CC BY
70
6/2Q11 мвВЕСТНИК
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ
STRESS CONCENTRATION AROUND THE HOLE IN ANISOTROPIC PLATE
Д.Н. Низомов, A.A. Ходжибоев, O.A. Ходжибоев J.N. Nizomov, A.A. Hojiboev, O.A. Hojiboev
ТТУ им. акад. М.С.Осими
Рассматривается численное решение плоской задачи теории упругости с учетом анизотропии материала.
We consider the numerical solution of plane problem of elasticity theory, taking into account the anisotropy of the material.
Вопросу аналитического решения концентрации напряжений вокруг отверстий различного типа при различных воздействиях при упругой работе изотропных и анизотропных материалов, посвящены фундаментальные работы [1,3,4,5,8].
При расчетах зданий и сооружений строящихся в сложных горно-геологических условиях, особую значимость приобретают моделирование механических свойств горных пород. Если пласты лежат параллельно друг другу то обычно для представления механических характеристик такой среды можно использовать трансверсально-изотропную модель (рисунок 1.).
Рисунок. Модель трлнсвереалыю-Iпотропной среды
ВЕСТНИК МГСУ
6/2011
Рассмотрим численное решение задачи по расчету концентрации напряжений вокруг незакреплённой горной выработки в трансверсально-изотропной среды методом граничных интегральных уравнений [6], разрешающее уравнение которой принимает следующий вид:
Г1 П п п
X a¡u+X b üj=-а0 X ecos ai - аУ X g#sin aj
j=1
j=1
j=1
j=1
(11)
Ёcjuj + Xdjüj --а0Xл cosaj "a0Ёsinaj'
j=1 j=1 j=1 j=1
где
a* = a + 0.55 , d* = d + 0.55
j ij j ' j j j
а., Ъ., с., dу, е., У.., g ., И. - коэффициенты системы уравнений, определяемые с учетом анизотропии среды, 5. — символ Кронекера. Эти коэффициенты являются компонентами фундаментального решения Грина [2] и определяются следующим образом:
J_ 2л
Í 60
Q1
Q2
2 2 2 2 X + y1 x + y2
x■cos a1 +
^ Q5 У1 _ Q6 У 2 Л 2 2 2 2 X + y1 X + y2
cos
ds,.
b' - ¿íQ
as.
cj ■ ij
d j - ¿JQ
Q,
Q,,
2 2 2,2 X + y1 X + y2
x•cosa, -
A Q5 y1 _ Q6 y 2 Л 2 2 2 2 X + y1 X + y2
cos
ds,.
Q3y1 Q4 y2
2 2 2 2 x + y1 x + y2
Q11 y Q12 у 2
• cos a1 -
Q7
q8
2 2 2 2 X + y1 X + y2
• x- cosa.,
ds,
' As.
j
e j = — f q0
2222 x + y1 X + y2
008 а-,
A Q7X _ q8 л
2 2 2 2 X + y1 X + y2
•x -cosa
- í<
2n J
^ln(x2 + y2)2 ln(x2 + y22)2
II q1
q2
dsj
ds.. j
(12)
f =~- f Jij 2n J
q,
Yi Y 2 arctg--arctg—
x x
dsj
g j
idqo
Y1 Y 2 arctg--arctg—
x x
• cos a2 • dsj
hj - ¿ 1 qo
h
ln(xx + y2)2 -^ln(x2 + y22)2
Y 2
dsj .
В выражениях (12) приняты следующие обозначения: Чо =~-1—— , Оо = 1
(q1 - q2) Л
q - qi
Q1 = ll* , Q2 = , Q3 = H2L
ш
Y 2 q2
Y1
Q4 = hq. ,Q5 = HiL, Q, = lüi, Q, = Hi, а =
Y 2
q2
Y1
Y 2
6/2П11 ВЕСТНИК _ 6/2011 МГСУ
Q9 ^^^, 6:0 =12(1li2), Q = 1 + Qa 1 +
42
y1 и y2 нормированные координаты y, определяемые соотношениями [2]:
Уi = У1 Yi, У 2 = У1 Y2, (13)
y1 и у2 — определяются из решения следующего уравнения:
A11Л66Y4 + [Л12(Л12 + 2Л66) - A11A22 ]Y2 + ^22 Л66 = 0, -(14)
q1 и q2 — постоянные, определяемые из нижеприведенных соотношений:
q =( aHYi2 - Лб)/( a12 + Ael q2 =(A{i2 - Л66)|( Л12 + 4J. (15)
Коэффициенты уравнения (14) и (15) и упругие постоянные, входящие в них, выражаются таким образом:
Лп (a22 1 аъъ) I a^o, (0^12 0^130^231 0^33) I 0^0,
Л22 _ (а11 а13 1 а33) 1 а0 , Л66 _ 11 аб:
ац — 1I-—1, а12 — V121 -—1 — V 211Е2, а22 — 1IЕ2, аб6 ~ 11 ^ , «13 = -V13 1 Е1 Й23 = -V23 1 —2 а33 = 11 Е3 ■
(16)
Для анализа точности и сходимости метода были решены тестовые задачи. Получены результаты расчета тангенциальных напряжений и нормальных перемещений ип на контуре незакрепленной выработки круглого поперечного сечения от растягивающих горизонтальных напряжений стхш , действующих на бесконечность.
