CC BY
7УДК 622.331:504 Зюзин Б.Ф.
Зюзин Борис Федорович, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой торфяных машин и оборудования Тверского государственного технического университета. zbfru@yandex.ru.
Миронов В.А.
Миронов Вячеслав Александрович, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой автомобильных дорог, оснований и фундаментов Тверского государственного технического университета.
Юдин С .А.
Юдин Сергей Алексеевич, преподаватель-исследователь кафедры торфяных машин и оборудования Тверского государственного технического университета.
КРИТЕРИИ ТЕОРИИ ДИСТОРТНОСТИ для ОЦЕНКИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ В МЕХАНИКЕ ОРГАНО-МИНЕРАЛЬНЫХ ГРУНТОВ
Аннотация. Приведены результаты моделирования характера изменчивости критериев инвариантов предельных напряженно-деформированных состояний с позиций теории дистортности.
Zyuzin B.F.
Zyuzin Boris F., Dr. Sc., Professor, Head of the Chair of Peat Machinery and Equipment, Tver State Technical University. zbfru@yandex.ru.
Mironov V.A.
Mironov Vyacheslav A., Dr. Sc., Professor, Head of the Chair of Roads, Bases and Foundations, Tver State Technical University.
Yudin S.A.
Yudin Sergey A., teacher-researcher of the Chair of Peat Machines and Equipment, Tver State Technical University.
CRITERIA OF THE THEORY OF DISTORTION TO ASSESS LIMIT STRESS-STRAIN STATES IN THE MECHANICS OF ORGANO-MINERAL SOILS
Abstract. The results of modeling the nature of variability of the criteria of invariants of limiting stressstrain states from the positions of the theory of distortion are presented.
Ключевые слова: теория дистортности, предельные напряженно-деформированные состояния, критерии инвариантов.
Keywords: the theory of distortion, limiting stressstrain states, invariant criteria.
В работах [1, 5, 6] изложены основы теории дистортности как универсальной методики оценки инвариан-
тов предельных состояний в природных средах. При этом теория дистортности проявляет себя как универсальное знание (рис. 1].
Теоремы дистортности
Новая парадигма
Инварианты дистортности
Теория дистортности
Понятие дистортности
Модели дистортности
Классификация дистортности
Критерий дистортности
Оценка рисков
Рис. 1. Структура теории дистортности Fig. 1. Structure of the theory of distortion
Теория дистортности в настоящее время применяется в следующих областях знания: математика и геометрия, физика, естествознание, механика грунтов и горных пород, геология, пищевая промышленность, экономика и менеджмент, трибология, изотерика, горное и торфяное дело, техника и технология, музыка, физиология и медицина, биология и химия, педагогика, философия, экология, архитектура и строительство, искусство, космология, теория сложности, комплексная безопасность.
Систематизация обширных научных данных, проявляющихся в различных природных процессах позволяет предложить универсальную классификацию (нормирование] предельной асимптотики нелинейных процессов, соответствующую предельным состояниям природных систем в критических точках среды в напряженно-деформированном поле: «покоя», «предельного цикла», «скольжения», «золотого сечения», «качения» и «верчения», с физической точки зрения аналогичной изменениям условий контактного взаимодействия структурных образований с позиций их внутреннего сцепления и трения с учетом закона Кулона-Мора. Главным классификационным признаком, лежащим в основе построения универсальной таблицы предельных инвариантов [9], является инвариант состояния в нелинейной геометрии - Пщщ, что было широко и доказательно продемонстриро-ванно в работах авторов [1-8].
Одним из разделов теории дистортности является блок основных инвариантов оценки предельных напряженно-деформированных состояний (НДС).
В публикациях [2, 3, 4, 7, 8] авторы предложили ряд таких показателей. При этом некоторые из них могут быть причислены к определяющим критериям НДС - критериям предельных инвариантов дистортности.
Настоящая публикация обобщает предшествующий комплекс теоретических подходов к обоснованию предельных инвариантов НДС.
