Контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 5(37)

УДК 514.76 DOI 10.17223/19988621/37/4

А. Г. Седых

КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА ТРЕХМЕРНЫХ НЕУНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

Рассматриваются контактные и контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли. Определены ассоциированные метрики и изучены свойства их кривизны. Рассмотрены частные случаи контактных форм и аффиноров. Исследовано свойство нормальности и К-контактности контактных метрических структур.

Ключевые слова: группа Ли, контактная форма, контактная метрическая структура.

Традиционно в геометрии большой интерес представляют римановы многообразия с некоторой дополнительно заданной структурой, согласованной с метрикой. Изучение контактных структур актуально, поскольку они возникают при изучении дифференциальных уравнений в частных производных и в задачах теоретической механики.

Определение 1 [1]. Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М класса С называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая, что (пай?п)п Ф 0 всюду на M2n+1. Форма п называется контактной.

Контактная форма определяет на многообразии ТМ2п+1 распределение E = {v,n(v)=0} размерности 2п, которое называется контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие M2n+1 имеет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое Е, которое определяется свойствами: п(Е) = 1 и й?п(ЕХ) = 0 для всех векторных полей X на M2n+1. Векторное поле Е называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры. Аффинором ф на М будем называть гладкое поле линейных операторов ф: TM^-TM. действующих на каждом касательном пространстве TxM.

Определение 2 [1]. Если M2n+1 контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четверка (п,Е,ф,?), где Е - поле Риба, g - риманова метрика и ф - аффинор на M2n+1, для которой имеют место следующие свойства:

1) ф2 =-1 + п®Е,

2) с1п(Х,У) = g(X^Y),

3) g^X^Y) = g(X,Y) - пХ)п(Г).

Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной. Из второго и третьего свойств сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором ф:

g(X, Y) = дц(фХ,Т) + пХ)п(Т).

Почти контактной метрической структурой на M2n+1 называется тройка (п,Е,ф), для которой выполнены условия

ф2 =-1+п®Е, п(Е) = 1.

Контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли 49

Пусть M2n+l - почти контактное многообразие с почти контактной структурой (п,|,ф). Рассмотрим многообразие M2n+lx R. Векторное поле на M2n+lx R задается парой (X, fdt), где X - векторное поле, касательное к M2n+1, t - координата второго сомножителя R, dt - векторное поле на M2n+1 х R вида d(F(x,t)) = dF/dt и f - функция класса С на M2n+l . Определим почти комплексную структуру J на M2n+lx R. с помощью оператора J, действующего по формуле

J(X, fdt) = (фХ - f%, n(X dt).

Если J - интегрируемая почти комплексная структура, то почти контактная структура (п,|,ф) называется нормальной.

Определение 3 [1]. Если контактная метрическая структура (п,|,ф^) является нормальной, то она называется нормальной контактной метрической структурой, или структурой Сасаки.

Если характеристическое векторное поле £, порождает группу изометрий g, т.е. £, - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактную метрическую структуру называют К-контактной структурой.

Известно [1], что для нормальности и К-контактности контактной метрической структуры достаточно выполнение равенств [ф,ф]+2Кцс> = 0 и (L^nXX = 0 (L -производная Ли) соответственно.

Пусть G - неунимодулярная трехмерная группа Ли, тогда [4] ее алгебра Ли имеет базис е1,е2,е3, такой, что [e1,e2] = ae2 + fie3, [e1,e3] = ye2+5e3, [e2,e3] = 0, причем матрица

имеет след a + 5 = 2.

Это позволяет выписать ненулевые структурные константы: Cl22=a, Cl23=в, Ci32=Y, Ci33=5.

Пусть п = а191 + а202 + а303 - произвольная левоинвариантная 1-форма, где 91, 92, 93 - дуальный базис левоинвариантных 1-форм к базису е1,е2,е3. Выпишем уравнения Маурера - Картана в выбранном базисе:

d91 = 0, d92 = -а91л92-у91л93, d93 = -Р91л92-591л93.

Тогда

dn = а^1 + а2d92 + а^93 =

= а2(-а91л92-у91л93) + а3(-р91л92-591л93) = = (-аа2-Ра3)91л92 + (—уа2 - Sa3) 91л93

и

nлdn= (а191+а292+а393) л ((-аа2-Ра3)91л92+ (-Ya2-5a3) 91л93) =

= ((5 - a)a2a3 - Pa32 + Ya22) 91л92л93.

