Корпоративная модель согласования интересов с учетом экологических факторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление в социально-экономических системах

УДК 35.073.5

КОРПОРАТИВНАЯ МОДЕЛЬ СОГЛАСООАНИЯ ИНТЕРЕСОВ С УЧЕТОМ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ

Т.В. Золотова

Представлена модель управления отраслевой корпорацией с ограничением по дефицитным и природным ресурсам, описывающая двухуровневую иерархическую систему управления. Рассмотрены её варианты: с дополнительным ограничением по допустимому уровню загрязнения природной среды, квотами и с системой штрафов за превышение допустимого уровня загрязнения.

Ключевые слова: корпорация, идеальная согласованность, максимизация прибыли, расчетные цены, тарифы на дефицитные и природные ресурсы, квоты, штраф.

ВВЕДЕНИЕ

Стремление к повышению эффективности деятельности технологически близких предприятий и организаций привело к возникновению необходимости их объединения. Одной из разновидностей таких объединений является корпорация — сложное организационное образование, состоящее из производственных и функциональных единиц, связанных в рамках единого процесса управления производством и капиталом. Вопросы организационного управления освещены, например, в работах [1—3].

Рассмотрим модель отраслевой корпорации, т. е. совокупность предприятий, взаимодействующих между собой для производства какого-либо конечного продукта или услуги (видов продукции или услуг может быть несколько) в рамках единого полного технологического цикла, и управляющую компанию, осуществляющую функции корпоративного управления предприятиями (см., например, работу [4]). Экономическим эффектом деятельности отраслевой корпорации будем считать совокупность производственных результатов, включающую в себя прибыль от реализации производственной продукции, а также охрану окружающей среды. Нанесение вреда окружающей среде сопряжено с дополнительными и возможно большими затратами корпорации на ее восстановление. Наличие последней составляющей экономического эффекта обусловлено еще и тем, что в настоящее время защита окружающей природной

среды представляет собой задачу государственного масштаба, требующую ее решения на каждом уровне управления [5].

Положительный эффект от интеграции — необходимое, но не достаточное условие успешности объединения. Объединение должно быть выгодным каждому предприятию, т. е. улучшать его положение. Это условие предъявляет требования к процессам планирования и управления в корпорации, которые должны включать в себя механизмы согласования интересов участников (внутренние расчетные цены, процедуры распределения прибыли и др.).

Корпоративное объединение предприятий представляет собой многоуровневую иерархическую систему, в центре которой управляющая компания, а её подсистемы — предприятия, находятся в подчинении у центра. В иерархической системе основным условием устойчивости (гарантированного выполнения необходимых глобальных ограничений на параметры системы) и эффективности функционирования (оптимизация гарантированного значения критерия эффективности центра) служит согласованность интересов всех элементов [6—8]. Если центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы.

Центр имеет возможность согласовывать выборы, воздействуя как на критерии элементов (собственно согласование интересов), так и на пространства управлений и информированность элементов о параметрах системы.

Такой подход к управлению корпорацией, прежде всего, позволяет диверсифицировать производство, снижая риски, связанные с изменяющимися условиями спроса на продукцию, а также обеспечить требуемый уровень качества окружающей природной среды, снижая риски неблагоприятных событий, вызванных воздействием негативных факторов производства. Методам управления риском в различных сферах деятельности посвящены, например, работы [9, 10].

1. МОДЕЛЬ КОРПОРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ПО ДЕФИЦИТНЫМ И ПРИРОДНЫМ РЕСУРСАМ

Рассмотрим модель корпорации, состоящую из т дочерних предприятий, выпускающих I видов продукции. Одна из основных задач центра состоит в разработке системы экономического регулирования деятельности подразделений и построении производственно-экономических взаимоотношений в корпорации, позволяющих обеспечить технологический процесс и максимальную заинтересованность каждого предприятия в выпуске конечной продукции.

Решение данной задачи заключается в разработке механизма согласования интересов, включающего в себя систему расчетных цен , по которым центр и подразделения рассчитываются между собой за поставки комплектующих и готовой продукции (внешние расчеты производятся центром по рыночным ценам), и систему тарифов ?гр, по которым центр продает предприятиям дефицитные и природные ресурсы.

