Короткие векторные солитоны огибающей в неоднородных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

УДК 533

1 2 2 А.А. Абрашкин , Е.М. Громов , В.В. Тютин

КОРОТКИЕ ВЕКТОРНЫЕ СОЛИТОНЫ ОГИБАЮЩЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Институт прикладной физики РАН1, Государственный университет - Высшая школа экономики (Нижегородский филиал2)

В рамках пары связанных нелинейных уравнений Шредингера третьего порядка в неоднородных средах с линейным профилем неоднородности найдено точное решение в виде короткого векторного солитона. Описаны траектории движения таких солитонов в зависимости от параметров среды. Полученное решение может быть в частных случаях сведено как к короткому скалярному солитону на линейном профиле неоднородности, так и к хорошо известному протяженному скалярному солитонному решению Чена.

Ключевые слова: дисперсия, нелинейность, неоднородность, солитон, траектория.

Распространение коротких векторных волновых пакетов

К - в\ U x,t ехр / ik()x +e2W x,t exp / ay - ik()x , где U x,t и W x,t -компоненты

волнового поля разной поляризации, в нелинейных диспергирующих неоднородных средах с линейной неоднородностью можно описывать системой связанных нелинейных уравнений Шредингера, учитывающих эффекты нелинейной дисперсии третьего порядка (СНУШ - 3):

2i

д \U\2 + o^wf

dU Тгт dU _ \тт\2 iT„|2 dU тт ■ ■

-+ V£-+ ß\U\ + Oß\W\ -+ ¡II-

dt s dx дх дх

d2U

d3U

I i2 I i2 ^ w

+q——+ 2а\и\ + oa\W\ U + i y—T + pxU = О, дх дх3

+

(1)

2i

dW dt

Т dW , ,? + Vh —— + ß \W\ + Oß\U\

g

дх

2 dW_ dx

+ ßV

д \W\2 + o^uf

dx

d2W

+q——+ 2 a \W\2 + oa\U\2 WU + i v^- + pxW = 0. dx 11 11 dx

+

© А.А. Абрашкин, Е. М. Громов, В. В. Тютин, 2010.

Здесь частота со и волновое число к связаны нелинейным дисперсионным соотношением

IV

групповая скорость линеиных волн;

Ч

д2 со д2 % И- \д3ш 1 щ- ж

дк'

дк'

и у= —

третьего порядков соответственно; а=-

3 дк3 3 дк3

Зсо За>

- параметры линейной дисперсии второго и параметр кубичной нелинейно-

3 \и\2 д \ж\2

сти; а^^д - коэффициенты нелинейной связи между компонентами разной поляризации; р -

параметр неоднородности.

В отсутствие неоднородности (р = 0) система уравнений (1)-(2) получена, в рамках этой системы найдены солитонные решения в [1-2], показана устойчивость найденных соли-тонов.

Для скалярных коротких волновых пакетов (например, при отсутствии одной из компонент

Ш х,/ =0 система (1)-(2) переходит к одному уравнению, описывающему динамику только

их, ? - компоненты) описана динамика солитона на линейной неоднородности [3], а также на

г\

параболическом (рОс ) и периодическом (/йт к ) профиле неоднородности [4].

В данной работе рассматривается движение коротких векторных солитонов огибающей на линейном профиле неоднородности.

Переходя в уравнениях (1)-(2) в движущуюся со скоростью V ? систему отсчета заме/

ной координат I сН , /' = / и представляя решение в виде фазомодулированных

о

волновых пакетов

и ^ = и £ ехр Ш ^ =м> £ ехр

V^

(3)

получим

(5)

где \'и и,, 4 и- " параметры, которые будут определены далее. Пусть решение удовлетворяет

следующим соотношениям (при которых обращаются в ноль выражения в фигурных скобках в (4)-(5), т.е. указанные уравнения станут автономными и опишут стационарные волновые пакеты):

3 9 9

2 V I -Vg-vtl w - qpt + — ypztz = О,

Vg - V , - 4И, pt + ^p2t2-p)v t di-jpV=Q,

3 yd2U 0, |2 I |2 о р. —-—-+ B\u\ + Oa\w\ u+q.u = U,

2 dg M " ' 3 уd2W „, |2 I |2 о р.