Вывод. На группе G левоинвариантная 1-форма п = а191 + а292 + а393 определяет контактную структуру при (5 - a)a2a3 - Pa32 + Ya22 Ф 0.

Перейдем к построению контактной метрической структуры, для этого выберем метрику на алгебре Ли, относительно которой выбранный выше базис е1,е2,е3

(1 0 0^

является ортонормированным g0 =

0 1 v 0 0

0 1J

и найдем ее геометрические харак-

теристики.

50

А. Г. Седых

Тензор кривизны R(X,Y,Z) = VXVYZ - VYVXZ - V[x,yZ в базисе еье2,е3 обозначим R(ehe 'j)ek = Rijkes, тогда тензор Риччи Ric, скалярная Sc и секционная кривизна K в направлении базисных площадок находятся по формулам:

Ric]k = Rjk, Sc = gjkRic}k, Кг] =

gkiRj1

giig ]] gi]

Выпишем ненулевые компоненты тензора Риччи:

Ric,, = -а2 + - Ру- - р2 -52,

Ric22 =-а2 - — Ру-2р2 -а5,

Ric23 =-ау-р5-—5у,

3 1

Ric32 = - 2 аУ-Р8- 2 дY,

Ric33 =--у2 --ру+ -р2-52 -5у.

33 4 4 2

11 3

Скалярная кривизна Sc = -2a2 -4Ру-4Р2 -2S2 -2а5-4у2. Секционные кривизны в направлении базисных площадок

К12 =-a2 -3PY-3Р2,

3 2 1 2 1

К13 =-тY2 + тв2 -ТPY-S

1

1

К23 =-a,S+ —Py+ —P .

Теперь найдем вид контактных метрических структур на группе G, но сначала проверим, является ли ранее выбранная метрика go контактной метрической структурой.

Рассмотрим два частных случая:

1) а2 = 0 (в Ф 0),

2) а3 = 0 (у Ф 0).

1) Пусть выбрана контактная структура первого вида п = а191+а393. Найдем оператор ф из условия

dn(X,Y) = g0(X^Y).

Получаем

dn = -Ро,з91л92 - 5a3 91л93,

тогда

dn(X, Y) = -Pa3 X1 Y2 + Pa3X2Y1 - Sa3 X1 Y3 + Sa3 X3 Y1, g(X^Y) = X1 ф/Y1 + X2 ф/Р + X3 ф/Y-i

Контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли 51

Приравнивая коэффициенты при Х', получаем <$^YJ = Pa3Y2 - Sa3Y3

ф/Р = Pa3Y1, ($^YJ = 8a3Y1 или

' 0 -Pa3 -Sa3^

ф =

Pa3

Sa,

Проверим выполнение условия

go^X^Y) = go(X,Y) - n(X)n(Y), (фф =-I + n ® |).

фф =

( 0 Pa3

Sa 3

-Pa3

0

0

-Sa 3 V 0

Pa3 Sa 3 ^

-Pa3

j v Sa 3

(1 - a;2

((P2+S2a2 0 0

P2 a3 PSa^

PSa^

5? 2 2 S a3

0 -a1a3

0

1

0

v-a;a3 0 1 - a3 j

I-n®n =

Приравняем левую и правую части соотношения

((в2 +S2a2

0 0 ^ (1 - a12 0 -a1a3

в2 a32 вSa3 = 0 1 0

pSa^ 5-2,2 S a3 j v a1 a3 О 1 J5

0

0

v

и составим систему уравнений, сравнивая компоненты матриц

(в2 + S2 )a32 = 1 - a;2, в2 a32 = 1, S2 a32 = 1 - a32,

-pSa^ = 0, ala3 = 0,

решая которую, получаем ограничения на коэффициенты контактной структуры:

a1 = 0, a3 = +- 1

S2 +s2

Выберем в = +1, S = 0 , тогда получим решение вида aj=0 и a3=+1.

Вывод. Метрика g0 определяет контактную метрическую структуру в том случае, когда контактная форма n = ±03 и аффинор ф задается матрицей

(0 -1 0^|

ф = +

1 0 0 0 0 0

Полученная структура не является ни нормальной, ни К-контактной.