Введем обозначения: х. = (хг1, ..., хй) — вектор валовой продукции /-го предприятия; у. = (уй, ..., у.) — вектор товарной продукции, которую /-е предприятие продает внутри корпорации; /. = /, ..., /{к ,

0, ..., 0) — вектор производственных ресурсов /-го

предприятия; qi =( 0,

0,

•••, qik2) — вектор де-

фицитных (энергия) и природных (вода, земля, лес) ресурсов /-го предприятия; / + qj — вектор факторов производства /-го предприятия; X = (хр ..., хт) — полный вектор валовой продукции корпорации; Q = ^х, ..., qm) — полный вектор дефицитных и

т

природных ресурсов корпорации; У = І у. — сумІ = 1

марный вектор товарной продукции корпорации; с = (с1, ..., с) — вектор рыночных цен; 54 = (5Л, ...,

sil) — вектор себестоимости всех видов продукции; 4 = (0, ..., 0 , й1, ..., 4к ) — вектор цен, по которым к1

центр получает дефицитные и природные ресурсы; Аі = [ арг ] — матрица технологических коэффици-

/ і

ентов /-го предприятия (арг — количество продукции вида р, затрачиваемое на производство единицы продукции вида г в /-м предприятии); Бі = [Ъ1рг ] — матрица затрат факторов производства /-го предприятия (Ъ1рг — количество фактора производства вида р, затрачиваемое на производство единицы продукции вида г в /-м предприятии); = [ й1рг ] —

матрица коэффициентов пропорциональности выпуска товарной продукции (например, условия комплектности для /-го предприятия).

Пару (X, ® назовем единым планом производственной деятельности объединения. Допустимым планом называется пара (X, О), для которой выполняются соотношения

х. 1 0, qi 1 0, / = 1, .

Б- хі < /- + qi,

У- = хі - Аіхі1 0

т;

І q^

і = 1

О;

І віУі = 4)-

і = 1

(і)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь (1) — естественное условие неотрицательности вектора валовой продукции и вектора дефицитных и природных ресурсов, (2) — ограничения по затратам факторов производства, (3) — продуктовый баланс (товарная продукция равна валовой продукции минус производственные затраты продукции) и условие неотрицательности конечной (товарной) продукции, (4) — ограничение по объему используемых дефицитных и природных ресурсов, (5) — ограничение на производство товарной продукции в подсистемах (производственный баланс).

Эффективность деятельности корпорации может оцениваться различными показателями (валовая продукция, производительность труда и др.), но наиболее общим показателем, соизмеряющим результаты производства и затраты всех видов ресурсов, служит прибыль. Она в наибольшей степени описывает и интересы центра, так как из прибыли корпорации и составляющих ее прибылей предприятий формируются фонды развития про-

т

т

к

2

к

изводства, материального поощрения, социально-культурных мероприятий и т. д.

Прибыль корпорации от продаж можно запи-

тт

сать в виде л(Д 0 = (с, У) - І (5, хі) - І (4, (і),

і = 1 і = 1 где (.,.) — скалярное произведение двух векторов. Преобразуем данное выражение:

n(X q) = (c, z (xt - Atxi)) - Z (si, x) - Z(d q)

І = 1

І = 1

І = 1

= (с І (Е - Ai)xi) - І (^ хі> - І(4, (іХ і = 1 і = 1 і = 1

В результате получим

п(Х, О) = (е, £ О х> - £ (5, хг> - £ (4, 4->, (6) / = 1 / = 1 / = 1

где О. = Е — А., Е — единичная матрица.

Оптимальным планом производственной деятельности корпорации назовем пару (X0, О0), доставляющую максимум функции (6) при ограничениях (1), (2), (4), (5).

Прибыль /-го предприятия можно записать в

виде п.(Хр 4.) = (е., у.> — (5, х> — (Цр, q>, где е. —

вектор расчетных цен, (( — вектор тарифов на ресурсы для /-го предприятия.

Прибыль /-го предприятия с учетом соотношения (3) примет вид

п(х, 4) = (е., в-х) — (5,, х> — (//, 4.>. (7)

При этом /-е предприятие будет максимизировать прибыль (7) при ограничениях (1) и (2), а расчетные цены и тарифы служат управляющими параметрами экономического механизма, выбираемыми руководством корпорации. На эти цены может быть наложено условие финансового баланса

Z(c і , GtxD = (c Z Gixi).

