Краевая задача минимизации эффекта термохимических взаимодействий при управлении нагревом металла под обработку давлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ЭФФЕКТА ТЕРМОХИМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ НАГРЕВОМ МЕТАЛЛА ПОД ОБРАБОТКУ ДАВЛЕНИЕМ

© 2008 г. Ю.Э. Плешивцева

Введение

Потери на термохимические взаимодействия при нагреве металлических полуфабрикатов перед последующими операциями пластической деформации (в первую очередь, потери металла в окалину) являются одной из главных статей себестоимости производства конечной продукции технологических комплексов «нагрев - обработка давлением». На этом основании становятся актуальными задачи оптимального по соответствующим критериям качества управления процессами нагрева заготовок из чёрных и цветных металлов под обработку давлением [1-5].

При решении подобных задач возникают известные затруднения принципиального характера, связанные с невозможностью практически или даже теоретически выполнить типичные требования по достижению заданного результирующего распределения температур в рамках рассматриваемых моделей управляемых объектов с распределенными параметрами (ОРП) [1-5]. Стандартные способы поиска приближений к искомым алгоритмам оптимизации путём конечномерного усечения моделей ОРП обладают рядом существенных недостатков [4].

В настоящей работе на указанные задачи распространяются:

- предложенный в [4-8] алгоритмически точный метод, использующий практически всегда существующие допуски на отклонение результирующего состояния ОРП от требуемого;

- процедура последовательной параметризации управляющих воздействий;

- редукция к задаче полубесконечной оптимизации и альтернансные свойства её решений.

Постановка задачи

шс^+1 +г

5Ф dl2 l dl

0 <ф<ф0; 0 <l < 1 с краевыми условиями третьего рода: 59(1, ф)

(1)

dl

d6(0, ф)

dl

+ Bi 6(1, ф) = 0; = 0; 6(l,0) = 0,

(2)

где Bi - критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь в окружающую среду; W(/) - известная функция радиального распределения электромагнитных источников тепла; и(ф) - суммарная удельная мощность внутреннего тепловыделения, рассматриваемая в качестве управляющего воздействия, стесненного ограничением

0 < и(ф) < 1.

(3)

К конечному температурному состоянию при ф = ф0 предъявляется требование достижения заданного равномерного распределения температуры 9(l, ф0) = 9 * = const > 0 с заданной абсолютной точ-

ностью е

max 6(l,ф0)-6* < е .

le[Q, 1]l I

(4)

Необходимо найти стесненное ограничением (3)

оптимальное управление u *(ф) объектом (1)-(2),

которое при нагреве массивного тела обеспечивает выполнение условия (4) с минимальными потерями металла в окалину, оцениваемыми функционалом [1, 2]:

Пусть температурное поле 6(/, ф) заготовки цилиндрической формы, изменяющееся по радиальной координате l е [0,1] и во времени ф е [0, ф0], описывается в процессе индукционного нагрева линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах [4]:

I = I f 0 (6(1, Ф)) dФ^ min;

i «(ф)

10, 6(1, ф) <6 9

f0 (6(1, Ф)) = | +!

1(6(1, ф) -6 , ) , 6(1, ф) >6 ,.

0

Здесь 6 д - температурная граница процесса

окисления; 5 - заданное положительное число.

Структура алгоритмов программного оптимального управления

В бесконечномерном пространстве модальных переменных 6п, п = 1,2,..., являющихся коэффициентами разложения 6(1, ф) в ряд по собственным функциям Бесселя нулевого порядка J0(ц п1):

6(1, Ф) = I/ 22Ц "^ П21) 6п (Ф) , (6)

п=1 (ц 2 + Bi 2 )302(Ц п )

объект управления (1)-(2) описывается следующей системой дифференциальных уравнений [4, 5]:

d ф

= -цnе„ + Wnu(ф), 0„(0) = 0, n = 1,2,.... (7)

где

H (0, Т, u) = - fo

2ц П

=1 (цП + Bi2 ) Jо(ц n)

0 n (Ф)

е * = (е n), т *=(т n)

T = (Tn ), n = 1,2,... соответствуют в

оптимальном процессе управлению и .

