CC BY
16
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ РАСТЯГИВАЕМОЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТЬ
STRESS CONCENTRATION AROUND THE HOLES IN THE HALFPLANE STRETCHED TO INFINITY
Д.Н.Низомов, А.А.Ходжибоев, O.A. Ходжибоев J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev
ТТУ им. акад. М.С.Осими
В статье решается задача упругого полупространства, находящегося в плоском деформированном состоянии.
In this article we solve the problem an elastic half-space in the plane strain condition.
Использование модели упругого полупространства для анализа проблемы взаимодействия сооружения с грунтом приводит к математической модели, где требуются фундаментальные решения для полупространства. Решение задачи от действия единичных сосредоточенных сил, приложенных внутри изотропной среды для случая плоского деформированного состояния, получено Меланом [2].
Пусть в точке p(^, if) — i(xi, yi) полуплоскости действуют единичные силы ex,
ey (рис.1). От действия единичных сил в точке k(x, y) = j(Xj, yj) возникают перемещения, которых можно представить в виде
(1)
* * * ukp = ukx + uky ,
vkp = vkx + vky .
Компоненты перемещений в (1) являются фундаментальными решениями Мелана, которые состоят из суммы решения Кельвина и дополнительных решений:
и1 = а [-(3 - 4^)1п к + cos2 Д + (3 - 4^) 1п Щ - 8(1 - 1п Щ +
+(3 - 4^>т2 в +
2УгУ/ 4УгУ/
щ ц
sin2 в] ,
у^ = а [cos Д • cos Д, + (3 - 4^) • cos в- sin в -
+4(1 - 2^)0];
4 УгУ/
щ2
cos в- sin в -
(2)
и*кУ = а [cos Д ■ cos Д, + (3 - 4^) • cos в ■ sin в —ЩУ- ■ cos в- sin в -
Щ;
-4(1 " 2^], у* = а[-(3 - 4^)1п т. + cos2 Д + (3 - 4р) 1п Щ. - 8(1 - ^)21п Щ +
. /"> л \ 2 П 2УгУ/ , 4УгУ] 2 +(3-4^)cos в- ~~~
гУ / У гУ / 2
н--И- ^ в] .
где ^ — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига,
1
а = ■
■; б? = ат^у1-1-; cosД = —-—; cosД2 = У——
X - X ■
] г
(х/ - х)
т
г/
т
/
8лв(1 -М) |У, + У,
Решения (2) содержат сингулярности того же порядка, что и соответствующее решение Кельвина. Напряжения, соответствующие действующим внутри полуплоскости единичным силам, могут быть получены с учетом зависимостей
РХх = ^ «1 + Vх C0s ^ К = C0s «1 + VУ C0s «2 ,
РУУ =°УУ С0^2 + У С0^Г
Исходя из закона Гука и уравнения Коши с учетом (3) можно получит напряжения на наклонной плоскости, соответствующие фундаментальным решениям (2):
Рх =-Ъ ^[(1 ~2ц) + 2ш2]-^ + 3(1 -2ц)—- «1 +
т.- Щ
+2
sin2 0-
4УгУ/ 2 У
У
2 2 -2(1 -2д) —cosв
Щ Щ Ч _
Щ
-п1 +
cos2 „ зУ/ + Уг + 16 УгУ,----«1 + (1 - 2^)-—-«2 +
Щ3
Щ2
BECTHMK 7/2011
cos# 2sin é?cos0
+4 y^i-^T n2 +-R-n2 -
Rj Rj
y. cos2 0 16yy, cos^sin2 0 .
-4(1-n2--3-n2\; (4)
RR
p = -„\2,ntnh^-(i-2^+0+2MA -
1 r.. r.. R
i i i
-2
y2 y, 6yy y, cos^
R R R Rj .
sin3 0 „ 3yj + y,.
sin#
r
-n2 +
+16y.yj n2 + (1 " 2^) jp2 ' ni + R Rj
cos# 2sin2 0 cosO
+4 yy -R^ n1 +-R-n1
Ry Ry
AS, o xy¡ cos2 o cos^sin2 0 ,
"4(1"2^) j P2 n1 - 16y'.yj---n1 \; (5)
Rj Rj
cosf sin^
xy --b 12n!n2-+ (1 "2^)-+ (1 "2^)-
r r R
ij ij ij
cos d • sin2 e 2 y' cos d 2 y. sin2 6> „ .2 y7 sin2 <9
+2[ r + ---R—+(1" ^-j^"1"'
j j j j
16y,y cos 0 sin2 0 sin 0 « s sin 0 cos2 0
+-^3-n1"(1" n2 +16 y.yj-^3-n2 +
Ry Rij Rij
+2[y2 -2yy -yf + 2(1-2^)yj(y,. + y}\; (6)
j
P*y =-b \ [(1 - 2^) + 2n2 ] ^ + (1 -2^) n +
rií y
^ 2cos3 0 ^ 4y,y cos^ yjsin2 0
+---n2 +--3-n2 - 4(1 - 2^)-~2-n2 -
Rj Rj Rj
costfsin2 $ „ xsin0
"16ytyj-^-n2 -(1 - n1 +
Rij Ktj
+2[yj -2уу - y2 + 2(1 - 2v)y (y + y +
R,,
+16 yy
sinocos2 в
(7)
где n1 - cos ax; n2 - cos tt2; m1 - cos Д ; m2 - cos Д;
cos у - n1m1 + n2m2; sin y - mxn2 - m2n1,
Рассмотрим задачу, которая представляет собой полуплоскость с отверстием при действии растягивающих напряжений (рис. 2). При этом считается, что поверхность полуплоскости S2 свободна от нагрузки. В этом случае интегральное уравнение записывается в виде
{U(p)} + j[P*]{U}ds = j[U']{P}ds, p eQ, (8)
S S
где {U} — вектор искомых перемещений, {P} — вектор заданных напряжений, [U ],[P ] — матрицы фундаментальных решений (2)-(7).
