Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО ВРЕМЕННОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

Г, А. Лукина

Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для параболических уравнений привлекает в последнее время внимание многих авторов (см. [1-6]). Краевые задачи с нелокальными условиями наиболее общего вида и(х,0) = Би + «о(ж), где Б — некоторый линейный оператор, исследованы А. II. Кожановым [7] для линейных параболических уравнений, М. В. Уваровой [8] для эволюционных уравнений. В настоящей работе исследуется краевая задача для ультрапараболических уравнений с нелокальными условиями по одной из временных переменных. Ранее такие задачи не рассматривались.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с границей Г, я = о х (0,т) х (0,Т2), 0 < т < + го, 0 < Т2 < + го, С= П х (0,Т2), Б = дП х (0,Т) х (0, Т2). Далее, пусть с(х, ¿,т), /(х,Ь,т) — заданные функции, определенные при х € О, £ € [0, Т\], г € [0, Т2], А — оператор Лапласа по переменным х, • • •, хп, Б — линейный оператор, ставящий в соответствие функции ^(ж, т) функцию (Б-у)(х, т), точные условия на который указаны ниже.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и

науки Российской Федерации (код проекта № 02.740.11.0609).

©2012 Лукина Г. А.

Краевая задача. Найти функцию и(х,Ь, т), являющуюся в <3 решением уравнения

иг + ит — Д и + с(х, Ь, т)и = /(х, Ь, т) (1) и такую, что для нее выполняются условия

и(х, 0, т) = Ви + ио(х, т), х € О, т € (О, Т), (2)

и(х,Ь,0) = 0, х еП, Ь е(0,Т), (3)

и(х,*,т)|5 = О, Ь е(0,Т), т е(0,Т2). (4)

Обозначим для краткости

у0 = №), у =

нормы в пространствах У — стандартные нормы в анизотропном соболевском пространстве.

Теорема. Пусть

с(х,г,т) е с(х,г,т) > с0 > о при (х,г,т) е п х [0,11] х [о,т2],

(5)

и пусть оператор В имеет вид В и = + В и гДе В> В — линейные операторы, определенные на пространстве Уд, для которых выполняются условия:

ЦВН1 (6)

п

ЦВ2и||

(7)

¿=1

д

——(Ви) = Вги^ + В2их. + Вз^м, дх (8)

11В3 .¿и11|2(С) ^ Ь (НиНь<»(0 ,Т1;Ь2(С)) +

д

— (Ви) = В1ит + В2ит + В3и,

дт (9)

НВзи1И2(с) < ь+ 1МИ2№));

Бу = 0 при ж £ Г, т £ (О, Т2) для любой функции у(х, Ь,т) £ Уо такой, что для нее выполняются условия (4),

д

— (Ву) = О при х £ Л, т = Т2 для любой у(х, т) £ У, дт

Бу = О при ж £ Л, т = О для любой у(х,

2&! <1, Ъ2< 1, Ъ3 < с0; (11)

/(х,1,т) £ ЫЯ), /т(х,Ь,т) £ имь (12)

ид(х,т) £ Ш^О), щ(х,0) = О, щт(х,Т2) = О при х £Л,

ио(х,т) = 0 прих £ Г, т £(0,Т2). (13)

Тогда краевая задача (1)-(4) имеет решение и(х,Ь,т), ирниадле-У

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (1) докажем, используя метод регуляризации.

Пусть £ — фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу с параметром £ найти функцию и(х,Ь,т), являющуюся в Я решением уравнения

-£итт + щ + ит — А и + с{х, Ь, т)и = /(х, Ь, т) (14е)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4) и условие

ит(х,Ь,Т2) = 0, х £Л£(0,Т). (15)

Разрешимость задачи (14е), (2)-(4), (15) при фиксированном £ в пространстве У известна [7]. Для предельного перехода при £ ^ О

£

их наличие. Индекс £ у решений задачи (14е), (2)—(4), (15) временно опустим.

Рассмотрим равенство

г

[—£итт + и£ + ит — Au+с(x,£,т)u]udxdтd£ = J J/(х,^,т)иЗ,хЗ;тЗ£, ос ос

откуда, интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и(х, Ь,т) и условие (5), применяя

В

неравенству

1

г п г

J и2(х, Ь, т) ¿х^т + £ ^ J иТ ¿х^т^ + ^^ J ! и^

с ос ¿=1 о с

г г

+ с$ J J и2 <1хс1тсМ; + — J ! и2(х, Т2) ¿хсМ;

о с

о п

< (1 + г?)

