Краевая дислокация и сосредоточенная сила в упругой полуплоскости с отверстиями и краевыми вырезами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

КРАЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ И СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ С ОТВЕРСТИЯМИ И КРАЕВЫМИ ВЫРЕЗАМИ*

Ю. Г. Пронина

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

1. Введение. Как известно, основными сингулярными решениями классической теории упругости являются решение Кельвина для сосредоточенной силы и решение Бюргерса для одиночной краевой дислокации в неограниченном пространстве. Для случая двух измерений М. А. Грековым в монографии [1] предложено единое решение, отвечающее наличию краевой дислокации или сосредоточенной силы в точке бесконечной плоскости, выраженное в терминах комплексных потенциалов Колосова— Мусхелишвили. Там же приведены функции Грина для одиночных и периодических точечных воздействий в двухкомпонентных полуограниченных средах. В случае неод-носвязной области или произвольным образом искривленной границы проблема существенно усложняется. Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния тел со сложной границей под действием полей внешних возмущений проводились многими учеными. Результаты и методы этих исследований представлены, например, в работах [1-7]. Некоторые классы таких проблем разрешаются путем интегральных преобразований. Однако наиболее эффективное решение двумерных задач получается при использовании методов теории функций комплексного переменного. Заметим, что метод комплексных комбинаций К. Ф. Черныха позволяет получать решения сингулярных задач и для нелинейных законов упругости (см. [8]). В общем случае задачи подобного рода приводятся к решению граничных интегральных уравнений (ГИУ) — либо вещественных, получаемых исходя из равенств Сомильяны на основе прямых методов теории потенциалов, либо комплексных, выводимых с применением теории Колосова—Мусхелишвили. Ряд задач для двухсвязных областей исследован с помощью конформного отображения или криволинейных координат (см. [2, 4]). В большинстве работ по данной тематике изучались тела с отверстиями, загруженные распределенными усилиями, приложенными на их сложной границе или на бесконечности. Исключение составляют немногие публикации, где рассмотрены сосредоточенные воздействия (см. обзоры в [1, 4]). В статьях автора [9, 10] исследовано действие сосредоточенных сил и моментов внутри упругой полуплоскости с отверстиями. В данной работе обобщенное решение М. А. Грекова для сил и дислокаций распространено на случай упругой полуплоскости с отверстиями и вырезами на границе. Непрямым методом построены ГИУ Фредгольма первого рода, отчасти аналогичные уравнениям, полученным в [5] без учета внутренних возмущений.

2. Постановка задачи. Рассмотрим упругую полуплоскость ^- (у < 0) с краевым вырезом и отверстием, описываемыми простыми непересекающимися контурами

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00093-а, № 11-01-00230-а) и СПбГУ (грант №9.37.129.2011). Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января — 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© Ю. Г. Пронина, 2012

Г1 и Г2 соответственно. Будем считать, что контуры Г1 и Г2 имеют кривизну, удовлетворяющую условию Гельдера. При этом

1) на бесконечности к полуплоскости приложены постоянные напряжения = <7~ = 0, = 0;

2) прямолинейная граница у = 0 полуплоскости загружена нормальными дуу (ж) и касательными цху(ж) усилиями, причем дуу (ж) и цху (ж) —функции абсциссы ж, удовлетворяющие при больших |ж| условиям цуу (ж) = о (ж-1) , цху (ж) = о (ж-1);

3) на контурах Г (7 = 1, 2) выреза и отверстия действуют известные нагрузки с нормальной дпп(£) и касательной (4) составляющими, непрерывными на Г (4 € Г; Г = Г1 +Г2);

4) в точке ^о = жо + гуо полуплоскости действует сосредоточенная сила Р = Рх + гРу или расположена краевая дислокация с вектором Бюргерса Ь = Ъх + гЪу.

Отметим, что если в полуплоскости имеется большее количество краевых выемок и отверстий, то под Г следует понимать совокупность контуров всех вырезов и отверстий (в остальном алгоритм не меняется).

Требуется определить напряженно-деформированное состояние данного тела.

Вопросы существования и единственности решения при указанных условиях освещены в монографиях [3, 5].

