-дилась п)СИ селичинах действующнга значения напряжения на II ераичннй обмотке

и1 = 50, 60. ..250

(4)

■о,г. -о,г г -он для напряжений и1, и2 и тока г соответственно. На рис. 2 показаны моменты времени С- 3

•о,е г о,е9 |

3. Максияальное положительное значение функции. Обозначим эти величины и , и , I V кчч ннпряжений и^ и2 и тока г соответственно. На рис. 2 показаны максимальные значения г н,

1 шах,2'

^шах,29.

Введем относительные отклонения трех вышепе-речиален)^)].))) пе.аметров для напряжений и тока:

Заданная теличитт допустимого относительного от-лон ения а_н = е,ец %.

Опредтттни- тттла учитываемых гармоник про-10-11)4)^)]^ в два этапа. На пел-он эеапе для каждого напряжения Ш срсз (4) рассчитывались величины Ч1)п) ... Ч9)г) для всех V из диапнзона (1). Осциллограммы напряжений и1, и2 и тока г, а также графики относительных отклонений а1 )г), К4)=), К7)еС) приведены на рис. 3а, 3в и рис. 3б, 3г для действующих значений напряжения Ш=50 В и Ш=250 В соответственно.

На втором этапе по результатам расчета 8 1 ( за).). Р9)т) для каждого напряжения 111 (из (4)) выбирались все величины V, рлз котррых выполнялось условие (2). Соответствующие им значе-

81(3) 89(3) | и суммы ^|р4(зг) I

помещались

в таблицы (например, см. табл. 1, Ш = 50 В). Окончательно из полученных таблиц выбирались ис-комыевеличины V удерживаемых гармоник, удовлетворяющие условию (3). Так, для напряжения и\ = 50 В получено значение V = 11 (выделено в табл. 1 полужирным шрифтом). В табл. 2 и табл. 3 приведены величины V для всех напряжений из диапазона (4).

Анализ точности результатов аппроксимации выполним на примере тока, т.к. его форма существенно искажается при насыщении сердечника. Обозначим Лг — размахколебаний результатов измерения тока (рис. 1). Графики г(1), для напряжений и1 = 50 В и и1 = 250 В приведены на рис.4а и рис. 4в.

Обозначим отклонение результатов аппроксима-циитокаот измеренного значения

5 = 1

к=1

V

V

шах!^

и

2 тахл^

а) U1= 50 В

последней гармоники i б) U1= 50 В

я

Я о

О-

400

200

&

J-200

-400

и? у

/ \ /

/N / / \ ) А

ЧУ

0 *

о Н

0.01

Время t (с) в) U1= 250 В

0.02

0.05

-0.05

1 и ■ •• 1 • I 1 1 > 1 1 1 I 1 • 1 » 1 1 \ SJ , Л / ■ it , ! \ • 1 . » |< • 1 « « 1 1 ' # « 1 * 1

1 1 • 1 I 1 1 • • 1 ■ • II $ 4 t Ф в " а И * • * --- <5, - <54

35

45

55

65

Номер последней гармоники m г) U1= 250 В

Рис. 3. Осциллограммы напряжений и тока (а), (в); зависимость относительных отклонений З^у), 84(у), 87(у) от числа удерживаемых гармоник V = (ш+1)/2 (б), (г)

Результаты расчетов | St(v) |, удовлетворяющих условию (2); U1=50 В

Таблица 1

v | 8,(v)|, % | 87(v)|, % | S4(v)|, % | §2(V) | , % | 88(v)|, % | S5(v)h % | 5з|(v), % | 89(v)|, % | 86(v) ^ % Ь S»(v)|, % k = 1

