Контроль на четность в ПСКШ преобразователей линейных перемещений Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНТРОЛЬ НА ЧЕТНОСТЬ В ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ КОДОВЫХ ШКАЛАХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Жуань Чжипэн

Научный руководитель - д.т.н., профессор А.А. Ожиганов

Рассматриваются однодорожечные псевдослучайные кодовые шкалы для преобразователей линейных перемещений, которые только за счет введения дополнительных считывающих элементов (СЭ) без использования дополнительной контрольной кодовой дорожки позволяют осуществлять контроль считываемой со шкалы информации на четность.

Введение

В настоящее время в цифровых преобразователях перемещений [1] широко применяются кодовые шкалы (КШ), рисунок которых выполнен в обыкновенном двоичном коде или коде Грея. Недостатком таких преобразователей является сложность изготовления КШ, так как число информационных дорожек КШ обычно равно разрядности преобразователей. Поэтому масса и габариты преобразователей с увеличением разрядности преобразователя также возрастают.

В работе [2] рассмотрены псевдослучайные кодовые шкалы (ПСКШ) для преобразователей угловых перемещений, которые по сравнению с классическими шкалами более технологичны в изготовлении и имеют меньшие габариты и массу.

Теоретические аспекты построения псевдослучайных кодовых шкал для преобразователей перемещения

ПСКШ имеют всего одну информационную кодовую дорожку, выполненную в соответствии с символами псевдослучайной двоичной последовательности максимальной длины (М-последовательности) с периодом М = 2п —1 и п СЭ, размещенными вдоль дорожки. Для генерации М-последовательности длиной М = 2п —1 используется примитивный неприводимый полином к(х) степени п с коэффициентами поля Галуа ОБ(2) [3], т. е.

к(х) = £к,х' , (1)

1 = 0

где к0 = кп = 1 , а к{ = 0,1 при 0 < 1 < п . Символы М-последовательности ап+ удовлетворяют рекурсивному выражению

п—1

°п+] = 2 а+Л, 1 = 0,1, К (2)

где знак 2 означает суммирование по модулю два, а индексы при символах М-последовательности берутся по модулю М. Начальные значения символов М-последовательности а0а1...ап—1 могут выбираться произвольно, за исключением нулевой комбинации. Для определенности при построении круговой ПСКШ символы М-последовательности а0а1 ...аМ—1 отображаются на информационной дорожке по направлению движения часовой стрелки.

М-последовательности относятся к классу циклических кодов и могут задаваться с помощью порождающего полинома

Е (х) = (Xм +1)/ к( х), (3)

где к(х) определяется в соответствии с выражением (1), а М = 2п — 1. Для каждой М-последовательности длины М существует ровно М различных циклических сдвигов,

которые могут быть получены путем умножения порождающего полинома е(х) на

х1.

т.е.

х1 •

^(х), 1 = 0,1,к,М -1. (4)

Поскольку ПСКШ строятся в соответствии с символами М-последовательности, можно путем циклических сдвигов определить порядок размещения на шкале п считывающих элементов, т.е. т-му СЭ, т = 1,2,...,п , ставится в соответствие 1т-й

циклический сдвиг xJmg(х) М-последовательности. Тогда полином, определяющий порядок размещения п СЭ на шкале, имеет вид

п

Г(х)=£х1т , (5)

т=1

где 1т е {0,1, М -1} . Положив 1 = 0, согласно (5) получим положения 2-ого, 3-ого,..., п-ого СЭ, смещенные относительно первого СЭ на 12,13,..., ]п элементарных участков информационной дорожки шкалы соответственно.

Линейная ПСКШ разомкнута, поэтому разрешающая способность такой шкалы равна 8п = Ь/М = Ь/(2п -1), где Ь - длина кодируемого перемещения, а п - разрядность КШ. Для обеспечения заданной разрешающей способности необходимо получить соответствующую последовательность символов А= {Аг}, г = 0, 1,., пригодную для синтеза единственной информационной дорожки линейной ПСКШ. Очевидно, символы последовательности А должны полностью включать в себя символы М-последовательности а, а также некоторые дополнительные символы этой же последовательности, число которых зависит от выбранного полинома размещения г (х) на ПСКШ СЭ.

Общее число символов последовательности А с учетом п задаваемых начальных значений может быть найдено из выражения

б =М + 1п. (6)

Задача генерации последовательности А в общем виде решается с использованием рекурсивного соотношения (2) в предположении, что размещение СЭ на ПСКШ корректно и задается полиномом (5). Для определенности начальные значения символов последовательности А выбираются А0 = А1 = ■ ■ ■ = Ап-2 = 0 , Ап-1 = 1 . Таким

образом, последовательность А= {Аг} , г = 0,1,..., б -1 получается на основе

рекурсивного выражения (2) с учетом (6).

Рисунок однодорожечной линейной ПСКШ выполняется в соответствии с символами последовательности А, при отображении их на информационной дорожке шкалы слева направо в последовательности А0, А1,...,Ад-1.

На рис. 1 приведен пример четырехразрядной линейной ПСКШ с размещением СЭ в соответствии с полиномом г (х) = 1 + х3 + х6 + х9 для построения которой использован примитивный полином к(х) = х4 + х +1. В данном случае информационная дорожка шкалы соответствует символам последовательности А = А0А; кА23 = а0а1 ...а13а14а0а1 ...а8 = 000100110101111000100110 длиной б = М + ]п = 15 + 9 = 24, а начальные значения А0 = А1 = А2 = 0, А3 = 1.