3. Общее решение для сосредоточенной силы и краевой дислокации в сплошной полуплоскости. М. А. Греков [1] предложил единую форму записи комплексных потенциалов Колосова—Мусхелишвили, отвечающих действию сосредоточенной силы Р = Рх + гРу или краевой дислокации с вектором Бюргерса Ь = Ъх + гЪу, расположенных в точке ¿о неограниченной плоскости комплексного переменного г = ж + гу.

Пользуясь алгоритмом статьи [11], из указанных соотношений можно найти комплексные потенциалы Фо(г) и Фо(г) для силы или дислокации, расположенной в точке ¿о сплошной полуплоскости Б- (у < 0). После соответствующих преобразований получаем

, , л Н НХ — 10-г0

Фо(-г) =----—--Н

г - г0 г - г0 (г-го)2' т . . ХН + Н ттго -г0 + г ХН + Н ХНг - Н(г0 - г0) 2Нг{г0 - г0)

=--Л—-"2--Ь

г - г0 (г - г0)2 г - г0 (г - г0)2 (г - г0)3

(1)

где при действии сосредоточенной силы А = А1 = к, Н = Р/(2п(к + 1)), а при наличии краевой дислокации А = А2 = -1, Н = г^Ь/(п(к + 1)). Здесь черта сверху означает комплексное сопряжение; в случае плоской деформации к = 3 — и к = (3 — ^)/(1 + V) при обобщенном плоском напряженном состоянии, V — коэффициент Пуассона, ^ — модуль сдвига материала полуплоскости. В частных случаях действия или только сосредоточенной силы, или только краевой дислокации в точке упругой полуплоскости функции Фо(г) и Фо(-г) совпадают с решениями [6] и [11].

4. Приведение задачи к системе интегральных уравнений. Поле напряжений для поставленной в п. 2 задачи представим в виде

ахх(г) = ^(г) + ^(г), ауу(г) = ^ (г) + стУ2у> (г), ^ху(г) = ^(г) + 42/ (г),

где слагаемые с индексом (1) суть напряжения в сплошной полуплоскости (без отверстий и вырезов), загруженной усилиями чуу(ж), чху(ж), ЧО и заданной сосредоточенной силой или краевой дислокацией (задача 1); индексом (2) отмечены аналогичные величины в сплошной полуплоскости, внутри которой на линиях, соответствующих контурам отверстий и выемок, действуют неизвестные заранее и подлежащие определению усилия р(£) = рх(С) + ¿ру (С), С € Г (задача 2). Если внешняя нагрузка задана только на контуре отверстия, то все компоненты напряжения в задаче 1 равны нулю.

Функции Ф(1)(г) и (г), согласно формулам [3, стр. 349] и (1), определяются выражениями

ф(1)ы = _^ / ^ , Чх н

2и1 ,/ £ — х 4 г — го г — го

НХ г0 - г0

- — Г1

(г-го)2'

Ф«(г) = -Л / + —

2пг ,] £ — г 2пг

(е-.)2

ХН + Н го-го + г ХН + Н ХНг - Н (г0 - г0) 2Нг (г0 - г0) Н---л ---Ь ■

г — го

(г - го)2 г - г0

(г-г0)2

(г - г0

(2)

где интегрирование производится по вещественной оси.

Функции Г. В. Колосова для второй задачи можно записать в форме (см. [9, 11])

Ф(2) (г) = — У г

Ф(2)(г ) = — У

Р(С)

2п(1 + к)

1 к

+

р(С)

2п(1 + к)

г - С]

С ,

¿в —

р(С) с-_с

2тт(1 + х) (г - С)2

¿в,

+ ■

[(г-С)2 (г - С)2]

¿в +

+

р(С)

2п(1 + к)

к1

+

с - с 2С(С - С)

2-С г-С (¿"С)2 (г - С)3

¿в.

(3)

Здесь (¿в —дифференциал дуги контуров Г, ( € Г, С ^ Г.

При таком выборе функций Ф(р) (г) и Ф(р)(г) краевые условия удовлетворяются на прямолинейной границе полуплоскости и на бесконечности. На контурах вырезов они имеют вид

^(*) — = Чип(*) — г^) — 1а$(г), t € Г. (4)

Здесь аПпп (£) и аППг —нормальная и касательная компоненты напряжения на кривых Г в задаче 1 (р =1) и задаче 2 (р = 2). Следуя [3], правомерно написать

(*) " ^пг'(-г) = 2НеФ^(,г) - + ¥р\г)

„2г0

(р =1, 2),

(5)

где 0 — угол между нормалью к контурам Г и осью 0ж, штрих означает производную по аргументу.