10 3,44E-03 4,60E-03 3,45E-03 1,06E-02 3,03E-03 2,19E-02 1,08E-04 1,18E-03 2,12E-03 5,04E-02

11 5,98E-03 8,48E-03 3,24E-04 4,31E-03 3,18E-03 3,30E-04 2,35E-04 7,12E-04 2,82E-03 2,64E-02

12 1,21E-03 2,22E-03 4,35E-03 2,06E-02 5,13E-03 2,34E-02 6,44E-04 1,14E-03 9,14E-03 6,78E-02

13 3,61E-03 3,17E-03 2,49E-02 5,17E-03 5,06E-03 6,12E-03 2,43E-04 2,28E-04 4,41E-03 5,29E-02

16 4,09E-03 3,58E-04 4,44E-02 7,12E-03 2,81E-04 1,89E-02 4,93E-04 1,81E-03 1,36E-02 9,11E-02

21 1,91E-03 4,67E-03 4,74E-02 7,73E-03 9,34E-04 3,22E-02 4,05E-04 4,42E-03 1,92E-03 1,02E-01

22 4,50E-04 2,18E-03 2,05E-02 1,84E-02 2,87E-03 3,86E-02 5,59E-04 3,64E-04 1,83E-02 1,02E-01

23 9,15E-04 2,15E-03 3,38E-02 4,53E-03 7,56E-04 8,98E-03 1,04E-03 3,78E-04 3,21E-02 8,46E-02

27 1,12E-03 1,07E-03 2,34E-02 8,93E-03 3,05E-03 6,81E-03 2,47E-04 9,21E-04 4,11E-03 4,96E-02

28 6,55E-04 7,87E-04 1,42E-02 1,66E-02 1,66E-03 4,48E-02 5,38E-04 2,С 7E-03 4 ,56E-03 8,65E-02

MPr(t) = i(t) - iPr(t),

Mp2(t) = i(t) - ip2(t),

графики которых приведены на рис. 4б и рис. 4г. Очевидно, что отклонения AiPr(t), Aip2(t) являются следствием шумов АЦП, электромагнитных помех и несоответствия форм измеряемого тока (в виде массива цифровых данных) и результата его аппроксимации рядом Фурье.

Обозначим AAi AAip2 — размах отклонений результатов аппроксимации тока от измеренного значения (см. рис. 4б и рис. 4г).

Окончательно определим оценку относительных погрешностей аппрокс имации как

SiB,

AAip Ai

Для каждого напряжения ¡71 из (4) и соответствующего ему значения V, выбранного по предлагаемому критерию, были рассчитаны оценки относительных погрешностей 8iFV, коэффициенты корреляции тока Riv и напряжений Ли1г, Ли2у (табл. 2). С целью проведенио со поотавительного анализа также были рассчитаны оценки относительных

Оценки относигель ных погрешностей аппроксимации, коэффициенты корреляции

Таблица 2

¡71, В V Л1, А 8'лу ■ % 5/л % 5г'л 3,% 5;'л2, % Ru1v Ru2v Riv ^3 ^2

50 11 1,91Е-02 0,25 0,27 0,34 0,67 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

60 13 2,31Е-02 0,24 0,31 0,39 0,78 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

70 11 2,72Е-02 0,19 0,27 0,41 0,88 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

80 28 3,15Е-02 0,18 0,25 0,43 1,04 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

90 14 3,64Е-02 0,13 0,21 0,41 1,15 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

100 28 4,17Е-02 0,17 0,26 0,44 1,29 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

110 20 4,76Е-02 0,14 0,23 0,43 1,40 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01

120 17 5,40Е-02 0,23 0,36 0,55 1,54 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01

130 17 6,12Е-02 0,17 0,33 0,52 1,69 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01

140 22 6,93Е-02 0,17 0,34 0,58 1,86 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01

150 16 7,88Е-02 0,19 0,40 0,68 2,13 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,998Е-01

161 28 8,92Е-02 0,12 0,42 0,82 2,49 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,998Е-01

170 16 1,03Е-01 0,26 0,55 1,10 3,14 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 9,997Е-01

180 28 1,20Е-01 0,23 0,71 1,49 4,08 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01 9,994Е-01

190 27 1,42Е-01 0,21 0,89 2,03 5,54 1,00 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01 9,989Е-01

