CC BY
61
2. Коренева А. М., Фомичев В. М. Криптографические свойства блочных шифров, построенных на основе регистров сдвига // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2012. №5. С. 49-51.
УДК 519.151, 519.725, 519.165
КОНСТРУКЦИИ ИДЕАЛЬНЫХ СХЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ СЕКРЕТА
Н. В. Медведев, С. С. Титов
Работа посвящена исследованию вопросов разграничения доступа к информации при помощи линейных идеальных однородных схем разделения секрета. Приведена конструкция таких схем над любым полем GF(q). Путём добавления участников показано, что такие схемы сводятся к схемам на проективных пространствах.
Ключевые слова: однородные схемы разделения секрета, структуры доступа, матроиды, код Рида — Маллера, идеальные схемы.
Неотъемлемыми атрибутами современных компьютерных систем и сетей передачи данных являются криптографические протоколы защиты информации. На этом пути часто возникают сложные проблемы, требующие привлечения серьёзного математического аппарата. Одна из таких актуальных и активно исследуемых западными специалистами областей — разграничение доступа [1] при помощи протоколов (схем) разделения секрета (СРС) [2, 3].
Механизм работы СРС заключается в предоставлении участникам долей секрета таким образом, чтобы заранее заданные коалиции участников (разрешённые коалиции) могли однозначно восстановить секрет [4]. Особый интерес вызывают однородные СРС [5-7], которые допускают идеальную реализацию. При этом ограничиваются рассмотрением разделяющих СРС, т. е. таких, где нет незаменимых участников [6].
Разрешённые коалиции идеальной совершенной схемы разделения секрета определяются циклами некоторого связного матроида, изучение которого и даёт структуру доступа [8]. В терминах циклов аксиом всего две. Представляется естественным рассмотреть двойственный вариант аксиоматизации матроида, а именно использовать не циклы C матроида M, а его нуль-множества Z, т. е. Z = M\ C, которые можно назвать «антициклами». Тогда аксиомы матроида в терминах антициклов имеют следующий вид: 1) нет антицикла в антицикле, т. е. если Zi, Z2 — антициклы и Z1 С Z2, то Zi = Z2; 2) если e Е M, e Е Z1 U Z2 и Z1, Z2 — антициклы, причём Z1 = Z2, то существует такой антицикл Z, что ({e} U (Z1 П Z2)) С Z.
Перейдём к рассмотрению матроидов в проективном m-мерном пространстве M над GF(q). Возьмём в качестве нуль-множеств Z гиперпространства в M. Как известно [9], |M| = (qm+1 — 1)/(q — 1) и |Z| = (qm — 1)/(q — 1). Поскольку любые два гиперпространства Zi и Zj всегда пересекаются, т. е. (Zi П Zj) = 0, причём dim Z = m — 1, dim(Zi П Zj) = m — 2, то для любой точки e Е (Zi П Zj) существует единственное гиперпространство Z, натянутое на {e} и на пересечение гиперпространств Zi и Zj, так что Z = ({e}, Zi П Zj). А это — не что иное, как вторая аксиома матроида в терминах антициклов, которую можно назвать усиленной, так как существует единственное такое гиперпространство. Следовательно, вторая аксиома матроида выполняется. Первая аксиома матроида с очевидностью выполняется, так как размерности гиперпространств одинаковы и антицикла в антицикле быть не может.
Далее рассмотрим матроиды в аффинном m-мерном пространстве M над GF(q). Как известно [9], |M| = qm и |Z| = qm-1. В аффинном пространстве может быть два случая пересечения гиперпространств Zi и Zj: 1) либо пересекаются, т. е. Zi П Zj = 0, тогда вторая аксиома матроида выполняется, как в проективном пространстве; 2) либо параллельны, т. е. Zi П Zj = 0, тогда это тривиальный случай и вторая аксиома матро-ида также выполняется, так как объединение двух соответствующих гиперпространствам циклов образует всё пространство M. Первая аксиома матроида выполняется в обоих случаях, как и в проективном пространстве.
При реализации идеальной однородной совершенной СРС гиперпространства соответствуют линейным функциям. На основе обобщённых кодов Рида — Маллера получена
Теорема 1. Аффинное и проективное пространства над GF(q) являются однородными матроидами с гиперпространствами в качестве антициклов.
При этом возникает естественный и сложный вопрос полного описания класса однородных СРС над GF(q). Для решения этого вопроса рассмотрена возможность добавления участников СРС однородного матроида. Путём комбинаторных рассуждений доказано
Утверждение 1. Линейные однородные разделяющие СРС над GF(q) сводятся к подсхемам схемы некоторого проективного пространства над GF(q) с гиперпространствами в качестве антициклов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гайдамакин Н. А. Разграничение доступа к информации в компьютерных системах. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2003.
2. Shamir А. How to share a secret // Comm. ACM. NY, USA: ACM, 1979. V. 22. No. 11. P. 612-613.
3. Черемушкин А. В. Криптографические протоколы: основные свойства и уязвимости // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 115-150.
4. Введение в криптографию / под общ. ред. В. В. Ященко. СПб.: Питер, 2001.
5. Marti-Farre J. and Padro C. Secret sharing schemes on sparse homogeneous access structures with rank three // Electronic J. Combinatorics. 2004. No. 11(1). Research Paper 72. 16p.
6. Медведев Н. В., Титов С. С. Бинарные почти пороговые матроиды // Научно-технический вестник Поволжья. 2012. №4. С. 136-142.
7. Медведев Н. В., Титов С. С. Почти пороговые схемы разделения секрета на эллиптических кривых // Доклады ТУСУРа. 2011. №1(23). Ч. 1. С. 91-96.
8. Блейкли Г. Р., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Проблемы передачи информации. 1997. Т. 33. №3. С. 102-110.
9. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 424с.
УДК 519.723
О НЕМИНИМАЛЬНЫХ СОВЕРШЕННЫХ ШИФРАХ
Н. В. Медведева, С. С. Титов
Рассмотрены свойства неминимальных совершенных шифров. Показано, что неминимальный совершенный шифр вкладывается в максимальный совершенный шифр. Доказан аналог теоремы К. Шеннона для неэндоморфных совершенных шифров.