оо

— ОО

оо

оо

— о

о

Используя формулы (2), (3), (5), краевое условие (4) сводим к интегральному уравнению относительно искомой нагрузки р(£):

Iр(С)К(г, С) (¡8 + 1 Р(С)Д(*, С) ¿в = /(г), * е г,

(6)

в котором

К(г, С) = —

С-С

2п(1 + х) Н-С ' г-с (г - С)5

1к

+

+

* - с - С)

К^-С)2 - С)2

„2г0

Я(*, С) = —

1

1 х с-с

+ =-; + , -о +

21г(1 + я)\Т-с (г-С)2

+

* ^ 1 С-С , 2(С-С)(^-С)

I--=г--;-=г77' ~г

и - с г-с (г-СУ

(¿-С)3

„2г0

т-чпп(г)-гЧп^)+— у ———¿е-— у ——=—¿е-— -

1. [ %у(0 - ЩхУ(£) ф _ ^ + — [ + ^ + —

(С — 4)2 ^ " ' £ — г

— Ж — Ж

н ХН — го-г0 Н ХН

+ -+ —— + И _ ' + + --

2

в240 +

г — го г — го +

(г - г0)2 г - г0 г - г0 (г - г0)

ЛЯ + Н г0 - ¿0 + г - г ХН + ~Н — Н -;-—--1-

г — го

(г — го)2

г — го

ХН(г - г) - Я(г0 ~ _ ^(^о - г0)(г - г)

(г-г0)2

(г-го)3

„2г0

Разделяя действительную и мнимую части уравнения (6), можно записать его в виде системы двух вещественных интегральных уравнений относительно рх(С) и

Ру (С):

У рх(С)ВД С) ^ +1ру(С)ад С) ^ = /1(г),

г г

Урх(С)ад с) ^ + 1 ру(с)ад С) ^ = /2(г), г € Г,

гг

где

ад с) = Ке{к (г, с) + Д(г, С)}, ад С) = 1т{—к (г, С) + Д(г, С)},

ад С) = 1т{к (г, с) + Д(г, С)}, ад С) = МК (г, С) — Д(г, С)},

/1(г) = Яе/(г), /2(г) = 1т/(г).

Различные численные методы решения граничных интегральных уравнений довольно хорошо разработаны (см., например, [1, 3, 5]), поэтому здесь не обсуждаются.

и

Ж

Ж

— Ж

— Ж

Ж

Ж

Минуя стадию формирования полученных выше ГИУ, задача может быть непосредственно сведена к системе линейных алгебраических уравнений с помощью дискретизации фиктивной нагрузки в соответствии с п. S статьи [9]. При этом все формулы и алгоритм п. S указанной статьи следует применять здесь без изменений (но с учетом выведенных выше новых правых частей разрешающих уравнений). После определения искомой нагрузки p(Z) = px(Z) + ipy(Z) комплексные потенциалы для исходной задачи определяются путем сложения функций (2) и (3).

Литература

1. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

2. Jeffery G. B. Plane stress and plane strain in bipolar coordinates // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1921. Vol. 221. P. 265-293.

3. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. Т0Т с.

4. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 88Т с.

5. Саврук М.П., Осив П.Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. Киев: Наукова думка, 1989. 248 с.

6. Chen Y. Z., Cheung Y. K. New integral equation approach for the crack problem in elastic half-plane // Intern. J. of Fracture. 1990. Vol. 46. P. 5Т-69.

Т. Костырко С. А. Влияние формы возмущения на устойчивость плоской поверхности пленочного покрытия при диффузионных процессах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2011. Вып. 3. С. 101-111.

8. Бочкарев А. О. Краевая дислокация в нелинейной плоской упругой задаче // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. 2010. Вып. 53. С. 21-28.

9. Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты в упругой полуплоскости с отверстием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 103-113.

10. Пронина Ю. Г. Периодическая задача о точечных воздействиях в упругой полуплоскости с отверстиями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 119-129.

11. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости // Изв. РАН. Сер. МТТ. 1998. №5. С. Т8-8Т.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.

l24