CC BY
34
УДК 519.49
Е.В. Журавлев
Конечные локальные кольца порядка рР и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре
1. Введение. Одной из актуальных про-
блем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. В работах [1, 2] классифицированы с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядков р,р ■ В решении этой про-
блемы важная роль отводилась локальным кольцам, т. е. кольцам с условием Е/^Е) = Г, где р _ поле. Техника доказательства указанных работ существенным образом опирается на следующее утверждение:
Е
мое кольцо с единицей, |Е| = рп, и 7(Е) - радикал Джекобсона кольца Е, Е/1(Е) = Г. Рассмотрим последовательность
Е = ^Е)0 Э ,1{Е) э Э ....
Если в* = сИт^ ,11 /31+1, то г ^2 в* = п.
г=0
Следовательно, необходимо перебрать все возможные комбинации значений во, вх, в2, $з ...
п
ца, соответствующие каждому из определенных таким образом случаев.
Радикал Джекобсона конечного кольца
Е
Е ^
7(Е)= 0. Поэтому естественным образом возникает необходимость в описании локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2, 3 и 4.
В работе [3] Б. Горбас указал конструкцию конечного локального кольца с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2. В 1999 г.
Ч. Чикунджи описал строение колец с условием 7(Е)3 =0 [4]. Эти результаты сыграли важную
р
Цель данной работы - указать строение локаль-
р
кобсона индекса нильпотентности 4 и в дальнейшем применить полученные сведения для клас-
р
Все кольца, рассматриваемые в данной работе, являются ассоциативными и содержат единицу.
2. Предварительные сведения. В даль-
нейшем нам потребуются следующие хорошо из-
вестные результаты из теории конечных колец [1, 2, 4, 5].
Предложение 1. Пусть Е - конечное кольцо, в котором все делители нуля образуют идеал M. Тогда существует простое число p и натуральные числа n, r, такие, что
1. |Е| = pnr;
2. M = J(E) - радикал Джекобсона кольца Е и Mn = 0;
3. IM|= p(n-1)r;
I E/M = GF(pr);
5. char E = pk, где 1 < k < n.
Кроме того, пусть p, n, k являются числа-
ми с указанными выше свойствами. Тогда справедливы следующие утверждения: n k Е
луа GE(pkr ,pk). В частное mu, M = pE,
Aut(E) = Aut(E/pE) и E = ZpkЩ, где b -элемент E мультипликативного порядка pr -1;
char E pk E
E
GE(pkr,pk) = Zpk[b] и если E'0 - другое
E
то существует обратимый элемент x е E, такой, что E'0 = xEax-1. Пусть K0 =< b > U{0}. Тогда каждый эле-E
k-1
единственным образом в виде ^ pi\, где
i=0
\ е Koi
8. Если m е M и p* является аддитивным порядком элемента т, для некоторого положительного целого t < k, то Em = E/p*E0 и I E0m |= ptr;
9. Существуют элементы mi,..., mh е M и ai,...,ah е Aut(E0), такие, что E pacE
модулей
E = E0 ® E0mi ® . ..0 E0mh,
где mr = rg‘mi, для всех i = \,...,h и для любого элемента r0 е E0. Отсюда, в частности, следует, что
M pE 0 Eomi 0 . .. 0 Emh.
Далее, будем всегда предполагать, что Е является конечным ассоциативным кольцом, ЛЕ)4" = О, 1(Е)3 ^ 0 и Р = Е/1(Е) - конечное поле ОР(рг).
Предложение 2. Предположим, что
(1ш1_р 1(Е)/1(Е)2 = в! и сИт_р 1(Е)2/1(Е)3 = «2.
Тогда верны, следующие неравенства:
1. сИт_р(1{К)2) < «1 + «1«2!
2. <ИтР(1(Е)2/1(Е)3) < 4;
3. 1(Е)3) < «1«2.
