Корреляционная энергия электронного газа в узкощелевых слоистых полупроводниках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 573.311.33

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УЗКОЩЕЛЕВЫХ СЛОИСТЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Е. А. Андрюшин, Л. Е. Печеник, А. П. Силин

В приближении хаотических фаз проведен расчет корреляционной энергии электронного газа высокой плотности в узкощелевых слоистых полупроводниках.

Рассмотрим слоистый полупроводник с чередующимися слоями полупроводников I и II. Диэлектрическую проницаемость обоих слоев будем считать одинаковой и равной с. В дальнейшем, как и в работе [1], учтем ее дисперсию. Полупроводник I будем счи тать широкощелевым, причем его энергетическую щель 2Д/ будем считать большой настолько, что расщепление уровней размерного квантования в сверхрешетке из-за но риодичности волнового вектора в плоскости слоя к мало по сравнению с величиной энергетической щели второго полупроводника 2Д// и разностью а между первым во* бужденным и основным уровнями. В слое II расстояние между основным и первым

возбужденным уровнями размерного квантования будем считать настолько большим.

! \

что

а»АП. (1)

Тогда на наинизшем уровне может существовать электронный газ с релятивистским двумерным законом дисперсии Е{р) = \JА2ц + p2s2, где р - двумерный импулы в направлении, параллельном слоям, s - кейновский межзонный матричный элемент (квазискорость света). Будем считать, что

сг >> E{pF) » к, (2)

где pf - импульс Ферми.

Период сверхрешетки с будем считать настолько малым, что

ß = pFc « 1. (3)

Для простоты здесь и в дальнейшем полагаем Н = 1.

1} связи с условием (3) ширина слоя II / < с удовлетворяет условию

рИ << 1. (4)

В качестве структуры II могут служить системы типа рассмотренных в [2]. [-4] При выполнении вышеуказанных условий (1), (2), (4) корреляционная энергия, приходящаяся на один электрон, имеет вид (см. приложение)

Есогт = Тр! / ё{1п(1 " + (5)

где р = рру/27Г - двумерная плотность электронного газа в слое, V число долин (для общности мы рассматриваем многодолинный полупроводник), q = (ц.и;) трехмерный эвклидов вектор, д — У(д, ю) - Фурье-образ кулоновского потенциала У(г) = е2/ег

9(1 «>)=// ¿хйуе^^ е'югпУ(х, у, спг) = ^ (6)

П44(<у) поляризационный оператор двумерного электронного газа, формально получаемый отбрасыванием третьей компоненты трехмерного поляризационного оператора [1]:

п I \ 1Я I ** °(р-рг) (ЯР)2-Я2Е(РУ

где р = [р\.

Мы рассматриваем ультрарелятивистский случай врр >> Ац. Тогда интеграл (5) можно преобразовать к виду, более пригодному для его анализа, выполнив интегриро ванне по и; и введя новую переменную интегрирования у:

2те2 зЬ(дс)

з » • ала Щт/в) / 1

эъ Г о . Г вт вав Г . /_ 1

у/1 + у2 + 2ус1\\{гръ\п0)1

(8)

где

, „ч 2тге2 ~ , лх I е^ыпб/П г3, г»1 7^,0) =П44(г,0) = / ' (9)

г I (е'/8г)(1 — |соз0|), г << 1

П44(г, в) - поляризационный оператор, обезразмеренный делением на яру. и завися щий от переменной г = \/ш2 + в2^2/вр? и угла в, определяемого равенством

Как видно из формул (8), (9), основной вклад в корреляционную энергию дают 1 << г « l/ß, когда подкоренное выражение в (8) значительно больше 1. Вклад этих г больше вклада г < 1 на множитель In/?-1.

Поэтому, взяв в качестве нижнего предела интегрирования по г единицу, используя для 1)(г, 0) ассимптотику при г >> 1 и считая, что cth(r/?sinö) ä l/rßs\nO. получим для корреляционной энергии:

с2 (2тгр\l'2, av

при условиях pfüx >> о;-1 > 1, av >> ß = р?с, а = е2/es.

Полученное значение корреляционной энергии больше вклада обменной энергии на множитель lri(av/ß).

В нерелятивистском случае формула (5) дает для корреляционной энергии квази двумерного электронного газа в подобной слоистой системе выражение [1 6]:

Есогг = -АЕх{па1У'\ (11)

где Ех = 2me4/ch2, А = 231/4тг9/4/5 ¡Г (|)]4 = 3,27, m = An/s2, ах = е/2ше2, п = р/с полная плотность электронов.

Учитывая, как и в работе [1] (см. также [7], [8]), частотную дисперсию, получим, что в формулах (10), (11) нужно считать, что с - высокочастотная диэлектрическая прони цаемость.

