Корреляционный анализ шумовых сигналов на адаптивном процессоре, работающем с использованием эха Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование физических процессов

УДК 539.21

Е.Г. Апушкинский

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ

НА АДАПТИВНОМ ПРОЦЕССОРЕ, РАБОТАЮЩЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯВЛЕНИЯ ЭХА

Использование современных высокочувствительных датчиков, например радиочастотных сверхпроводящих квантовых интерференционных приборов (РЧ-сквид)— магнитометров (объединяются в измерительные решетки (сети)) иногда требует работы с сигналами в присутствии помех, поступающих от этих же датчиков. Величина помехи может быть настолько большой, что полезный сигнал оказывается лежащим ниже уровня шумов. Такое явление встречается, например, при мониторинге объектов, находящихся рядом с источниками сильных индустриальных помех (трансформаторная подстанция, железная дорога и т. п.). Иногда приходится использовать шумы в качестве полезных зондирующих сигналов для проведения анализа объекта в широком частотном диапазоне и на большой глубине. В частности, электромагнитные поля проникают в плазму достаточно глубоко лишь в тех случаях, когда они имеют вид импульсов очень малой длительности, на которой не успевают развиться модуляционные неустойчивости.

Интересной видится также проблема контроля РЧ-сквидом самоорганизации магнитных полей в плазме, когда требуется определить момент начала регуляризации плазмы по анализу шумового сигнала со сквида, осуществляющего контроль над этой плазмой. Для решения подобных задач предлагается использовать корреляционное устройство, работающее на основе спинового эха. В качестве сигналов, возбуждающих эхо, на это устройство подаются две последовательные выборки из шумового процесса с датчика, который осуществляет наблюдение за плазмой. Отметим также, что для исследования

шумов в плазме не обязательно использовать сквид-датчики. В лабораторных условиях это могут быть коаксиальные РЧ-зонды, с помощью которых изучают турбулентные шумы и диффузию в плазме; при этом работают с частотами от 50 до 200 М Гц при полосах шума шириной 20 МГц [1].

Применение явления ядерного магнитного резонанса (ЯМР) для хранения информации, а затем ядерного спинового эха для воспроизведения этой информации обсуждалось в [2]. Шумовые сигналы различной длительности рассматривались там на основе модели случайныхчисел.

В данной работе приводится описание и делается попытка осмысления экспериментов, в которых явление эха используется не только для хранения и воспроизведения информации, но еще и для некоторой ее обработки. Возможность применения эха для обработки информации известна уже давно (см., например, аналитическую статью [3]), однако, данная обработка в основном касалась аналоговых радиосигналов. Идея этой обработки основана на том факте, что эхо-сигналы несут в себе информацию не только о физических свойствах спиновой системы, в которой возникает эхо, но и о вызывающих это эхо радиочастотных импульсах. Так, в работе [4] было предложено использовать спиновое эхо для сжатия сигналов с частотной модуляцией, в [5, 6] рассмотрена возможность применения эха для создания ограничителей помех, а в [7] показано, что с помощью этого явления можно производить спектральный анализ радиоимпульсов в реальном масштабе времени. В статье [8] дан обзор различных методов обработки сигналов с помощью спинового эха.

В нашей работе мы представляем эксперименты по возбуждению эха импульсами с шумовым и гармоническим заполнениями в тонких кобальтовых пленках (технология их получения изложена в [9]). Полагая шумовые импульсы некоторой реализацией случайной последовательности или функции, удается организовать свертку последних. Обработка шумовых сигналов и, в частности, их корреляционный анализ является технически не простой задачей, поскольку требует очень быстрой адаптации устройства под сигнал, но это сравнительно легко достигается в экспериментах с использованием явления эха.