3. Теорема о классификации конечных
р
случае Р = ОР(рг) = Е/.1(Е) - конечное поле
порядка рг. Пусть г € Е. Тогда в силу предло-
к
жепия 1, г = а + "^2 ат^, ао,а{ € Р. Так как
¿=1
= 0, Л(Е)3 ф 0, то мы можем переобозпа-чить базис {т,..., тк} радикала 1(Е) следующим образом
3 Щ)3
{Х\ ,... , Х31 ,у\,...,у32 , 2} ,...,23з },
'--------V----------'
3Щ)2
где х1,...,х31 € 1 \ Л2, ш, ...,Уз2 € 1 \ 13, х\,..., *5з € 13, «1 «2 «з = Ь. Далее, пе-
реобозначим соответствующие автоморфизмы:
{(Г± ,... , &к} {®1,..., ^ 5\ 1^\, . . . , @52 , Т1, . . . , Т5з }.
Так как хх- € 1(Е)2 и х^у-, УiХj € 1(Е)3, то
= Ё4 Ук + Ё ъ% гк,
к=1
к=1
где ак-Ъ € Р, г,3 = 1,«ь и
ЧУ-
= Е
53 53
ег- * к, yj Хг — ^ zk,
где ек-, ¿к- € Р, г = 1,«, 3 = 1,«2. Рассмотрим матрицы:
А а а 2 а. 2 а. аи ^ . а5?.
а5 5 а5 5 . .. а55 5
В = Ъ Ъ Ъ. Ъ. Ъ53 \ °и \ Ъ53 Ъ12
Ъ5 5 Ъ5 5 . Ъ53 > 55
С =
В =
е е е 2 е 2 е 5 \ еи 5 С2
е5 5 е5 5 . е53г52/
( ¿11 ¿12 ^ . ^2 . .. ¿51 \ . . а12
^¿^152 *5,5> . ¿5з 1 .. ¿5152/
Так как элементы х^х-
АЕ) {г,3 = ^ «)
порождают 1(К)2 /1(Е)3, то матрица А имеет «
симых строк). Следовательно, матрицы (а— (к = 1,«), образованные столбцами матрицы А
элементы ХгУк (соответстве нно у к х¿) порождают 1(Е)3, то матрицы С и В имеют ранг «3. Следовательно, матрицы (ек) (соответственно (¿к)), к = 1,«з, г = 1,«, 3 = 1,«2, образованные соот-
С
В
Е
ТИВНЫМ, ТО (хаХр)Х1 = ха{хрх^), для любых чисел а, в, 7 € {1,..., «1 }• Следовательно,
/82 53 \
(ХаХв)Ху = а0увУк + Е Ъкав*4 Х1 =
Чк=1
к=1
52 /5 >
= Еа Е
к=1 \т=1 У
52
Ха{ХвХ^) — Ха I а(3^Ук ^ у Ъ{3^*к I —
52
\к=1
52
к=1
~.к
- Е (ав1> к=1
То есть
ХаУк — / \а
к=1
ак*т
\т=1
5ъ /5 \ 5
к=1 / к=1
Отсюда
Е
у.к*т
Т,аЪ ¿% = Е(
ак ет
а13-у) еак
для любых чисел а, в, 7 € {1,...,«} и любого числа т € {1,..., «з}•
Далее, пусть Ъ - примитивный элемент поля РЕ
(х^-)Ъ = хн(хщЪ, г,з = 1,«.
5
О
а
к
5
Отсюда Аналогично, из равенств
ъ = £«д ъУк, + £ Ък ЪТк ъ= Ъ=Х{ У Х‘] Ъ =— Х'Ъ-
~ Ук\~ иЪ. '
кк
55 иОп\Ог™ ™ _ ЮгОп I .-.кт . , \ л гк
(г = 1,«, 3 = 1,«) следует, что
5
= (Ъ°п )Огхгщ = ^ ]Т акУкг+ ]Г Ък. ]Г екЪТк*к = №)ОгХгУ- = Ъ9*Ог^Т е%гк,
к к к к
Следовательно,
55
ЪТк *к = (ЪОг)9* Уд Хг = Ъ°гв^ Зкд гк.
