Научная статья на тему 'Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе'

Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

CC BY
273
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТОРСОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ / ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ / УСЛОВИЕ КОМПЛАНАРНОСТИ ВЕКТОРОВ / ГЛУБОКОРЫХЛИТЕЛЬ / A DEVELOPABLE RULED SURFACE / FRENET TRIHEDRON / THE COMPLANARITY CONDITION OF VECTORS / CHISEL

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Нитейский Антон Сергеевич

Рассмотрен подход к конструирования торсовых поверхностей методом подвижного трехгранника Френе на основе плоских кривых. Выполнены некоторые примеры конструирования на основе кривых второго порядка. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу проектирования сложных технических линейчатых развертывающихся поверхностей оболочек деталей машин.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Design of ruled surfaces by moving Frenet trihedron

An approach to designing of ruled surfaces by moving Frenet trihedron, based on planar curves is considered. There are examined some examples of design based on second-order curves. The obtained results can be used as a basis for designing complex technical ruled surfaces of shells machine parts, consisting of line segments, which are docked on the conditions of contact.

Текст научной работы на тему «Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе»

УДК 621.01:514.181.2 А. С. НИТЕЙСКИЙ ч

Омский государственный технический университет

КОНСТРУИРОВАНИЕ ТОРСОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО ТРЕХГРАННИКА ФРЕНЕ__________________________________________

Рассмотрен подход к конструирования торсовых поверхностей методом подвижного трехгранника Френе на основе плоских кривых. Выполнены некоторые примеры конструирования на основе кривых второго порядка. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу проектирования сложных технических линейчатых развертывающихся поверхностей оболочек деталей машин.

Ключевые слова: торсовая поверхность, трехгранник Френе, условие компланарности векторов, глубокорыхлитель.

В геометрической науке известен способ конструирования линейчатых поверхностей, основанный на их выделении из конгруэнции прямых [1—4]. Исследованию общего случая линейчатых развертывающихся поверхностей — торсовых поверхностей (ТП), посвящено незначительное количество работ, среди которых выделяется работа [2], содержащая теоретические основы конструктивно-геометрического метода конструирования ТП.

В настоящем исследовании рассматривается дифференциально-геометрический метод конструирования ТП, основанный на использовании подвижного трехгранника Френе (ТФ) пространственной кривой линии. Пусть в точке Л отрезка кривой линии, состоящего из ее обыкновенных точек, определен ТФ, в котором 1, п, Ь — соответственно орты касательной, нормали и бинормали. Будем рассматривать образование линейчатой поверхности, орт 1 образующей которой проходит через точку Л кривой (рис. 1).

Координатное положение орта определяется углами: а = 1л11п; Р = 11пМ, где 11п — ортогональная проекция орта 1 на соприкасающейся плоскости (1, п) кривой в точке Л. Как известно, положение ТФ определяется натуральным параметром 8 кривой линии. В этой связи принимаем, что каждый из углов а и (3 является функцией параметра 5. В таком случае имеет место уравнение:

l =(t • cos b + n • sin b) • cos a + b • sin a

(1)

Известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы линейчатая поверхность была развертывающейся, является условие компланарности векторов [5]:

t Л ^ 1 = 0.

ds

(2)

Исходя из уравнения (1) и рассматривая случай плоской кривой, можно получить следующее выражение для производной

dl (( db Л . n q . da) -

— = II---------— - к | sin b • cos a - cos b • sin a-----------| • t +

ds ^ ds 0 ds 0

((, db) b b . da) _

+ I I к + — | cos b • cos a - sin b • sin a------------| • n +

11 ds 0 F F ds J

Рис. 1. Положение образующей l линейчатой поверхности

- d a

+ b • cos a —.

ds

(3)

где к — кривизна кривой в точке Л.

Уравнение (2) для рассматриваемого случая на основании (1) и (3) принимает вид:

da

:------к • ctgb • ds - ctgb • db = 0. (4)

cos a • sin a

Выполним интегрирование обеих частей последнего уравнения:

da

cos a • sin a

;------J к • ctgb • ds - J ctgb • d b = 0.

Поскольку к-ёБ=ёд, где d5 — приращение угла наклона 5 орта 1 от первоначального положения при 5 = 0, получаем:

da

cos a • sin a

:------J ctgb • d8 - J ctgb • db = 0. (5)

или

ln | tga |= J ctgb • dd + ln | sin b | +C. (6)

Из уравнения (6) следует, что если будет известна функциональная зависимость угла Ь от угла касательной 5, то после вычисления интеграла в формуле (6) зависимость углов а, Ь и 5 становится определенной. Пусть угол Ь меняется линейно, например, Ь = ш.5, где т постоянная скалярная величина. В этом

J

J

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

152

случае получаем dS = dp/m и уравнение (6) принимает вид:

1п| гда |= 1п( ят(Р) I) + 1п | в1п р | +С. (7)

т

Откуда получаем решение для угла а:

а = аг^дI еС ■ ^ш(р)|~т I, (8)

где nn<a <(2n+ 1)<я/2.

Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая единичной окружности g = cos t ■ i + sin t ■ j, в параметрических уравнениях которой t — текущий скалярный параметр, опредекляющий угловое положение радиус вектора ее точки относительно орта i. Поскольку угол b зависит от угла касательной 8 окружности, а он определяется в случае единичной окружности как 8 = t, то получаем: b = mt. Формула (8) перепишется соответственно:

a = arctg\ e

1(b)

m +1 m

Если принять С=0, то в зависимости от того, каким выбирается коэфициент m, можно получить семейство ТП (рис. 2). Расчет ТП выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (4) для окружности в частных случаях.

1. Предположим, что b = const. Тогда из (4) следует:

da

cos a ■ sin a

- J к ■ ctgb ■ ds = 0;

ln | tga |= ctgb ■ J к ■ ds + С = ctgb ■ 5 + С.

Принимая С=0, получаем решение угла для окружности: a = arctg(et ctgb) (рис. 3а).

2. Предположим, что a = const. Тогда из (4) при С = 0 следует:

db = —kds; b = -J к ■ ds = -5.

Для рассматриваемой окружности получим: b = = — t (рис. 3б).

Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая логарифмической спирали g = a ■ et cost ■ i + + a ■ et sin t ■ j, в параметрических уравнениях которой t — текущий параметр, определяющий угловое положение радиус вектора ее точки; а — параметр отвечающий за частоту витков. Рассматриваемая плоская кривая может использоваться в качестве поперечного профиля стойки некоторых глубокорых-лителей. Поскольку угол b зависит от угла 8 касательной логарифмической спирали и определяется

5 г, , , | g' х g" |

как 5 = I к ■ ds, тогда для ее кривизны k = _ 3—-

g

| g' х g'' |

получим b = m ■ 5 = m J —^ ds. Переходя к нату-

g'

ральной параметризации, найдем ds: ds =| g' | dt = = a ■ etdt.

Вычисляя

интеграл b = mJ| g * g | ■ a ■ etdt полу-J g'3

чим: b=±mt.

Формула (8) в этом случае примет вид:

a = arctanl |sin(mt)|

m+1 m

В зависимости от выбора параметров спирали а и коэффициента т, можно получить различные ТП (рис. 4 а).

Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая произвольной параболы д = 4^ ■ I + 8^ ■ 7 , в параметрических уравнениях которой I — текущий параметр, представляющий собой положение радиус вектора ее точки. Именно эту кривую используют в качестве продольного профиля стойки глубоко-рыхлителей для снижения тягового сопротивления рабочего органа. Поскольку угол Р зависит от угла 8 касательной параболы, который определяется как

5 = | к ■ ds , то, учитывая кривизну параболы к =

_ |д" х д''|

g'3

о г г | д' х д' ' | , т-,

получим р = т ■ о = т I _ 31 ds. Перед

ходя к натуральной параметризации, найдем <38: ds = 8^^^+t2dt . Вычисляя интеграл р = т \| д *д—|х

д

х8лД +12 dt, получим: b = m-arctgt.

Формула (8) в этом случае примет вид:

a = arct gl |sin(m • arctgt)|

m+1 m

В зависимости от значения коэфициент т можно также получить различные ТП (рис. 4 б, рис. 5).

Полученные алгоритмы могут лечь в основу разработки конструкторской САПР для проектирования различных технических линейчатых развертывающихся поверхностей, применяемых в изделиях транспортного и сельскохозяйственного машиностроения. В частности, для получения лемешных поверхностей закрепляемых на стойке глубокорых-лителей.

Библиографический список

1. Иванов, Г. С. Теоретические основы начертательной геометрии: учебное пособие / Г. С. Иванов. — М. : Машиностроение, 1998. — 158 с.

Рис. 5. ТП для логарифмической спирали при p=const=-1,34 рад

2. Михайленко, В. Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В. Е. Михайленко, В. С. Обухова, А. А Подгорный. — Киев : Буддвельник, 1972. —208 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Трухина, В. Д. Моделирование и анализ линейчатых технических поверхностей (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения) / В. Д. Трухина. — Барнаул : Изд-во АлтГТУ им. И.И. Ползунова, 1996. — 65 с.

4. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Springer Verlag. — Berlin, 2001. — 565 p.

5. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии : учебник для гос. ун-тов / П. К. Рашевский. — 4-е изд., испр. — М. : Едиториал УРСС, 2003. - 428 с.

НИТЕИСКИИ Антон Сергеевич, аспирант кафедры «Инженерная геометрия и САПР».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 04.04.2013 г.

© А. С. Нитейский

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.