CC BY
14
ЭЛЕКТРОНИКА, РАДИОТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 535.241
А.А. Голубева, Ю.А. Зюрюкин
КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ
Предложен метод, позволяющий рассчитать фазовые скорости и направления поляризации электромагнитных волн при их распространении в одноосном и двуосном кристалле, в любом заданном направлении. При помощи полученных формул в качестве примера рассчитаны параметры электромагнитных волн в двуосном кристалле сульфиодида сурьмы SbSI. На основе этого расчета графически представлены зависимости показателей преломления для обеих волн и угла, определяющего направление вектора электрического смещения для одной из волн, от направления распространения волны.
Анизотропная среда, двуосный кристалл, поляризация.
A.A. Golubeva, Yu.A. Zyuryukin
COORDINATE METHOD OF PARAMETRES ANALYSIS OF ELECTROMAGNETIC WAVES IN CRYSTALS
The authors introduce a method allowing calculating phase velocities and directions of polarization of electromagnetic waves at their distribution in one axial and biaxial crystal, in any given direction. It shows that by means of the received formulas the parameters of electromagnetic waves in biaxial crystal of the antimony sulphur iodide SbSI are calculated. On the basis of this calculation dependences of refraction indexes for both waves and angle, defining a direction of the vector of electric displacement for one of waves, from a direction of wave propagation are presented graphically.
Anisotropic medium, biaxial crystal, polarization.
Введение
В анизотропной среде, такой как кристалл, фазовая скорость и показатель преломления световой волны зависят как от состояния ее поляризации, так и от направления распространения. Основное отличие кристаллической среды от изотропных сред состоит в явлении двойного лу-
чепреломления, и оно означает, что по данному направлению в кристалле, если это не оптическая ось, будут распространяться две волны с различными фазовыми скоростями и направлениями поляризации. Плоскости поляризации этих двух волн, если говорить о них, как о плоскостях расположения в них векторов электрического смещения 3, взаимно перпендикулярны.
Определение этих независимых поляризаций, а также отвечающих им фазовых скоростей (или, что эквивалентно, показателей преломления), является главной задачей кристаллооптики. Попытки решения этих задач предпринимались многими авторами, в основном они осуществлялись при помощи эллипсоида Френеля или эллипсоида индексов, где длины и направления полуосей позволяют определить фазовые или лучевые скорости, а также направления поляризации, в заданном направлении в кристалле [1]. Однако математические преобразования уравнений, используемые в данном случае, достаточно сложны. В предлагаемой работе используется другой метод - метод преобразования координат, позволяющий достаточно быстро и наглядно получить формулы для фазовых скоростей и углов, определяющих поляризацию волн, в любом заданном направлении в кристалле. При этом следует отметить, что в случае одноосного кристалла подобные формулы уже были получены ранее [2], что говорит о правомерности предложенного метода. Главной же целью данной работы явилось получение выражений, определяющих параметры электромагнитных волн в двуосном кристалле, и апробирование процедуры расчета этих параметров на примере одного из характерных двуосных кристаллов - кристалле сульфиодида сурьмы.
1. Выражения для фазовых скоростей и показателей преломления электромагнитных волн в одноосном кристалле
Пусть в произвольной кристаллофизической координатной системе х у г в некотором направлении £ распространяется плоская волна. Путем поворота этой системы координат на углы ф и 9 можно получить систему х' у' г , такую, чтобы ось г' совпала с направлением распространения волны £ (рис. 1). Матрица поворота тогда имеет вид:
У =
соб 9 соб ф соб 9 бш ф - бш 9
бш ф
соб ф
0
Бт 9 соб ф Бт 9 Бт ф соб 9
>х
Рис. 1. Кристаллофизическая координатная система, в которой ось г' совпадает с направлением распространения волны
Уравнения Максвелла в координатной форме в системе координат х 'у 'г ' для плоской
д д д волны (когда — ф 0, — = 0, — = 0 ) можно записать в виде: дг' 3х ' 3у'
дЕу = 8Вч ' дНу = 8Вх,
дг ' 31 дг дг
дЕх' дВу' дНх' = дВу
дг' дг дг дг В' = 0 В' = 0
где Ех, Еу, Ег' - компоненты вектора напряженности электрического поля; Нх', Ну', Нг' -компоненты вектора напряженности магнитного поля; Вх, Ву., Вг' - компоненты вектора магнитной индукции; Вх, Ву', Вг' - компоненты вектора электрической индукции.
