Конвекция в тонком слое атмосферы при наличии горизонтального градиента температуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551. 513

КОНВЕКЦИЯ В ТОНКОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ ПРИ НАЛИЧИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ

© 2011 г. С.А. Сухов, И.Н. Ларченко

Ставропольский государственный университет, Stavropol State University,

ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009,

[email protected] [email protected]

Приводится двумерное уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера, правая часть которого описывает плавучесть изолированного объема воздуха. Для вывода основных уравнений используется метод частицы. Получено изображение характерных движений частиц воздуха в слое атмосферы при наличии условия температурной неоднородности по вертикали и горизонтали путем решения полученного уравнения численным методом.

Ключевые слова: конвекция, стратификация, потенциальная температура, термики, линии тока, метод частицы, адиабатическая модель.

Two-dimensional equation of motion of ideal fluid in the Euler 's form, right-hand side of which describes the buoyancy of an isolated volume of air, is represented in the paper. For a conclusion of the basic equations the particle method is used. The picture of characteristic movements of air particles in the layer of the atmosphere in the presence of the condition of the temperature inhomogeneity vertically and horizontally solving this equation numerically is received.

Keywords: mnvection, stratification, potential temperature, thermals, current streamlets, particle method, adiabatic model.

Первопричиной почти всех движений в атмосфере является конвекция. В качестве причин, ее порождающих, обычно рассматривают взаимодействие горизонтального потока с подстилающей поверхностью, вертикальные движения в системах теплого и холодного фронтов, локальный дефицит плотности данной воздушной массы по сравнению с окружающей средой и др. Локальный дефицит плотности чаще всего обусловлен перегревом, и в этом случае возникающая конвекция называется термической [1-3].

При построении адиабатических и неадиабатических моделей возникновения и развития конвективных движений в атмосфере рассматривают движение изолированного объема воздуха. Основоположником этого направления можно считать И.В. Мещерского, который к 1904 г. построил общую теорию движения точки переменной массы.

Существует несколько точек зрения на механизм возникновения и характер конвективных движений в атмосфере. Наиболее правильным в настоящее время следует считать представление, учитывающее ярусный характер развития конвекции, на что впервые обратили внимание П.А. Молчанов, А.А. Скворцов, Е.С. Селезе-нева. Роль влажности в процессе возникновения конвекции изучалась Вульфсоном (1963), градиент скорости ветра - Трубниковым (1964). А.А. Дородницын (1938) теоретически решил задачу о влиянии горного хребта на воздушный поток, в 1940 г. он рассчитал суточный ход температуры [1, 2].

Лабораторные эксперименты позволили более подробно определить структуру изолированного тер-мика, что необходимо для построения теоретических моделей термической конвекции [1, 4, 5].

В данной работе исследуются конвективные потоки в устойчиво стратифицированном тонком слое атмосферы при наличии постоянного горизонтального градиента потенциальной температуры. Для вывода основных уравнений используется метод частицы.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера в инерциальной системе отсчета, без учета вращения Земли:

+ (v,v)v = -—Vp + g. (1)

dt р;

Будем рассматривать плоский вертикальный случай, т.е. движение в плоскости (x, z). Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

du du du 1 (dp Л

— + u — + w— =--1 — I;

dt dx dz р; ^ dx)

dw dw dw 1 (dp )

--+ u--+ w— =--1 —— |- g ,

dt dx dz р; ^ dz)

где рг- - плотность воздушной частицы.

В состоянии равновесия:

v = 0;

dp dx

= 0;

Pe

dz

--11? I-g = о.

(2)

(3)

Уравнение (3) - уравнение статики атмосферы. Здесь ре - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. Параметры окружающей атмосферы рассматриваем при невозмущенном состоянии. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует

Р[ =РгВД ; Ре = РеВДе , где р;, ре - давление внутри и снаружи воздушной частицы; Т;, Те - температура изолированной частицы и окружающей атмосферы соответственно; ^^ -удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Задача рассматривается в следующем приближении: изменением давления в горизонтальной плоскости в уравнении состояния воздуха пренебрегаем, т.е. допускается, что р; = ре. Отсюда следует, что

Р;Т; = РеТе •

Учитывая выражение для связи термодинамической Т и потенциальной © температуры

T = ©

k-1 k

1000

где p - давление, гПа; k - показатель адиабаты, получим

(4)

Pi = Pe

©

©;, ©е - потенциальная температура изолированной частицы и окружающей атмосферы соответственно [6, 7].

Другими словами, мы допускаем, что плотность зависит от температуры и не зависит от давления. Будем считать, что потенциальная температура окружающей атмосферы изменяется не только с высотой г , но и по оси х по закону:

©е (х) = ©е0 "У1х ,

©e (z) = ©e0 +Ayz

(5)

где 71 > 0 - градиент температуры окружающего

д©е

ТГ = (7 а -7)> 0 - верти-

дг

кальный градиент потенциальной температуры в слое с сухоустойчивой стратификацией; ©ео - потенци-

воздуха по оси x ; Д7 = —e = (7a - 7) > 0 -

альная температура окружающего воздуха на нижнеи границе слоя в некоторой точке отсчета.

Формулы (5) можно записать в виде одной для поверхности потенциальной температуры (в данном случае это наклонная плоскость):

©(х, г) = ©ео ~У\Х + Ауг . (6)

Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Как известно, потенциальная температура движущейся адиабатически воздушной частицы не изменяется ©; = ©¡о .