Согласно (8), и * (ф) определяется в форме релейной функции времени:

1

u (ф) = 2

1 + sign^Wn Т n (ф)

n=1

на всех интервалах изменения ф , на которых в оптимальном процессе не выполняется тождественное равенство

X Wn Т n (ф) - 0 ,

(10)

n=1

Здесь ц n - собственные числа и Wn - коэффициенты разложения W(l) в ряд по J0(ц nl) вида (6).

Теперь рассматриваемая задача сводится к поиску

*

управления u (ф), переводящего в условиях (3) объект управления (7) из заданного начального состояния в целевое множество бесконечномерного фазового пространства координат 6 n, определяемое неравенством (4) с подстановкой (6) для ф = ф0, при минимальном значении критерия оптимальности (5), где 6(1, ф) описывается суммой ряда (6) для l = 1.

В соответствии со стандартной процедурой принципа максимума [9], распространяемого на рассмат-

*

риваемую бесконечномерную задачу [4], u (ф) опре-

*

деляется из условия достижения на u максимума функции Понтрягина H(6, Т, u):

H(6*,Т*, u *) = max H(6*, Т*, u) (8)

ue[0, 1]

почти для всех ф е [0, ф0],

или является особым управлением [10] на участках (10).

Дифференцируя равенства (10) и используя уравнения (9), нетрудно убедиться, что на этих участках

df0 =-1 Vn 2w Т

JA,. ч 4 L-i r^n" n t

d0(1, ф) A n=j

A = V-

2n 2nWn

(11)

1 (n2 + Bi2 ) J0(nn)'

Подстановка соотношения (11) в (9) приводит к замкнутой линейной системе дифференциальных уравнений относительно сопряженных переменных на промежутках особого управления:

dTx = ц ^. -

7 Г I I

d ф

2n 2

A (ц 2 + Bi2 ) J0(ц. )n_1 i = 1,2,... ,

Vn nWnT n

решение которой находится с точностью до постоянных интегрирования С. в форме взвешенной суммы

ш Г — 1

+1* п (ф) [-ц26 п + ^пи(ф)] ;

п=1

сопряженные переменные Т п (ф) находятся в форме решений системы уравнений

Ж г = дН =,, 2Т + 2Ц 2 дf 0(6(1, ф))

- =--=~ = Ц v Т v + "7-\--,

Лф д6г г (ц2 + вг2 )30(цг) д(6(1,ф)) г = 1,2,..., (9)

экспонент:

ад

Т1 (ф) = 1 С} | г0)ехр(р;ф), г = 1,2,... (12)

1 =1

с определяемыми по известным правилам константами | (. и р 1 .

При определении f0 в форме (5) получим, согласно (11), выражение, описывающее поведение температуры поверхности 6(1, ф) нагреваемой заготовки на особых участках:

0(1, ф) = 0 _ +

1

(s +1)A

Vn nWnT n

(13)

которое принимает вид явной функции времени после подстановки сопряженных функций (12).

и

+

Последующий переход к особому управлению и ос (ф) может быть выполнен путём решения относительно и ос (ф) интегрального уравнения, образуемого представлением заданной зависимости (13) свёрткой функции Грина объекта (1)-(2) для I = 1 с управляющим воздействием и ос(ф) [4].

В итоге, оптимальная программа «сшивается» из

*

интервалов, на которых и (ф) принимает одно из своих предельно допустимых значений, согласно (3), и промежутков особого управления и ос (ф).

Дальнейшая проблема состоит в отыскании конкретных вариантов компоновки оптимальной программы и * (ф) из указанных участков и фактическом вычислении и *(ф) в зависимости от допустимой величины е в (4).

Параметризация управляющих воздействий

Воспользуемся далее методом последовательной параметризации искомых управлений [7, 8] на множестве конечных значений Т(м) = (Т п (ф0)), п = 1, N первых N сопряженных переменных в (9) при равных нулю Т п (ф0) для всех п > N , полагая

с интервалом (0, ф Н) максимальной интенсивности нагрева и *(ф) = 1 и последующим участком особого управления и ос (ф) при априори неизвестных границах ф Н и ф 0 .

u* е-е* 0

1 --

0,5

Y n(Ф0) = Y n, n = 1, N; Y n(ф0) = 0, n > N, (14)

где Т п - некоторые заранее неизвестные числа.

