CC BY
29М.Н.Рыбаков, А.В.Чагров
КОНСТАНТНЫЕ ФОРМУЛЫ В МОДАЛЬНЫХ ЛОГИКАХ: ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ*
Abstract. The main result: the provability problem of constant formulas is PSPACE-complete for modal logics K , K4. Some closed questions are discussed.
Решение рассматриваемой в данной статье проблемы было стимулировано двумя обстоятельствами.
Во-первых, довольно часто при изучении той или иной логики высказываний порой забывают, что формулы - это схемы высказываний, а не сами высказывания, и потому, решив ту или иную проблему для логики в целом, неплохо бы посмотреть, как это решение соотносится со множеством самих высказываний. (Краткое содержательное обсуждение высказываний в логиках высказываний читатель может найти в [1]. В частности, предлагается считать, что типичным высказыванием в логике высказываний является константная формула, т.е. формула без переменных.) Например, если решена проблема разрешимости логики и/или проблема ее разрешения1, то что можно сказать про решение сопутствующей проблемы для константных формул (или, быть может, формул с ограниченным числом используемых переменных)? В конце концов, схемы высказываний изучаются именно для удобного выделения видов правильных (истинных в какой-либо точной семантике) высказываний. В качестве довольно простого примера можно указать модальную логику S4. Эта логика разрешима, однако алгоритмически довольно сложна - проблема доказуемости в S4 PSPACE-полна: известен разрешающий ее алгоритм с полиномиальными от длины проверяемой формулы затратами памяти, а можно ли ее разрешать (хотя бы недетерми-
* Работа выполнена при поддержке Фонда Минобразования РФ, грант № Е00-1.0-175, и РГНФ, грант № 01-03-00403.
1 Напомним, что проблема разрешимости состоит в том, что требуется узнать, разрешима ли логика, т.е. существует ли соответствующий алгоритм, а проблема же разрешения - в указании самого алгоритма. Почти всегда эти проблемы решаются одновременно, хотя имеются случаи, когда первая проблема решена, а вторая «почти безнадежна». Следует иметь в виду, что помимо этих проблем имеются еще сложностные их разновидности: проблема оптимизации разрешающего алгоритма - требуется найти разрешающий алгоритм (или изучить возможность его построения) с минимальными затратами времени, памяти и т.п.
нированным!) алгоритмом с полиномиальными затратами времени, неизвестно. Последний вопрос тесно связан с одной из краеугольных проблем теории сложности алгоритмов и вычислений -«Верно ли, что Р8РЛСЕ = ОТ?»; по этой проблематике мы отсылаем читателя к весьма популярно написанной монографии [5], соотношения же сложностных проблем с алгоритмическими проблемами (не)доказуемости (точнее, (не)принадлежности) в модальных и суперинтуиционистских логиках подробно обсуждаются в [4] и [11]. Так вот, если ограничиться константными формулами, то положение меняется коренным образом: всякая константная формула с помощью имеющихся в логике 84 эквива-лентностей, соответствующих классическим таблицам истинности, например,
(Р л а) -о- Р, (Р V а) -о- а, (Р ^ Р) -о- а, -Р -о- а и т.п., а также «стирающих» эквивалентностей
□Р — р и □а — а довольно быстро (за не более чем квадратичное время от длины исходной формулы) приводится к формуле а (и тогда исходная формула принадлежит 84) или к формуле Р (тогда она не принадлежит 84). Ясно, что сказанное останется справедливым и для любого (даже неразрешимого!) расширения 84, точнее, для расширений минимальной модальной логики, в которой указанные эквивалентности действуют, каковой в нормальных логиках является Б = К + (а. Для иных логик, конечно, вопрос о константных формулах может оказаться и не столь простым. Ниже мы увидим примеры возможных ситуаций.
Во-вторых, ограничение числа переменных в рассматриваемых формулах, с одной стороны, содержательно естественно, а с другой - приводит во многих случаях к существенному снижению сложности вычислений при реализации уже имеющихся разрешающих алгоритмов. Это видно и на упомянутом примере 84.
Однако это, быть может, не самый интересный пример. Скажем, классическая логика высказываний вряд ли в настоящее время может считаться реально разрешимой - проблема принадлежности к ней еоКР-полна (или, что то же самое, проблема непринадлежности к ней NP-полна). Заметим, что «главный вклад» в экспоненту дает число переменных, а не просто длина тестируемой формулы: если ограничить количество используемых переменных фиксированным числом т, то получившийся фрагмент уже оказывается полиномиально (не более чем квадратично) по времени разрешимым (детерминированным алгоритмом); ведь при построении таблицы истинности для формулы от т переменных достаточно провести вычисления в 2т строках, а в каждой из
них время работы полиномиально. Хотя число 2m может быть и «страшно большим», но оно фиксировано! Другим примером является интуиционистская логика Int и ее фрагмент из формул от одной лишь переменной: проблема доказуемости в Int является PSPACE-полной [9], но для формул от одной переменной имеется простой (не более чем квадратичный по временным затратам) алгоритм, основанный на «лестнице» И.Нишимуры [8]. Последний факт плюс упомянутое наблюдение про классическую логику привели одного из авторов в свое время (лет пятнадцать-двадцать назад) к гипотезе, что всякий фрагмент Int с фиксированным конечным числом переменных полиномиально разрешим детерминированным алгоритмом, причем степень полинома может зависеть от числа переменных. Аналогичной была гипотеза и про S4, да и многие другие модальные логики. Как же далеко все это от истины!