Оборудование и результаты экспериментов

Общая функциональная схема установки, используемой для настройки устройства корреляционной обработки шумов, приведена на рис. 1. В качестве источника шума 1 использовался генератор шума Г2-32, который в полосе частот до 600 МГц обеспечивал его интенсивность до 50 к Т0 (в наших экспериментах он имитирует сквид). Данный шум усиливался широкополосным усилителем 2 (полоса пропускания до 400 МГц) на 60 дБ и поступал на вход электронного ключа 5, который имел переходное затухание в открытом состоянии 2,5 дБ и обеспечивал ослабление в закрытом состоянии 47,5 дБ для сигналов с несущей частотой до 300 МГц. На вход управления ключа 5поступали либо один, либо два прямоугольных импульса с генератора 3типа Г5-56. Величина амплитуды этих импульсов

устанавливалась на значение 5 В, а длительностью можно было управлять. В результате на выходе электронного ключа оказывались сформированными либо один, либо два прямоугольных импульса с шумовым заполнением, длительность которых можно было задавать генератором 3. Сформированные таким образом импульсы попадали на вход высокочастотного усилителя 7 типа УЗ-ЗЗ. На вход этого же усилителя подавался импульс с гармоническим заполнением на частоте 216 МГц с генератора синусоидальных сигналов 6типа Г4-107, работающего в режиме внешней импульсной модуляции от генератора прямоугольных импульсов 4типа Г5-63. Данный импульс смещен по времени относительно шумовых импульсов. Усилитель 7имел коэффициент усиления не менее 25дБ,исигналс его выхода поступал на вход электронного ключа 8, являющегося полным аналогом ключа 5. Управление ключом 8 осуществлялось генераторами прямоугольных импульсов 10 и 11 (оба марки Г5-63), один из которых открывал ключ на время прохождения импульса с шумовым сигналом, а другой — с гармоническим. Таким образом, на выходе электронного ключа 8 оказывалась сформированной последовательность РЧ-им-пульсов амплитудой около 0,5 В на нагрузке 50 Ом, причем длительность импульсов и их временную расстановку можно было регулировать. Импульсы с выхода ключа 8 поступали на вход спинового резонатора 9\ в последний помещались тонкие кобальтовые пленки. Резонатор был выполнен в виде решетки из тонкопленочных

е 1

>

7У

п 6

л_

>

Л

»

010 Л-

>

¡в

У

Синхронизация

0

14

16

Рис. 1. Функциональная схема установки

/— генератор шума; 2 — широкополосный усилитель; 3, 4, 10, 11 — генераторы прямоугольных импульсов;

5, 8— электронные ключи; 6— генератор сигналов; 7, 15— высокочастотные усилители;

9— спиновый резонатор; 12— малошумящий усилитель; 13— управляемый аттенюатор; 14— осциллограф; 16— анализатор спектра

проводников, которая изолировалась от кобальтовых ферромагнитных пленок диэлектрическим слоем.

Частота ЯМР для таких пленок составляла 216 МГц, ширина неоднородно уширенной линии поглощения была равна 8—12 МГц, время спин-спиновой релаксации Т2 = 28 мкс, время спин-решеточной релаксации Тх = 170 мкс.

Итак, две пленки с указанными параметрами помещались в спиновый резонатор. Данный резонатор в принципе представляет собой функционально законченное изделие и может рассматриваться как элемент или процессор, обрабатывающий сигнал. Выход резонатора 9 соединялся с входом малошумящего усилителя 72, имеющего коэффициент усиления около 40 дБ и полосу пропускания около 30 МГц. На данный усилитель поступали как импульсы возбуждения, так и эхо-сигналы, но поскольку на его входе стояла диодная схема отсечки сигналов большой мощности, то усиливались только эхо-сигналы. Между выходом усилителя 72 и входом высокочастотного усилителя 15 типа УЗ-33 ставился управляемый аттенюатор 13 с целью предотвращения возбуждения усилительной цепочки из двух указанных усилителей. С усилителя 75 сигналы попадали на осциллограф 74типа С1-75 (или С9-8) и на анализатор спектра 16 типа С4-74. Синхронизация работы всей схемы осуществлялась с периодом Т = 300 мкс генератором 77.