Как показано в [7, 8], при таком способе параметризации управляющих воздействий число N однозначно определяется заданной величиной е в (4) и находится по правилу:

N = V для всех е: е < е < е ^ ,

0,01

(15)

где е ] = 1,2,..., V,..., - минимально достижимые в классе у(;) - параметризуемых управлений величины е (минимаксные в этом классе величины), монотонно убывающие с возрастанием ] .

Ограничимся далее характерным для приложений случаем е = е , для которого, в соответствии с (15), следует искать параметризуемое управление и *(ф) на множестве двух параметров Т ^-1 = Т(2) = (Т1, Т 2).

Физические закономерности нестационарных температурных полей, как правило, приводят в таком случае к оптимальной программе (рисунок а) [4, 5]:

u (ф) = ■

[1, 0 <Ф<ФН; luос(Ф), Фн <ф< ф0

(16)

-0,01

Оптимальное управляющее воздействие, температурные поля (а) и результирующее температурное распределение

б(1,фН,ф° 0* (б) в задаче на минимум количества окалины при индукционном нагреве металла: Г = 1; = 4; 60 =-0,5; 9* = 0; вд =-0,125; 5 = 3,5; е0 = е; ф0 = 0,55

Далее требуется найти параметрические представ*

ления и и и ос программных управляющих воздей-

*

ствий и (ф) и и ос (ф) на множестве значений Т1 и Т 2. Ограничиваясь в (12) достаточно большим, но конечным числом N1 > N членов бесконечного ряда, получим для ф = ф0 систему N1 линейных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования С,, ] = 1, N1 :

а

0

б

XCj%(j) exp(p jф0) = Тг (Ф0), i = 1, Ni (17)

j=1

при заданных равенствами (14) значениях Т г (ф ). В силу этих равенств корни системы (17) вычисляются как функции двух параметров Т1, Т 2 и момента

ф 0 окончания процесса управления:

С. = С. (Т !, ТТ 2, ф0), 1 = ГХ

(18)

Таким образом, сопряженные переменные описываются на особом участке зависимостями

Тг (Т 1,Т2,ф0,ф), г = 1, N1 вида (12), (18) для каждого фиксированного набора параметров Т1, Т 2 и ф0 при фе (фН,ф0).

Аналогично, температура 6(1, ф) = 6 П(ф), определяемая выражением (13) с учётом только N1 членов в сумме бесконечного ряда, после подстановки сопряжённых переменных в найденной форме

(Т 1,Т2,ф0,ф) также моделируется при фе (фН,ф0)

параметрическим представлением 6П (Т 1,Т2,ф0,ф).

Теперь решение относительно и ос(ф) интегрального уравнения, фиксируемого для заданной функции 6П (' 1,Т2,ф0,ф) вход-выходными соотношениями объекта (1)-(2), позволяет определить параметризуемые воздействия иос (т 1,Т2,ф0,ф), однозначно

характеризуемые значениями Т1, Т 2 и ф0. Далее, равенство

0 п (т 1,

Т2, ф0, ф) =0пн(Фн), (19)

' 1Ф=ФН

рассматриваемое в момент ф Н перехода на особый участок при заданном значении 6ПН(фН), вместе с соотношением

Т 1(ф н)^1 +Т 2 (ф н)^2 = Т +Т 2^2 = 0,

следующим из (10) в силу условий трансверсальности (14), представляют собой нелинейную по Т1, Т 2 систему уравнений, определяющую неявное задание зависимостей Т1 = Т 1(фН,ф0), Т2 = '2(фн,ф0) параметров Т1, Т 2 от ф Н и ф0.

Температура поверхности 6 ПН(ф Н) в правой части равенства (19) находится в форме решения уравне-

*

ния объекта (1), (2) при управлении и (ф) = итах, фе (фн,ф0).