При этом Вх' = цц0Нх' и Ву' = цц0Ну', где можно положить для диэлектрических сред
ц = 1; Ц0 = 4л>10-7 Гн/м « 1,257-10-6 Гн/м.
В результате преобразования этой системы можно получить уравнения, связывающие
компоненты вектора напряженности электрического поля Е и вектора электрического смещения В:
д2Е. д2В.
(д^О^ = цц0-д2- ; (1)
д'Е, д2 В'
=ЦЦ0~дГ . (2)
Уравнения (1) и (2) имеют вид волновых уравнений, однако в них присутствуют две переменные величины. Используя выражение для вектора электрического смещения в анизотропной среде В; = в,Е, где девять величин в11, в12, ... являются постоянными среды и составляют диэлектрический тензор второго ранга, необходимо привести выражения (1), (2) к уравнениям, содержащим одну переменную величину. Если иметь в виду преобразования, связывающие систему координат ху г и х 'у'г' Е' =< у > Е , В' =< у > В , то можно записать уравнения:
Вх' =УиВх + Уп Ву +У!зВг; (3)
Ву' =у 2Вх +у 22 Ву +у 23 В г , (4)
при этом: Вх = в11в0Ех; Ву = в22в0Еу; Вг = в33в0Ег, где в11, в22, в33 - главные диэлектрические проницаемости.
Подставляя выражения для Вх, Ву, Вг в уравнение (3), можно получить уравнение:
Вх' = У11 (в11в0 )Ех +У12 (в22в0 )Еу +У13 (в33в0 И . (5)
С другой стороны, можно записать:
Ех' = У11Ех + У12Еу + У13Ег ; Ех = У11Ех' + У21 Еу ' + У 31Ег' ; (6)
Еу' = У21Ех + У22Еу + У23Ег ; Еу = У12Ех' + У22Еу' + У32Ег' ; Ег' = У31Ех + У32Еу + У33Ег ; Ег = У13Ех' + У23Еу' + У33Е.
В итоге могут быть получены выражения:
Вх' = в0в11Ех' + в0в12Еу' + в0в13Ег' ;
(7)
(8)
Вг' = в0в 31Ех ' + в0в 32Еу' + в0в 33Ег' , (9)
Ву' = в0в 21Ех' + в0в 22Еу' + в0в 23Ег' ; (8)
где
Sj'j = (sjjCo^2ф + s22 sin2 ф)ео82 9 + s33 sin2 9;
eÍ2 = (s22 "sii))cos9sin2Ф = s2i;
(10) (11)
s13 =1 sin29(s11 cos2 ф + s ":"2
2
Ф + s 22sin Ф — s331 = s31;
)=s'
V 31
s '22 = s11 sin2 ф + s22 cos2 ф;
(12) (13)
82з = (22 -8п ^т 9 зт2ф = 8 З2; (14)
в З3 = (е11со5 2ф + 822 Бт2 ф)бш2 9 + 833 соб2 9. (15)
Если предположить, что электромагнитная волна распространяется в одноосном кристалле (т.е. 811 = 822 = 81 = 82; 833 = 83), то
в1'1 =81сos29 + 83 б1п2 9 ;
s ' =s ' = 012 21 u>
s13 = -2 s1 sin 29- 2 s2sin29 = (s1 -s3 )sin 9 cos 9 = s 31;
s '22 = s1 sin2 ф + s 2 cos2 ф = s1;
s ' =s ' = 0'
23 32
s 33 = s1 sin2 9 + s3 cos2 9 . Уравнения (7), (8), (9) в этом случае преобразуются к виду:
= s0s11^x' + s0s13Ez' ; Dy' = s0s 22Ey' ; Dz' = s0s 31Ex ' + s0s 33Ez' -
(16)
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
(22)
Учитывая свойство поперечности волн относительно вектора электрического смещения Б (' = 0), имеем:
83
'33
)(s11s 33 s13s 31 )
Ey =
1
s0s 22
-D..