Еад (Ъ9н - Ъага*)У кЛ к=1
к
53 53 53
• ]Г Ък (ЪТЪ - ЪОгО*) гк2= 0. Ее— ЪТк - Ъ9 аг) гк = 0, Е4( ЪТк - Ъ9 Ог) гк,
к2=1 к=1 к=1
Так как элементы Укг , *к2 линейно независимы, то
и так как гк линеино независимы, то
ад(Ъ9^ - Ъаг,7*) = о, Ъкд(ът^ - №***) = о, егдХЪ Ъ ’
___ _____ для всех к € {1,...,«}. Матрицы (е—) (сот-
для всех к = 1,«, к9 = 1,«ч. Матрицы, (а-1) г,зк \\ **
^ 1 > ^ > а ^ ^ ' д ' ветствеп но {ад)) являются линеино независимы-
линейно независимы, а значит, отличны от нуля. д
’ ’ ^ ми, поэтому для каждого к = 1,...,« суще-
г3
1) для каждого к € {1,...,«} существую т е. ф 0 (соответств енно ¿кд ф 0). Следовательно,
нжоторы е г,з € {1 ,...,«9}, такие, что ЪТк = Ъ9* °% и так как Ъ -примитивный элемент
ад ф 0 и, следовательно, Ъ9к = Ъ°г°^ в к = р; т0 Тк _ д. а.^
агад Таким образом, автоморфизмы {вх,...,в52,
2) если матрица В содержит ненулевой стол- Т1,...,г5з} выражаются через автоморфизмы
бец с номером к € {1,..., «з}, то существу- {а\,..., а51}.
ют некоторые г,з € {1,...,«}, такие, что Окончательно получаем, что умножение на
тк = агад. кольце Е удовлетворяет равенству
(51 52 53 \ / ^ 52 53 \
а0 + ^ акХк + Е вкУк + Е ^кгк) • ( а° + Е акХк + Е в'кУк + Е 7к гк ) =
к=1 к=1 к=1 / \ к=1 к=1 к=1 /
^ 52 / 5! \
а0а0 + (а0а'к + ак(ао)ак) Хк + I авк + вк(ао)9к + адаДа-)°М Ук +
к=1 к^1 у гд=\ I
5% ! 51 51 52
]Г ао1'к+ ~{к{а'0)Тк+Е ЪкдаДа^°г + ЕИ №—Ог + ¿кдвЛа№) | -к,
к=1 \ ъд=\ г=1 д=1
где а0, а;0, ак, а'к, вк, в'к, 1к, чк € Р. 3) и, V, Ж - соответственно «1, «2, «з-
По аналогии с работами [3, 4], рассмотрим мерные векторные пространства над полем
Р
Конструкция А 4) {^,...,а^ }, {^ ...,в^ }, {п...,т^ }-ав-
Р
1) ^ ор{ргу, ^ ^ к2 к2
2) некоторые натуральные числа «1, «2, «з (ад)5\, (Ъд)51 , (ед)51 , ,
к. (ЪТк - Ъ9* аг)=Ъ и Зк{ ЪТк - Ъ9* °г) = 0,
удовлетворяют условиям: «2 < «%, «з <
«1«2; - матрицы над полем Р к = 1,^ к2 =
1,«), удовлетворяющие следующим условиям:
a) множества |(а,.)| , {(4■)} , {(4-)} являются множествами линейно независимых матриц;
b) для любых чисел а, в, 7 € {1,...,« } и любого числа т € {1 ,...,«з} справедливо равенство
55
Еп к ¿т = (ак ет ■
аавк / и \ав^ еак?
к=1 к=1
c) если а— ^ 0, для некоторого 1 < к <
«2; ТО вк — ага—1
с!) если Ъ— ^ 0, для некоторого 1 < к <
«3; ТО Тк — агад1
е) если с^ ^ 0, для некоторого 1 < к <
^3; ТО Тк — аів^,
£) если ^0, для некоторого 1 < к <
^3? ТО Тк &і@^-
Матрицы {(а^)} , {(си)} , {} будем в дальнейшем называть совместными матрицами конструкции А.