Данная установка позволяла осуществлять возбуждение тонких ферромагнитных пленок

последовательностями из двух либо трех РЧ-им-пульсов, причем часть из них могла быть с шумовым заполнением. Для получения шумового сигнала использовался генератор 7 на электронно-вакуумном диоде 2Д2С (см. рис. 1), который давал короткие импульсы с недетерминированными временем положения и амплитудой, что соответствовало равномерному непрерывному перекрытию частотного диапазона до 600 МГц; таким образом, последовательность таких импульсов может рассматриваться как белый шум в данном частотном диапазоне. Далее из непрерывного шумового сигнала с помощью электронного ключа вырезалась некоторая реализация шума, т. е. получался шумовой сигнал конечной длительности, или импульс с шумовым заполнением, который и использовался для формирования эха. Данный импульс исследовался на осциллографе С9-8, обеспечивающем запоминание сигнала после однократного воздействия. Безусловно, максимально возможное количество точек, которое можно увидеть на экране осциллографа на длительности импульса At= tl— /0, где /0 — время начала шумового импульса, а tl — время его окончания, определяется шагом дискретизации осциллографа. Однако, максимально возможное количество 5-импульсов, существующих на длительности импульса с шумовым заполнением А/, которое подается на вход осциллографа и воздействует на ядра, возбуждая эхо, определяется шириной спектра генератора шума. В нашем случае она составляет 600 МГц. Таким образом, длитель-

Рис. 2. Эхо-сигнал от последовательности из двух импульсов; задержка между ними 6 мкс. Два режима: а — оба импульса с гармоническим заполнением; длительность первого — 2 мкс, второго — 0,2 мкс; б — первый импульс имеет длительность 2 мкс и шумовое заполнение, а второй — длительность 0,2 мкс и гармоническое заполнение

ностью 5-импульса, образующего шум, будет 5/ = 1/600-106 с не, и на длительности импульса А/ соответственно может уместиться N= = А/5/импульсов. В наших экспериментах длительность импульсов с шумовым заполнением составляла 2 мкс, что соответствовало ТУ = 1000 импульсов. Понятно, что для каждого отдельно-

А

и меняется от импульса к импульсу по случайному закону, а значение 1000 — это предельная величина, соответствующая указанной длительности шумовых импульсов.

На рис. 2 показаны результаты возбуждения спинового эха двумя РЧ-импульсами. На рис. 2, я видно значительное искажение первого возбуждающего импульса; на рис. 2,6эхо-сигнал с точностью до релаксационного процесса повторяет форму первого возбуждающего импульса, инвертированного во времени.

Эхо-сигнал от последовательности из трех РЧ-импульсов возбуждения показан на рис. 3 ,а. Первый и третий импульсы отличаются от второго своей шумовой реализацией. Эхо-сигнал был треугольной формы с основанием треугольника, примерно равным суммарной длительности шумовых сигналов. Отметим, что приведенные на рисунках сигналы получены на осциллографе без запоминания в режиме периодического возбуждения с периодом Т= 300 мкс, т. е. эхо-сигналы на этих фотографиях есть результат суммирования сверток двух случайных сигналов или последовательностей, причем каждый раз новых. Кроме того, что в данном эксперименте суммирование

5

дило простым суммированием амплитуд.

Обсуждение экспериментальных результатов

Проведем теперь теоретический анализ описанных экспериментов. Начнем с режима двухим-пульсного возбуждения. На длительностях гармонического импульса и короткого, составляющего шум, релаксация не будет проявляться из-за их малости. Следовательно, для анализа можно использовать преобразование не Лапласа, а Фурье с учетом релаксации только вне импульсов. Для представления шумового импульса возбуждения воспользуемся выражением, предложенным в [2]:

мо

п=0

(1)

где

в(0 2

1, если /е[/0,/!]; 0, если

знак ^ } следует понимать как случайную функцию, принимающую при каждом конкретном п значение либо 0, либо 1;

М0=

1, если /е[/0+л8/, /0 + (п + 1)8/]; 0, если / £ [/0 + я8/,/0 + (п + 1 )8/];

5

образующих шум на длительности шумового импульса.

I, мкс

Рис. 3. Эхо-сигнал от последовательности из трех РЧ импульсов возбуждения (первый режим): а — первый и третий импульсы имеют длительность 2 мкс и шумовое заполнение, а второй имеет длительность 0,2 мкс и гармоническое заполнение. Задержка между первым и вторым импульсом 3 мкс, между первым и третьим — 7 мкс; б— расчетная диаграмма эхо-сигналов, соответствующая возбуждению, данному на рис. 3,а

Согласно [2], спектр такого импульса:

^тшДМ^ехрх

х < -/Дю

•ехр{-/Дюя5/}, (2)

где / — мнимая единица, Аю = ю0 — ю, а ю0 — центральная частота спинового пакета, т. е. совокупности магнитно-эквивалентных ядер.