(8)

І = 1

І = 1

Исследуем вопрос: можно ли выбрать расчетные цены и тарифы на дефицитные и природные ресурсы так, чтобы оптимальный план корпорации был оптимальным для каждого предприятия и выполнялся финансовый баланс? Оказывается, что единых для всех предприятий расчетных цен, удовлетворяющих первому условию, не существует, а тарифы на ресурсы — единые для всех предприятий. Дифференцированные по предприятиям расчетные цены, стимулирующие выполнение оптимального плана корпорации и удовлетворяющие

условию (8), существуют при весьма широких предположениях, причем выполнения условия (8) на оптимальном плане можно достичь при фиксированных ценах, а на любом плане — с помощью «плавающих» цен.

Теорема 1. Если (X0, 0°) = (х? , ..., х°т, q(), ..., (^т) доставляет максимум функции (6) при ограничениях (1), (2), (4), (5) и л^0, 0°) > 0 и матрицы невырождены, то существуют такие векторы с? и ї?, что (х° , (0 ) — решение задачи

п(х, (і) = (сі, х) - Ц, х) - (//, (і) ^ тах (9)

при ограничениях (1) и (2), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса

mm

Z (cif, G,.x°) = (c, Z G,x0).

І = 1 І = 1

(іо)

Если дополнительно требуется выполнение финансового баланса для любого плана с положительной прибылью, т. е. условия (8), то расчетные цены и тарифы определяются в параметрическом виде:

е. (X), // (X). ♦

Доказательство. По теореме двойственности существует такие ц0 1 0, ц1>0, что (X0, О) — решение задачи максимизации функции Лагранжа

т т т

Ь(Х О) = (е £ Ох> — £ ^ х> — £(4, 4> +

I = 1 I = 1 I = 1

+ ■

(^0, Z - (^1, Z qt)

(ll)

І = 1

І = 1

при ограничениях (1) и (2). Причем на оптималь-

т

ном плане имеем (ц1, £ 4г- > = (ц1, О>.

I = 1

Преобразуем функцию (11) к виду Х(Х, О) =

т т т

= £(е + Д ^ °Л> — £(^ х> — £(й + ^ 4г>. ! = 1 ! = 1 ! = 1

Задача максимизации функции (11) при ограничениях (1) и (2) распадается на т задач максимизации по х, 4. функций Ь(х, 4) = (е + Д ц0, О{х> —

— ^ х> — (й + 4>.

Если положить ер = е + ДТ ц0, tf = й + ц1

V/ = 1, ..., т, то яг(х., 4) = Х.(х., 4.), т. е. (х0 , 40) доставляет максимум (9) при ограничениях (1) и (2). При этом условие (8) или (10) выполняется при

^0 = °.

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

Введем вспомогательный параметр Х е (0; 1] и положим

е. = Х(е + ДТ ^) + (1 — Х)51 О-1,

^ = Х(й + ^). (12)

С учетом этих выражений имеем п(х, 4.) =

= Х(е + ДТц0, вр) + (1 — Х)(5.0-1, вр) — (5., х.> —

— Х(й + ц1, 4> = Х(е + ДТ ц0, Ох) — Х(5г, хг> — Х(й + + 4> = ХХ 4).

Следовательно, (х0 , 40) — решение задачи максимизации (9) при ограничениях (1) и (2), Х > 0. Покажем, что существует такое Х е (0; 1], при

котором для е р, определяемых из выражений (12) при Х = Х0, выполняется условие финансового баланса (10). Для Х0 имеем

т

£ (Х0(е + ДТ ^) + (1 — Х^О1, Ох0 > =

1 = 1

т

= (е, £ Ох0 >,

=1

тт

Х0 £ (е + ДТ Н0, Ох0) — Х0 £ (5„ х0 > =

1 = 1 1 = 1

тт

= (е, £ Ох0 > — £ (5„ х0 >.

=1 =1

Откуда X =

(С І Єх°) - І (^ х° )| І (с +

=1

=1

т

=1

+ ^ ^х°) - І (5Р х°)

=1

Так как °, 0°) > 0, ц° 1 0, то X є (0; 1], при-

чем Х° = 1 только в случае ц° = 0.