Рассмотрим прямую сумму
Я=Е0и0V0Ш
и множества {щ}, {уі}, {ті}, являющиеся базисами соответственно и, V и Ш. Определим умножение па Я по правилу
ao,^2akuk^ßkvki^YkWk j • ( a°, ^2a'kuk,^2ß'kvki^l'kwkl =
V k=l k=l k=l / \ k = l k=l k=l /
Sl S ( S1 \
aoa'o, ^2(aQak + a^ a^ak) uk, ^ a0ßk + ßk( a^9k + ^ akj аД aj) vb
Sl Sl s2
E I aYk + lk{ a°)Т + E bk3 ai( aj ^ + ЕЕ (Ckj ai( ßj ^ + dkj ßj(a^) I Wk k=l \ i,j=l i=l j=l
где а0, а'0, ак, а'к, вк, вк, Yk, lk ^ F- Относительно введенного умножения, как показывает следующая теорема, R превращается в ассоциативное кольцо.
Теорема 1. Векторное пространство R конструкции А является конечным локальным кольцом характеристики р, радикал Джекобсо-на которого имеет индекс нильпотентности четыре. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.
R
ся абелевой группой. Легко проверяется дистрибутивность и ассоциативность. Также заметим, что элемент (1,0,0, 0) является единицей R. R
Далее, \R\ = \U\-\V\-\W| = pr-prsi •prs2 -prss =
p(l+si+s2 + sa)r = pnr; Где n = 1 + Si + S2 + S3 И char R = p.
R
локальным и имеет радикал Джекобсона индекса нильпотентности четыре. Очевидно, что U, V WR Пусть M = U 0 V 0 W. Из определения умножения на R следует, что M2 С V 0 W, M3 С W и MW = WM = 0. Следовательно, M4 = 0. Аналогично получаем, что RM = MR С M, т.е.
M является идеалом R.
Далее, M С J(R). Следовательно, каждый элемент множества
F* + M = {f(l + f—m)\f е F*, m е M}
является обратимым. Так как \M\ = pr(si+s2+s3) и \F* + M\ = (pr — 1 то F* + M =
R \ M. ^^^^отательно, R/M = GF(pr). Итак, ^ ^^^жным кольцом и JR)4 = 0,
JR
Обратное утверждение очевидно. Теорема доказана.
R
FR и только тогда, когда автоморфизмы
{<7l ,...,CSl , 9\,..., 6S2 , T\,...,TSs }
являются тождественными.
Доказательство. Пусть F С Z(R) иЬ явля-
F
(0,ui,vj,wk) ■ (Ь^^^ = ^,baiui,b9jvj,ЬТкwk) =
= (0, bui, bvj, bwk) = (b, 0,0,0) ^0, ui, vj, wk),
где i = l,si, j = l,s, k = l,s- Отсюда следует, что bai = b9j = bTk = Ь, т. e. автоморфизмы
{а1,...,&51, в\,..., в 52, п,...,Т53} являются тождественными.
Обратно, если автоморфизмы
{а1 ,..., а51 ,
П,...,в52
, Т\,..., т53 }
{аl, ...,а.
51 , в1,... , в52
, Т1 ... , Т53 }
тождественные;
Р— (рг^^ Х51, Е — (гг^52 Х52 , Т Х53г Нв-
которые матрицы ^ = (яг/)^2х^, Я = («д)53Х52 и автоморфизм р поля Р такие, что
Р
Е
умножения. Предложение доказано.
Е
Е
ным тогда и только тогда, когда 1) все автоморфизмы
рТ • А'к ,Р а ,...,о'В1)= 'ËrkiAi, к= ^«,
г
РТ • Вк,Рк,...,о^ + РТ • Ск,Я]К,..,ак) +
55
• [Вк , Р 9 ,...,9,2) = Е «кгАр + Е гкЪВр,
г
г
2) матрицы (а—), (Ъ—), г,3 = 1,«ь к = 1,«2, к2 = 1,« являются симметрическими;
3) матрицы (е—) и {3,—), г = 1,«, 3 = 1,«2 равны для каждого к = 1,«з .