Не так давно мы обнаружили статью [6]2, в которой доказывается для модальных логик K, T, S4, что их фрагменты из формул от одной (!) переменной обладают PSPACE-полной проблемой разрешения. Хотя в реализации идей для S4 в [6] имеется неточность, сами идеи верны и многообещающи. Именно эти идеи мы развиваем здесь для нескольких пар (логика, число переменных), не рассмотренных в [6], и исправляем упомянутую неточность.
Прежде всего, рассмотрим нормальные модальные логики, содержащиеся в K4, наиболее важными из которых являются наибольшая и наименьшая - K4 и K. В [7] для нескольких логик, среди которых K, S4, описаны разрешающие алгоритмы, работающие с полиномиальными затратами памяти. Небольшая модификация алгоритма для S4 дает соответствующий алгоритм для K4 (логика K4 в [7] не упоминается). Поэтому для наших целей будет достаточно обосновать только PSPACE-трудность проблем разрешения интересующих нас фрагментов. В [7] PSPACE-трудность обосновывается с помощью формул, во множестве которых используется бесконечно много переменных (автор и не ставил цели ограничивать это количество). Мы обратимся к возможности использования константных формул для обоснования PSPACE-трудности проблем разрешения.
Сначала докажем PSPACE-трудность проблемы выполнимости формул для логики K4. Напомним (см. [5], [10]), что проблема называется PSPACE-полной, если она
2 «О, сколько нам открытий чудных...» может дать необозримое море литературы, столь недоступное в нашей стране. В данном случае нам помогла интернетовская домашняя страница автора.
• принадлежит классу Р8РЛСЕ, т.е. может быть решена с затратами памяти, зависящими полиномиально от длины входа;
• является Р8РЛ8Е-трудной, т.е. любая проблема класса Р8РЛСЕ сводится к ней с помощью алгоритма, время работы которого зависит полиномиально от длины аргумента.
Будем считать, что модальные формулы строятся в языке, содержащем пропозициональные переменные pьp2,p3, ■ •• , константу булевы связки л, V, ^ и оператор необходимости □. При записи модальных формул будем также использовать связку — и модальный оператор возможности (, понимая их как обычные сокращения.
Для дальнейших рассуждений будет использоваться семантика Крипке. Основные определения, связанные с этой семантикой, стандартны, см., например, [3], [4].
Известно, что множество всех модальных формул, истинных во всех шкалах Крипке, образует логику К; логика К4 может быть определена как множество модальных формул, истинных во всех шкалах Крипке с транзитивными отношениями достижимости.
Итак, обратимся к проблеме доказуемости в модальной логике К4, т.е. проблеме выяснения по произвольной модальной формуле р, верно ли, что р е К4. Ясно, что р £ К4 тогда и только тогда, когда формула — р истинна в некоторой К4-модели Крипке, т.е. — р является К4-выполнимой, поэтому проблема доказуемости в К4 может быть заменена проблемой К4-выполнимости. Более точно, если мы докажем, что проблема К4-выполнимости Р8РЛСЕ-трудна, то это даст и Р8РЛСЕ-трудность проблемы доказуемости в К4. Здесь важно то, что класс Р8РЛСЕ замкнут относительно дополнения, см. [5]; скажем, в случае класса КР не доказано и не опровергнуто, что он замкнут относительно дополнения (это равносильно утверждению КР = соКР), и потому, скажем, связь сложностных аспектов доказуемости в классической логике высказываний и выполнимости формул этой логики (т.е. булевых формул) не столь ясна.
Для обоснования Р8РЛСЕ-трудности проблемы К4-выполни-мости нам достаточно свести к этой проблеме какую-нибудь Р8РЛСЕ-полную проблему. В качестве последней мы возьмем проблему выполнимости булевых формул с кванторами (БФК-выполнимость), при этом можно ограничиться формулами вида Р= QlPl■■■QnPn р', где Q1, ... , Qn е (V, 3}, а р' - бескванторная булева формула от переменныхp 1, ... ,pn, см. [5], [10].
Представим требуемое эффективное преобразование формул БФК в модальные формулы, являющееся незначительной модификацией преобразования Р. Ладнера [7].
Нам понадобятся вспомогательные пропозициональные переменные pn+1, ... ,р2и+2, которые для удобства их восприятия будем обозначать как ... , Ч«+ь С их помощью мы будем последовательно «объяснять», что значит Q\p\, Q2p2, Q2pз и т.д. в зависимости от того, каков очередной кванторный символ Qi - V или 3. Если Qi = V, то мы должны средствами модальных формул сказать, что переменной pi следует придавать оба варианта значения истинности и при каждом проводить дальнейшие вычисления значения формулы, а если Qi = 3, то придать одно значение из двух возможных вариантов. Каждое такое «объяснение» будем называть «раскрытием» квантора.
Следующая формула будет означать, что если мы «раскрыли» i кванторов, то «раскрыли» и (' - 1) кванторов:
п+1
А = ю (Чг ^ дм).
г'=1
Если при «раскрытии» '-го квантора мы придали некоторое истинностное значение переменной pi, то оно должно сохраниться при раскрытии последующих кванторов. Это условие описывает формула
0 " [Чг ^ Фг ^ □(Чг ^ Pi)) А (—Pг ^ □ (Чг Л —Ч„+1 ^
В = ю чч
г=1 Pi))].