В табл. 1 приведены численные результаты, соответствующие точкам А и В, находящихся на концах горизонтального и вертикального диаметров при различных разбиениях контура.
Таблица 1. Сравнение результатов при
в = 0.08 695-104, у1 = 0.562155:
Количество Тангенциальное напряжение Нормальное перемещение
Метод элементов Gt, кг/см2 un • 103 см
NE Точка А Точка В Точка А Точка В
[4] 8 -0.1946 6.361 - -
[2] 8 -0.1378 6.557 0.2746 0.1988
16 -0.1323 6.683 -0.2924 0.2391
МГУ 32 -0.1407 6.511 -0.3027 0.2532
64 -0.1462 6.378 -0.3085 0.2602
100 -0.1483 6.347 -0.3107 0.2631
В табл. 2 представлены результаты для различных разбиений и при У1 = 0.46, Е1 = 1.4-105 кг / см2, Е2 = ЕХИ2, в = 0.12-105 кг / см2, стхю = 1.
ВЕСТНИК 6/2011
Таблица 2. Результаты расчета при различных разбиениях
Количество Тангенциальное напряжение Нормальное перемещение
Метод элементов CTt, кг/см2 Ып • 104 см
NE Точка А Точка В Точка А Точка В
[4] - -0.2887 5.204 - -
8 -0.1965 5.420 -0.2676 0.1591
16 -0.1870 5.404 -0.2823 0.1905
МГУ 32 -0.1970 5.261 -0.2905 0.2019
64 -0.2039 5.194 -0.2952 0.2078
100 -0.2067 5.185 -0.2970 0.2101
Выводы:
1. Сравнение результатов решения тестовых задач с решениями, полученными на основе аналитических методов [3], [4], показывает хорошее их совпадение.
2. Анализ устойчивости решения при разбивке отверстий незакрепленной горной выработки на NE=8, 16, 32, 64 и 100 элементов подтверждает удовлетворительность процесса сходимости.
3. На основе проведенных вычислений можно заключить, что разработанная методика расчета может быть использована для расчета гидротехнических и других сооружений, строящихся в сложных горно-геологических условиях с учетом анизотропии механических свойств материалов горных пород и при действии различных нагрузок.
Литература
1. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинках около отверстий и выкружек (справочное пособие), Киев, Техника, 1969, 202с.
2. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела, М., Мир, 1987, 328с.
3. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки, ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, М.-Л., 1947, 355с.
4. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Государственное издательство технико-теоретической литературы, М.-Л., 1950, 299с.
5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости, Москва, Наука, 1966, 707с.
6. Низомов Дж.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. Издательство ассоциации строительных вузов, Москва, 2000, 283с.
7. Руппенейт КВ. Механические свойства горных пород, М., 1956, 323с.
8. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий, Киев, Наукова думка, 1968, 888с.
9. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел, Киев, Наукова думка,1979, 467с.
10. Ухов С.Б. Скальные основания гидротехнических сооружений, М., Энергия, 1975, 264с.
Literature:
1. Vainberg D.V. Koncentraciya napryajenii v plastinkah okolo otverstii i vykrujek (spravoch-noe posobie), Kiev, Tehnika, 1969, 202s.
2. Krauch S., Starfild A. Metody granichnyh elementov v mehanike tverdogo tela, M., Mir, 1987, 328s.
3. Lehnickii S.G. Anizotropnye plastinki, OGIZ, Gosudarstvennoe izdatel'stvo teh-niko-teoreticheskoi literatury, M.-L., 1947, 355s.
6/2Q11 мвВЕСТНИК
4. Lehnickii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoi literatury, M.-L., 1950, 299s.
5. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti, Moskva, Nauka, 1966, 707s.
6. Nizomov Dj.N. Metod granichnyh uravnenii v reshenii staticheskih i dinamicheskih zadach stroitel'noi mehaniki. Izdatel'stvo associacii stroitel'nyh vuzov, Moskva, 2000, 283s.
7. Ruppeneit K.V. Mehanicheskie svoistva gornyh porod, M., 1956, 323s.
8. Savin G.N. Raspredelenie napryajenii okolo otverstii, Kiev, Naukova dumka, 1968, 888s.
9. Savin G.N. Mehanika deformiruemyh tel, Kiev, Naukova dumka,1979, 467s.
10. Uhov S.B. Skal'nye osnovaniya gidrotehnicheskih soorujenii, M., Energiya, 1975, 264s
Ключевые слова: - анизотропная пластина - изотропный материал - трансверсалъно-изотропная модель - пласты - гидротехническое сооружение - отверстие - аналитическое решение - концентрация напряжений.
Key words: - anisotropic plate - isotropic material - transversely-isotropic model - stratum - hydrostructures - hole - analytic solution - stress concentration.
Республика Таджикистан г.Душанбе ул. акад. Раджабовых 10а 734042.
Телефон/факс: (+992 37) 2255916, (+992 37) 2254478 E-mail: [email protected].
Рецензент: директор научно - исследовательского института строительства и архитектуры Агентства по Строительству и Архитектуре при правительстве Республики Таджикистан,
к.т.н., доцент Фазылов А.Р.