Назовем целые числа г, «I, «2, «з инвари-Е
изоморфизме). Если А = (а—) - матрица над полем Р, а а - автоморфизм поля Р, то в даль-
АО
цу (а(агд)). Пусть А и В - матрицы над полем Р размерностей т х п и п х к соответственно, и а,..., ат € АиЦР), п,т, к € N. Обозначим через [А, В(а1,..,ат) матрицу С = (ед)тхк, где
ег. — аИ Ъ1 д ""ЬаЪ2Ъ2д . . '^~аъиЪпд1 г — 1, ^^, 3 — 1,к-
Если а = ... = ат = а, то [А,Щ(аи..,ат) = АВа. Пусть
Ак = (а—), Вк = (Ъ-, Ск = {е—, Вк = (4),
А= {(а- | к = } , В= {(Ъкд) | к = } ,
С= {(е- I к = } , В= {(¿к-) I к = } .
Обозначим через Е = Е(А,В,С,В,аг,в-, гк) и Ек = Е(Ак,Вк,Ск,Вк,а'г,вк, т'к) два кольца конструкции А (с одинаковыми инвариантами). Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Е = Е' тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы
рТ • Ск,ща,..,о^ = Ё* къСр,
ЕТ • [В'т,р(в,,..,9^ = ^ь(ВТУ, к = 1,«3
г
и аг = ак, если р-г ф 0, аг = в1-, если д-г ф О, вг = вк, если Гф 0, вг = тк, если «дъ ф О,
Тг = тк, есл и Ьдг Ф 0.
Доказательство. Предположим, что существует изоморфизм ф : Е ^ Ек. Тогда, ф(Р) является максимальным подполем Галуа кольца Ек
элемент х € Ек такой, что хф(Р)х-1 = Р.
Рассмотрим отображение у : Е ^ Ек, определяемое по правилу г ^ хф(г)х-1. Очевидно, что ^ ^^^^^^^^гомом, оставляющим Р
на месте. Более того ^^) = ар, для любого а € Р и некоторого р € АиЬ(Р).
Далее, пусть
^(0,иг,0,0) = 0,^2рдъпк ,^2ядъук, п-гЖ
к=1 д=1
д=1
55
^0^, Уг,0) = ( 0^, Е Гдгък, ^ «дгжк | , -=1 -=1
р(0,0,0,Жг)= ^ г-ъжк^ .
а€Р
ф, ща,0,0) = ^0, аОг щ,0,0) = у (а°г ^^^) ^0, щ,0,0) =
( 51 52 53
= 0^(а°0 Ррдги- ^(а°^ рддгук ^(с
■аг) Р—тк
-=1
-=1
-=1
у(й,ига,й,й) = у(0,иг, 0, 0)у(а, 0,0, 0) = I 0,^2р-гик ар^Ё^Ядгу'д ар ар I =
-=1
-=1
-=1
5
5
5
= ( Рдги'д,^(ар)в^{уР)т*щж'-
д = 1 д=\ д = 1
55
у(0,0^а,0) = у(0,0,а9г Уг,0) = у(а9г, 0, 0,0)у(0, 0,^, 0) = 0, 0, ^(а9г) ргд^- ,^2(а9г) р«дЖд
-г д } с’дгшд
д=1 -=1
55
у(0, 0, уга,0) = у(0, 0, vг, 0)у(а, 0, 0,0) = | 0,0, гдгу'дар, ^^ «дЖ-ар | =
д=1 д=1
55
0,0, £К)9* гдгу'д ,^2(ар)Т* «-¿ж---
у(0, 0, 0,жга) = у((),(),(),аТгжг) = у(аТг , 0, 0, 0)у(0, 0, 0,жг) = | 0,0,0, ^£^(аТг)р*дгж'д | ,
-
у((),(),(),жга) = у(0,0, 0,жг)у(а, 0, 0,0) = |0,0,0, *дгж-ар 1 = | 0,0,0, ^£^(а^Т*1дгжк^ .