При выписывании формулы В можно было бы обойтись и без переменной д„+1, но, тем не менее, ее использование не случайно, и сыграет свою роль в дальнейшем.
В соответствии с определением истинности формул, начинающихся с квантора всеобщности, опишем, как нужно «раскрывать» каждый г-ый квантор всеобщности. Нужно рассмотреть два случая - когда переменная pi принимает значение «истина» и когда pi принимает значение «ложь», что описывается конъюнкцией формул
С = ю [Чг Л —Чг+1 ^ ((Чг+1 Л — Ч'+2 ЛPг+l)];
{г' : Ql+l=V}
В = ю [Чг Л —Чг+1 ^ ((Чг+1 Л —Чг+2 Л —^'+1)].
{г' : Qг+l=V}
Квантор существования «раскрывается» проще: переменная pi должна принять какое-нибудь значение, а поскольку формула pi V —pi является тождественно истинной, то формула, описываю-
щая «раскрытие» кванторов существования, входящих в р, выглядит следующим образом:
E = Ю л —qm ^ ((qг+l л — qг+2)].
(/ : е.+1=Э}
Теперь мы готовы к тому, чтобы записать модальную формулу р*, которая описывает тот факт, что булева формула с кванторами р истинна. Положим
р* = q 0 л — q 1 л оА л оВ л оС л ^ л □Е л о^п л —qn+l ^ р').
Заметим, что формула р* выписывается по р за время, ограниченное полиномом от длины р. В самом деле, не считая фиксированных частей р* (типа начала q0 л — q1), на выписывание формул А, В, С, D, Е ввиду их вполне регулярного вида уйдет времени с ■ п для некоторой константы с, а кроме того, нужно переписать р', затратив для этого уж не более с ' ■ | р'|2 тактов времени (посимвольное переписывание), где с ' - константа, а | р' | - длина формулы р . Кроме того, несложно показать, что
р истинна ^ р* является К4-выполнимой. (*)
Для обоснования заметим, что истинность р показывает нам, как построить нужную К4-модель. А именно в качестве К4-шкалы берем транзитивное рефлексивное (для определенности) дерево высоты п + 1, ветвление которого определяется так: из мира уровня / - 1 (уровень считаем от корня, при этом сам корень находится на уровне 0) достижимы ровно два мира уровня /, если Qi = V, и достижим ровно один мир уровня /, если Qi = 3. Оценка переменных такова: qi истинна в точности в тех мирах, уровень которых больше или равен /; если а и Ь - два мира уровня /, имеющие ровно одного общего предка уровня / - 1, то для одного из них полагаем, что в нем и во всех достижимых из него мирах истинна переменная pi, а в другом и во всех достижимых из него мирах переменная pi ложна; если а и Ь - два мира уровня / - 1 и / соответственно, такие, что Ь - единственный мир уровня /, достижимый из а, то полагаем, что переменная pi оценивается в а в точности так, как произошел выбор оценки pi при обосновании истинности р в ходе «разбора» кванторной приставки на /-ом шаге, т.е. если для набора истинностных значений в мире а переменных р1, ... ,р/-1 была выбрана «истина», то мы полагаем, чтор/ истинна в Ь и во всех мирах, достижимых из Ь, а если значением р/ была выбрана «ложь», то полагаем, что р/ ложна в Ь и во всех мирах, достижимых из Ь; во всех остальных случаях каждой переменной в каждом мире приписывается оценка «ложь». Ясно, что при таким образом определяемой оценке в мирах уровня п и выше
сформировались в точности те наборы истинностных значений переменных p1, ... ,pn, которые были образованы при обосновании истинности р, а потому во всех мирах уровня п (т.е. в «самых верхних» мирах) окажется истинной формула р'. Поскольку во всех других мирах модели ложна переменная Чп, мы установили истинность формулы □Ч л —Чп+1 ^ р) в корне. Проверка истинности в корне всех остальных конъюнктивных членов р* не составляет труда: по сути, данное выше словесное описание определения оценки есть прочтение этих конъюнктивных членов. Таким образом, р* истинна в построенной К4-модели.
В обосновании будем кратки, учитывая опыт обоснования (^). Если р* истинна в некотором мире а некоторой К4-модели, то конъюнктивные члены р* позволяют «шаг за шагом» выделить подмодель, являющуюся деревом, сходным с тем, которое строилось в обосновании разве что некоторые миры могут оказаться иррефлексивными, в мирах уровня п которого истинна формула р', а наборы значений переменных p1, ... ,pn в мирах уровня п составляют достаточно представительную выборку для обоснования истинности р.
Тем самым доказана
Лемма 1. Проблема БФК-выполнимости полиномиально сводится к проблеме К4-выполнимости и к проблеме доказуемости в К4.
С учетом наличия алгоритма, разрешающего К4 с полиномиальными затратами памяти, получаем
Следствие 2. (') Проблема доказуемости формул в К4 является Р$>РАСЕ-полной. (и) Проблема К4-выполнимости формул является Р$>РкСЕ-полной.
Отметим, что только что приведенные факты и их обоснование не новы. Цель состояла в их предоставлении для дальнейшей модификации в наших целях. При этом нам будет важно, что дерево, в котором выполнима формула р* (при условии, что булева формула с кванторами р истинна, разумеется), состоит именно из рефлексивных миров: этот факт окажется полезным при обосновании леммы 3, а также леммы 9.
