CC BY
42
146
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 4, с. 146-148
УДК 519.17
КОРОТКИЕ ЦИКЛЫ В ПЛАНАРНЫХ ГРАФАХ С МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ ЧЕТЫРЕ
© 2009 г. Е.В. Бурков
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского evgeny. burkov@gmail .com
Поступила в редакцию 15.04.2009
Рассматривается задача нахождения циклов, которые гарантированно присутствуют в обыкновенных планарных графах со степенями вершин не менее четырех.
Ключевые слова: граф, планарный граф, цикл, степень вершины.
Введение
Рассматриваются обыкновенные планарные графы со степенями вершин не менее четырех. Работа примыкает к серии публикаций, посвященных оптимальному синтезу графов [1—3].
Известное следствие [4] из формулы Эйлера гласит, что для числа вершин п и числа ребер m произвольного обыкновенного планарного графа, не содержащего цикла С3, выполняется неравенство m < 2п — 4. Отсюда следует, что любой обыкновенный планарный граф со степенями вершин не менее четырех содержит С3 .
Аналогичное утверждение для цикла С4 неверно. Примером обыкновенного планарного графа со степенями вершин не менее четырех, свободного от С4, является икосододекаэдр.
О существовании циклов длины четыре и пять
Назовем графом-бабочкой граф из двух треугольников, пересекающихся по одной вершине. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. В каждом обыкновенном планарном графе со степенями вершин не менее четырех найдется цикл С4 или подграф-бабочка, центральная вершина которого смежна только с вершинами этого подграфа.
Доказательство. Рассматриваем произвольную плоскую укладку обыкновенного планарного графа G со степенями вершин не менее четырех и предполагаем, что он является контрпримером к утверждению теоремы. Введем обозначения:
«4 - число вершин степени 4;
Гз - число граней ранга 3;
V - множество вершин;
V4 - множество вершин степени 4;
Vx - множество вершин степени 5 и более; ґг(у) - число треугольников, содержащих вершину V .
Рассмотрим вспомогательный двудольный
граф GR, вершины первой доли которого соответствуют ребрам графа G, вершины второй
доли - граням графа G, а ребро , vR) при-
надлежит GR тогда и только тогда, когда ребро графа G, соответствующее ^ , входит в грань
графа G, соответствующую vR .
Степень каждой вершины первой доли графа
GR равна 2, поэтому число ребер графа GR равно удвоенному числу ребер графа G. Степени вершин второй доли графа GR равны рангам соответствующих граней графа G, поэтому, с другой стороны, число ребер графа GR равно сумме по всем граням графа G рангов этих граней. Учитывая отсутствие в графе G граней ранга четыре, можно записать:
2т > 3г3 + 5(г — г3).
Отсюда, заменяя г по формуле Эйлера, элементарными преобразованиями получаем оценку для числа ребер:
5 2
—п + —
3 3
Далее, так как граф G не содержит С4, то каждое ребро входит не более чем в один треугольник. Следовательно, если вершина входит в треугольник, то два инцидентных ей ребра принадлежат этому и только этому треугольнику. По-
m < — n +— r3 .
(1)
этому каждая вершина V графа G входит не бо льник deg (V)
deg (V)
лее чем в---------треугольников, то есть
2
ҐГ (V) < -
2
(2)
Из отсутствия в графе G подграфа-бабочки, центральная вершина которого смежна только с вершинами этого подграфа, вытекает, что каждая вершина графа G степени 4 входит не более чем в один треугольник, то есть
deg(V) = 4 ^ ґг(V) < 1. (3)
Рассмотрим вспомогательный двудольный
граф О2, вершины первой доли которого соответствуют вершинам графа G, вершины второй
Т 2
доли - треугольникам графа G, а ребро (V , V2 )
Г'Т
принадлежит G тогда и только тогда, когда вершина графа G, соответствующая V1, входит в
треугольник графа G, соответствующий V22. Степень каждой вершины второй доли графа
О2 равна 3, поэтому число ребер графа О2 равно утроенному числу треугольников графа О, что не меньше, чем утроенное число треугольных граней в плоской укладке графа О .
С другой стороны, число ребер графа О2 равно сумме степеней вершин первой доли, то есть сумме по всем вершинам V графа О Ґг{у), поэтому можно записать:
Згз < X ҐГ (V) = X ҐГ(V) + X ҐГ(V) .
уеУ vєV4 уе^/х
Отсюда с учетом (2) и (3) можно записать:
Г3 < 1« + X ^) =
3
уеУх
2
=!(п + х Л!1 м—2) <1 п + X ^ЄііИ—4
3 уєУх 2 3 уєУх 2 Совмещая эту оценку с (1), получаем:
17 deg (V) — 4
т < — п + X
9
3
т > 2п + X
уеУх
2
Доказательство. Рассматриваем произвольную плоскую укладку обыкновенного планарного графа О со степенями вершин не менее четырех и предполагаем, что он свободен от С5. Ниже будут использоваться следующие дополнительные обозначения:
Г4 - число граней ранга 4;
Гх - число граней ранга 5 или более; тзз - число ребер, находящихся на пересечении двух граней ранга 3;
т44 - число ребер, находящихся на пересечении двух граней ранга 4;
тзх - число ребер, находящихся на пересечении грани ранга 3 и грани ранга не менее 6;
т4х - число ребер, находящихся на пересечении грани ранга 4 и грани ранга не менее 6;
тхх - число ребер, находящихся на пересечении двух граней ранга не менее 6.