Если задавать расчетные цены и тарифы на ресурсы в виде (12), не фиксируя X, то все равно

(х° , (°) будут оптимальными планами для предприятий. При этом значение параметра X устанавливается по фактическому плану из условия (8):

X =

т

(с І вх) - І (5Р х) I X

і = 1

і = 1

1

І(с + А ^ Єх) - І (5, х> | , ^ і = 1 і = 1

если л^, 0) > 0. Теорема доказана. ♦

Замечание. Для того чтобы матрицы О{ 1 существовали и, кроме того, выполнялись соотношения 5.0-1 1 0, достаточно, например, чтобы все собственные числа матриц А. были по модулю меньше единицы. ♦

Из теоремы 1 вытекает, что при управлении в корпорации расчетными ценами и тарифами на дефицитные и природные ресурсы интересы верхнего (центра) и нижнего (предприятий) уровней идеально согласуемы.

Рассмотрим теперь различные варианты данной модели с некоторыми дополнительными ограничениями.

2. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОРПОРАЦИИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПО ДОПУСТИМОМУ УРОВНЮ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ

Предположим, что имеются К показателей, определяющих уровень загрязнения окружающей природной среды в результате производственной деятельности предприятий.

Введем дополнительно к параметрам рассмотренной модели следующие величины: Н . = [ Н1кг ] — матрица коэффициентов загрязнения /-го предприятия (Н'кг — объем загрязнения по к-му показателю при производстве единицы продукции вида г в /-м предприятии); 2 = (2Х, ..., ZK) — вектор предельно допустимых уровней загрязнения окружающей среды по каждому показателю.

План (X, О) называется допустимым, если выполняются соотношения (1) — (5) и дополнительно ограничение по уровню загрязнения:

І

(13)

1

План (X , О ) назовем оптимальным, если он доставляет максимум функции (6) при ограничениях (1), (2), (4), (5) и (13).

Построим механизм согласования интересов, включающих в себя систему расчетных цен и тарифов на дефицитные и природные ресурсы, который согласует интересы внутри корпорации при дополнительном ограничении (13) для центра.

Для задачи (6) с условиями (1), (2), (4), (5) и (13) рассмотрим функцию Лагранжа

Е1^ 0) = (с І °іх) - І (5е х) - І(4, (;>

+

=1

=1

=1

+

(^ І ВіУ) - (^ І () - (^ І (14)

=1

=1

=1

т

т

1

т

т

т

т

т

т

т

где ц0, ц1 и ц2 — векторные множители Лагранжа.

Теорема 2. Если (X0, О0) = (х?, ..., х°т, 4°1, ..., 4йт) доставляет максимум функции (6) при ограничениях

(1), (2), (4), (5), (13) и 0, О0) > 0 и матрицы

невырождены, то существуют такие векторы е[ и

, что (х0 , 4°) — решение задачи максимизации (9) при ограничениях (1) и (2), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса

(10). Если дополнительно требуется выполнение финансового баланса для любого плана с положительной прибылью, т. е. условия (8), то расчетные цены и тарифы определяются в параметрическом виде

е. (Х), ^(Х) при ДТ^ — (ОГ1 Н/^ 1 0. ♦

Доказательство. По теореме двойственности существуют такие ц0 1 0, ц1 1 0 и ц2 1 0, что

(X0, О0) — решение задачи максимизации функции Лагранжа (14) при ограничениях (1) и (2), причем на оптимальном плане имеют место ра-

тт

венства (ц1, £ 40 > = (ц1, О>, (Ц2, £ Нх0 > = (Ц2, 2>. 1= 1 1= 1 Преобразуем функцию Лагранжа (14) к виду

т

Ь1^, О) = £ (е + ДТц — (ОГ1 Н)Т^2, ОЛ> —

1= 1

тт

— £ (5, х> — £(й + Цг 4>.

.= 1 1= 1

Задача максимизации функции (14) при ограничениях (1) и (2) распадается на т задач макси-

1Т мизации по х, 4. функций Ь{ (х, 4) = (е + Д ц0 —

— (СГ1 Н°1х) — (5р х> — (й + Цр 4>.

