CC BY
9
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Correcness of solution of two-dimensional integral equation of the first kind
with analytical functions Askar kyzy L.
Корректность решения двумерного интегрального уравнения первого рода с аналитическими функциями Аскар кызы Л.
Аскар кызы Лира / Askar kyzy Lira — старший преподаватель, кафедра кибернетики и информационных технологий, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в статье доказано, что решение двумерного интегрального уравнения первого рода с ядром - экспоненциально-квадратично-убывающей функцией от разности аргументов -существует и непрерывно зависит от правой части в пространстве целых аналитических функций экспоненциального типа.
Abstract: the following is proven. The solution of a two-dimensional integral equation of the first kind with a kernel being an exponentially-quadratic-decreasing, depending on difference of arguments function exists and depends on right hand part continuously in the space of analytical functions of exponential type.
Ключевые слова: интегральное уравнение первого рода, двумерное интегральное уравнение, аналитическая функция, корректность.
Keywords: integral equation of the first kind, two-dimensional integral equation, analytical function, correctness.
Введение
Известно, что линейный интегральный оператор типа Фредгольма с непрерывным ядром на ограниченной области является вполне непрерывным. Следовательно, задача решения соответствующего интегрального уравнения с заданной правой частью - непрерывной функцией -не может быть корректно поставлена. Таким образом, корректной может быть только задача решения линейного интегрального уравнения первого рода либо на неограниченной области, либо в других пространствах. Для одномерных уравнений такие результаты были получены в некоторых работах, в том числе в нашей статье [4]. В настоящей статье аналогичные результаты получены для двумерного случая.
1. Обозначения и вспомогательные результаты
В соответствии с [3], обозначается: А* (для у>0) - пространство целых аналитических функций экспоненциального типа с показателем V, то есть удовлетворяющих условию:
/ еА1(Зс>0)(ЪеС)т\ < с в**).
Норма в пространствеАу: \/1\у:= $ир{\£(2}\ в 2еС}.
А+у - пространство целых аналитических функций /(¿) таких, что в некоторой точке (можно принять - в начале координат) последовательность их производных имеет скорость роста не выше степенного: (У/@еА+у> (Бс>0>(№еМ0:={0,1,2,3...}>(/(к)(0)\ <сV).
Норма в пространствеА+у: |[/||+„:= sup{\fк>(0)\ к: кеМ0}.
Соответственно, будем обозначать А2у - пространство аналитических функций двух
переменных с условием \ < с ву(\2\+\™\>>;
А+ - пространство аналитических функций двух переменных с условием:
ek+nf (0,0)
Нормы в этих пространствах будем
также обозначать\\• \\*; \\• [[+*. В пространстве А2+* норма оператора дифференцирования по одной из переменных:
IM L = D
tt k=0 „=o k!n!
1 ek
'f (0,0) zkwn
ezk ewn
tt k=i „=0 k!n!
1 ek+nf(0,0)
ezk ewn
kz
1 e
tt k=0 „=o k!n!
k+i+n
ezk+iew
f(0,0) k J
J zkw"\ = sup
ek+i+n f(0,0)
ezk+iewn
-k-n
< cv
k, n e N0 }<
v
< 8ир{||/\\+у+и"у-к-" : к, п е ^ }=/. (1)
Ограниченность оператора дифференцирования в пространствах А+у, А2+у и обеспечивает корректность ряда задач, которые являются некорректными в других пространствах.
2. Обзор результатов по одномерным интегральным уравнениям
Для уравнений типа свертки на оси
£ К(х - з)и(з)с1з = /(х) (2)
очевидны следующие факты, связанные с интегральными преобразованиями Ф [1]. Если функции К, / принадлежат соответствующим пространствам, то из уравнения (1) следует ФК()(фФи()(ф=Ф/(-)(ф. Если функция Ф/(-)(ф(ФК()(ф)—1 существует и также принадлежит соответствующему пространству, то получаем решение и(х)= Ф—1(Ф/()(ф(ФК()(ф)—1).