(23)
(24)
Подставляя выражение (24) для напряженности электрического поля Еу ' в уравнение (1), получаем одномерное волновое уравнение:
д2 Dy. = . ¿D
s 0 s 22 ^ M*0
(& ' )2 "0"22^0 & 2 • (25)
В результате можно получить выражения для фазовой скорости и показателя преломления обыкновенной волны:
с
V ф0 =
n0 =
(26)
Аналогичным образом могут быть получены выражения для фазовой скорости и показателя преломления для необыкновенной волны. Для этого необходимо подставить выражение (23) для напряженности электрического поля Ех в уравнение (2), что дает:
Vi = -
фпе
"i
V
s1s3
s1 sin 9 + s3cos 9
s1 sin 9 + s3 cos 9
s
c
S1S3
Приведенные формулы (26) и (27) полностью соответствуют формулам, полученным ранее, например в [2], что говорит о правомерности предложенного метода.
2. Выражения для фазовых скоростей и показателей преломления электромагнитных волн в двуосном кристалле
Предположим, что электромагнитная волна распространяется в двуосном кристалле (т.е. 811 ф 822 ф 833). Тогда, преобразовывая формулы (7), (8) и (9) для двуосного кристалла, подобно тому, как это было сделано для одноосного кристалла, можем получить выражения для Пх ' и Пу ', которые приобретают вид:
п = _ [ Ех' [833 51п фС05 фС05 9(822 -811)] +
1Уу ' с»о | 2 2 2 2
I (811С0Б ф + 822Б1п ф)б1п 9 + 833 СОБ 9
+ •
Еу [822811 Б1п2 9 + 833 С0Б2 9(811 б1п2 ф + 822 СОБ2 ф)] I
(811 С0Б2 ф + 822 Б1п2 ф)б1п2 9 + 833 соб2 9
п. = 80
Ех' (833 ( С0Б2 ф + 822 б1п2 ф))+ Еу (833 СОБ фб1п фСОБ 9(822 -811))
( С0Б2 ф + 822 б1п2 ф)п2 9 + 833 С0Б2 9
(28)
(29)
В результате совместного решения уравнений (28) и (29) могут быть получены следующие выражения:
Ех= Б
811822 б1п2 9 + 833 С0Б2 9(811 БШ2 ф + 822 СОБ2 ф)
- ПУ
833 б1пфСОБфСОб9(822 -811)
Еу = П,
у у
833(811 СОБ2 ф+ 822 б1п2 ф)
- п
833 б1ПфСОБфСОБ9(822 -811)
(30)
(31)
Обозначим фигурирующие в выражениях (30) и (31) коэффициенты, имеющие смысл элементов тензора диэлектрической непроницаемости, следующим образом:
Хп(9, ф) =
811822 б1п2 9 + 833 СОБ2 9(811 б1п2 ф + 822 СОБ2 ф)
8 0811822833
Х12(9, ф) = Х22(9, ф) =
833 б1ПфСОБфСОБ9(822 -811)
833 (811 СОБ2 ф + 822 б1п2 ф)
(32)
(33)
(34)
(35)
X 21 (9, ф) =Х12(9, ф) . Тогда выражения (30) и (31) можно переписать в виде системы уравнений:
Ех = Бх'Х„(9, ф) - ПуХ12(9, ф); Е. = Пух 22(9, ф) - П^х^, ф). (36)
Если повернуть систему координат х 'у 'г' на некоторый угол а и получить новую систему х у г , то можно задать в последней системе направления векторов электрического смещения Пх„ и Пу„, так, чтобы они отвечали требованию «нормальности» волн. Преобразование поперечных компонент векторов п из новой системы в старую выглядит так:
Пх' = Пх" соб а - Пу" б1п а; Пу' = Пх- б1п а + Пу„ соб а .