Положим для всякого т е {1, ... , 2п + 2}
ат = □((""□р а —(т+^р ^ □((а ^ (□Р)).
Заметим, что формулы а1, ... , а2п+2 выписываются по р* с полиномиальными затратами времени, поскольку для некоторой константы с
| ат | ™ с • т ™ с • (2п + 2) ™ с • | р* |.
Обозначим через ра* формулу, получающуюся из формулы р подстановкой формул а1, ... , а2п+2 вместо переменных р 1, ... , р2п+2 соответственно. Формула ра* выписывается с полиномиальными затратами времени от длины р*, так как
| ра* | ™ тах(1 а1 |, ... , | а2п+2 |} ■ | р | ™ с ■ | р |2.
Итак, получившаяся формула ра* является константной и выписывается по формуле р* с полиномиальными затратами времени от длины р*.
Лемма 3. Формула ра* К4-выполнима тогда и только тогда, когда формула р К4-выполнима.
Доказательство. Пусть формула р не является К4-выполни-мой. Тогда —р е К4. Но формула —ра* является подстановочным примером формулы — р*, поэтому — ра* е К4, а следовательно, формула ра* не является К4-выполнимой.
Пусть теперь р является К4-выполнимой. По доказанному ранее (см. обоснование утверждения (*)) это означает, что булева формула с кванторами р, по которой и была построена р, является тождественно истинной. В этом случае, как было показано выше, формула р выполнима в корне Wo некоторого рефлексивно-транзитивного дерева М = {Ж, Я, V) высоты п + 1. Заметим, что оценка V в этом дереве наследственна: для всякой переменной р и для всяких миров м' и м" таких, что м 1 Ям" и (М, w') [р, имеет место отношение (М, м>") [_р.
Мы расширим модель М = {Ж, Я, V) до некоторой модели М = {Ж, Я', V) таким образом, чтобы выполнялось отношение (М М0) [ ра*.
Прежде обратим внимание на тот факт, что для того, чтобы формула ат опровергалась в некотором мире (рефлексивно-транзитивной) модели, достаточно, чтобы из этого мира была достижима шкала, изображенная на рис. 1 справа (черными кружками изображены ирреф-лексивные миры, светлыми - рефлексивные миры; отношению достижимости соответствуют стрелки, при этом те стрелки, которые восстанавливаются по транзитив-зитивности, не изображены). Обозначим эту шкалу через Ет (нижний мир на рисунке не принадлежит шкале Ет).
Несложно понять, что если формула ат истинна в некотором мире некоторой транзитивной модели, то она истинна и во всех
Рис. 1
мирах, достижимых из данного (для этого достаточно заметить, что главной связкой формулы ат является модальность □). С другой стороны, если к Ф т, то в шкале ¥т формула ак не опровергается. Используя эти наблюдения, легко построить требуемую модель М. Построение этой модели будет состоять из (2п + 3) шагов.
На шаге 0 положим Ж0 = Ж, Я0 = Я.
На шаге т, где 1 ™ т ™ 2п + 2, рассмотрим множество Хт миров модели М, в которых ложна переменная pm. Для каждого мира V е Хт расширим множество Жт-1 и отношение Ят-1 таким образом, чтобы из V оказалась достижима копия шкалы Ет. Получившееся множество миров обозначим через Жт, а транзитивное замыкание получившегося отношения достижимости - через Ят.
Положим Ж = Ж2п+2, Я' = Я2п+2, а оценку V - произвольной. Для всякой формулы у, все переменные которой находятся среди p 1, ... ,p2n+2, обозначим через уа формулу, получающуюся из у подстановкой формул а1, ... , а2п+2 вместоp 1, ... ,p2n+2 соответственно. Тогда для всякой подформулы у булевой формулы (без кванторов) р' и всякого мира V е Ж уровня п справедлива следующая эквивалентность:
(М V) V уа (М, V) |_ у. Это утверждение обосновывается индукцией по построению формулы у.
Самый трудный случай состоит в обосновании базиса индукции. Пусть у=pm. Тогда уа = ат, и нужно показать, что для всякого мира V е Ж уровня п
(М, V) |_ ат ^ (М, V) |_ Pm.
Пусть V - мир уровня п такой, что (М, V) © pm. Тогда на шаге т построения модели М мы расширили модель М, положив достижимой из V копию шкалы Ет. Но в этом случае (М, V) © ат.
Пусть теперь (М, V) © ат, где V - мир уровня п модели М. Несложно понять, что в этом случае из мира V достижима копия шкалы Ет. По определению модели М это возможно только в том случае, когда (М, V) © pm.
Обоснование индукционного шага (когда у является конъюнкцией, дизъюнкцией или импликаций формул) не должно вызывать затруднений, и мы оставляем его читателю.
В результате получаем, что если V - мир уровня п модели М, то (М V) \_ ра. Теперь заметим, что формула а2п+1 л — а2п+2 истинна в точности в таких мирах модели М, которые были мирами уровня п в модели М. Действительно, p2n+1 = Чп, p2п+2 = Чп+1, а мирами модели М, в которых истинна формула
qn л —qn+1, являются ровно миры уровня п. Следовательно, это в точности те миры модели М1, из которых достижима копия шкалы Р2п+2, но не достижима копия шкалы ^2п+1, поэтому во всех других мирах модели М формула а2п+1 л — а2п+2 истинной не является. Тем самым мы обосновали, что (М, м0) [ о(а2п+1 л —а2п+2 ^ ра').