200 27 1,72Е-01 0,15 1,32 3,01 7,70 1,00 1,00 1,00 9,999Е-01 9,997Е-01 9,978Е-01

211 31 2,24Е-01 0,17 2,14 4,88 11,46 1,00 1,00 1,00 9,998Е-01 9,991Е-01 9,948Е-01

220 25 3,15Е-01 0,20 3,30 7,56 16,59 1,00 1,00 1,00 9,995Е-01 9,974Е-01 9,879Е-01

231 31 4,93Е-01 0,31 4,51 10,43 22,34 1,00 1,00 1,00 9,987Е-01 9,936Е-01 9,736Е-01

240 20 7,42Е-01 0,31 6,10 12,90 26,53 1,00 1,00 1,00 9,978Е-01 9,896Е-01 9,591Е-01

250 29 1,11Е + 00 0,30 8,27 15,42 29,65 1,00 1,00 1,00 9,962Е-01 9,856Е-01 9,465Е-01

а) и1= 50 В

б) и1= 50 В

в) и1= 250 В

г) и1= 250 В

Рис. 4. Временные диаграммы

Таблица 3

¡71, В V ки,% К,, % Нтах, А/м , Тл Мтах'

50 11 0,19 3,27 93,60 0,43

60 13 0,20 3,94 112,84 0,52

70 11 0,20 4,69 133,00 0,61

80 28 0,23 5,52 154,41 0,69

90 14 0,27 6,49 178,35 0,78

100 28 0,29 7,48 204,23 0,87

110 20 0,32 8,50 232,89 0,96

120 17 0,36 9,62 264,49 1,04

130 17 0,41 10,75 299,78 1,13

140 22 0,46 11,96 339,48 1,21

150 16 0,52 13,33 386,11 1,30

161 28 0,60 14,74 437,02 1,39

170 16 0,69 16,59 504,12 1,48

180 28 0,81 18,80 585,64 1,56

190 27 1,00 21,73 693,99 1,65

200 27 1,23 25,48 841,76 1,73

211 31 1,68 31,42 1097,46 1,81

220 25 2,43 39,95 1540,64 1,89

231 31 4,00 52,23 2416,54 1,96

240 20 6,18 62,63 3634,18 2,00

250 29 9,29 70,97 5413,96 2,02

а)

к н 3

а 3

0.985

<и |

г I з I в 1

•во о

X

0.97

■ 0.955

0.94

0.32

0.5 I 1.5 2

Магнитная индукция ВМтш (Т)

б)

О

X ^

л ^р Ч Р\

Ь Я

X I

ё I -в

0.08

я О

, 1

ч \

V8 V

/Л Вт

32

. к

0.5

1

15

Магнитная индукция ВМтах (Т) в)

3

О

Рис. 5. графики табличных зависимостей Ri (Щ, Ri (B), 8(В) и результатов интерполяции

погрешностей и коэффициенты корреляции тока при произвольном числе учитываемых гармоник: для v = 2 (плименяется в [2]), для v =3 [Л, 01] е (тлт! v = 4 [1, 9( [табл. 2).

Результаты расчета K, К, Hmax, Вм max (табл. 3) заимстеованыио [12] с незначительноЧ коррлюцией некоторых лелнчин.

Результаты расчетов (табл. 2, табл. 3) использовались для интерполяции с помощью кубических сплайнов динамической кривой намагничивания В„ (Н О иектагых завнсимостей R„(H), R,(H),

M maxv 02x' 12у ' i3y '

RJH), Г)2[гаг), ((„[Oí), Г)4[ОГ), а также Ra(B), R)(В), RJB), (Иь 2[R), е ¿b3(B),e¿e jr) — рис. 5.

Графики а)г]Н], Riv)B) и Га^,(B) построены по табличным данным отрезками прямых линий.Пока-занная на ч>ис. (Л индукция насыщения 0)2 = 2,2 Тл приведена в табл. 3.

Из данных табл. 2,табл. Зследует, что вы °ор v по предл^]^£1бл]у)0му ырттерию обеспечивает величины оценок относитенаной погрешности 8(0л < 0,331 %, коэффицитнтов ктрреляции Ri = Rui = Ru2 = 1 в диапазоеах изменения индукции 0< RRTaoc < RrS и суммарных коэффициентов гармонических составляющих тока К"2 = (3(27...[0,97) % и напряжения Km = (Н(19... 9,09) %.

