Континуальныи интеграл в теории струн и бран Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145.84

А. В. Головнев, JI. В. Прохоров

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 2 (№12)

КОНТИНУАЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛ В ТЕОРИИ СТРУН И ВРАН

1. Введение. Задача квантования движения свободной скалярной релятивистской частицы методом континуального интеграла долгое время оставалась без удовлетворительного решения. Попытки [1, 2] построить пропагатор такой частицы неизменно были связаны с привлечением дополнительных соображений. Последовательно, «из первых принципов» получить выражение для ядра оператора эволюции удалось в работе [3]; оно приводит к пропагатору Шткжельберга— Фейнмана.

Оказывается, что при квантовании теории бозонных струн и бран возникают трудности, аналогичные обнаруженным в теории точечных частиц. В настоящей статье после краткого изложения динамики точечной частицы покажем, как они могут быть преодолены, и получим уравнения эволюции волновых функций струн и бран.

2. Квантование релятивистской частицы. При записи действия частицы в явно релятивистски инвариантном виде вводят параметр г и задают мировую линию частицы как кривую в пространстве-времени х* — х^{т). Тогда действие может быть записано в следующем виде:

-тп J yJi^Xu

дь , .

Найдем канонические импульсы:

где L — лагранжиан.

Поскольку такая система, очевидно, репараметризационно инвариантна (относительно преобразований т —> т' = /(г)), появляется связь, которую обычно записывают как

р2 - т2 = 0. (2)

Но она получается возведением в квадрат выражения для импульса и, следовательно, связана с потерей информации о знаке. Между тем при переходе к гамильтонову формализму и последующем квантовании теории связь входит в выражение обобщенного гамильтониана и континуальный интеграл. Способ избежать потери информации был предложен в работе [3] (см. также [4]). В ней получено выражение, не являющееся в строгом смысле слова связью, ибо оно содержит знак нулевой компоненты скорости, которую нельзя исключить без потери части информации. Прийти к этому результату можно следующим образом. _

Из стандартной связи (2) выразим нулевую компоненту импульса ро — ±ут2 + р2. Как видим, знак остался неопределенным, но, поскольку т > 0, из формулы (1) следует, что signpo = —sign ¿о- Окончательно получаем

ро + Eps\gn (х°) = 0, (3)

где Ер(р) = \Jт2 + р2. Выражение (3) позволяет построить квантовую теорию движения [3, 4] релятивистской частицы.

Поскольку сдвиг по переменной времени г является просто репараметризацией, гамильтониан задачи равен нулю. Поэтому обобщенный гамильтониан

НТ = v (ро + Spsign (i0)) .

© А. В. Головнев, JI. В. Прохоров, 2003

В стандартном подходе [5] у — произвольная функция т. Данная задача отличается тем, что для избавления от знака скорости приходится накладывать на физический сектор условие

9 ФРну* = 0 (4)

и для согласованности с этим условием считать, что у > 0. Воспользовавшись определениями

ии,(х,х) = ехр(—шЙт)\х^ ,

ф(х, г + Ат) = J с^хиш{х,х)'ф{х,т)

и выполнив интегрирования по ро и (с учетом образовавшейся ¿-функции) но хо, можно получить для волновой функции [4]

'ф(х°, х) = I ехр (г[р;Дх* - Дх°Ер}) ф(х°,х), (5)

где Д10 = ш/, откуда и следует положительность V как условие на физический сектор. Отметим, что соотношение (5) приводит к правильному пропагатору релятивистской точечной частицы [4].

3. Классическая теория бозонных струн. Так же, как и в случае точечной частицы, для возможности записи действия струны в релятивистски инвариантной форме необходимо ввести параметризацию на мировой поверхности струны. Обозначим параметры через г и а. Производную по параметру т, который будет играть роль времени в гамильтоновом формализме, будем обозначать точкой над функцией, а производную по сг — штрихом. Таким образом, свободная струна представляет собой двумерную теорию поля. В качестве поля выступают координаты точек струны в четырехмерном пространстве хд(г, <т). По аналогии с точечной частицей будем считать, что действие просто равно площади мировой поверхности струны. Тогда лагранжеву плотность можно записать так [6-8]:

£ = (±х')2 _ ±2х'2. (6)