Основной расчетной схемой является представление элемента твердого деформированного тела (рис. 2).
Рис. 2. Элемент твердого деформированного тела Fig. 2. The element of solid deformed bodies
Соотношение соответствующих главных касательных т,- и нормальных сг, напряжений определяет вид создаваемого напряженно-деформированного состояния. При этом появление касательных напряжений на гранях модельного элемента сопряжено с наличием неоднородных нормальных напряжений на его гранях 0 < Ох < <Уу < <зг или 0< стз< &2 < <уь
Согласно положениям синтетической теории прочности академика РАН Е.И. Шемякина [1], были предложены основные определяющие инварианты (в обозначениях и индексах
автора], описывающие напряженное состояние и имеющие четкий физический смысл:
У1 = СГ„ = (СГ! + С7з)/2;}2 = Ттах = Т = (<У1 - С>з)/2;}з = /Ла=]2/]1.
Данные инварианты полностью характеризуют напряженное состояние в элементарном объеме среды, т. е. справедливо следующее утверждение: для характеристики напряженного состояния в элементе сплошной среды достаточно ввести три основные инварианта (рис. 3].
Рис. 3. Геометрическое представление синтетической теории Fig. 3. Geometric representation of the synthetic theory
Первый инвариант - отражает действие нормального напряжения на наклонной площадке, которое оказывает сопротивление проскальзыванию. Он не зависит от главных направлений. Геометрически он представляется в виде предельного (большого] круга напряженно-деформированного состояния на диаграмме Кулона-Мора с радиусом И.
Второй инвариант описывает действие максимального касательного напряжения на наклонной площадке и, соответственно, скольжения по ней, разделяющих углы между первым и третьим главными направлениями пополам. Геометрически он представляется в виде текущего (малого) круга напряженно-деформированного состояния на диаграмме Кулона-Мора с радиусом г.
Третий инвариант - параметр Лоде-Надаи ¡ла,
описывающии не только вид напряженного состояния и влияние второго главного напряжения, но и вид наклонных площадок, по которым происходит скольжение. Он указывает на влияние других (двух) экстремальных касательных напряжений Тгз = (<~>2 - стз)/2; Tu = (cri - стг)./2. Математически он может быть представлен уравнением /з = J2 /Ji = r/R = sin ср = ¡Ла, где ср - так называемый угол внутреннего трения. На диаграмме предельных напряженно-деформированных состояний (рис. 3) данный угол определен предельным положением касательной, исходящей из начала координат диаграммы к текущему (малому) кругу напряжений.
На рис. 4 представлена обобщенная диаграмма предельных напряженно-деформированных состояний (НДС) согласно теории дистортности [7].
Рис. 4. Обобщенная диаграмма предельных НДС
Fig. 4. A generalized diagram of the limiting stress-strain state
При этом положение точки М (точки касания прямой ОМ) на диаграмме (рис. 4) соответствует эквивалентному значению нормального напряжения им, которое определено условием предельного состояния, согласно синтетической теории прочности академика РАН Е.И. Шемякина.
Введение трех инвариантов Т, а,ь /ла позволяет описать возникающую при необратимых деформациях и разрушении анизотропию сопротивления сдвигам, по академику РАН Е.И. Шемякину, и тем самым построить математическую модель деформирования твердых тел, адекватную физическим процессам [1].
В рамках предложенной модели можно уверенно проследить важное явление - поведение материала в запредельном состоянии: после достижения касательным напряжением максимального для материала значения фактически образуется новый материал, поведение которого требует иного описания. Тем не менее законы механики (сохранение масс, количества движения, энергии) имеют силу. Это и определяет поведение материала в запредельном, по-слепиковом состоянии. При достижении главным сдвигом предельной для данного тела величины это значение сдвига в элементе среды сохраняется, а рост области необратимых деформаций (и разрушения) происходит только за счет увеличения их количества. Вступление в работу других экстремальных площадок определяет остаточную прочность материала.