Гармонический импульс возбуждения представляется как

где

ЬО =

sh(t) = b (i)sin at,

1, если t e[t2, t2 + 9ht\, О, если t£[t2, 12 + 9ht\,

(3)

Sh (Дю)5

i9h{

expi -i Дю

h +

9hf

>■ (4)

являются используемые нами ферромагнитные пленки; Т2{л) — время спин-спиновой релаксации, определяющее затухание сигнала.

Подставим в формулу (5) выражения для

§к (Дю) к§пЫ5е (Дю) (см. формулы (4) и (2)). Далее считаем, что функция распределения ядер по резонансным частотам близка к гауссовой с дисперсией, равной неоднородной полуширине ли-нииЯМР:

F{Aa)=

1 I Аш2

л/2па

(6)

с учетом формулы (6) после преобразований получим:

ю

баний.

Отметим, что для экспериментальных условий, представленных на рис. 2 и 3, А^= % — где /2, — моменты начала и окончания гармонического импульса, а /0 и — аналогичные моменты времени для шумового импульса.

Спектр гармонического импульса с учетом того, что резонансная частота рабочего вещества превосходит его полосу и что на длительности этого импульса релаксация не успевает проявиться, представляется как

Secho{{) 21М0

'л Л2

v 2 у

(8t)J(G,T2

*t ij j "«Pi-^ - ^Я'J (7)

и=0 I- j n

В формуле (7) /0 = 0, а I{G,T2,t) = ]Л4С (u)exp J-

т2(и)

>du —

Тогда при условии, что энергия сигналов мала настолько, что

"япл| ^ (Дю)|]/л| ^ (Аю)|*1

для любого сигнала, эхо-сигнал от комбинации импульсов (см. рис. 2) выражается как [10]:

ад ад

Яеско (') = "/ К^ой* (Аю)^2 (Дю)х

-ад 0

хГ(Дю)С(г1)ехр+ /Дю* |</и</Дю, (5)

где М0 — равновесная намагниченность вещества; ДАю), 0(л) — функции распределения ядер по резонансным частотам и по коэффициентам л

в магнитоупорядоченных веществах, каковыми

интеграл по коэффициентам усиления, входящий в (5). Также учитывается, что Д/, 5/ ^t2. Число п определяет временное положение короткого импульса в шумовом сигнале. Это будет гауссов импульс с длительностью, примерно равной обратной ширине полосы пленки и с частотой заполнения, соответствующей центральной частоте полосы пропускания пленки.

Особенность нашего эксперимента заключается в том, что длительность коротких импульсов, составляющих входные шумовые, отличается от таковой для шумовых эхо-сигналов (последние импульсы значительно длиннее). Это приводит к некоторой неоднозначности при воспроизведении входных сигналов, которую можно устранить за счет использования прецизионной аппаратуры.

Как уже указывалось, на рис. 3,а показан эхо-сигнал от последовательности из трех возбуждающих импульсов. Эхо-сигнал после многократного возбуждения имеет треугольную форму. Рассмотрим причину такого явления. Будем

по-прежнему предполагать, что время релаксации по сравнению с длительностью любого из импульсов мало, поэтому им можно пренебречь. Тогда сигнал стимулированного эха от трех импульсов имеет вид [10]:

ад ад -ад 0

хС (цЪхр\--I с/л^Аю , (8)

I Т2(ц) ]

где (Аю), (Аю), (Аю) — спектры соответствующих импульсов.

Полагая, что третий импульс начинается в момент времени /4 и заканчивается в момент /5, после подстановки выражений (2), (4) и (6) в формулу (8) и несложных преобразований

с учетом неравенств Дй/, 5/«/2 получим: = т2 ЦС,Т2,1)х

т,п=0

ехр{—^"[''-[Ь +Ц) + (т-п)Ы] ]2[-(9)

Выражения для данных эхо-сигналов от всего рабочего вещества можно получить из системы (10) суммированием по всем спиновым пакетам с учетом функции распределения ядер по

Аю

усиления как это и делалось для сигналов первичного и стимулированного эха. Соответственно для рассматриваемого нами случая:

м ГО] ГО] I 2 2

х Х^] и ехр|-^[/-[2(/4-/2)-(2й + т)5/]]

ж [01 [01

I 1

т,п-0 т 1 1

ехр^-—\t-b~h +(п + т)Ы]\

Secho.it) = М0(503/(С,7У)Х

£|о] -

т,и=0 I - л т

х X О О ехр|-^[/-Ь+(2т-я)5/]] ],(11)

Из формулы (9) следует, что длительность сигнала стимулированного эха будет равна суммарной длительности шумовых импульсов.