В [2] рассматривается уравнение вида
£ К(х, s, ))((х — + е2у"'2ы^, ))& = О(х), п = 1,2, (3)
где Ь - пространственная кривая (антенный граф), неизвестная функция и(х,е) представляет протекающий по кривой ток, е >0 - малый параметр - отношение радиуса проводника к длине волны). Объявлена теорема о том, что в специально составленном классе обобщенных функций при \К(х,х,0\>8 >0 уравнение (3) имеет решение, устойчивое по О(х) еЬ2(Ь).
В [4] доказано следующее. Если функция /(х) - целая аналитическая экспоненциального типа, то существует целое аналитическое решение интегрального уравнения первого рода
К^(-)(х) := £ ехр(—6(х - з)2^^ = /(х). (4)
Это решение выражается формулой
^ = К>/( ^кш^ (5)
Оно устойчиво по /(2) в пространстве А+у .
3. Построение двумерного интегрального уравнения
Рассмотрим уравнение теплопроводности с обратным временем на плоскости
ди((,х,у)_ /дч(,х,у) , -2и((,х,у)^х,у) е (о,ю) х к
д( [ дх2 ду2
с начальным условием
и(0,х,у) = <р(х,у), (х,у) еК2, 7) где еА2+у и принимает вещественные значения при вещественных значениях
аргумента.
Формальный ряд для решения. Будем искать решение (6)-(7) в виде
и((, х, у) = £ ик (х, у)(к, (8)
"к
к=0
где ик(х,у) - искомые целые аналитические функции. (Сходимость этого ряда и рядов, получающихся из него дифференцированием по х и по у, пока не рассматривается). Подставляя (8) в (7), получаем, что
и0(х,у) =рх,у (9) Подставляя (8) в (6) и также формально дифференцируя ряд почленно, получаем
£ ик(х, у)к(—1 = — + . (10)
к=1 к=0 V дх ду )
Заменяя переменную суммирования в левой части (к— 1 на к), имеем
к д2и, (х,у) д2и, (х,у) 1 к
£ ик+1(х,у)(к + 1)(к = — а£ [—¿х^ + /.
Приравнивая сомножители при одинаковых степенях (к, получаем соотношения ик+!(х,у) + = 0,1,2,.. (11)
к + 11 дх ду2 )
n - 52 52
Обозначим дифференциальный оператор D2 = +^"Т ■ Из оценки (1) получаем:
операторная норма
\\D2\\2+V=2v!. (12)
ТЕОРЕМА 1. Если функция р (2) - целая аналитическая экспоненциального типа, то существует целое аналитическое решение задачи (6)-(7), которое выражается формулой (следующей из (11)):
да /
ы(1, х, у) = X у. (-а)"^2р(х, у)1к. (13) £0 к!
Доказательство. Докажем, что этот ряд сходится.
Используя оценку (12), получаем
X1 (-а)кБкр(х,у)1к <]ТУак(2у2)к1к = ех>(2ауV) <да. к~0 к! £0 к!
Так же доказывается сходимость рядов, полученных из (13) дифференцированием. Теорема доказана.
Зафиксируем некоторое Т>0 и обозначим у(х)=и(Т,х). Тогда получим в силу известной интегральной формулы для решения уравнения начальной задачи для уравнения теплопроводности:
1 I (¿С )2 (X )2 |
рх,у) = \\^ехрI - Х- Р л„т - Я Гр,
I 4aT
> y): = п b
f (x,y) = jj^ exp(- b((x - p)2 + (x - q)2))w(p,q)dpdq.
1 ж 1
Обозначим b: = —— ,f(x, y): = —q>(x, y). Тогда получим: T = —-4aT b 4ab
■¡КхК
Отсюда следует
ТЕОРЕМА 2. Если функция /(х) - целая аналитическая экспоненциального типа, то существует целое аналитическое решение интегрального уравнения первого рода
jw(-)(x, y):= IL exp (- b((x - p)2 + (x - q)2 ))w(p, q)dpdq = f(x, y). (14) Это решение выражается формулой
b (- 1)к
w(x, y) = Kb1f( • ;(x, y): = - X Dfx, y).