Достоинством данного подхода в оценке предельных инвариантов является возможность геометрического представления напряженно-деформированного состояния для различных материалов на основании обобщенной диаграммы Кулона-Мора.
Известно, что при одноосном растяжении (двухосном сжатии) ¡ла= 1, а при кручении /ла = 0. Это означает, что роль площадок с касательными напряжениями при /ла= 1 по сравнению с ¡Ла= 0 возрастает.
Данная схема (рис. 4) включает в себя одновременно еще и геометрическое отображение закона Кулона-Мора, представляемого в виде так называемого «паспорта прочности».
Структура «паспорта прочности» для органо-минеральных грунтов приведена на рис. 5.
Рис. 5. Структура «паспорта прочности» Fig. 5. The structure of the «passport strength»
Закон Кулона-Мора формулируется следующим образом: сопротивление грунтов сдвигу есть функция первой степени от нормального давления.
При его использовании индекс «пред» при т опускают, имея в виду, что уравнения Кулона справедливы только в предельном состоянии.
Для практических расчетов зависимость тот а представляется в виде уравнения отрезка прямой:
т = Со + о Ьд ср.
Здесь параметр Со отражает проявление удельного сцепления материала, характеризующим его структурную связность. Геометрически на диаграмме предельных состояний удельное сцепление С0 представлено отрезком, отсекаемым на оси т касательной в предельной точке М (рис. 4).
Таким образом, «паспорт прочности» устанавливает взаимосвязь определяющих параметров напряженно-деформированных состояний -а ит, возникающих в точке среды при взаимодействии рабочих органов горных машин с торфяной залежью с учетом ее физико-механических характеристик - Со и ср.
На основании «паспорта прочности» решаются основные задачи при проектировании исполнительных рабочих органов горных машин для разработки торфяных месторождений (рис. 5):
• энергетическая задача устанавливает оценку потребляемых энергозатрат для выполнения заданной производительности горной машины для разработки торфяных месторождений;
• силовая задача позволяет определить возникающие усилия на элементах исполнительных рабочих органов горных машин, необходимые для проведения их силовых - прочностных расчетов с учетом статических динамических режимов их работы.
Выполненные теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия рабочих органов горных машин с торфяной залежью [6-9] определили основные функциональные зависимости для вычисления критериев предельных НДС согласно принятой расчетной схемы (рис. 4).
В общем случае в теории дистортности исходные параметры представлены в следующих математических символах и индексах^, [4]:
0<Х3<Хм<Х! <1;0<Х3<0,5.
Условие нормировки: Xi + Х3 = 1 = const.
Определяющие параметры:
1: 0 < —^— < 1.
= = 1 _ 2Х3 = tri — аЗ.
х±+х3
Хг + Х3
}2 = т/ ^ = а! + аз = 1.
+
2ХгХ3
/з =™ = XM = J—J^
= 2Х3{1-Х3).
h - ПК(Н) - - YZT^ Js = у1 =1-2Х3= sin,, = ца.
Л} ~г Лз
Х3(1-2Х3) Je = С0= X3tg<p —щ== max.
ХМ - Х3 — 2X3) }7 = Кр =---=-;----> max.
X1
1-Х3
При Хз = 0 имеем /г = 1;]2 = 1;]з = 0;]4 = 1;]5 = 1; }6 = 0;}7=0.
При Х3= 0,5 имеем /г = 0;}2 = 1;}з = 0,5; }4 = 1; ¡5=0; ¡6 = 0; ¡7=0.
Рассмотрим с позиций физического значения структуру основных критериев предельных напряженно-деформированных состояний.
В табл. 1 приведены расчетные данные критериев предельных напряженно-деформированных состояний.