Рассмотрим вспомогательный двудольный
граф О2^, вершины первой доли которого соответствуют ребрам графа О , вершины второй
доли - граням графа О, а ребро , vR) при-
надлежит О1^ тогда и только тогда, когда ребро графа О, соответствующее vR , входит в грань
графа О, соответствующую vR .
Степень каждой вершины первой доли графа
О11 равна 2, поэтому число ребер графа О11 равно удвоенному числу ребер графа О . Степени вершин второй доли графа О1^ равны рангам соответствующих граней графа О , поэтому, с другой стороны, число ребер графа О11 равно сумме по всем граням графа О рангов этих граней. Учитывая отсутствие в графе О граней ранга пять, можно записать:
2т > 3г3 + 4г4 + 6(г — гз — г4) .
Отсюда, заменяя г по формуле Эйлера, элементарными преобразованиями получаем оценку для числа ребер:
Вычисляя число ребер как полусумму степеней вершин, получаем:
deg (у) - 4
3 3г3 + 2г4
т <—п + - 3 4
Противоречие между последними двумя неравенствами доказывает теорему.
Теорема 2. В каждом обыкновенном планарном графе со степенями вершин не менее четырех найдется цикл С5.
(4)
24
При помощи аналогичного вспомогательного двудольного графа подсчитаем число пар «3-грань - ребро», в которых ребро входит в грань ранга 3, двумя способами:
Зг3=2т33 + т3х .
Теперь подсчитаем число пар «4-грань -ребро», в которых ребро входит в грань ранга 4, двумя способами:
4г4 = 2т44 + т4х .
148
Е.В. Бурков
Так как в графе О нет С5, в нем нет и ребер, находящихся на пересечении грани ранга 3 и грани ранга 4. Отсюда и из двух предыдущих равенств следует:
Зг3 + 2г4 = 2тзз + т3х +
2m44 + m
4 X
2
< m + m33 - mxx .
ходит X
3
2m33 < 2mxx + X
veV„
3
m33 - mx
< X
, то есть
deg (v)
vV 6
m < 2n + X
deg (v)
veVX 18
(5)
Вычисляя число ребер как полусумму степеней вершин, получаем:
deg (у) - 4
m > 2n + X
veVX
2
Так как в графе G нет С5, то каждая вершина, инцидентная ребру между двумя гранями ранга 3 и имеющая степень 4, инцидентна ребру между двумя гранями ранга не менее 6.
Каждое X - X -ребро между двумя гранями ранга не менее 6 инцидентно не более чем двум вершинам степени 4, инцидентным 3-3-ребру, следовательно, число W1 пар «3-3-ребро - X -X -ребро» ребер между двумя гранями ранга 3 и между двумя гранями ранга не менее 6, инцидентными одной и той же вершине степени 4, не превосходит 2тхх.
Каждая вершина степени deg(у) > 5 инцидентна не более чем 3-3-ребрам, следо-
вательно, число W2 пар «3-3-ребро - X-вершина» инцидентных ребер между двумя гранями ранга 3 и вершин степени не менее 5 не превос-deg (V)
Каждое 3-3-ребро инцидентно двум вершинам, следовательно, 2т33 = W■í + W2, откуда deg (V)
(6)
Совмещая оценки (4), (5) и (6), элементарными преобразованиями получаем:
Противоречие между последними двумя неравенствами доказывает теорему.
Заключение
Существует обыкновенный планарный граф с минимальной степенью четыре, не содержащий простых циклов длиной 7 или более. Примером такого графа является октаэдр. Заметим также, что из октаэдров можно составить сколь угодно большие графы, не содержащие простых циклов длиной 7 или более.
Таким образом, в каждом планарном графе со степенями вершин не менее четырех найдутся циклы С3 и С5. Этого нельзя сказать о цикле длины 4 и циклах длины 7 и более. Вопрос о существовании цикла Сб в рассматриваемом классе графов остается открытым.
Список литературы
1. Иорданский М.А. Конструктивные описания графов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т. 3. № 4. С. 35-63.
2. Бурков Е.В., Иорданский М.А. Конструктивные описания эйлеровых планарных графов // Тез. докл. VI Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем». Москва, 711 декабря 2004 г. С. 167-169.
3. Бурков Е.В. Еще один операционный базис класса эйлеровых планарных графов // Тез. докл. XV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Казань, 2-7 июня 2008 г. С. 13.
4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
SHORT CYCLES IN PLANAR GRAPHS WITH MINIMUM DEGREE FOUR
E. V. Burkov
A problem is considered to find short cycles which are necessarily present in ordinary planar graphs with minimum degree four.
Keywords: graph, planar graph, cycle, vertex degree.
+