Таким образом, мы видим, что конечность энегретической щели и дираковский закон дисперсии изменяют характер зависимости корреляционной энергии от плотности.

Сравним теперь условия применимости используемых приближений: (сильная сжатость системы, ультрарелятивистский закон дисперсии, сильная анизотропия системы), использованные при вычислении корреляционной энергии в квази двумерном и трех мер ном случаях.

В трехмерном случае для величины rs (среднего обезразмерениого расстояния между частицами) такими параметрами являются а/г»1/3, 1/и4/3, 1/и1/3. При av << 1 формула

ЕСОТТ = -АЕх{па3х)1/4 (12)

для нерелятивистского случая справедлива для 1/и4/3 << г., << 1/г1^3. При av >> 1 формула

Есотг = -Ех -^^^(аг;)

для релятивистского случая применима при г„ << а/и1/3, формула (12) для нерелятивистского случая применима при а/у1/3 << г5 << \/у1^.

Для слоистого полупроводника характерными параметрами являются с/ау'^2аТ. а/г;1/2, (с/ах)1^2у~1, 1/г?1/2. Формула (11) для нерелятивистского случая справедлива при а/и1/2 << гя, (с/аху/2у~1 « г„ « 1/и1/2. Формула (10) для релятивистского случая справедлива при с/ау3^2ах « г„ << а/и1/2. Видно, что в релятивистском квазидвумерном случае условия накладываются менее жесткие, чем в трехмерном релятивистском случае.

Отметим также закономерности, общие для квазидвумерного и трехмерного случая. Если в нерелятивистском случае корреляционная энергия пропорциональна га1/4, то и релятивистском случае она пропорциональна пгде с? - размерность пространства, в котором движение электронов не ограничено. Характерным является наличие логарифма, который играет роль большого параметра в выражении для корреляционной энергии. Это позволяет предполагать, что подобные закономерности для корреляцп онной энергии электронных систем будут соблюдаться при всех условиях, указанных выше.

Приложение

Для простоты рассмотрим нерелятивистский случай. Тогда, исходя из обычной координатной диаграммной техники, видно, что по координатам х и у в слое можно про вести преобразование Фурье. При этом гриновская функция, если выполняются условия (1), (2), т.е. при пренебрежении влиянием возбужденных уровней, имеет вид:

iO/ / \ _ V^_Xm{z)Xm(Z )_

Ь[р, Z, , ш) - ^ ы _ Е{р) _ igsgn{u _ Е[р)),

где Xm(z) - волновая функция основного состояния в яме с координатой ст.

Рассмотрим вершину, изображенную на рис. 1. Интеграл по z при условии (4) имеет

вид

/ * Е Е Xm(z)X-m(z')Xn(z")X:(z)V(z - z'") = £ Xm(z")X-m(z')V(cm - Л,

J m n m

где V(z) = / / dxdyei4xX+i4»yV{r) = 2же2е~^/щ.

Таким образом, если мы будем считать петлю из гриновских функций, то в ней окажется единый индекс m у всех гриновских функций. У всех потенциалов, исходящих из

z'

Рис. 1.

нее, тоже один из индексов будет т и все будет суммироваться по т. В этом смысле т похоже на координату (только дискретную). Применяя к ней преобразование Фурье, мы видим, что для нового импульса правила диаграммной техники остаются преж ними. Таким образом, в получившейся диаграммной технике необходимо использовать двумерные гриновские функции, а следовательно, и поляризационный оператор (7) и преобразование Фурье потенциала по формуле (6). Используя вышеуказанные правила диаграммной техники, получим для корреляционной энергии формулу (5).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 96-02- 16701-а) и Международного научного фонда (грант N9Z000/N9Z300).

ЛИТЕРАТУРА

[1] П е ч е н и к J1. Е., Силин А. П. Краткие сообщения по физике ФИ АН. N 5-6, 72 (1996).

[2] К о л е с h и к о в A.B., Силин А. П. Письма в ЖЭТФ, 61, 9 (1995).

[3] D е Dios L е у V a M., Alvarez R. P., Gondar J. L. Phys. Stat. Sol. (b), 125, 221 (1984).

[4] A h д p ю ш и н E. А., Силин А. П. ФТТ, 19, 1405 (1977).

[5] С и л и н А. П. Труды ФИАН, 188, 11 (1988).

[6] К е 1 d у s h L. V. Contemp. Phys., 27, N 5, 395 (1986).

[7] A h д p ю ш и h E. A., Силин A. П. ФТТ, 21, N 3, 839 (1979).

[8] Силин A. П. Труды ФИАН, 188, 40 (1988).

Поступила в редакцию 19 июня 1996 г.