Осталось заметить, что
(М, м0) [ а„+1 л —а„+2 л оАал оВал оСал ^ал оЕа (проверку этого факта мы оставляем читателю), и заключить, что
(М, М0) [ ра*.
Из леммы 3 и Р8РЛСЕ-полноты проблемы выполнимости формул для логики К4 вытекает
Теорема 4. (/) Проблема выполнимости константных формул в К4 является Р$>РЛСЕ-полной. (//) Проблема доказуемости константных формул в К4 является Р$>РЛСЕ-полной.
Теперь покажем, как изменить формулу р* и формулы а1, ... , а2л+2, чтобы можно было доказать аналог теоремы 4 для некоторых других логик.
Пусть модальная логика Ь такова, что К с Ь с К4. В этом случае отношения достижимости в моделях логики Ь, вообще говоря, не являются транзитивными, поэтому формула р будет иметь не тот смысл, который она имела в случае логики К4; в частности, аналог утверждения (*) для логики Ь верным не будет. Мы заменим в формуле р* модальность о на такую, которой соответствует транзитивное замыкание отношения достижимости, соответствующего модальности □; этот прием был использован Ладнером в [7].
Выше мы, по сути, показали, что если формула р* выполнима в некоторой транзитивной модели, то она выполнима и в модели высоты не более чем п + 1 (см. обоснование утверждения (*)). Пусть для всякой формулы у
1 ™1
□ у = о у; □ у = о у;
к+1 к ™к+1 ™к к+1 □ у = □ у л о у; □ у = □ у л □ у.
Если высота шкалы ^ = {Ж, Я) не превосходит к + 1, то отно-
™к
шение достижимости, соответствующее модальности □ , является транзитивным замыканием отношения Я. Таким образом, достаточно заменить в формуле р* каждое вхождение
™п
модальности □ на вхождение модальности □ , и получившаяся формула будет Ь-выполнимой в том случае, когда формула р* К4-выполнима.
Для всякой формулы у через Кк(у) обозначим формулу, получающуюся из у заменой в ней каждого вхождения подформулы вида о^на подформулу □ к8. Тогда ясно, что
р выполнима р* К4-выполнима
^ Кп(р*) Ь-выполнима. В частности, справедливо следующее утверждение. Лемма 5. Проблема истинности булевых формул с кванторами полиномиально сводится к проблеме Ь-выполнимости и к проблеме доказуемости в Ь.
Доказательство. Достаточно заметить, что для некоторой константы с имеет место отношение | Кп(р*) | ™ с • | р* |2, т.е. длина формулы ^гп(р*) зависит полиномиально (квадратично) от длины формулы р*.
Из леммы 5 следует Теорема 6. (') Проблема выполнимости формул в Ь является Р$>РАСЕ-трудной. (»') Проблема доказуемости формул в Ь является Р$>РАСЕ-трудной.
Теперь обратимся к константным формулам. Как и в случае К4, положим для всякого т е {1, ... , 2п + 2}
ат = □(('□Р А —(т+^р ^ □((а ^ (□Р)).
Обозначим через (р*)а формулу, получающуюся из формулы 1гп(р*) подстановкой вместо каждой переменнойpi формулы аг. Заметим, что формулы а1, ... , а2п+2 вычислимы по ^гп(р*)а за время, ограниченное полиномом от длины ¿гп(р*)а. Кроме того, длина формулы ¿гп(р*)а ограничена сверху полиномом от длины формулы р*: действительно, выше мы показали, что для некоторой константы с
| ат | ™ с • | р* |, с другой стороны, для некоторого й
| 1Тп(р*) | ™ й • | р |2,
откуда получаем, что
| (р*)а| ™ тах{| а1 |, ... , | а2п+2 |} • | М0*) | ™ с • й • | р* |3. Лемма 7. Формула р* К4-выполнима тогда и только тогда, когда формула (р*)а Ь-выполнима.
Доказательство. Как было отмечено выше,
р* К4-выполнима ^ ^гп(р*) Ь-выполнима.
Пусть р* не является К4-выполнимой. Тогда №п (р*) не является Ь-выполнимой. В этом случае — ¿гп(р*) е Ь, а следовательно, —№п(р*)а е Ь. Но тогда ^п(р*)а не является Ь-выполнимой.
Пусть теперь р* К4-выполнима. Тогда, как было показано выше, ра* тоже К4-выполнима. Ясно, что в этом случае формула
(р*)а будет К4-выполнимой. Осталось заметить, что, поскольку Ь с К4, то всякая К4-выполнимая формула является Ь-выполни-мой, следовательно, Кп(р*)а Ь-выполнима.
Из леммы 7 и Р8РЛСЕ-трудности проблемы выполнимости формул для логики Ь вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 8. Пусть логика Ь такова, что К с Ь с К4. Тогда
(/) проблема выполнимости константных формул для
логики Ь является Р$>РЛСЕ-трудной; (//) проблема доказуемости константных формул для логики Ь является Р$>РЛСЕ-трудной, и следовательно, проблемы выполнимости и доказуемости константных формул в К4 являются Р$>РЛСЕ-полными.
Обратимся к логике 84, которая семантически определяется классом всех рефлексивно-транзитивных шкал Крипке. Заметим, что при обосновании эквивалентности (*) мы на самом деле заодно обосновали следующую эквивалентность:
р истинна ^ р является 84-выполнимой, и значит, справедлива
Лемма 9. Проблема истинности булевых формул с кванторами полиномиально сводится к проблеме 84-выполнимости и к проблеме доказуемости в 84.