Велиоин ы Ri° = Ruiv = Ru2v = 1 свидетельствуют о наличии положиытльно0 линейной связи между измтрентами и,Л[)г и2(t), i(t) (в виде массивов цифровых данных на выходе АЦП)и результатами их аппроксимацие рядомз Фурье.

Рнаультаты расчетов (табл.2,табл. 3)показыва-юи, что выОор iDORaocoшего чноиа гармоник по сравнению с расчнгным нприводит: а) к выполнению нераленатрч (г)[ < OoáF4 < е)])( < Г(га для любой величины мекс ималь<о й и<дукц ии 0 < Вм max < BMS; б) к возраaчaеию оценок относительной погрешности тока Г(ь 4, Г(ь 3, Г(ь 2 при увеличении индукции BM max; в г к сужзз мю .о, апазона изменения индукции 0 0 OM max 0 00Ms. в а)РеДелах которого коэффициенты корреляцив Ri4 < R R=1, Ri2= 1. Это объясняется yaeAR4HBающимон несоответствием форм измеряемого тока и результата его аппроксимации рядом Фурьз при уменыгтении числа удерживаемых гармоник.

По рззультатам расчотов (табл. 2, табл. 3) выполнена интерполяция кубическим сплайном за-висвмое)гн( Гц2[Н(2), график которой приведен на рнт. 6. На этом же рисунке представлены графики Г^з [Н )( ), Г(и [Нг4 ), построенные по табличным данным отре о ками п рямых линий.

Известно,что изменение коэффициента корре-лиции в праделах 0,9 < R <1 означает очень сильную взаимосвязь между переменными. Однако это не гапантирует малого значения оценки относительной погрешности (табл. 2). Так, минимальным зна[^гнз^ям кнаффициентов корреляции Ri2 = 0,9465; Ri3 = 0,9856; Ri4 = 0,9962 соответствуют величины Г(ь2 л 2Н]65 %; Г(ь3 л15,32 %; Г(ьз л8,27 % соответственно.

Выводы и заключение. Предложен критерий определения числа удерживаемых гармоник рядов Фурье для аппроксимации напряжений и тока трансформатора. Использование критерия обеспечивает коэффициент корреляции, равный единице, между измерениями в виде массивов цифровых данных и их аппроксимацией рядами Фурье. Оценка относительной погрешности аппроксимации не превышает 0,31 %. Показана работоспособность критерия в диапазонах изменения суммарных ко-

J3

5

н я о о ж н о а i: а

CJ

Я

О

30

22.5

. U,

•I

л

о «

7.5

л

А ^ OIF3

66 <5'>v |

0.94 0.96 0.98 1

Коэффициент корреляции (16)

Рис. 6. Графики табличных зависимостей (if3(Ri3), (if4(Rz4) и результатов интерполяции (i (Ri2)

эффициентов гармонических составляющих тока (3,27...70,97) % и напряжения (0,19...9,29) %. Установлено, что снижение величины коэффициента корреляции тока до 0,996.0,947 (при уменьшении числа гармоник по сравнению с расчетным) приводит к увеличению оценки относительной погрешности аппроксимации до (8,27.29,65) %. Это объясняется увеличивающимся несоответствием форм измеряемого тока и результата его аппроксимации рядом Фурье при уменьшении числа удержи-ваемыхгармоник. Предложенный критерий может использоваться: а) при исследовании периодических установившихся процессов в трансформаторе как в режиме холостого хода, так и под нагрузкой; б) для определения динамических магнитных свойств магнитомягких материалов индукционным методом.

Библиографический список

1. Huang S.-R., Chung S. C., B.-N. Chen. A harmonic model for the nonlinearities of single-phase transformer with describing functions // IEEE Transactions on Power Delivery. 2003. Vol. 18, no. 3. P. 815-820. DOI: 10.1109/tpwrd.2003.813878.