Представим А©(х, г) = ©¡о - ©(х, 7), А©(х, 7) -функция перегрева, обеспечивающая плавучесть. Тогда формула (4) запишется в виде

Pi =Pe

©р

©e +д©

= У

1

% д© •

1 + — ©

В условиях атмосферы можно воспользоваться следующим приближением:

Pi =Pe-

1

1 +

д©

TT

= У е

1 -

д©

= ле (1 -аД©), (7)

где

Т0 = 273 К. Для атмосферы «А© «1. С уче-

том формулы (6) функция перегрева запишется в виде А©(х,г) = ©¡о -©е0 + У1х- Ауг .

С учетом ©¡о = ©ео на нижней границе слоя получим А©(х, 7) = У1Х - Ауг .

С учетом формулы (7) уравнение (2) запишется в виде

ды дw дw 1 / др ^

— + и— + ы— =--(1 + лА©) — I- g .

д/ дх дг ре ^ дг)

Принимая во внимание уравнение статики (3), которое имеет место для невозмущенной атмосферы, получим

ды ды --+ и —

д дх дг ре

Рассмотрим установившийся случай, когда

^ = о, ^ = о.

д/ Ы

Тогда уравнение (8) запишется в виде

ды ды

и--+ ^— =6gА© .

дх дг

Запишем уравнение неразрывности

др+мру)=о

д/

в декартовой системе координат 5р: ф^м) Ф^) _

+ и — + w = —- (1 + аД©) (- Леg) - g = 8яД© .(8)

- + -

- + -

= 0.

(9)

д/ дх дг В приближении Буссинеска изменением плотности в выражении (9) можно пренебречь. В этом случае уравнение неразрывности сведется к выражению V = о. В плоском случае отсутствие дивергенции запишется в виде дм ды _ дх дг

Таким образом, движения в плоскости х - г описывается системой уравнений:

с№ ды

и— + w— = agА© ; (10)

дх

дг

Д©(х, г) = у jx - Дуг ; du + dw _

дх дг

(11) (12)

Подставляя формулу (11) в уравнение (10), систему уравнений (10)-(12) представим в виде

и ^^ + w ^^ = ag(ylX -Ауг), (13)

дх

дг

ди + дw _

дх дг

(14)

Из уравнения (14) следует, что можно ввести функцию тока у:

и = -

дw ~дг'

дw дх

(15)

Подставляя выражения (15) в уравнение (13), получим

дw д2w дw д2w

дх дгдх дг дх

= ^gi\X -egДуг.

(16)

Численное решение

Решение полученного уравнения (16) будем искать численно методом наименьших квадратов, тесно связанным с методом Галеркина, который нашел широкое применение в решении задач гидродинамики [8, 9].

Важной особенностью традиционного метода Га-леркина, способствовавшей его широкому распространению, оказалась возможность достижения высокой точности при небольшом числе членов в пробном решении. Эта особенность метода усиливает необходимость такого выбора пробных функций, при котором использовалась бы предварительно полученная информация о характере ожидаемого решения [10].

Будем искать приближенное решение в прямоугольной вычислительной области □ = {о < х < I, о < г < к} с отношением £, = к/1 в виде

N M

w^.

(х, г) = S Z Aj sin(/ax)sin(/Ьг),

(17)

i=1j=1

где Ь = л/к, а = л/1 = л^/к . Как видно из (17), функция \¥ (х, г) удовлетворяет граничным условиям (равенство нулю функции тока на границах). Запишем исходное уравнение (16) в виде

,/ \ ду д2у ду д2у

и(У) = "5Т'Т^Т -'--Т -а£У 1х + ^АУг = о.

дх дгдх дг дх2

Для определения коэффициентов А^ потребуем,

чтобы интеграл взвешенной невязки по всей вычислительной области был равен нулю, т.е. чтобы выполнялось условие

Ц Жшп(х, г)Я дхйг = о, □

где невязка уравнения Я = ¿(у).

а

о

Л/?

Выбор в качестве весовой функции п(х, г) =-

дЛпп

делает величину Ц К^йхйг наименьшей.

□

Получившаяся система нелинейных уравнений решалась методом Ньютона - Рафсона при М = N = 3 . График функции тока приведен на рисунке при сле-

—3 1

дующих значениях параметров: а = 3,7 -10 К- , g = 9,8 1/с 2, Ау = 0,004 Ё/1 , Ау1 = 0,0004 Ё/1 для области 1x10 м.

z, м

х, м

Линии тока в слое атмосферы при Ау = 0,004 Ё/! , 7! = 0,0004 Ё/1

Поступила в редакцию_

Таким образом, в данной работе распространена классическая адиабатическая модель возникновения конвекции на двумерный случай за счет учета нисходящих потоков и неоднородности температуры по горизонтали.

Работа выполнена под научным руководством д. ф.-м. н. Р.Г. Закиняна в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (№ 02.740.11.0739).

Литература

1. Андреев В., Панчев С. Динамика атмосферных термиков.

Л., 1975. 152 с.

2. Шметер С.Я. Физика конвективных облаков. М., 1972.

219 с.

3. Emanuel K.A. Atmospheric convection. Oxford, 1994.

4. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен

/ Б. Гебхарт [и др.]: в 2 кн. Кн. 2: пер. с англ. М., 1991. 528 с.

5. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.,

1980. 550 с.

6. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. 1:

Равновесие, движение жидкостей без трения. М., 1933. 223 с.

7. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. СПб., 2000. 779 с.

8. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.М. Системы

гидродинамического типа и их применение. М., 1981. 368 с.

9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидко-

стей: в 2 т. Т. 1: пер. с англ. М., 1991. 504 с.

10. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галер-кина: пер. с англ. М., 1988. 352 с.

_26 октября 2010 г.