Аналогично следствию 2 получаем Следствие 10 [7]. (/) Проблема доказуемости формул в 84 является Р$>РЛСЕ-полной. (//) Проблема 84-выполнимости формул является Р$>РЛСЕ-полной.
Как было замечено в начале данной статьи, проблема 84-вы-полнимости константных формул решается сравнительно просто -с полиномиальными затратами времени от длины исходной формулы, - а поэтому вряд ли является Р8РЛСЕ-трудной. Ниже мы приведем доказательство Р8РЛСЕ-трудности проблемы выполнимости для однопеременного фрагмента 84 (т.е. фрагмента, состоящего из формул от одной пропозициональной переменной, доказуемых в 84).
Пусть для всякого т е 3
¿1 = (ор;
8т+1 = ((Р л ((—р л 8т)).
Положим для всякого т е (1, ... , 2п + 2}
ат = о(р ^ о( р л 8т л —8т+1 ^ о(р)).
> 2т-1
Как и раньше, через ра* обозначим формулу, получающуюся из формулы р подстановкой вместо каждой переменной р, формулы а,. Нетрудно видеть, что для некоторой константы с
| ат | ™ с • | р |,
откуда следует, что
| ра* | ™ тах(\ а1 |, ... , | а2)И+2 |} • | р | ™ с • | р |2,
т.е. длина формулы сра* ограничена сверху полиномом от длины формулы р.
Таким образом, формула ра* вычислима по р с полиномиальными затратами времени.
Чтобы формула ат опровергалась в некотором мире 84-модели, достаточно, чтобы из этого мира была достижима модель, изображенная на рис. 2 справа. Светлыми кружками изображены рефлексивные миры; отношению достижимости соответствуют стрелки, при этом те стрелки, которые восстанавливаются по транзитивности, не изображены; в обведенных скобкой (2т - 1) мирах оценка определена следующим образом: в нижнем мире р истинна, а при переходе к каждому сле дующему миру меняет свое значение с истины на ложь, и наоборот (в результате в верхнем мире перемен-наяр принимает значение «истина»).
Ясно, что если формула ат опровергается в некотором мире некоторой рефлексивно-транзитивной модели, то она опровергается и во всех мирах, из которых достижим данный. Кроме того, если к Ф т, то в изображенной на рисунке модели формула ак не опровергается. Используя эти наблюдения и идею доказательства леммы 3, несложно доказать, что справедлива Лемма 11. Имеет место следующая эквивалентность: р 84-выполнима ^ ра* 84-выполнима.
Из леммы 11 вытекает Теорема 12 [6]. (/) Проблема выполнимости однопеременных формул в 84 является Р$>РЛСЕ-трудной. (и) Проблема доказуемости однопеременных формул в 84 является Р$>РЛСЕ-трудной.
Заметим, что предъявленное доказательство Р8РЛСЕ-трудно-сти для однопеременного фрагмента логики 84 абсолютно без каких-либо изменений проходит и для логики Гжегорчика
Рис. 2
Сгг = 84 + □(□^ ^ □p) ^ p) ^ p, которая семантически характеризуется конечными шкалами, в которых отношение достижимости является частичным порядком. Кроме того, алгоритм [7] для разрешения 84 на полиномиальной зоне легко модифицируется в соответствующий алгоритм для Сгг - достаточно исключить детали, относящиеся к рассмотрению нетривиальных сгустков (т.е. «заставить» алгоритм перебирать не все квазиупорядоченные конечные шкалы, а только частично упорядоченные). Тем самым справедливо следующее утверждение.
Теорема 13. (') Проблема выполнимости для однопеременного фрагмента Сгг является Р$>РЛСЕ-полной. (»') Проблема доказуемости для однопеременного фрагмента Сгг является Р8РЛСЕ-полной.
Обратимся к логике, во многом близкой к Сгг - логике Гёделя-Лёба СЬ = К4 + □(^ ^ p) ^ □p, характеризуемой конечными шкалами с отношением достижимости, являющимся строгим частичным порядком. Сходство семантик Сгг и СЬ подсказывает замеченный многими в конце 70-х естественный перевод, погружающий Сгг в СЬ: достаточно в формуле каждую подформулу вида □в заменить на □+в = в л □р. Однако этот перевод не может нас удовлетворить в связи с рассматриваемыми задачами, поскольку при его применении длина формулы растет экспоненциально; скажем, если длины формул □mp растут линейно по т, то длины формул (□+)mp - уже экспоненциально; см. для наглядности, например, перевод формулы □3p =
/ +\3 + + + + + + +
(□ ) p = □□□ p = □□ p Л □□□ p =
= А □□^ А □(□^ А □□^ =
= p Л ^ А □(p А □p) А □ ф А □p А □ ф А □p)).