ж t~i k!(4bf
Оно устойчиво по f(x,y) в пространстве A+v ■ Пример. Положим b=1, f(x,y)=x2+5xy. Тогда
( - 1)к ък, 2 с > 1 L 2 с > 1 ( 52 52 V 2 с ^ V < / nk/„2,<„,>_ (x2 + 5xy) --I — + —2 l(x2 + 5xy)
v(x, y) = 1X Dx + 5xy) =1 n t~0k!(4b) n
41 5x2 5y
= — \(x2 + 5xy) -1 (2x) | =1 f x2 -1 x + 5xy n 1 4 J n 1 2
Приложение
PROGRAM lira2D;
USES CRT, Dos{, s1_var, s2_tasks};
var ip,iq,k,nj:longint;
b,x,y,h,p,q,s: double;
function w(xx,yy:double):double;
begin w:=(sqr(xx)-1.0/2.0+5.0*xx*yy)/pi end;
begin {main}
clrscr; writeln;
writeln(' Askar_kyzy 2D 02.07.2016 ');
writeln(' Integral exp(-(x-p)A2-(y-q)A2)w(p,q)dpdq = xA2+5xy ');
writeln;
repeat
write(' Input x, y (0 0 -> exit): '); readln(x,y); h:=0.05;
s:=0.0;
for ip:=-200 to 200 do
for iq:=-200 to 200 do
begin p:=ip*h;q:=iq*h;
s:=s+sqr(h)*exp(-sqr(x-p)-sqr(y-q))*w(p,q)
end;
writeln(s:10:4);
until (x=0.0) and (y=0.0);
readln
end.
Литература
1. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. 384 с.
2. Стрижков В. А. Корректность интегральных уравнений Фредгольма I рода типа потенциала для тонких проводников // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 1988. 28:9. С. 1418-1420.
3. ЕвграфовМ. А. Асимптотические оценки и целые функции, 3-е издание. М., 1979.
4. Кененбаева Г. М., Аскар кызы Л. Класс интегральных уравнений первого рода, имеющих решение при любой правой части // Актуальные: труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Г. И. Марчука, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН. Новосибирск: Абвей, 2015. С. 321-325.
Construction of the model of information security synthesis Atadjanova N.
Построение модели синтеза средств защиты информации Атаджанова Н. С.
Атаджанова Нозима Султан-Муратовна /Atadjanova Nozima — старший преподаватель, кафедра информационно-коммуникационных технологий, Ташкентский финансовый институт, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье рассмотрены основные вопросы построения модели синтеза средств защиты информации, обеспечения создания оптимальных средств защиты информации. Abstract: the article discusses the main issues of constructing a model synthesis of information security, ensuring the creation of optimal means of information protection.
Ключевые слова: защита информации, задачи синтеза, уровни защиты Keywords: protection of information, the problem of synthesis, levels ofprotection.
Сегодня информация стала одним из наиболее мощных рычагов экономического развития. Владение информацией необходимого качества в нужное время и в нужном месте является залогом успеха во многих видах деятельности. Монопольное обладание нужной информацией оказывается зачастую решающим преимуществом в конкурентной борьбе.
Однако, при достаточно большом многообразии проведенных исследований, сделанных разработок, предложенных программ, международных стандартов в этой области, с уверенностью можно сказать, что универсального средства защиты информации на сегодняшний день не создано.
Поэтому требуется синтезировать оптимальную систему защиты информации исходя из структуры информационной системы, ее задач, а также многих других факторов.
Рассмотрим два исходных положения, которые необходимо выполнить для осуществления задачи синтеза:
• выбор математически продуктивного критерия оптимальности в соответствии с архитектурой системы защиты и технологией обработки информации на объекте;
• математическая формулировка задачи.