Если положить е 1 = е + ДТц0 — (О-1 Н)Тц2 > 0,

// = й + ц V/ = 1, ..., т, то яг(х., 4) = Ь1 (х., 4),

00

т. е. (х1 , 41) доставляет максимум (9) при ограничениях (1) и (2). При этом условие (8) или (10) выполняется при ц0 = 0, ц2 = 0.

Введем вспомогательный параметр Х е (0; 1] и положим

е. = Х(е + ДТ ^ — (ОГ1 Н)\) + (1 — Х)5;ОГ1,

^ = Х(й + ^). (15)

Т

При условии (15) имеем п (х , 4) = Х(е + Д ц0 —

— (ОГ1 н/^, + (1 — Х)^1, Ох> — (5, х> —

— Х(й + Цр 4> = Х(е + дТ ц0 — (О 1 H')TЦ2, °хг> —

Х(5г, х.> — Х(й + Ц1, 4.> = Х Ь1 (хг, 4).

Следовательно, (х0 , 40) — решение задачи максимизации (9) при ограничениях (1) и (2), Х > 0.

( т т \ ( т

Полагая Х =

(c, Z Gx) - Z (si, xi> I Z(c

І = 1

i = 1

+ ДТЦ0 — (О-1 Н)ТЦ2, Ох> — £ (5, х> I , получа-

1 = 1 1

ем, что условие (8) будет выполняться V(X, О). Если п(Х, О) > 0 и ДТц0 — (вт1 Н)тц2 1 0, то Х е (0; 1]. Если в правой части выражения для Х положить х1 = х0 , то соответствующее значение Х0 обеспечит выполнение условия (10). Теорема доказана. ♦

3. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОРПОРАЦИИ С КВОТАМИ ПО УРОВНЮ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ

Предположим, что существуют ограничения по уровню загрязнения окружающей среды, относящиеся непосредственно к конкретному предприятию:

Vi = 1,

m,

(1б)

где р. > 0, / = 1, ..., т, Р1 + ... + р. + ... + Рт = 1.

Коэффициенты Р. могут быть определены экс-пертно, исходя из информации, которой располагает центр (мощности предприятия, опасное или вредное производство и др.). Из ограничений (16) следует выполнение условия (13).

Оптимальным производственным планом корпорации назовем пару (X0, О0), доставляющую максимум функции (6) при ограничениях (1), (2), (4) и (5). При этом /-е предприятие будет максимизировать прибыль (7) при ограничениях (1), (2) и (16), а расчетные цены и тарифы на дефицитные и природные ресурсы служат управляющими параметрами экономического механизма, выбираемыми руководством корпорации.

Построим механизм согласования интересов, включающих в себя систему расчетных цен и тарифов на дефицитные и природные ресурсы, который согласует интересы внутри корпорации при дополнительном ограничении (16) для предприятий.

Для задачи (6) с условиями (1), (2), (4) и (5) рассмотрим функцию Лагранжа (11), а для задачи (9)

1

m

с условиями (1), (2) и (16) рассмотрим функцию Лагранжа

Ь01(хр 4) = (4, О х> — % хг-> — (г!, 4> —

— (V, НЛ Р71 >, (17)

где V — векторный множитель Лагранжа.

Теорема 3. Если (X0, О0) = (х\, ..., х°т, 4°1,..., 4йт) доставляет максимум функции (6) при ограничениях

(I), (2), (4), (5) и л^0, О0) > 0 и матрицы О. невырождены, то существуют такие векторы е\ и ,

что (х0 , 40) — решение задачи максимизации (9) при

ограничениях (1), (2) и (16), причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса

(10). Если дополнительно требуется выполнение финансового баланса для любого плана с положительной прибылью, т. е. условия (8), то расчетные цены и тарифы определяются в параметрическом виде

е. (Х), ^(Х) при (О-1 Н/уР71 + ДТЦ0 1 0. ♦ Доказательство. По теореме двойственности существуют такие ц0 1 0, ц1 1 0, что (X0, О) — решение задачи максимизации функции Лагранжа

(II) при ограничениях (1) и (2), причем на опти-

т

мальном плане имеет место равенство (ц1, £ 4{ > =

1= 1

= (ц1, О>.