(В\и)2 (1х<1т + !(В2и)2 (1х<1т 2 ^^ У ио(хтт)

I ¡и" йхйтй^ + I I (1х(1тс1£,

о с

о с

в котором ¿1, ¿2 — произвольные положительные числа. Учитывая условия (6), (7), получаем

1

г п г

J и2(х, Ь, т) ¿х^т + £ ^ J иТ ¿х^тй^ + ^^ J ! и^.

с ос ¿=1 о с

г г

+ с$ J J и2 <1хс1тсМ; + — J ! и2(х,^,Т2) ¿хсМ;

с

о п

<(1 + С

б1\та1тах / и2(х, Ь, т) ¿х^т + Ы > / и2, ¿х^Ыт

о<г<т У ^ У Х

¿=1Ч

+ J «о(ж, г) <1х<1т

63 J и ¿х^Ыт

с

9 г 4

I I и2 <1Х(],тс1,£ + I I /2 <1Х(],тс1,

с

с

Поскольку t произвольно, из предыдущего неравенства следует "1

— (l + S?)bi vrai max / u2(x,t,r) dxdr + e / ui dxdtdr

v J o<t<T J j

g Q

+ (1 — 62) ^^ J ii2Xi dxdtdr + ^co — 63 —J u2 dxdtdr

i=1 Q Q

T

+ — / / u2(x,t,T-}) dxdt ^ — ( 1+79 ) / uq(x, r) dxdr-\—/ f2 dxdtdr.

2 7 7 2\di/J Щ J

on G Q

- -

Фиксируя числа fa = (¿¡- — f)2, ¿2 = (CP2 3 )2, нетрудно получить оценку

vrai max / u2 (x, t, r) dxdr + e uT dxdtdr

o<t<T 7 J

G Q

+ ^^ j u2x. dxdtdr + j u2 dxdtdr ^ Mi (16)

i=1 Q Q

с постоянной Mi, определяемой лишь функциями c(x,t,r), f{x,t,r), щ (x, г), а также числами bi, b2, Ьз.

На следующем шаге рассмотрим равенство t

-J f[-euTT + щ + uT — Д ^ ф, e, r)u](Au +^ ^

0 G

t

= — j j f(Au + uTT) dxdrdÇ, 0 G

которое интегрированием по частям можно преобразовать к виду

1 f 1 V—-л I"

/ г) dxdr — ^ / u2Xi{x, 0, г) dxdr

i=1 G i=1 G

— t — t

+ j j ulÀx, T2) dxde + (e + 1) j j u2iT dxdrdÇ

г

+ J !(Аи)2 ¿хс1тс1^ + — J и2 (ж, т) ¿хс1т — — J и2 (ж, 0, т) ¿хс1т

с с с

г г г

— J J иТ (х, 0) + £ У J иТТ dxdтd^ ^ J J с(х, т)иТ ¿х^т^^

сс г г

Ф^д^^— ууст (х,е,^иит ^

сс г г г

J ! /Аudxdтd£+У J /ТиТ dxdтd^^У J/(х, С, 0)иТ(х,£, 0)dxd£.

сс

Используя условия (5)-(9), неравенство Юнга, и оценку (16), а также

В

п п г

^ ¿ J и2х. (ж, г, т) <1х<1т + ^ ¿ У J и2х. (ж, Т2) (¿ж^

¿ с ¿

п г г

+ (е + 1) J ! и2х.т <1хс1тсМ; + J !(Дм)2 ¿хс1тс1^ + — J и\(х,Ь,т) (ксйт

¿ с с с

г г г

+ — У У иТ (х, С, 0) dxd£ + £ У У иТТ dxdтd£ + со J J иТ dxdтd£

сс

<(1+|)еУ к*«*.)2++^

¿с

9 9 г

1 + у) У[(в1мт)2 + (52мт)2 + с£Ыт + у У У(Д«)2

сс г

—тах[с2(ж, t,т)] + — I / м2 <1х¿тй^ Н--тах[с2 (ж, г)]

2«5 д 2дд ц

с

9 г г г

-77- / / (Аи)2 ¿хс1т(к; + —/ / /2 Зх<1т<1^ + I I и^ <1Х(],тс1,£

26

о с

т

о с

о с

г 9 г

+ У У + у J ! и2т(х,£, 0)с£ес^

6 о с о п

г

7 о п

в котором ¿2, ] = 3, 7, — произвольные положительные числа, , ^2 — величины, конечные в силу условий теоремы и оценки (16). С учетом условий (6), (7) имеем

2 53 J т) + 2 J ! ^хсМ;

¿=1 с ¿=1 о п

" г г

(е + 1) 53 J ! их.т3х<1т<1^+ ! J(Дм)2 ¿хс1тс1£ + — J и\(х,Ь,т) (ксйт

о с

о с г

с

1

+ 2 < Г!