о
У,
е
Ро
СГ.г-
ХУ
_ Т_ — (Ух
Рис 2. Полуплоскость, ослабленная отверстием Когда точка р е 5, то интеграл в левой части (8) понимается в смысле главного значения и система граничных уравнений для « узлов сплайна записывается в виде [1]
Z cC4ui+Z b-jvj=~а<0 Z cos ау,
n __n
Z cjuj+Z j=Z fcos ^.
(9)
В случае, когда на участке аЪ поверхности полуплоскости действует внешняя нагрузка, то интегральное уравнение приобретает следующий вид
[С] и {I)} + |[Р* = |[и ]{Р№ + |[и ]{р,}л,
(10)
где значения коэффициентов матрицы [С] зависят от местоположения точки I. При расположении точки I на поверхности $2 [С] есть единичная матрица второго порядка. Таблица 1. Сравнение результатов при различных разбиениях контура и Н0 = 1,5Я0
Перемещения и напряжения № Контрольные узлы
1 2 3 4 5
8 -1.6832 -0.7916 -0.2745 -0.3179 -0.4389
ип 16 -1.8005 -0.7793 -0.2538 -0.3143 -0.4422
32 -1.8175 -0.7562 -0.2350 -0.3052 -0.4379
64 -1.8155 -0.7436 -0.2253 -0.2999 -0.4349
128 -1.8112 -0.7371 -0.2204 -0.2970 -0.4332
8 1.9989 3.2967 2.7343 1.8916 2.6042
ст5 16 2.4257 3.3346 2.2163 1.7522 2.5778
32 3.8875 3.0459 2.0572 1.6912 2.5515
64 4.1292 2.9156 2.0028 1.6644 2.5335
128 4.2296 2.8621 1.9816 1.6516 2.5225
В качестве примера рассмотрим одноосное растяжение полуплоскости, в условиях плоской деформации, с круговым отверстием (рис. 3). Результаты получены при следующих данных: Н0 = 1,5Я , Я0 — 1, С = 1, ст° = 1, V = 0.25. В табл. 1 приведены результаты численного решения задачи при различных разбиениях контура отверстия на граничные элементы нулевого порядка. Сравнение результатов по нормальным перемещениям и тангенциальным напряжениям в контрольных узлах показывает, что имеется сходимость численного решения. На рис. 4 показаны распределения нормальных перемещений и тангенциальных напряжений на контуре отверстия при Н0 = 1,5Я0 и разбивке контура на 128 элементов. Получены также результаты при одновременном действии распределенной нагрузки на участке поверхности полуплоскости и растягивающего напряжения в бесконечности. Исследовано влияние глубины заложения отверстия на напряженно-деформированное состояние контура отверстия.
и
Рис. 3. К решению примера.
7/2011
ВЕСТНИК
о
H0=1.5R&
о
СГг^
(Ух
о
L
J
Рис. 4. Эпюры Н„Н СГ, при iT0 = 1,57?,
о
Таким образом, на основе метода граничных интегральных уравнений разработан алгоритм и предлагается математическая модель решения задач полуплоскости, ослабленной отверстием произвольной формы в условиях плоской деформации при различных воздействиях. Предлагаемая методика может быть использована для решения сложных задач взаимодействия надземных и подземных сооружений.
Литература
1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2000.-282 с.
2. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987.-160 с.
1. Nizomov D.N. Metod granichnyh uravnenii v reshenii staticheskih i dinamicheskih zadach stroitel'noi mehaniki. - M.: Izd-vo Associacii stroitel'nyh vuzov, 2000.-282 s.
2. Teiles D.K.F. Primenenie metoda granichnyh elementov dlya resheniya neuprugih zadach. -M.: Stroiizdat, 1987.-160 s.
Ключевые слова: - полуплоскость - полупространство - решение Кельвина - решение Ме-лана - закон Гука - уравнение Коши - отверстие - изотропная среда.
Key words: - half-plane - half-space - Kelvin solution - Melan solution - Hooke's law - Cauchy equation - hole - isotropic medium.
Рецензент: директор научно - исследовательского института строительства и архитектуры Агентства по Строительству и Архитектуре при правительстве Республики Таджикистан,
к.т.н., доцент Фазылов А.Р.
Literature
Республика Таджикистан г.Душанбе ул. акад. Раджабовых 10а 734042.
Телефон/факс: (+992 37) 2255916, (+992 37) 2254478 E-mail: [email protected].