Преобразуем функцию Лагранжа (11) к виду

і = 1

і = 1

т

І(4 + Цр (і>. і = 1

(18)

Задача максимизации (18) при ограничениях (1) и (2) распадается на т задач максимизации по

х, 4г функций Ь(х, 4) = (е + ДТ Ц0, Ох) — (5, х) — — (й + ц1, 4>.

По теореме двойственности существует такое

00

V 1 0, что (х1 , 41) — решение задачи максимизации функции Лагранжа (17) при ограничениях (1) и (2). Причем на оптимальном плане (х0 , 40) имеет место равенство (V, Н ;х0 > = (V, в ;2>.

Преобразуем функцию (17) к виду Ь0 (х, 4) =

= (е- — (О-1 Н)\в-1, О^.> — (5.,хг> — (г? ,4>.

Если положить е. = е + ДТ ц0 + (О-1 Н)Ту в-1 >0,

і? = 4 + ц1 V/ = 1

т то ь°-(хР = ь-(хР (Л, т. е.

00

(х{ , 41) доставляет максимум (9) при ограничениях (1) и (2). При этом условие (8) или (10) выполняется при ц0 = 0, V = 0. Введем вспомогательный параметр Х е (0; 1] и положим

ср = X(c + Д. ц°) + (Є-1 Н)\ Р71 + + (1 - X)siGїl, ір = X(d + ^).

(19)

Т

При условии (19) имеем Ь0 (х, 4) = (Х(е + Д ц0) + + (ОГ1 H■)Tv в 71 — (О71 в 71, Ох> + (1 — Х) х

X (5 О-1, Ох> — Ц, х> — Х(й + Ц1, 4> = Х(е + ДТЦ0,

— Х(5, х> — Х(й + ц1, 4> = ХЬ0(х, 4.).

Следовательно, (х0 , 40) — решение задачи максимизации (17) при ограничениях (1), (2) или, что то же, решение задачи максимизации (9) при ограничениях (1), (2) и (16), Х > 0.

Покажем, что существует такое Х е (0; 1], при

котором для ер{ , определяемых из выражения (19)

при Х = Х0, выполняется условие финансового баланса (10). Для Х0 имеем

т

£ (Х0(е + ДТЦ0) + (О- Н)\в71 +

=1

т

+ (1 — Х0)^-1, Ох0 > = (е, £ Ох0 >,

=1

тт

X0 І (с + Д. ц°, Єх°) - X0 І (з, х°) =

і = 1

і = 1

(с, І Єх°) - І (з, х°)

=1

=1

т

І ((є-1 Н)\в-1, Єх° >.

=1

Откуда

X0 =

(c, І Єх°) - І <з„ х° )

=1

=1

т

І ((Є-1 Н)\в-1, Єх°)

=1

т

'/ = 1

=1

Так как л^0, О0) > 0, ц0 1 0, V 1 0, то Х е (0; 1],

если (О-1 Н)Ту в71 + Д- Ц0 1 0. Причем Х0 = 1 только в случае ц0 = 0, V = 0.

т

т

т

т

X

1

т

X

Если задавать расчетные цены и тарифы на ресурсы в виде (19), не фиксируя X, то все равно

(х° , (°) будут оптимальными планами для предприятий. При этом значение параметра X устанавливается по фактическому плану из условия (8):

Х =

(c Z Gixi) - Z (sp x)

V

m

i = 1

i = 1

Z ((G-1 H)Tvв-1, GiXt)| s

І = 1

mm

Z(c + rf^, Gix0) - z (si, xi)| ,

4 = 1

i = 1

если (Gj 1 H)Tv ві1 + D1 ц0 1 0. Теорема доказана.

4. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОРПОРАЦИИ С СИСТЕМОЙ ШТРАФОВ ЗА ПРЕВЫШЕНИЕ ДОПУСТИМОГО УРОВНЯ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрим корпорацию, в которой центр имеет право штрафовать предприятия, если показатели загрязнения окружающей среды в результате деятельности предприятий оказываются выше предельно допустимых. Пусть ц> — штраф за единицу превышения допустимого уровня загрязнения.

Оптимальным производственным планом корпорации назовем пару (X°, 0°), доставляющую максимум функции (6) при ограничениях (1), (2), (4) и (5).