г г г

«Т (х, 0) dxd£ + £ J ! иТт dxdтd£ + со J ^ и2т dxdтd£

сс

6

4 Ь1Уга1тах5^ / и2х.(х,Ь,т) ¿хс1т + Ъ2 (Аи)2 ¿х<Мс1т ¿=1 с ц

/ «X. dxdtdт

¿=1

1 + 1

Ътугш тах / «Т(х, Ь, т) dxdт о<г<т .! с

Ъ2 / и^Т dxdtdт + / «Т dxdtdт

¿=1

^ I I (Аи)2 (1хдЫт

с

тах[с2(ж, т)1 + — [ [ и2 ¿хс1тс1£ + тах [с2 (ж, т)1

2<5| <э 2 У У Т 2(5| д

с

г

9 г г г

-77- / / (Аи)2 ¿хс1т(к; + —/ / /2 (1хс1тс1£ + i i и^ <1х(],т(],£

2г

с

2 ' ' ~т

с

с

г 9 г

J J /г^^т^ + у J ! и2т(х,£, 0) ¿хс1£

с

г

¿У У /^^о)^^.

7 о п

В силу произвольности Ь из предыдущего неравенства следует

-1 + ^ 6:

\-rai тах > /и2, (х, Ь, т) dxdт

¿с

Т

о п

£ + 1-(1 + |)Ь2

/ и^.Т dxdtdт

(Ди)2 dxdtdт

- 1 +

Т

\-rai тах / иТ (х, Ь, т) dxdт

о<г<т .! с

1 г2

иТ(х, Ь, 0) dxdt + £ у иТТ dxdtdт о П Ч

м2 <1хЛ(1т ^ —^ тах[с2 (ж, г)] 2й5 Ч

—тах [с2 (ж, т)1 Н--^ [ /2 <1хсМс1т

Щ я Щ 1

я

Т

+ 7779 / /г (1х(И(1т + —^ / / ¡2(х,г,0)с1хЖ.

Щ ] Щ ] ]

о п

Отсюда очевидным образом вытекает оценка (е + 1) j u2X.T dxdtdr + j(Au)2 dxdtdr + £ j uTT dxdtdr ^ M2 (17)

Я Я Я

с постоянной М2, определяемой лишь функциями с(х^,т), $(х^,т), щ(х, т), а также числами Ь±, Ь2, 63. Последняя оценка

J и1 dxdtdт < М3 (18)

Я

вытекает из доказанных неравенств (16) и (17). Окончательная оценка имеет вид

и

vrai max / u2 (x.t.r) dxdr + е / uT dxdtdr + у / uX dxdtdr

J J T ^J 2

G Q Q

+ j u2 dxdtdr + (е + 1) j u2XiT dxdtdr + j (Au)2 dxdtdr Q г=1 Q Q

+ uTT dxdtdr + j ut dxdtdr ^ M)- (19)

QQ

Априорной оценки (19) вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (14е), (2)-(4), (15) к пределу при е ^0. Предельная функция u(x,t,r) будет решением краевой задачи (1)-(4), принадлежащим пространству Vq.

Теорема доказана.

Замечание 1. Примерами операторов, к которым применима доказанная теорема, являются

т

[хЛк,т), Ви = I Ь(х^,т)и(х,

к=1

m у

Bu = ak(x,r)u(x,tk,r), Bu = / b(x,t,r)u(x,t,r) dt,

1—1

0

Bu = / h(x,t,r)u(x,t,r)dxdr dt.

G

Здесь х, т), к = 1,...,ш, &(х,Ь, т), т) — заданные ограни-

ченные функции, имеющие ограниченные производные. Выполнение условий (6)-(11) для этих операторов обеспечивается условиями малости для функций х, т), к = 1, .. ., ш, Ь(х, Ь, т), ^(х, Ь, т).

Замечание 2. Аналогично можно исследовать разрешимость нелокальной краевой задачи для ультрапараболических уравнений (1) с условиями (2), (3) и с заменой условия (4) условием

1. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 5, № 1. С. 74-78.

2. C'babrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V. 93. P. 109-131.

3. Cbabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkc. Ekvacioj. Ser. Int. 1984. N 27. P. 101-123.

4. Шелухин В. В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 154-165.

5. Шелухин В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы / Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1992.

6. Либерман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений / Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. О. А. Ладыженской. Новосибирск, 2002. Т. 1. С. 233-254.

7. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1.

8. Уварова М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений // Мат. тр. 2010. Т. 13, № 2. С. 179-207.

второй или третьей краевой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

С. 51-60.

г. Мирный

1 февраля 2012 г.