Таблица 1. Расчетные данные критериев инвариантов предельных НДС Table 1. Calculated data of criteria of invariants oflimit stress-strain states
Инварианты, критерии Напряженно-деформированные состояния структурной системы
Покой - Предельный цикл Скольжение Золотое сечение Качение Верчение
Пкгн) 0 0,42 1/2 1/л/З 2/л 1/у/2 1
(p, град 90 44,42 36,87 30 23,58 19,47 0
ф/ прив. 1 0,5 0,41 0,333 0,262 0,216 0
т -* max 0 0,25 0,24 0,216 0,183 0,157 0
Со -* max 0 0,133 0,15 0,144 0,131 0,117 0
СЖ—> max 1 -> 3,82 5,196 4,795 4,2 1
СоКр -* max 0 0,016 0,0225 0,024 0,0224 0,0194 0
КР -* max 0 0,123 0,150 0,166 0,171 0,166 0
Wx -* max 0 <- <- 0,5 <- 0,513 0,471
На рис. 6-11 показаны результаты математического моделирования изменчивости предложенных критериев в зависимости от угла внутреннего трения ср.
Максимум критерия инварианта касательных напряжений (рис. 6) соответствует значению угла внутреннего трения ср х 45 градусов.
Рис. 6. Критерий инварианта касательных напряжений Fig. 6. Tangent stress invariant criterion
Данный критерий отражает возможный теоретический предел величины угла внутреннего трения ср.
Максимум критерия инварианта сцепления Со соответствует углу внутреннего трения ср = 36,87 градусов (рис. 7). Он отражает область
взаимного влияния показателей Со и <р. При этом он соответствует результатам опытных данных Буисмана [10], выполненных им при деформировании влажных песков при максимальном их уплотнении. Это условие соответствует критерию прочности по Треска.
С«. 0.15
О.К)
0.05
—i L
п/Н
loiiu и .шипим
а
V = ip/л ~
л/4
57е 0,41.
in/4
Jt/'Z ip
{они в.II1HIIIIм
Рис. 7. Критерий инварианта сцепления (связности] Fig. 7. The criterion for invariant coupling (connectivity]
Критерии степени сжатия структурной системы СЖ (рис. 8) и инварианта предельного состояния упругости СоКр отражают область действия закона упругости (прочности) Гука -
начала возникновения микропластических деформаций в структуре деформированного тела в результате формирования неоднородности нормальных напряжений в элементе среды.
Рис. 8. Критерий степени сжатия структурной системы (инварианта сжатия]
Рис. 9. Критерий инварианта предельного состояния (упругости] Fig. 9. Criterion of limit state invariant (elasticity]
Критерий инварианта предельного состояния /О (рис. 10) соответствует условию предела прочности материала (критерий прочности
Зюзина-Миронова) [9], где начинают возникать макропластические деформации в теле среды, происходит лавинное его разрушения.
Рис. 10. Критерий инварианта предельного состояния (прочности] Fig. 10. Limit state invariant (strength] criterion
Критерий инварианта момента сопротивления прямоугольного сечения балки на изгиб И^ (рис. 11) отражает предел устойчивости
структурной системы [11] или в механике грунтов соответствует критерию прочности Мизеса.
0 л/8 л/4 Зл/4 л/21
Рис. 11. Критерий инварианта момента сопротивления прямоугольного сечения балки на изгиб (инвариант устойчивости]
Fig. 11. The criterion of the moment of resistance invariant of the rectangular section of the beam on bending (stability invariant]
Практически каждому критерию предельных инвариантов соответствует свое напряженно-деформированное состояние (рис. 12).
Это говорит о том, что переход структурной
системы из одного состояния в другое происходит при достижении определенных внутренних взаимодействий с позиций изменения инвариантов сцепления Со и угла внутреннего трения ср.