Как известно (см., например, [11]), после трех возбуждающих РЧ-импульсов появляются четыре эхо-сигнала, т. е. помимо стимулированного эха существуют еще сигналы, появляющиеся в моменты времени 2(/4 — /2); 2/4 — /2 и 2/4. Иногда они дают очень причудливые комбинации, которые могут затруднять анализ сигналов. Рассмотрим один из таких случаев. Используя приближенное решение уравнений Блоха [12], можно показать, что выражения для этих сигналов от отдельных спиновых пакетов, т. е. от совокупности магнитно-эквивалентных ядер, через спектры импульсов возбуждения имеют вид:

¿•^2(0= МЛ <Д®)(С(д®))42(Д®);

^сйо3( 0= ^ (Д®)|2)^(Дю) ДЮ);(10)

Бесн^) =и ^2 (А^)(А®) .

где /(С, Г2, /) зависят от функции распределения ядер по коэффициентам усиления и определяют влияние релаксационных процессов на эхо-сигналы.

Из формул (11) следует, что длительность БлЧю2(0 равна утроенной длительности шумового сигнала и находится во временном интервале при расстановке, соответствующей рис. 3,а, до 8 мкс, т. е. не будет проявляться после окончания третьего импульса. Соответственно длительность БлЧю3(0 равна суммарной длительности шумовых сигналов и лежит в интервале от 11 до 15 мкс. Бес11о4(0 будет иметь длительность, равную длительности первого шумового импульса плюс удвоенная длительность второго и, соответственно, лежит в интервале от 12 до 18 мкс. Графически положения всех трех импульсов показаны на рис. ЗД Экспериментально наблюдается, естественно, суммарный сигнал.

Сравнивая рис. 3,я и 3 Д видим хорошее совпадение экспериментальных и теоретических результатов. Этот суммарный сигнал — уже не просто корреляционная функция входных шумовых импульсов, поэтому требуются специальные меры для ее выделения. Изменив временное положение возбуждающих импульсов, можно

Рис. 4. Эхо-сигнал от последовательности из трех РЧ импульсов возбуждения (второй режим): первый и второй импульсы имеют длительность 2 мкс и шумовое заполнение, а третий имеет длительность 0,2 мкс и гармоническое заполнение. Задержка между первым и вторым импульсом 4 мкс, между первым и третьим 10 мкс

Рис. 5. Эхо-сигнал от последовательности из двух импульсов (третий режим): первый импульс имеет длительность 0,2 мкс и гармоническое заполнение, а второй имеет длительность 1 мкс и шумовое заполнение, задержка между импульсами 2 мкс

разнести эхо-сигналы по времени и провести временную селекцию нужного сигнала. От сигналов, определяемых системой (11), можно также избавиться, если применить специальный стирающий видеоимпульс магнитного поля [12]. Этот импульс не затрагивает лишь сигнал стимулированного эха (9), который и есть результат корреляционного анализа двух шумовых импульсов.

В том случае, когда первые два импульса из трехявляются шумовыми, а третий — гармоническим (рис. 4), эхо-сигналы по структуре будут эквивалентны сигналам обычного двухимпуль-сного эха, возникающего от первого шумового и второго гармонического импульсов [2]. Как следует из двух последних формул в системе (11), сигналы двухимпульсного эха возникают как бы независимо от первого и третьего, а также от второго и третьего импульсов. Сигналы стимулированного эха и эха, имеющего максимум амплитуды в момент времени / = 2(/4 — также возникают в этом случае, однако их амплитуда

оказывается значительно меньше (они практически не видны на рис. 4). Если первый импульс имеет гармоническое, а второй — шумовое заполнение, то спектр эхо-сигнала будет равен спектру второго импульса, возведенному в квадрат (см. формулу (5)), сам эхо-сигнал показан на рис. 5.