2) Далее рассмотрим второй частный случай а3 = 0 (у Ф 0).

Тогда контактная структура принимает вид n = а^1 + а202. Построим контактную метрическую структуру аналогично первому случаю.

Сначала найдем оператор ф из условия dn(X,Y) = g0(X^Y): dn = -Pa201A02 - Sa2 01л03.

Тогда

dn(X,Y) = -Pa2X1Y2 + Pa2X2 Y1 - Sa2 X1 Y3 + Sa2 X3 Y1, g(X^Y) = X1 ф/ YJ + X2 ф^' + X3 ф/¥.

52

А. Г. Седых

Приравнивая коэффициенты при Х, получаем ф,1 YJ = aa2Y2 - ya2Y3, ф/Р = aa2Y1, ф^Р = ya2Y1 или

( 0 -aa2 -Ya 2N

ф = aa2 0 0

VYa 2 0 0 J

Проверим выполнение условия

go^X^Y) = go(X,Y) - n(X)n(Y), (фф' =-I + n ® §).

( 0 aa2 Ya 2 3 ( 0 -aa2 -Ya 2N

-aa 2 0 0 aa2 0 0

v-Ya 2 0 0 J VYa 2 0 0 J

' (a2+y2 )a2 0 0 ^

= 0 2 2 a a2 aYa22 ,

0 V aYa22 2 2 Y a2 j

2 1 - a1 -a1a2 0

I ~n®n = -1a 2 1- a2 0

0 0 1

V J

Составим систему уравнений, сравнивая соответствующие элементы матриц в условии фф' = -1 + n ® |:

/ 2 , 2 \ 2 1 2 2 2 i 2 22 л

(а +у )a2 = 1 - a1 , a a2 = 1 - a2, у a2 = 1, a1a2 = 0, -aya^ = 0,

решая которую, получаем ограничения на коэффициенты контактной структуры:

aj = 0, a2 = ±

4

а 2 +у 2

Выберем у = ±1, a = 0 , тогда получим решение вида a1 = 0 и a2 = ±1.

Вывод. Метрика g0 определяет контактную метрическую структуру в том случае, когда контактная форма n = ±Q2 и аффинор ф задается матрицей

ф = ±

( 0 0 1

-Г|

0

0

Рассмотрим другие метрики, которые также определяют контактную метрическую структуру. Для удобства вычислений в качестве контактной формы и аффи-

(0 -1 03

нора выберем n = Q3, ф0 =

Любой другой аффинор ассоциированной структуры на контактном распределении имеет вид [6, 7]

ф|я =ф0 |в (1 + Р)(1 - Р)-1,

Контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли 53

где Е - контактное распределение, а Р - оператор на Е, обладающий свойствами:

1) Р симметричен относительно метрики g0,

2) Р антикоммутирует с фо,

3) Оператор 1 - P2 положительно определен относительно метрики g0 на Е (1 - тождественный оператор).

Такой оператор можно задать [6] в виде P =

t

-s

или в полярных коорди-

натах

cos а.

I vAi sin а,

р=р| • 1 1

^ sin а, - cos а,

Тогда на контактном распределении Е аффинор ф имеет вид

г0 -1^| 1 + рcosа1 psinа1 ^ 1l-pcosа1 -psinа1

рsinа1 1 -рcosа1) ^ -рsinа1 1 + рcosа1

Ф \е =

1 0

(

2р sin а1

-1 + р2

1 + 2р cos а1 +р2

-1 + 2р cos а1 -р 1 -р2 2р sin а1

2

1 -р2 1 -р2

Продолжим его на все касательное многообразие группы G:

Ф =

2р sin а1

-1 + р2

1 + 2р cos а1 +р2 1 -р2 0

-1 + 2р cos а1 -р 1 -р2 2р sin а1 1 -р2 0

0

1

Напомним, что ассоциированная метрика контактной метрической структуры полностью определяется аффинором: g(X, Y) = dr\ (фХ,У) + n(X)n(Y);

g =

2

1 + 2р cos а1 +р 1 -р2 2р sin а1 1 -р2 0

2р sin а1

1 -р2

1 - 2р cos а1 +р2 1 -р2 0

0

1

Заключение. Контактная метрическая структура на неунимодулярной группе Ли может быть задана четверкой (n,^^,g), где

n = 03, I = «3,

Ф =

2р sin а1

-1 + р2

1 + 2р cos а1 +р2 1 -р2 0

-1 + 2р cos а1 -р * 1

1 -р2 2р sin а1

1 -р2 0

54

А. Г. Седых

g =

f 2

1 + 2р cos a1 +р

1 -р2

2р sin a1

1 -Р2 0

2р sin aj

1 -Р2

1 - 2р cos a1 +р2

1 -Р2 0

Л

0

0 .