2. Tanaka T., Hirakiet E., Ueda K. A novel detection method of active and reactive currents in single-phase circuits using the correlation and cross-correlation coefficients and its applications // IEEE Transactions on Power Delivery. 2007. Vol. 22, no. 4. P. 2450-2456. DOI: 10.1109/tpwrd.2007.905359.

3. Shinya K., Saito K. Influence of magnetization characteristics of materials on the iron loss of wound-core-type three-phase transformers // Electrical Engineering in Japan. 2009. Vol. 169, no. 2. P. 48-55. DOI: 10.1002/eej.20767.

4. Chiesa N., Hoidalen H. K. Analytical algorithm for the calculation of magnetization and loss curves of delta-connected transformers // IEEE Transactions on Power Delivery. 2010. Vol. 25, no. 3. P. 1620-1628. DOI: 10.1109/tpwrd.2010.2045771.

5. Koprivica B. M., Ioan D., Milovanovic A. [et al.]. Harmonic analysis and modelling of magnetisation process in soft ferromagnetic material // Facta Universitatis. Series Electronics and Energetics. 2016. Vol. 30, no. 1. P. 121-136. DOI: 10.2298/ fuee1701121k.

6. Mejia-Barron A., Valtierra-Rodriguez M., Granados-Lieberman D. [et al.]. Experimental data-based transient-stationary current model for inter-turn fault diagnostics in a transformer // Electric Power Systems Research. 2017. Vol. 152. P. 306-315. DOI: 10.1016/j.epsr.2017.07.020.

7. Аржанников Б. А., Григорьев В. Ф., Бондаренко А. В. Исследование гармонических составляющих токов в трансформаторном агрегате с вольтодобавочным трансформатором // Транспорт Урала. 2014. № 2 (41). С. 93-97.

8. Дорожко С. В. Диагностика однофазного силового трансформатора в рабочем режиме // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 2015. № 1. С. 49 — 50. DOI: 10.17213/0136-3360-2015-1-49-52.

9. Ланкин А. М., Ланкин М. В. Метод измерения вебер-амперной характеристики электротехнических устройств // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 1. С. 246.

10. Ланкин А. М., Ланкин М. В., Гречихин В. В. [и др.]. Определение гистерезисных магнитных характеристик методом решения обратной задачи гармонического баланса // Фундаментальные исследования. 2015. Т. 2, № 8. С. 303 — 306.

11. Андреенков Е. С., Артемов А. И. Оценка погрешностей трансформаторов напряжения при несинусоидальной нагрузке // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2016. № 1 (113). С. 98-105.

12. Федоров В. Л. Однофазный трансформатор как источник токов высших гармоник // Динамика систем, механизмов и машин. 2017. Т. 5, № 3. С. 118-123. DOI: 10.25206/2310-97932017-5-3-118-123.

13. ГОСТ 32144-2013. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. Введ. 2014-07-01. М.: Стандартинформ, 2014. 16 с.

14. IEEE Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems // IEEE Std 5192014. 11 June 2014. P. 1-29 DOI: 10.1109/IEEESTD.2014.6826459.

15. IEEE Standard General Requirements for Liquid-Immersed Distribution, Power, and Regulating Transformers // ANSI/ IEEE Std C57.12.00-1987. 1 April 1988. P. 1-31. DOI: 10.1109/ IEEESTD.1988.81002.

16. Harmonic detection and filtering. Technical leaflet. 2008. URL: http://www.schneider-electric.com/en/download/ document/DBTP152GUI_EN/ (дата обращения: 25.06.2018).

ФЕДоРоВ Владимир Леонидович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Электрическая техника». SPIN-код: 2438-9854 AuthorID (РИНЦ): 205378 ORCID: 0000-002-8266-493X AuthorID (SCOPUS): 57201722424 ResearcherID: T-9673-2017 Адрес для переписки: [email protected]

Для цитирования

Федоров В. Л. Критерий определения числа гармоник рядов Фурье, аппроксимирующих напряжения и токи трансформатора // Омский научный вестник. 2018. № 5 (161). С. 82-89. DOI: 10.25206/1813-8225-2018-161-82-89.

Статья поступила в редакцию 12.09.2018 г. © В. Л. Федоров

р

о