Прибыль /-го предприятия можно записать в виде

п і (x, qі) = (cf, Gix) - (sp x> - (tf, q)

- wmax{ max (H.x. - в.-Z),, 0},

(З0)

k = 1, K

где (Hixi — P;-Z)k означает k-ю компоненту вектора

Hixi - Piz

При этом i-е предприятие будет максимизировать прибыль (20) при ограничениях (1) и (2).

Построим механизм согласования интересов, включающих в себя систему расчетных цен и тарифов на дефицитные и природные ресурсы, который согласует интересы внутри корпорации при некоторой системе штрафов для предприятий.

Для задачи (6) с условиями (1), (2), (4) и (5) рассмотрим функцию Лагранжа вида (11). Компоненту вектора Hjxj — PiZ, соответствующую

max (Hixi — PiZ)k для i-го предприятия, обозна-k = ТГК чим k(i).

Теорема 4. Если (X0, О0) = (х1, ..., х°т, 4!, ..., 4йт) доставляет максимум функции (6) при ограничениях

(1), (2), (4), (5) и л^0, О0) > 0 и матрицы О. невырождены, то существуют такие векторы е. и г?,

что (х0, 40) — решение задачи максимизации (20) при ограничениях (1) и (2), при любом фиксированном значении штрафа м>, причем на оптимальном плане выполняется условие финансового баланса (10). Если дополнительно требуется выполнение финансового баланса для любого плана с положительной прибылью, т. е. условия (8), то расчетные цены и тарифы

определяются в параметрическом виде: ер{ (Х), г? (Х).

Если max (Hx0 — в.Z)k, то c\ (Х), tf (Х) опреде-k = I7K

—1 -1 T

ляются при условии wвl■Zk(l.)(lxl.) Gt < Dt ц0, где Zm — к(/')-я компонента вектора Z, (lx) 1 есть вектор ((IXjl)-1, ..., (lx,)-1). ♦

Доказательство. По теореме двойственности существуют такие ц0 1 0, ц1 1 0, что (X0, Q0) — решение задачи максимизации функции Лагранжа

(11) при ограничениях (1) и @). Причем на опти-

m

мальном плане имеет место равенство (ц1, Z qt) =

І = 1

= (ц1, Q). Преобразуем функцию (11) к виду (18). Задача максимизации функции (18) при ограничениях (1) и @) распадается на m задач максимизации по x, qt функций Lt(x, q) = (c + Dt ц0, G.X.) -

- (s., X) - (d + ц1, q).

Рассмотрим следующие случаи решения задачи (З0).

в.-Z) k < 0. Тогда, по-

00 Xj такое, что max (Hixi

k = ГГ

fT лагая c = c + D,

Ц0,

tf = d + ц1 Vi = 1

m,

0 0 0 0 0 0 имеем л 1 (х° , 4°) = Ь(х° , 41), т. е. (х°, 4°) доставляет максимум (20) при ограничениях (1) и (2). При этом л 1 (х0, 40) = лг(х0 , 40). Значит, условие (8) или (10) выполняется при ц0 = 0. Ес-

0

ли положить Х =

m

(c Z Gix0) - Z (Sl, x0)

Z (c + DJ Цo, Gix0)

0

Z (s, X,) I , то ус-v І = 1 І = 1 1

ловие (8) будет выполнено V(X, Q). Если

1

n(X0, Q0) > 0, то Х є (0; 1]. Если в правой части

0

m

m

X

m

m

X

1

1

m

л 0

выражения для А положить Xi = Xi , то соответствующее значение А0 обеспечит выполнение условия (10).

• х0 такое, что (Hx® — Рг~^)ш = max (H{x\0 —

k = IX

- PiZ)k > °. Прибыль i-го предприятия есть

~ / 0 0Ч , p ^ 0, , 0, ,.р 0,

Пi (Xi, q{) = (cp, GiXi) - (s, x°- > - (tf, qt) -

w(Hx0 - ві-Z)

i k( t)

(З1)

Преобразуем выражение (З1) к виду П t (x0 , q0) =

= (cf, Gjx0) - (Si, x0) - (tjf, q0) - w((Hl)k(n, X0) +

i k(i)

+ wвiZk{i) = (c<f - w( G-1 )T(Hi)k(j), GjX0) - (s., x0)

- (tf, q0) + wвl■Zk(l.), где (H)k(i) — k(/■)-я строка мат-

рицы H..

i k(i)’

i k( i)

Если положить cf = c + Dj ц0

+

ЦОг. ) (Н-)ад>0, = й + ц V/ = 1, ..., т, то (х°,

4{) доставляет максимум прибыли (21) при ограничениях (1) и (2). При этом условие (8) или (10) выполняется при ц0 = 0.