Фиксируя считывающими элементами СЭ1, СЭ2, СЭ3 и СЭ4 последовательно кодовую комбинацию при перемещении линейной ПСКШ на один элементарный участок справа налево, получаем пятнадцать различных четырехразрядных кодовых комбинаций: 0111, 0010, 0001, 1111, 0101, 0011, 1110, 1010, 0110, 1101, 0100, 1100, 1011, 1001, 1000.

СЭ,

СЭ,

СЭ3

СЭ4

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0

А0 ... Аз . .. Аб . А9 .. . Ам А23

Рис. 1. Четырехразрядная линейная ПСКШ Контроль на четность в ПСКШ преобразователей линейных перемещений

Одним из путей повышения надежности цифровых преобразователей перемещений может быть использование в них кодовых шкал с возможностью формирования корректирующих кодов. Известные методы построения преобразователей перемещений не позволяют решить эту задачу без увеличения их габаритов и массы. Это связано с применением в преобразователях перемещений классических кодовых шкал, где число информационных дорожек шкалы обычно равно разрядности преобразователя, а корректирующие возможности таких шкал могут быть реализованы только за счет введения в них дополнительных контрольных дорожек и СЭ.

Покажем, что преобразователи с ПСКШ достаточно просто позволяют организовать контроль считываемой с них информации на четность.

Известно [3], что сумма по модулю двух различных циклических сдвигов М-последовательности длины М также является циклическим сдвигом этой же М-последовательности, т.е.

п

% (х)£ х1т = % (х )х*,

т=1

где знак X означает суммирование по модулю два, п = 2, 3,. Из (7) следует, что

%(х)£хт е%(ху = о.

(7)

От * * )е{0,1, к, М -1}.

(8)

Таким образом, установка дополнительного считывающего элемента в точку ПСКШ, однозначно определяемую п информационными СЭ, позволяет организовать контроль считываемой с них информации на четность.

Теперь полином, определяющий порядок размещения на шкале п информационных и одного контрольного СЭ, имеет вид

гк (х) = х* +Х х1т , (9)

т=1

где]т, * е{0,1, к, М -1}, (т * *). Положив 7 = 0, согласно (9) получим положения 2-ого, 3-ого,..., п-ого СЭ и контрольного СЭ, смещенного относительно первого СЭ на

72, 1з, к, ]п

и *

элементарных участков информационной дорожки шкалы,

соответственно. В данном случае число символов последовательности А с учетом (9) должно быть найдено из выражения

б =м+7, (10)

где 7 - степень гк (х).

Рассмотрим пример четырехразрядной линейной ПСКШ, для построения которой использован примитивный полином к(х) = х4 + х +1 , с организацией контроля на четность (рис. 2).

ь

т=1

Для конкретного вычисления точки установки на ПСКШ корректирующего СЭк, используем следующий подход. Разделим полином г (х )= 1 + х3 + х6 + х9 на к(х) = х4 + х +1 по модулю 2 со стороны младших степеней до получения остатка в виде одночлена х1:

1 _1_ 3 , 6 _1_ 9 1 + X + X + X

1 + X + X4

, 3 , 4 , 6 , 9 X + X + X + X + X

1 + X + X4

1 I I 2 , 4 , 8

1 + X + X + X + X

, 2 , 5 X + X + X

2, 3 , 4. 5 , 6 , 9 X + X + X + X + X + X

23 6 X + X + X

45 9

X + X + X

4 , 5 , 8

X +X + X

8 9 X + X

8 9 12 X + X + X

X

12

В результате деления получен номер циклического сдвига М-последовательности а, равный 12 (х1 = х12 ), определяющий точку установки на шкале дополнительного корректирующего СЭ. Теперь полином, определяющий порядок размещения на шкале 4 информационных и одного контрольного СЭ, имеет вид г (х) = 1 + х3 + х6 + х9 + х12.

СЭ1

СЭ2

СЭз

СЭ4

СЭк

11111

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1

Лс Л1 Л5 Л9 Л14 Л20 Л21 Л26

Рис. 2. Четырехразрядная линейная ПСКШ с контролем на четность

На рис. 2 дополнительный корректирующий СЭк смещен относительно первого информационного СЭ на 12 элементарных участков шкалы. Информационная дорожка шкалы соответствует символам последовательности

А= Л0 Л1... А26 = а0 а1 ...а13а14 а0 а1 ...аи = 000100110101111000100110101 длиной Q = М + ]1 = 15 +12 = 27, а начальные значения Л0 = Л1 = Л2 = 0 , Л3 = 1.

Фиксируя считывающими элементами СЭ1, СЭ2, СЭ3, СЭ4 и СЭк последовательно кодовую комбинацию при перемещении линейной ПСКШ справа налево, получаем пятнадцать различных четырехразрядных кодовых комбинаций: 01111, 00101, 00011, 11110, 01010, 00110, 11101, 10100, 01100, 11011, 01001, 11000, 10111, 10010, 10001. Эти комбинации содержат четное число единиц и соответствуют пятнадцать различным положениям ПСКШ.

ь

Заключение

Таким образом, ПСКШ для преобразователей линейных перемещений по сравнению с классическими КШ имеют более простую кодовую маску и позволяют всего за счет одного дополнительного СЭ организовать контроль считываемой информации на четность.

Литература

1. Домрачев В.Г., Мейко Б.С. Цифровые преобразователи угла: принципы построения, теория точности, методы контроля. - М.: Энергоатомиздат, 1984.-328 с.

2. Ожиганов А. А. Псевдослучайные кодовые шкалы // Приборостроение. - 1987. -Т.30. - № 2. - С.40-43.

3. Макуильямс Ф.Д., Слоан Н.Д. Псевдослучайные последовательности и таблицы // ТИИЭР. - 1976. - Т.64. - № 12. - С.80-95.