Парам*»фы
Напряж<гнно-0ефер\*ироб&нные сосшьояния (HJO стр\ ьтурной системы
к инварианты Покой ПреОельлий цикл Сю'лмекие Золото* сечение Качение Я Верчен ие
Ь 0 1 0:100 в 0 0 90 90 0,15 0,20 0,25 0,30 0,33 0,5
а 0,85 0,80 0,75 0,'0 ОМ 0,5
Ьа 15:85 20:80 25:75 30:'0 33:66 50:50
Пхе»жЬ/л 0.1'1 1/4 из \2-1 1/2 1
lit OL =n/m=arctgß 0,41 1/2 1ЛЗ 2/к 1Л2 1
Г 22,5 26,56 30 32,48 35,26 45
У° 67,5 63,44 60 57,5 54,74 45
= 7° - ß° 45 36,S 30 23 19,4^ 0
Хл 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0,295 0,333 0,366 0,389 0,414 0,5
N S 6,77 6 5,54 5,1 4
L S000 67-Q 6000 5540 5100 4000
я г Г а * г— max 0J5 0,24 0,216 0,183 0,157 0
С/—-max 0,153 0,150 0,144 0,131 0,1 Г 0
СЖ—тах — 3,82 5,196 4Г95 4,2 1
Ctk'p —max 0.016 0,0225 0,024 0,0224 0,0194 0
Кг—max 0,123 0,150 0,166 04 -1 0,166 0
Н.—мах — «— 0,5 — 0,513 0,4^1
А озффициент Пуассона, и 0,15 0,2 0,25 0,3 0,333 0,5
Материал: Хру чкий Бетон Иридий Сталь Титан .Алюминий Каучук
В механике - законы: Треска Гука Зюзина -Миронова Мизеса *—
Пределы состояния: Сцепления Упругости Прочности Устойчивости —
В экономике - законы: Парето Социал. управление Лаффера Самузльсона *—
Б музыке - ноты: Jo Ре Ми Фа Си
Ближние музыки мл лноциональное состояние человека: Волевое усилие .Агрессивность Возбуждение Достижение xcnexa Активность Веселость Надежны Мечты Уверенность Настойчивость Упрямство мм
Спектр: Инфракрасный Красный Оранжевый Желтый Зелен ык Фиолетовый
Физиологическое влияние иеетмости: Сосуды Зрение Зрение Память Клетки мозга
Светофор, уровни безопасности: • о О О щ
Цветность планеты: Юпитер Марс Солнце Бенера Сатурн
Траектория: Точка Линия, диагональ Ветвь синусоиды Ветвь циклоиды Дуга окружности Точка
Потенииал С4—max F—nax С, Кг—тех СЖ—тях t—min Kp —тех Э—min Я,—тах
Обозначения: Ь, а - лине ¿по:* пар^етрь: при услоЕии Ь:а - опрезелло агх крскрцих, ПСц,=Ьа - иьеарьаык
состояла i линейной геометрии. f,j- углом« параметры состоим гггимодейстыи струиурввд систем. утлы плодцок разрушена« л х т. Л" - число сторон хписанното е xpvr Мора много>7ол1ник> (no.'diiCha). L - хтик» еолны спектра сЕета. ПОЯ!~Пжа) - инвариант состоим i нелинейной геометрии. -V. - \poieia нелинейности (инвариант мямейноеш). # - угол хнутреннего треки (инвариант jiia сеязнссти структурной г - им^ридч« касгтелмвд напргкений. С, -
инеарияж саепленм структурной систем. СЖ-степе» схгтм структурой системы (кчмрьдчл схапал). С,К,-шеаршнк упругости, К, - критерий предельного состоим (ии^изчч фочмски): И', - ьхеаризнм момента сопротнклехм сечеим валки при и:гк5е (зобыПарана): «Спектр» - оетоtsx гамма. «Потенциал» - услогм максимума \леариянто( прелелмосс состопин. F - коте ч силы гяимозейстгм. г - чоим.ч^ьа: хремеки переходного процесса. Э - »нергеткческий uw^i
Рис. 12. Классификационная таблица предельных инвариантов дистортности
Fig 12. Classification table of limit invariants of distortion
При этом для каждого такого состояния будет справедлива и своя расчетная модель (теория, закон).
Это наглядно проявляется в многообразии
именных теории прочности материалов. Например, теории Треска, Гука, Мизеса и т. д. В экономике: законы Парето, Лаффера, Са-муэльсона и др.