(37)
Запишем уравнения (1) и (2) в системе координат х'у "г '' и преобразуем их с помощью
системы (36). В итоге получим следующую систему уравнений:
д2 д2
г^Б (х 22Б1п а+х 21С0Ба) - пу' (х 22 соБа-х 2181п а)] = т ББ1п а+БС0Ба] (38)
80811822833
80811822833
х
0 11 22 33
0 11 22 33
0 11 22 33
0 11 22 33
Рис. 2. Зависимость показателей преломления щ, п2 волны для кристалла сульфиодида сурьмы, когда показываемая величина
и угла а от направления распространения построенная в полярных координатах, пропорциональна длине полярного вектора
, . . . . ....... б
(dzy[Dx- (Xn cosa-x;2 sin a) - Dy„ (xíi sin a + x!* cosa)] = ц — [Dx. cosa- Dy„ sin a] . (39)
Умножая уравнение (38) на sin a, а уравнение (39) на cos a и складывая, получим уравнение:
б {Dx. [x22 sin2 a-x21 cos a sin a + x11 cos2 a-x12 sin a cos a] + (6z )
2
+ Dy.[x22 cos a sin a + x21 sin a-x11sin a cos a-x12cos a]} = ||0 —— Dx„. (40)
A2
6t2
Опираясь на условие «нормальности» волн, потребуем, чтобы:
(X 22 -X11)sin a cos a + x21 sin2 a-x12cos2 a = 0 . (41)
После преобразования уравнения (41) получим следующее выражение для угла, определяющего направление вектора электрического смещения для одной из волн в направлении, заданном углами ф и 9:
tg2a = 2X12 . (42)
X 22 - X11
В результате сделанных преобразований уравнение (40) примет вид одномерного волнового уравнения, из которого могут быть получены выражения для фазовой скорости и показателя преломления первой волны, распространяющейся в направлении, заданном углами 0 и ф в двуосном кристалле:
Vф1 =Vxncos2 a -X12sin2a + X22sin2 a; (43)
1
n =■
1 Viv
n =
1 V
-2-• 2 +-• 2 . (44)
X11cos a-x12sin2a + x22sin a
Аналогичным образом могут быть получены скорость и показатель преломления для второй волны. Для этого необходимо умножить уравнение (38) на cos a, а уравнение (39) на sin a и сложить, что в итоге приведет к требуемым выражениям в виде:
Vф2 =д/х22 cos2 a +X12 sin2a +xnsin2 a ; (45)
1 I 2 1 2 . (46)
X22cos a + x12sin2a + x11sin a
Приведенные формулы могут быть использованы для расчета параметров электромагнитных волн во всех случаях использования двуосных кристаллов.
3. Графическое представление зависимостей показателей преломления от направления распространения волны для кристалла сульфиодида сурьмы SbSI
Для апробирования предложенного метода были рассчитаны параметры электромагнитных волн в двуосном кристалле сульфиодида сурьмы SbSI, для которого главные показатели преломления были взяты из справочника, и они достаточно хорошо отличаются друг от друга (при X = 0,633 мкм n1 = 2,87; n2 = 3,63; n3 = 4,55). На основе этого расчета были построены соответствующие зависимости показателей преломления для обеих волн и угла a, определяющего направление вектора электрического смещения для одной из волн, от направления распространения. Направление распространения волны задавалось с помощью углов ф и 9, как показано на рис. 1. Требуемые зависимости представлены на рис. 2 для углов ф и 9 от 0 до 90° с шагом 15° в полярных координатах, когда показываемая величина пропорциональна длине полярного вектора.
2
Заключение
На основе использования координатного метода получены аналитические выражения для фазовых скоростей, показателей преломления и угла, определяющего направление поляризаций, для электромагнитных волн, распространяющихся в двуосном кристалле. Благодаря полученным формулам были рассчитаны показатели преломления и углы для двуосного кристалла сульфиодида сурьмы в заданной сетке направлений. Проведено графическое построение зависимостей показателей преломления для обеих волн и угла, определяющего поляризацию волны по направлению вектора электрического смещения В, от направления распространения. Предложенный координатный метод позволяет достаточно быстро рассчитать параметры электромагнитных волн в двуосном кристалле в любом заданном направлении, что значительно облегчает решение важнейших задач кристаллооптики.
1. Зоммерфельд А. Оптика / А. Зоммерфельд. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. 487 с.
2. Ландсберг Г.С. Оптика / Г.С. Ландсберг. М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры,
3. Ярив А. Оптические волны в кристаллах / А. Ярив, П. Юх; пер. с англ. М.: Мир,
4. Сиротин Ю.И. Основы кристаллофизики: учеб. пособие / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1979. 639 с.
ЛИТЕРАТУРА
1976. 928 с.
1987. 616 с.
Голубева Анна Александровна -
аспирант кафедры «Общая физика» Саратовского государственного технического университета
Golubeva Anna Aleksandrovna -
Post-graduate Student
of the Department of «General Physics»
of Saratov State Technical University
Зюрюкин Юрий Анатольевич -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Общая физика» Саратовского государственного технического университета
Zyuryukin Yuriy Anatolyevich -
Doctor of Sciences in Physics & Mathematics, Professor, Head of the Department of «General Physics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 15.05.09, принята к опубликованию 09.09.09