ч

Величина, стоящая под квадратным корнем, является определителем двумерного метрического тензора на поверхности струны, обозначим ее д(т,сг). Ограничивая, разумеется, множество возможных репараметризаций г —> т' = /г(г,а), а —> а = /г(т,сг), будем считать вектор х времениподобным, а х —пространственноподобным. Это значит, что параметр г выбран так, что он действительно может играть роль времени. При этом времениподобным окажется и импульс, получающийся дифференцированием лагранжиана (6) по скорости х:

г ■ /\ / /2 •

рц = -7"

^(хх')2 - х2х'2

Отсюда легко определяются две связи теории свободной струны:

Р^ = 0, (7)

р2+-у2х'~ = 0. (8)

Первая из них найдена просто умножением импульса на а:', а вторая проверяется возведением импульса в квадрат. Таким образом, и здесь теряется информация. Однако из (8) следует, что ро = £ЕР, где Ер = Ур2 - 72з;/2. Знак ро, как и в теории точечной частицы, очевиден из выражения для импульса

ро + Ер(х, р^^ (у0) = 0,

в котором Уц = {хх')х'н — х'2х„-

На первый взгляд, скорости в полученное выражение вошли более сложным образом, чем в случае точечной частицы. Однако это не так. В самом деле, у2 = —х'2д > 0, где д — подкоренное выражение в формуле (6), т.е. у — времениподобный вектор, и у^х^ = д > 0, следовательно, sign (±°) = sign (у0). Окончательно получаем связь, аналогичную (3):

ро+ £p(x,p)sign(i°) = 0. (9)

Заметим, что в конформной калибровке [6] решение уравнений движения может быть записано следующим образом:

хи = \_У^ ехр(—гпт)—— cos (па) Ч--^=aour +

п ^п

а = —Стандартные связи в этой калибровке дают условия на произвольные коэффициенты o-p^o-k-p = 0> Проведенная нами процедура квантования потребует еще выбора р

определенного знака нулевой компоненты скорости, что резко сужает возможности выбора коэффициентов а.

4. Квантование струны. Ввиду того что теория вновь инвариантна относительно сдвигов по г, гамильтониан равен нулю, а обобщенный гамильтониан Нт = u(poJrEp)+vptix"1. Для того чтобы проинтегрировать по двум импульсам в континуальном интеграле, из выражения для энергии надо исключить еще один импульс. Из связи (7) можно найти р±, если х\ ф 0. Если x'q = 0, то выражение не будет зависеть от ро. Тогда вторую связь (9) можно записать в виде

ро + Ер(х, р )sign ') = 0, где р обозначена перпендикулярная к нулевой и первой осям координат часть импульса, а

ifpx'-2

Ер(х,р) = у \ +Р2-^2х' ■

От условия х'0 = 0 можно было бы отказаться, но тогда выражение для р\ надо подставлять в квадратичную связь (8) и заново решать квадратное уравнение относительно ро; выбрать одно правильное решение из двух будет уже не так просто. При х'02 ф х\" это возможно сделать, связь (9) остается прежней, но с другим выражением для Ер.

Теперь, наложив на физический сектор условие (4), запишем уравнение эволюции волновой функции струны

ф(х) = У ВАх (х\ехр(—гшЙт)\х^ Ф(х) =

= J 1?4р£>4:г ехр(г[р„Дгм - ии(р0 + Ер(х,р)) - иур^х^])-ф{х) —

ехр(г[—р Ах — шиЕр(х,р) + и/ур ж'])х

X ¿(Да;0 -ши- шьх'°)6(—Ах1 + шух'1)ф(х).

Важное отличие от случая частицы состоит в том, что струна — объект не точечный, поэтому ее положение задается не вектором, а вектор-функцией, и все интегралы по координатам и импульсам функциональные.

Скалярное произведение векторов, обозначенных рукописными буквами, понимается в евклидовом смысле. ¿-Функции фиксируют значения множителей Лагранжа шу = -^т1 и

ши = Да;0 — х и позволяют вычислить еще два интеграла. Окончательный ответ:

ф(х) = I 02рВ2х ехр(г[—р Ах - - Х'°£Х1 ^ Ер(£,р) + ~^рх'\)ф{х).

При условии х'о — 0 второе слагаемое в скобках перед Ер, разумеется, можно опустить, а согласованность с (4) требует и > 0.

5. Связи в теории бран. Рассмотрим г-брану в п-мерном пространстве, г + 1 = т ^ п. Параметризуем ее набором чисел сто, од,..., о>, производные от х по которым будем обозначать £,0,2,1, ■ • • ,х,г. Вектор будем считать времениподобным, а векторы х^ —пространственно-подобными. Здесь и далее индексы ¿.¿^меняются в пределах от 1 до г. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Действие равно объему мировой гиперповерхности:

5 = -7 У ¿та^/д(а),

— I Ч Х,г £ Х/ЗьО

где е^1 ■—единичный антисимметричный тензор, е0>1'----п-1 = 1 Найдем импульс.