—1-p\w\ + Oß \u\ w+ c^w = 0.

2 d ¿f

(6)

(7)

(8) (9)

Из (6) имеем уравнение, описывающее траектории движения

dzV 3 2 —— = — ур = const. dt2 2 w

(10)

Из (7) с учетом (6) имеем ранее неопределенную модуляцию фазы

Qu.w 1 =т Vg+2vuw + Suw pt2+^-p2t3-^pY.

4

12 64J

(11)

Тогда (4)-(5) сводятся к виду

2i

d2u

-v„ —т- +

2 du

d f

ß |i/| + G^l^l — + /Л/

2 + -2 I i2 i/ZM

■2 I |2

d \u\ +

л л

dt,

+

у d3u

2jJ

/ У

(12)

+ an \u\ + öJw -2D.uu + q—7 = 0,

df

2

й ЛМ „, ,2 I |2 дм

-к,—- + + Ор\и | — + уж

Г I |2 I |2 л Л

ё |м/| + Одр|

271

+

(13)

I |2 | |2 ^ "

+ аи' М + оЛи\ -2£1м,м? + д—^- = 0.

Представим решение (12)-(13) и (8)-(9) в виде и £ = А £ ехр[/ сри и

£ = 5 £ ехр[/^ £ ^ Разделив (12) на действительную и мнимую части, получим

<3 А п 0 п .2 (М „ п „ „2

[Ь211А1 — + 2 /За^+2¡ю^ В1— +

+

2qd^-2vu-3i

О л2

V

¿4

- +

<1<Р„

г

(14)

4 сЦ

^+аАА2+о^2 -213 А2^

Л

„ б/ (р.. ¿¡А -3 V—^— +

/ 1 \3

V

V у

<¡1 и

А = 0.

(15)

Аналогично, разделив (13) на действительную и мнимую части, получим

Г-^+2 (Ь2уВ2^-+2 (ЗО[3+2цо^А2^+

сI? 2

4 ™ 11

(II

О ^2

(11

Ч Ь /

¿Ж

7~(

д-Зу

(II

¿М,

а <рм

с(?

в = О,

(16)

4 (Ц

ёВ оВ В2+о^2 -2(ЗВ2+о^2 ^

сIС

-Зу

п

с! фу, с!В

'7Г7\

+

{ 1 Л3 й(рч

ч

О а(рЛ

ч

В = 0.

(17)

Действительная и мнимая части (8) примут вид

3 уё2А

+ IЗА2+О$2 А +

ё <Ри А | 2скРи сМ =()

4

3/

А = 0,

(18) (19)

Аналогично, действительная и мнимая части (9) примут вид

+ 2 в+

2 1

4

/ у

Зм йсрЛ

V

в = О,

(20)

а в I 2^ Д=0

(21)

Уравнения (14)-(21) могут совпадать при условии отсутствия фазовой модуляции а<Ри,у»

• = 0, когда все слагаемые (21) обращаются в ноль. В этом случае из (14)-(20) получим:

ё А 0 „ 0 п о о г>2 ¿А 0 (М п

^ + 2 м _+2 РФ2Щ В-~ъы- = о,

(22)

а4 .42+а^2 -2£1иА = 0, <1%

(23)

/^ + 2 + 2 $ов+21Ю11А2^-2Ум>^- = 0,

I Р ^ ™ (И;

(24)

а2в

(25)

3 уй А 2 , „ и2

2

+ А+ 4^ = 0,

(26)

2

+ (ЗВ2+ Ор42 В+ ^,В = 0.

(27)

Будем считать волновые поля разной поляризации пропорциональными (В = ЛА). Тогда, интегрируя (22) и (24) по £ в пределах £ +оо при условиях ограниченности волнового поля /1 £—»+оо ^0иу4" »+оо —»0, имеем:

^ 2 р1+орЯ + 2/Л+о^ 2

—— +-А--—А = 0.