В любом случае сигнал стимулированного эха пропорционален коэффициенту корреляции двух шумовых реализаций, используемых для возбуждения эха. Если эти шумовые импульсы приходят от одного датчика, то возрастание уровня сигнала эха свидетельствует о начале регуляризации в шумовом процессе, регистрируемом датчиком. Если шумовые импульсы приходят от двух датчиков, то это возрастание несет информацию о появлении взаимосвязи между процессами, которые регистрируются датчиками.

Таким образом, исследованное нами устройство может быть использовано для контроля недетерминированных процессов в практически реальном времени.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Павленко В.Н., Ситенко А.Г. Эховые явления в плазме и плазмоподобных средах. М.: Наука, 1988. 128с.

2. Apushkinsky Е., Astrov M. Information capacity of elements of quantum computers operating with echosignals // Physica B: Condensed Matter. 2002. Vol. 321 (1-4). P.'408-413.

3. Рассветалов Л.А. Спиновые и поляризационные эхо-процессоры // Поляризационное эхо и его применения. М.: Наука, 1992. С. 161 — 185.

4. Миме В.Б. Детектирование радиолокационных сигналов с ЧМ заполнением импульсов посредством электронного спинового эха // ТИИЭР. 1963. Vol. 51, № 8. P. 1127-1135.

5. Jackson D.R., Orth R.W. Hyper selective limiter 11 Proc. IEEE. 1964. Vol. 52, № 10. P. 1245.

6. Jackson D.R., Orth R.W. Selective limiter using nuclear magnetic resonance // Proc. IEEE. 1967. Vol. 55, № 1. P. 37-45.

7. Иванов Ю.В. О возможности анализа спектра сигналов в спиновых устройствах в реальном масштабе времени // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 5. С.1008—1013.

8. Петров М.П., Степанов С.И. Обработка информации в радиотехнических системах методом спинового эха // Обзоры по электронной технике. Сер.1. Электроника СВЧ. 1976. Вып. 10 (385). С. 4-27.

9. Каразеев В.И., Теряев В.А., Устинов В.Б. и др.

Определение влияния технологических факторов на параметры ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в пленочных средах з9Со // Вопросы радиоэлектроники. 1976. Сер. ТПО. N° 2. С. 100-105.

10. Апушкинский Е.Г., Москалев В.В. О функции распределения ядер по коэффициентам усиления в многодоменных магнитоупорядоченных средах // Вестн. ЛГУ. 1984. Сер. 4. Т. 10. С. 33-38.

11. Леше А. Ядерная индукция. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 684 с.

12. Апушкинский Е.Г., Казак A.B., Нестеров O.A. К вопросу миниатюризации устройств обработки информации на основе ядерного спинового эха // Вопросы радиоэлектроники. 1982. Сер. ТПО. N° 2. С. 13-22.

УДК 519.246.67 (075.8)

П.Н. Звягин

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАБЛЮДАЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

Задача отыскания ведущих колебательных характеристик наблюдаемого процесса может быть представлена как составная часть анализа структуры зашумленных временных рядов. Как правило, для исследования колебательных характеристик производится построение периодограммы или спектрограммы [1].

Основные принципы эволюционных алгоритмов

В инженерной практике часто требуется оценить наблюдаемый процесс в виде суперпозиции небольшого числа синусовых функций. Тем не менее, восстановить по спектрограмме заданное число неизвестных пар частота-амплитуда этих синусовых функций, наилучшим образом приближающих временной ряд, иногда бывает затруднительно.

Будем осуществлять приближение временного ряда суперпозицией функций:

к к /(п) = ^А1со&па! (1)

/=1 ;=1 где п — номер наблюдения х„ временного ряда X, а к — некоторое небольшое натуральное число.

Здесь неизвестными являются как частоты ю;., так и амплитудные характеристики Д., Д,

1 = 1,к

ций к исходному временному ряду X будем осуществлять численно.

В таком случае можно построить целевую функцию и поставить задачу отыскания ее экстремального значения:

/*■( ю1,ю2,...,Л1,Л2,.В2,...) =

N 2

= Е^{П)~ХП) — тт, (2)

И = 1

где N — число наблюдений временного ряда X. При этом значения аргументов функции /'могут находиться только внутри каких-либо конечных интервалов.

Рассмотрим алгоритм, который осуществляет поиск экстремального значения функции внутри области поиска.

Пусть функция, экстремум которой требуется отыскать, нелинейна по параметрам поиска, а областью ее задания является линейное метрическое пространство. Будем рассматривать