В статистике: экспоненциальный закон распределения, закон Эрланга, закон Релея, распределение Максвелла, закон Вейбулла, нормальное распределение и др.
С позиций описания промежуточного состояния структурной системы в процессе ее разрушения (эволюции, самоорганизации или дезинтеграции) такой подход является корректным. И история развития механики сплошных сред подтверждает этот постулат. Но никто не отказался от попытки создания единой теории, в том числе и теории предельных состояний.
Все зависит от того, какие принципы были бы заложены в ее основание.
Такой основой может являться теория дистортности.
Библиографический список
1. Зюзин Б.Ф. Инварианты дистортности / Б.Ф. Зю-зин, В.А. Миронов / Монография. Тверь: ТвГТУ, 2015.168 с.
2. Зюзин Б.Ф. Влияние внутреннего трения на прочностные свойства органоминеральных грунтов/ Б.Ф. Зюзин, С.А. Юдин, И.А. Титов / Материалы 11-й Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики: «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики». Том 2, Тула: ТГУ, 2015. С. 118-123.
3 .Зюзин Б.Ф. Инварианты дистортности в оценке предельных состояний в геомеханике / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин / Материалы VIII Международного научного симпозиума «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого тела». Тверь: ТвГТУ, 2015. С. 200-205.
4. Зюзин Б.Ф. Семь инвариантов дистортности / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин / Материалы Всероссийской научно-практической конференции: «Саморазвивающаяся среда технического вуза: научные исследования и экспериментальные разработки». В 3-х ч. Ч. I. Тверь: ТвГТУ, 2016. С. 134-140.
5. Зюзин Б.Ф. Дистортность как универсальный метод оценки инвариантов предельных состояний / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов / Материалы Всероссийской научно-практической конференции:
«Саморазвивающаяся среда технического вуза: научные исследования и экспериментальные разработки». В 3-х ч. Ч. I. Тверь: ТвГТУ, 2016. С. 129-133.
6. Зюзин Б.Ф. Инварианты предельных состояний в оценке устойчивости функционирования структурных системах / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин / «Актуальные проблемы безопасности жизнедеятельности и экологии»: материалы III Международной научно-практической конференции с научной школой для молодежи / Отв. за выпуск: Н.М. Пузырев, Ю.В. Козловская. Тверь: ТвГТУ, 2017. С. 120-124.
7. Зюзин Б.Ф. Определяющие инварианты дистортности в механике грунтов / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин / Материалы Международной научной конференции: «Геология и минерально-сырьевые ресурсы Запада ВосточноЕвропейской платформы: проблемы изучения и рационального использования», посвященной 215-летию со дня рождения И. Домейко. Минск: СтройМедиаПроект, 2017. С. 152-156.
8. Зюзин Б.Ф. Инварианты физико-механических свойств торфяных залежей / Б.Ф. Зюзин,
B.А. Миронов, С.А. Юдин, Е.В. Угрюмов / Материалы Всероссийской научно-практической конференции: «Саморазвивающаяся среда технического вуза: научные исследования и экспериментальные разработки». В 3-хч. Ч. I. Тверь: ТвГТУ, 2017. С. 108-115.
9. Зюзин Б.Ф. Классификационная таблица предельных инвариантов состояний природных систем и объектов искусственного интеллекта / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин / Вестник ТвГТУ. Научный журнал. Тверь: ТвГТУ, 2018. Вып. 1 (33). С. 67-72.
10. Зюзин Б.Ф. Опыты Буисмана и Амаряна / Б.Ф. Зюзин, В.А. Миронов, С.А. Юдин // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 13-я Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. В 2 т. Т.1: Материалы конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017.
C. 130-136.
11. Зюзин Б.Ф. Инвариант момента сопротивления прямоугольной балки при изгибе / Б.Ф. Зюзин, С.А Юдин / Сборник трудов XVI Международной научно-практической конференции «Чтения памяти В.Р. Кубачека». Екатеринбург: УГГУ, 2018. С. 240-243.