Введем вспомогательный параметр Х е (0; 1] и положим

cf = Х^ + Dj Ho) + w( G-1 )T(H)k(i) -- "вЛ^&Г1 G-1 + (1 - Х) s. G-1,

i k(i)

ti = Х(d + H1).

Тогда лI (х, 4) = (Х(е + Д-Н0) + м>( 61 1 )Т(Н)Щ) —

— Ц О-1 )Т(Н)ед, — (^вг-2щ(1х)~1 О-1, Охг> +

+ (1 — Х)(5г О-1 , — ^ х>— Х(й + Нl, 4> + ^вЛ(/) =

= Х(е + ДТн0, Ох> — Х(5., х.> — Х(й + н1, 4г> = ХЬ.(х., 4.).

Значит, (х0, 40) — решение задачи максимизации (21) при ограничениях (1) и (2), Х > 0. Если по-

( т т

ложить Х =

х

(c, Z Gixi) - Z (si, xi) + 1 х

i = 1

i = 1

тт

£ (е + Д-ц0, Огхг> — £ (&р х> I , то условие (8) ^! = 1 ! = 1 1

будет выполнено V(X, О). Если л(X, О) > 0 и

^вг2к(г.)(/х;.)-10-1 < Д- ц0, то Х е (0; 1]. Если в пра-

0

вой части выражения для Х положить х. = х1 , то со-

ответствующее значение Х обеспечит выполнение условия (10). Теорема доказана. ♦

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Плавающие» расчетные цены и тарифы на дефицитные и природные ресурсы (с нефиксированным параметром Х), вообще говоря, представляют собой вид управления с обратной связью, а не программное управление. Еще один вид обратной связи появляется в расчетных ценах (22), которые зависят от фактических будущих значений хг Однако в рассмотренных моделях назначение обратной связи состоит только в выполнении финансового баланса, согласование интересов достигается и без нее, а оптимальное поведение нижнего уровня определяется оптимальным планом системы в целом. На практике такой механизм можно представить как схему итоговых расчетов за производственную деятельность, которые состоят из оплаты продукции и продажи дефицитных и природных ресурсов в течение некоторого промежутка времени по некоторым авансовым ценам и тарифам и доплат в конце промежутка времени по конечным результатам производственной деятельности корпорации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурков В.Н. Механизмы корпоративного управления. — М.: ИПУ РАН, 2004. — 109 с.

2. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. — М.: Физматлит, 2007. — 583 с.

3. Новиков Д.А, Иващенко А.А. Модели и методы организационного управления инновационным развитием фирмы. — М.: Ленанд, 2006. — 335 с.

4. Ашурбейли И.Р., Горелик А.Л., Горелик В.А. Производственные корпорации: проблемы формирования и управления. — М.: ПАТЕНТ, 2006. — 180 с.

5. Моисеев Н.Н. Модели экологии и эволюции. — М.: Знание, 1983. — 63 с.

6. Бурков В.Н. Дорохин В.В., Балашов В.Г. Механизмы согласования корпоративных интересов. — М.: ИПУ РАН, 2002. — 73 с.

7. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. — М.: Радио и связь, 1991. — 286 с.

8. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. — М.: Радио и связь, 1982. — 144 с.

9. Акимов В.А., Лесных В.В., Радаев Н.Н. Риски в природе, техносфере, обществе и экономике. — М.: Деловой экспресс, 2004. — 352 с.

10. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика / В.А. Владимиров и др. — М.: Наука, 2000. — 429 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.В. Кульбой.

Золотова Татьяна Валерьяновна — канд. физ.-мат. наук, доцент,

Комсомольский-на-Амуре государственный технический

университет, И [email protected].