-Следовательно, (ааг)Рр-г = (арУ*р-г, у,ф € АиЬ(Р), то мы получаем необходимые
(ааг)р—г = (ар)9*(а9*)рГдг = (<ур)9*Гдг, соотношения для автоморфизмов из условия те-
(а9г)р«^ = (аР)Т* «-г, и (аТг)рг-г = (а^Т* — . оремы.
Так как (а^Ф = (афу а€Р
у(0,иг,0,0) • у(0,и-,0,0) =
(51 52 53 \ / 51 52 5 3 \
О^Ркг ик ^Чкг У’к ^пкг Жк I Ч О^Рк- ик ^ Чк- Vк ^пк- Жк I =
к=1 к=1 к=1 / \ к=1 к=1 к=1 /
52/51 \ 5% / 51 51 52
= [ОД £ £ Р"*Рак а%) ^к, £ £ Р»гРад + £ £ (Р»г Ч° & + %гРвУд
\ к=1 / к=1 v=1 ^=1
(52 53 \
0,0, ^ а— Vv, ^ Ъдж» I =
и=1 и=\ )
= (ол £ у (ад) (£ гк^к) , £ У (ад) [£ «к„ЖкА + £ У (Ъд) [£ ^Ч] ] =
к к к
( 52 52 5/5 5 \ \
{а-У гки^к, ЕЕ {аг.— «ки ""Ь Т.к > к» I жк I ,
к=1 и=1 ^1 \ и=1 и=1 ) )
( 51 52 53 \ / 52 5Ъ \
0,Е/Ркгик,^2чк^к,^2пкжк\ Ч 0^^гк-^к,^2«кджк\ =
к^ к^ к^1 / \ к^ к=1 /
( 53 / 51 52 ^ \ \
°,°,°, £ Е £р^гг°5 е'^1 Жк) ,
^1 \ !/=1 Д=1 / /
(^з \ / 5 / 5
о,о,о,^едж„\ = о^^^^]Г(ед)р*кV )жк
к
у^ vj, 0) • у^ ^ 0) = гкд ^ ^ «кд Жк • 0,^2Ркгик , Е Чкг^к , Е пкжк =
кк
53 / ^ 52
51 52 53
ик,} ' Чк^к к= 1 к=1 к=1
в''1кк ' ж'.
= I ^ ^ Е Е гмр1'А» I ж-
\ к=1 \ч=1 д=1
у^ОДи- Д •(<) ,игД0)) = у ^ОД £ ¿У Ж^ = ^ОД £ у (¿у ) ^£ *кч=
55
= одо,^]Т(к к) жк г
к=1 \ч=1
у
вые четыре равенства из условия теоремы. физмом кольца Е(А, В, С, В, аг, в-, тк) на коль-
Докажем обратное утверждение. Пусть су- цо Е(Ак,Вк,Ск,Вк,ак,вк, т'к). Теорема доказана,
ществуют матрицы Р, Е,Т,Я, Я и р € АиЬ{Р) Следствие 1. Пусть Е(А, В, С, В, аг,вд, гк)
(см. условие теоремы), удовлетворяющие равен- и Е(Ак ,Вк ,Ск ,Вк ,а[,вк, т'к) кольца конструк-
Р
Е/^Е).