Поэтому при рассмотрении сложностных вопросов для СЬ, в наибольшей степени - нижних границ сложности, которые все же аналогичны по решению вопросам о Сгг, приходится «погружать» не сами конструкции для Сгг во всех деталях, а идеи этих конструкций3. Несложно заметить, что формулы от одной переменной, использованные нами для кодирования переменных при доказа-
3 Справедливости ради стоит сказать, что указанный перевод, хотя и удлиняет существенно формулы, может быть использован и практически напрямую, поскольку удвоение длины формулы при расшифровке □+ происходит весьма регулярно: по сути, формула, находящаяся под □+, переписывается еще раз, а это при детализации алгоритма легко учесть так, чтобы реального переписывания не происходило. Именно это имеется в виду, например, в конце доказательства леммы 18.26 [4] о принадлежности классу РБРЛСЕ проблем доказуемости в СЬ, Сп, 1п1, в котором утверждение обосновано лишь для СЬ, а для двух других дается ссылка на погружающие переводы.
тельстве части предыдущих двух теорем, относящейся к Р8РЛСЕ-трудности рассматриваемой проблемы, легко модифицируются так, чтобы они работали для тех же целей и в рамках СЬ: нужно лишь в нескольких местах этих формул, не «опасных» с точки зрения увеличения длины формулы, заменить □ на □+. Именно, достаточно положить для всякого т е 3
¿1 = (□+р;
8т+1 = ((р Л ((-р Л 8т))
и для всякого т е {1, ... , 2п + 2}
ат = □(р ^ □(-р Л 8т Л -8т+1 ^ □Ор)),
где (+в = в V (р. Заметим, что при таком использовании модальности □+ не происходит экспоненциального роста длины формулы ра*, так как нет неограниченного числа итераций модальности □+; более того, в данном случае вообще нет итераций □+, и длина формулы ра* возрастает по сравнению с длиной р не более чем линейно.
Далее, алгоритм, разрешающий СЬ, а тем самым и ее однопе-ременный фрагмент на полиномиальной зоне имеется, см. [4]. В результате доказано следующее утверждение. Теорема 14. (/) Проблема выполнимости для однопеременного фрагмента СЬ является Р$>РЛСЕ-полной. (и) Проблема доказуемости для однопеременного фрагмента СЬ является Р8РЛСЕ-полной.
На этом этапе нельзя считать рассматриваемую задачу полностью решенной для СЬ, поскольку эта логика имеет существенно более богатый фрагмент из константных формул, нежели логики 84 и Сгг: существует бесконечно много попарно не эквивалентных в СЬ константных формул, например, таковы все формулы последовательности □'"р. Однако этот фрагмент остается достаточно простым; опишем алгоритм его разрешения. Основан он на двух простых давно известных наблюдениях: во-первых, константный фрагмент СЬ полон относительно линейных конечных СЬ-шкал, т.е. шкал вида ({0, ... , п}, Я), где кЯт означает к > т, во-вторых, если формула р опровергается на некоторой шкале логики СЬ, то она опровергается и на ее подшкале высоты не более длины р.
Итак, что же мы будем делать для выяснения принадлежности логике СЬ константной формулы р? Для удобства восприятия оформим наш алгоритм в виде заполнения таблицы следующего вида:
р р р рп-1 рп
0 Г (
1 / /
2 / /
к - 2 / /
к - 1 / /
Здесь р1 , ., рп - все подформулы формулы р, выписанные так, что для всякой подформулы ее подформулы имеют меньшие номера (тем самым рп = р, а р1 = Р), к - длина р, т.е., по сути, число вхождений в р ее подформул (тем самым п ™ к), а {0, ... , к - 1} - множество миров шкалы указанного выше вида. Заполняется таблица по столбцам сверху вниз: на строке ' и столбце р) ставим I, если формула Pj истинна в мире и ставим /, если ложна. Мы позволили себе заполнить второй столбец в предположении, что р = □р. Нетрудно подсчитать, сколько времени займет процедура составления и заполнения таблицы. Оставим эти подсчеты читателю, отметив, что это время полиномиально (полином не более четвертой степени) зависит от длины р.
Когда таблица заполнена, нам достаточно просмотреть последний столбец: если в нем окажется хотя бы в одном месте /, имеем р £ СЬ, в противном случае -ре СЬ. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 15. Константный фрагмента СЬ разрешим с помощью алгоритма, время работы которого полиномиально зависит от длины проверяемой формулы.
На этом материал статьи, который мы собирались представить читателю в соответствии с ее названием, исчерпан. Однако трудно удержаться и не сделать несколько замечаний и о некоторых дальнейших результатах, непосредственно с константными формулами не связанных (впрочем, как заметил читатель, теоремы 12, 13 и 14 уже с константными формулами не связаны).
Алгоритм, представленный нами для доказательства теоремы 15, настолько прост, что напрашивается на модификации для иных ситуаций, т.е. желательно его видоизменить так, чтобы он (точнее, идеи, в нем заложенные) действовал и для других логик, с иными ограничениями на число переменных. Однако возможностей для этого не очень много. Скажем, первым шагом могло бы быть рассмотрение ближайшего к рассмотрению теоремы 15 примера, каковым является СЬЫп - логика всех конечных линейных СЬ-шкал: в нормальных расширениях СЬ логика СЬЫп является наибольшей среди имеющих тот же фрагмент из константных формул, что и СЬ, и тем самым самой простой по устройству из
этих логик. Однако попытка распространить наш алгоритм даже на однопеременный фрагмент GLLin вряд ли может увенчаться успехом.
Теорема 16. Проблема непринадлежности однопеременному фрагменту GLLin является NP-полной.