В результате полученные зависимости Т 1 = Т 1(ф Н, ф0) и Т 2 =т 2(ф н, ф0) описывают отображение значений Т1 и Т 2 на множество параметров во временной области определения и * (ф), в роли которых выступают ф Н и ф0 в (16). Подстановка этих зависимостей в получаемое описанным выше путем выражение для иОС (т 1,Т2,ф0,ф) позволяет найти теперь уже параметризованные на множестве значений ф Н, ф0 программные управления

иос (фн,ф0,ф) = иос (Тl, Т2, ф0, ф) = = иос (Т 1 (фн,ф0),Т2 (фн,ф0),ф0,ф)

и

и * (фН, ф^ ф) = и* 1 (фН, ф0 ), Т2 (фН ф0 ), фН, ф^ ф) :

*( 0 ) I1,0 <Ф<ФН;

u (Фн,Ф ,ф) = 1 / 0 \ ^ ^ 0

V ' IмОС ( Фн,Ф ,Ф),Фн <Ф<Ф .

(17)

Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

Интегрирование уравнений объекта (1), (2) при управлении (17) позволяет найти в явной форме зависимости I(фН,ф0) и 6(1,фН,ф0) для критерия оптимальности (5) и температурного распределения в конце оптимального процесса. После этого исходная задача оптимального управления (1)-(5) редуцируется без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей объекта к специальной задаче математического программирования (задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) [4-6]):

1 (фн,ф0min0;

Фн, ф

max 0(/,фн,ф01-0* ге[0, 1]1 V '

<6

(2)

(18)

(19)

на минимум функции (18) двух переменных ф Н и ф0 с бесконечным числом ограничений, порождаемых требованием (4) обеспечения заданной точности нагрева для всех I е [0, 1], и заменяемых одним условием (19), сформулированным для максимума отклонения 6(1, ф Н, ф0) от 6 *.

Решение ф Н, ф0 этой ЗПО, однозначно характеризующее искомую оптимальную программу (17) при е = е т^ в (4), может быть найдено альтернансным

методом [4-6]. Согласно альтернансным свойствам

9(I,фН,ф01, при е = епредельно допустимые

*

отклонения температуры от заданной величины 9 ,

(2)

равные е тп, достигаются в трёх точках Iе [0,1], ] = 1,2,3. В роли этих точек выступают центр 11 = 0 и боковая поверхность цилиндра 13 = 1 с минимальными температурами 9 * - е и внутренняя точка 12 = IЭ е (0, 1) температурного максимума 9 * +е ® [4-6].

Указанные свойства приводят к системе четырёх уравнений:

е( 0, Ф Н, ф0 )-е * =-е

* - -о (2) •

min >

е(/э, Ф н, Ф0 )-е * =8 тП; е(1, Ф н, Ф0 )-е * =-8 тП;

50(/Э , Ф Н , Ф 0 )

dl

= 0,

разрешаемой относительно неизвестных значений ф Н, ф0, е то и IЭ. Возможность попутного вычис-

(2)

ления минимакса е представляет самостоятельный

интерес. Некоторые расчётные результаты, полученные при решении описанным методом краевой задачи

оптимального управления (1)-(5), представлены на рисунке.

Литература

1. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М., 1972.

2. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла. М., 1981.

3. Андреев Ю.Н. Оптимальное проектирование тепловых

агрегатов. М., 1983.

4. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного

нагрева металла. М., 1993.

5. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. DK6039, CRC Press/Taylor & Francis Group, 6000 Broken Sound Parkway, NW Suite, 300. Boca Raton, FL 33487 (USA), 2006.

6. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных зада-

чах оптимизации. М., 2000.

7. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Условно-корректная

постановка и методы алгоритмически точного решения краевых задач оптимального управления системами с распределенными параметрами // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. IX Междунар. конф. Самара, 2007. С. 126-139.

8. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Модели и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление: материалы Междунар. науч.-техн. конф. (МАУ-2007). Таганрог; Москва, 2007. С. 123-129.

9. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983.

10. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М., 1973.

Самарский государственный технический университет

17 марта 2008 г.