ствам:
рТ • [Ак,Р К ,:.,о^= ^>ZrkiAi, к= ^ «,
Е(А, В, С, В) = Е(Ак, Вк, Ск, В'л
Р • [Вк ,р К ,...,о ,х) +р • [С'к ,Я] (а, ,...,о'^)+ тогда и только тогда, когда существуют, не-
5 5 Р Рг- 5 х 5 Е
+0>Т • [В'Т,р9,...,в' ) = Ё«кгАРр+Ё*кгВР, х^ Т = (—53х53, некоторые матрицы
’ *2 Я = (чд)52х5г, я = («—53х52 и автоморфизм, р
г=1 1=1
5
рТ • [Ск,Ща,..,а^ = ^кгСр,
1=1
- 5 х5
Р
5
ЕТ • [Вк ,р 9 ..,9' )= ^кг (ВТУ, к= 1,
«
и аг = ак, есл и Р-г ф 0, в г = вк, есл и г-г ф 0, тг = т.0, есл и — ф 0, а г = в-, есл и с—г ф 0, в г = тк, «-
Ак = ^2 ггкгРТ • Ар • Р, к = 1, «2,
1=1
Вк = РТ • (£ «кгАр+
5з \
Рассмотрим отображение у : Е ^ Ек, опре- ^ Вр — Ср • Е • Я — (Вр • Е • Я)^ ) • Р
деляемое по правилу ^ V г г г / I ’
5
С'к = кгРТ • Ср • Е,
(51 52 53 \
ао,^2аки-,^2вш,^21кж- I = к=1 к=1 к=1 /
г
51 52 53
^ Е аку(ик) ^Рку&к) ^1к у к=1 к=1 к=1
Вк = ЁгкгРТ • Вр • Е, к=1,«з,
г
55
где Е 1 = (гг.
г- 5 х 5
у(0,щ,0,0)= 0,£Р-гик,^4-^, 0 \ ,г = 1,«5 Доказательство. Так как поле р содержит-
-=1 -=1 I ся в центре каждого из колец, то все автомор-
)физмы аг, ак, в-, вк, тк, т'к, г = 1,«ь 3 = 1,«,
. ______ к = 1,« являются тождественными. Отсю-
,г — ^«2) да^ сдедуд ранее введенным обозначениям, по-
лучаем [А, В(аг,а2,..,ат) = АВ. Далее, ВЫ-
5
у(0,0,0,жг) = ( О^^^г-гж- , ^ 1,«. А-, В'к, С'к, Вкк и получаем искомые соотпоше-
-
5
4. Классификация конечных локальных колец порядка р6 конструкции А. В
данной части работы мы найдем различные (с точностью до изоморфизма) типы колец в некоторых частных случаях. Рассмотрим последовательность Я = А э J Э А Э А Э .... Если в* являете размерностью А*/А1+1 над Я/А =
СР(рт), то г ^2 в* = Щ где \Я\ = рп. Таким
¿=о
образом, если \Я\ = р6, то необходимо последовательно рассмотреть следующие случаи:
1. = 3, в2 = 1, вз = 1 и Р = ОР(р);
2. = 2, в2 = 2, вз = 1 и Р = ОР(р);
3. = 2, в2 = 1, ^з = 2 и Р = ОР(р).
При этом сразу заметим, что последний слу-
чай невозможен, так как не существует ассоциативных колец конструкции А с данными инвариантами.
4.1. Случай, когда сИт_р А(Я)/А(Я)2 = 3, (1ш1_р А(Я)2/А(Я)3 = 1, с1ш1_р А(Я)3 = 1. Пусть Р = СР(рт). Рассмотрим множество X, состоящее из четверок матриц (А, В, С, В) таких, что:
1) С и В — ненулевые матрицы размерности 3 х 1 над пол ем В, А € СЬ3(Р), В € Ы3(Р);
2) для любых чисел а, [3,^ € {1, 2, 3} справедливо равенство аав¿71 = а^е^.
Определим на множестве X отношение экви-валентости ” — ” следующим образом:
П = (А, В, С, В) - П' = {А', В', С, В'),
если существуют невырожденные матрицы
(рп р12 р13^
№ рм ргз | , Я = (гп), Т = (¿11) ррр
и некоторые матрицы Я = (дц ^ Ягз),
& = (вп) такие, что
А'= г— ■ Рт ■ А ■ Р, (1)
В1 = Рт ■ (вц ■ А + ¿п ■ В —
-щ ■ ¿ц ■ (С ■ Я + (В ■ Ят)) ■ Р, (2)
С = щ ■ ¿ц ■ Рт ■ С, (3)
В = щ ■ ¿и ■ Рт ■ В. (4)
Наша цель - перечислить представителей всех классов эквивалентности, определенной на А, В, С, В
зано в дальнейшем, эти сведения помогут нам классифицировать локальные кольца с определенными выше условиями.