Рд — ' еР1- Рп-т^а2...атх,1 х,г е Хр^о . . . Хрт,г-

Из антисимметрии б видно, что рмх^ = 0, \/г = 1,..., г. Кроме того, прямым вычислением с использованием свойств тензора t получаем

Р2 - -(-1)т72(" - ■ • -х^Жагд • • -ха7П,г = С(х).

В последней формуле ,...,»г — г-мерный евклидов антисимметричный тензор. Итак, теряя информацию о знаке, запишем связи

= 0, (10) р2 - С(х) = 0. (11)

Из (11) найдем ро = ±-Ер, где Ер — т/р2 + С(х)- Знак опять определить нетрудно: рм и хм — временнподобные векторы и

рмхд = —~i\fg < О, следовательно, sign (ро) = —sign (¿о). Снова получаем связь (3):

ро + Spsign (х°) = 0.

Обобщенный гамильтониан задачи Нт — иЕр(х, р) + г^рмх^.

6. Континуальный интеграл для бран. Для квантования надо исключить из Ер компоненты pi, используя (10). Как и в задаче о струне, примем det(ij,i) ф 0 и для удобства x°i = 0. Поясним, что (xi,k) — матрица размером г х г. При этом

Ер = Ер(х, р) =

£ых,р))2 + Р2+«Х),

где рг — —{[х.,.\~1)ирх:1\ р —часть импульса, перпендикулярная к временной и первым пространственным осям, а ([х.,.]-1)« —компоненты матрицы, обратной к (хц). Имеем выражение для волновой функции (с учетом (4))

ф(х) = J DnpDnх exp(i\pi

Дхм—

- ши(р0 + Ер(х,р)) - шырцх^\)ф(х) =

_ J jjn mp Dnxexp(i[-p Ax - wuEp(x,p)+uvipxii})x

T

x <5(Д:г0 — uiu — u>Vix'oti) PJ S(—Axi + uvixiti)ip(x). ¡=1

Вновь ¿-функции фиксируют множители Лагранжа

ujvi = ([x.J ~~1)iiAxi,

LJU = Дг° — ujViXo,i и позволяют взять часть интегралов по х:

ф{х) — J Dn~mp Dn~~mx exp(i{—p Ах—

- (Дг° - ([x.J-^uiAxOxoJEpix^) + (К.]-^(ДхОрЖгМ*)-

Как и в случае со струной, при принятых условиях на координаты второе слагаемое в скобках перед Ер обращается в нуль, но его следует учитывать, если не предполагать, что х°г = 0, и' выражение для Ер тогда будет сложнее.

Таким образом, выше показана возможность последовательно, «из первых принципов» проквантовать теорию свободных бран произвольной размерности. В качестве исходного пункта было принято обобщение лагранжиана теории струн в форме Намбу—Гото на случай большего числа измерений. Необходимый для решения задачи анализ связей показал, что знак нулевой компоненты импульса в определении (1) противоположен знаку нулевой компоненты скорости, последний в рамках предлагаемого способа квантования приходится фиксировать для волновых функций физического сектора.

Summary

Golovnev А. V., Prokhorov L. V. Path integral in the strings and branes theory. The structure of constraints in the theory of free bosonic strings and branes is discussed. Some peculiar properties of their Hamiltonian dynamics are taken mto consideration. Evolution equations for free bosonic strings and branes wave functions are derived within the path integral method.

Литература

1. Krausz F. Path integral for a scalar propagator: Preprint HUTP 80-A-003. Cambridge, 1980. 2. Физиев П.П. // Теор. мат. физика. 1985. Т. 62. С. 186-195. 3. Прохоров Л.В., Нурама-тов А.Г. II Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1991. Вып. 3 (№18). С. 86-89.

4. Прохоров Л.В., Шабанов С.В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб., 1997.

5. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике / Пер. с англ. М., 1968. 6. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М., 1987. 7. Грин А/., Шварц Дж., Витптен Е. Теория суперструн: В 2 т. / Пер. с англ. М., 1990. 8. Каку М. Введение в теорию суперструн / Пер. с англ. М., 1999.

Статья поступила в редакцию 10 ноября 2002 г.