Зу у

(28)

2 л а

а2 л а ¡2

1+ о„

А3_^А = 0

(29)

d2A 201+op* 24

—- +-Л н——A — 0,

d? 3 у Зу

^ 2 /31+ o^ /t2 + 2д 1+ o^ X2 з 2v

3y

AJ-^A = 0. У

(30)

(31)

¿2^ a 1+ oa Г2 ^ 2a di+ q

-AJ~-

■A = 0,

(32)

^ 2/31+ОрГ2 ^ 2(i

_|— 3y

(33)

Зу

Для совместности системы уравнений (28)-(33) необходимо выполнение ряда условий: М=0, Уи 4=4=4 (34)

2/31 2/31+ Op X2

а 1+ оа t a 1+ оа X2

зу

2v _ 2Q _ _ 2 (5 у q Зу

Зу

(35)

(36)

Из (35) следует И = 1, причем (35) примет вид: 3 У Ч '

В итоге определяются ранее неопределенные параметры <5 V:

(37)

Q _ Q

v= у—, ¿=-Зу— q q

(38)

Окончательно система уравнений (28)-(33) с учетом ограничений (34)-(38) имеет точное решение в виде стационарной уединенной волны (солитона):

A =

4)

cosh f/Д

• ехр< /

I л 1 I ^

-Aq al+ oa t+-pt + Q t

Координата центра солитона

I , „4) « l+ °а

4д

I 2 I 2 3

t--qpt — VP г .

4 8

Нелинейная фазовая модуляция

е< -

4

vs-y

4 а 1+ °а

4 q

Pf

12'

64

Скорость движения короткого векторного солитона в неоднородной среде

v, М=.

dt

Уя + У-

а 1+ о,

а Л2

4 q

¿0

1 3 ? 2

— qpt— ур t , или, с учетом (37),

2 8

кг + +ор4 -\qpt~ У/'2-

При использовании замены Т— р! это выражение принимает вид

1 з 2

V т = У 0 —q г— у Г, где начальная скорость солитона определяется его амплитудой и

2 8

т 2

нелинейными параметрами среды V О = - + (3 1+ о^ Ад .

Полученное векторное солитонное решение (39) в частном случае при О^д—0 сводится к ранее найденному решению в виде коротких скалярных солитонов [3], которое при отсутствие дисперсии 3-го порядка ( у= 0) сводится к хорошо известному солитонному решению Чена [5].

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 10-02-00129).

Библиографический список

1. Воронцов, Д.Е. Короткие векторные солитоны огибающей / Д.Е. Воронцов [и др.] // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45. № 7. С. 614-624.

2. Short vector soliton / E.M. Gromov [at al.] // Physics Letters A. 2001. V. 287. issue 3-4. P. 233-239.

3. Gromov, E.M. Propagation of short nonlinear wave packets and solitons in smooshly inhomogene-ous media // Physics Letters A. 1997. V. 227. P. 67-71.

4. Gromov, E.M. Short intense wave packets in smoothly inhomogeneous media / E.M. Gromov, V.V. Tyutin, D.E. Vorontzov // Physics Letters A. 1999. V. 257. P. 182-188.

5. Chen, H.H. Nonlinear wave and soliton propagation in media with arbitrary inhomogeneities / H.H. Chen, C.S. Liu // Phys. Fluids. 1978. V.21. P. 377.

Дата поступления в редакцию 26.01.20210

A.A. Abrashkin, E.M. Gromov, V.V. Tyutin SHORT VECTOR ENVELOPE SOLITONS IN INHOMOGENEOUS MEDIUM

Propagation of the short vector envelope solitons in a inhomogeneous medium with linear potential in coupled third - order nonlinear Shrodinger equations frame is considered. Explicit vector soliton solution is obtained. The explicit solution for the solitons trajectories is studied. In particular cases this solitons solution can be reduced as to the short scalar soliton solution on linear inhomogeneity profile, as to well - known Chen soliton solution.

Key words: dispersion, nonlinearity, inhomogeneity, soliton, trajectory.