Простые вычисления (в системе Maple) показывают, что данная структура не является ни нормальной, ни К-контактной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Contact manifold in Riemannian geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg - New York, Springer Verlag, 1976.

2. 2Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения: в 2 т. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

3. Кобаяси Ш, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.

4. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Advances in Math. 1976. V. 21. P. 293-329.

5. Седых А.Г. Контактные структуры на трехмерных группах Ли. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

6. Смоленцев Н.К. Простпанства римановых метрик // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 31. С. 69-126.

7. Смоленцев Н.К. Ассоциированные почти комплексные структуры и (псевдо) римановы метрики на группах GL(2,R) и SL(2,R)xR // Вестник Кемеровского государственного университета. № 4(24). С. 155-162.

Статья поступила 20.04.2015 г.

Sedykh A.G. CONTACT METRIC STRUCTURES ON 3-DIMENTIONAL NON-UNIMODULAR LIE GROUPS

DOI 10.17223/19988621/37/4

Definition 1. A differentiable (2n+1)-dimensional manifold М of the class Cm is called a contact manifold if there exists a differential 1-form n on M2n+I, such that (pAdp)n f 0. The form n is called a contact form.

Definition 2. If M2n+I is a contact manifold with a contact form n, then a contact metric structure is the quadruple (n,Z^,g), where Z is a Reeb’s field, g is a Riemannian metric, and ф is an affinor on M2n+I, for which the following properties are valid:

1) ф2 =-I +n®Z,

2) dn(X,Y)=g(XwY),

3) g(qX^Y) = g(X,Y) - n(X)n(Y).

We consider a non-unimodular Lie group G; its Lie algebra has a basis еье2,е3 such that

K.,] = «,+1^ [^J = кЛ, м = °, a„d «rix A-Ly 8J has a trace» + 8 = 2.

The left invariant 1-form n = а101 + а202 + а303 defines a contact structure on the group G if (S - a)a2a3 - Pa32 + ya22 ^ 0

f0 -1 0Л

As a contact form, we choose the simplest one, n = 03, ф0 = 1 0 0

0 0 0

and consider other

metrics that also define a contact metric form.

We obtain that a contact metric structure on a non-unimodular Lie group can be set by the quadruple (n,Z^,g), where

Контактные метрические структуры на трехмерных неунимодулярных группах Ли 55

П = б3, £ = e3, ф =

2р sin a1 -1 + р2

j + 2р cos a1 +р2 1

1 -Р2 0

-1 + 2р cos a1 - р

Гр

2р sin a1

1 -Р2

0

Keywords: Lie group, contact form, contact metric structure.

SEDYKH Anna Gennadyevna (M.Sc., Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Blair D.E. Contact manifold in Riemannian geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg - New York, Springer Verlag, 1976.

2. Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaya geometriya. Metody i priloz-heniya. Moskow, Editorial URSS Publ., 1998. (in Russian)

3. Kobayasi Sh, Nomidzu K. Osnovy differentsial'noy geometrii. Moskow, Nauka Publ., 1981. (in Russian)

4. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups. Advances in Math., 1976, vol. 21, pp. 293-329.

5. Sedykh A.G. Kontaktnye struktury na trekhmernykh gruppakh Li. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. (in Russian)

6. Smolentsev N.K. Prostpanstva rimanovykh metrik. Sovremennaya matematika i ee priloz-heniya, 2003, vol. 31, pp. 69-126. (in Russian)

7. Smolentsev N.K. Assotsiirovannye pochti kompleksnye struktury i (psevdo) rimanovy metriki na gruppakh GL(2,R) i SL(2,R)xR. Vestnik Kemerovskogo gosudarstvennogo universiteta, no. 4(24), pp. 155-162. (in Russian)