В самом деле, проблема непринадлежности логике GLLin даже без ограничения на число используемых переменных принадлежит классу NP (см., например, [4], [11]), поэтому нам достаточно свести к проблеме непринадлежности однопеременному фрагменту логики GLLin какую-нибудь NP-полную проблему. Здесь подходящей оказывается классическая проблема выполнимости булевых формул (т.е. истинности булевых формул с кванторами вида 3p1...3pn р, где (р- бескванторная формула).
Опишем соответствующую сводящую процедуру. Пусть р -некоторая булева формула от n переменных. Без ограничений общности можем считать, что р является формулой от переменных pi, ... ,pn. Заменяем в р каждую переменную на модальную формулу от одной переменной: переменная p, заменяется на (□i+1(ß л (а лp), а затем перед получившейся формулой ставим отрицание, так получаем формулу р'. Легко убедиться, что время построения (эффективного, разумеется) р по р полиномиально (не более чем квадратично) от длины исходной формулы, причем справедлива эквивалентность:
рвыполнима р' £ GLLin.
Тем не менее, алгоритм из доказательства теоремы 15 удается модифицировать для некоторых аналогов GLLin в расширениях S4 - логик S4.3 и Grz.3, первая из них семантически определяется конечными квазицепями (т.е. цепями сгустков), вторая - конечными линейными частично упорядоченными множествами, т.е. шкалами вида ({0, ... , n}, R), где kRm означает к П т. Теорема 17. Однопеременные фрагменты логик S4.3 и Grz.3 разрешимы с помощью алгоритмов, время работы которых полиномиально зависит от длины проверяемой формулы.
Аналогом теоремы 16 в случае логик S4.3 и Grz.3 является
Теорема 18. Проблемы непринадлежности логикам S4.3 и Grz.3 для формул от двух переменных являются NP-полными.
Наконец, обратимся к случаю интуиционистской логики. Аналогично теоремам 13 и 14 доказывается
Теорема 19. Проблема доказуемости в Int для формул от двух переменных является PSPACE-полной.
Завершим наше обсуждение предположением.
В последние два десятка лет постоянно растет интерес к так называемой базисной логике (basic logic), которую на пропозициональном уровне можно считать суперинтуиционистским фрагментом K4. Ввиду последнего верхние границы сложности разрешающих алгоритмов переносятся со случая K4 на случай базисной логики (в частности, константный фрагмент базисной логики разрешим полиномиально по времени), хотя нижние могут в принципе оказаться не столь высокими. То, что базисная логика имеет много общего и с K4, и с Int, может навести на мысль, что правдоподобной является следующая
Гипотеза. (i) Проблема непринадлежности однопеременному фрагменту базисной логики является NP-полной. (ii) Проблема доказуемости в базисной логике для формул от двух переменных является PSPACE-полной.
Более того, вполне возможно, что для подтверждения гипотезы (ii) удастся подходящим образом модифицировать доказательство теоремы 19, в котором участвуют чисто импликативные формулы, построенные в [2] для одновременного доказательства PSPACE-трудности проблем принадлежности Int и базисной логике. Было бы, кстати, интересно рассмотреть и вопрос о сложности чисто импликативного фрагмента базисной логики с ограничением на число переменных: такие фрагменты Int, как хорошо известно, табличны (каждый такой фрагмент имеет лишь конечное число попарно неэквивалентных формул; хотя это число экспоненциально зависит от числа переменных, оно фиксировано), а потому полиномиально по времени разрешимы, в то время как имплика-тивные формулы от одной переменной (и даже константно-импликативные формулы, не содержащие переменных вовсе) для базисной логики не столь тривиальны: формулы последовательности ß, (ß ^ ß) ^ ß, (ß ^ ß) ^ ((ß ^ ß) ^ ß), ... попарно неэквивалентны в базисной логике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чагров А.В. Логика, не являющаяся ни конечно-значной, ни бесконеч-но-значной // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XIV. М., 2000. С. 59-67.
2. Чагров А.В. О сложности пропозициональных логик // Сложностные проблемы математической логики. Калинин: КГУ, 1985. С. 80-90.
3. Семантика модальных и интенсиональных логик. Сб. статей. Пер. с англ., сост., общ. ред. и вступит. статья В.А.Смирнова. М.:Прогресс, 1981.
4. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997. 605 p.
5. Garey M.R. and Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness. San Francisco. 1979. (Русский перевод: Гэри М. и Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М., Мир. 1982.)
6. Halpern J.Y. The Effect of Bounding the Number of Primitive Propositions and the Depth of Nesting on the Complexity of Modal Logic // Artificial Intelligence. 1995. Vol. 75. No. 2. P. 361-372.
7. Ladner R.E. The computational complexity of provability in systems of modal logic // SIAM Journal on Computing. 1977. Vol. 6. P. 467-480.
8. Nishimura I. On formulas of the one variable in intuitionistic propositional calculus // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 25 (1960). No. 1. P. 327331.
9. Statman R. Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete // Theoret. Comput. Sci. Vol. 9 (1979). No. 1. P. 67-72.
10.Stockmeyer L. Classifying the Computational complexity of Problems // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 52 (1987), No. 1. P. 1-43. (Русский перевод: Л. Стокмейер. Классификация вычислительной сложности проблем // Кибернетический сборник. Вып. 26. М.: Мир, 1989. С. 20-83.)
11.Zakharyaschev M., Wolter F., and Chagrov A. Advanced Modal Logic // D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.). Handbook of Philosophical Logic. 2nd ed. Vol. 3. Kluver Academic Publishers, 2001. P. 83-266.