Рассмотрим четверку матриц
П =
е / ¿и
( а1^ 3 х 3, (^Оз хЗ, е, 1 ¿21
е \а31
О € Р, € X.
Заметим, что
'
/3x3,
)3x3,
где а* ^,е*2 ,д!д € Р. Действительно, если е
1 0 0\
трицами Р = — | —е21 1 0\иТ=Я=Е,
е
еР
1
ец
Я = 0, & = О
—
— I О
е
1 о
—е
иТ = Я = Е, ф = 0,
& = 0. Наконец, если е31 ф 0, то Р =
—
1 е21 I и Т = Я = Е, Я = 0, & = 0.
V0 0 1 /
Далее, для любых чисел а,р,^ € {1,2,3}
справедливо равенство аара'^
с'и = ^ е^1 = ^ е31
а'в7е'а1, где
е'г1 = I, е'21 = и, е'г1 = 0. Решая соответствующую систему уравнений, получаем, что
а12 = а1д = а21 = а22 = а23 = а31 = а32 = а'33 = 0, = ¿'31= 0, Ол = 1. Следовательно,
П' =
а
11
о о 0 | , (Ъ',.)зхз,
0 0 0/
где ,ъд € р.
Далее, пусть Р = Е (Е
единичная ма-
трица), гц = а^, ¿ц = Я = (0,Ъ12,Ъ13)
ап
& = (—Ъи). тверке
Тогда П' — П", где П'' равна че-
0 °\ 0 0 0
0 0 , Ъ'' Ъ Ъ ' со
0 0 0/ Ъ'' Ъ Ъ''
Ъ*к - некоторые элементы поля Р.
На множестве Ы2(Р) определим с помощью
(10 0\ /1\
матриц 0 0 ,^=В= 0 вспомо-
\о о о/ \о)
гательпое отношение эквивалентности по правилу: В - В' {В, В' € М2(Р)), если (А, В, С, В) -(А, В', С, В).
0 0 0
'21 Ъ Ъ
'31 Ъ Ъ со со
-в* Ъ € Р
0 0 0
Ъ' Ъ' Ъ'
Ъ' Ъ' Ъ'
тогда и только тогда, когда матрицы Р, Е, Т, Б, Я из определения эквивалентности имеют вид
(Ри
О О
1
Р — | Р21 Р22 Р23 | , ¿11 — —, Щ — Ри-
Р
РРР
Я — ( ?1Ъ
Р21&22 +Р31&32 Р21^+Р31^33
Р
Р
«И =
—РпРЗ^З! + 2р|^и - Р11Р21&21
Р
ООО
Далее, если В = ( Ъ21 622 Ъ23 | , то ра-
Ъ31 Ъ32 Ъ33 /
венство (2) равносильно системе, состоящей из равенств В'{ 1,1) = О, В '( 1,2) = О,
В'{ 1,3) = О, В\2,1) = (рнр22Ъ21 — р22рз1Ъз2 +
РпР32Ъ31 — Р32Р21Ъ23 + Р21Р32Ъ32 + РЗ\Р22Ъ2з)/Р11 ■, В'{ 2,2) = (р22^м + Р22Р32 Ъ%2 + Р32Р22 Ъ2з +
Рз2^)/Рп) ВЧ ^3) = (Р22Р23Ъ22 + Р23Р32Ъ32 +
РЗЗР22^ + Р32РЗзЪзз)/Р?1) В'(3, 1) = (РпР2зЪ21 —
Р23Р31^ + Р11РззЪз1 — РЗЗРгАз + Р21РззЪз2 +
Р Р Ъ /Р В' , Р Р Ъ Р Р Ъ
Р Р Ъ Р Р Ъ /Р В' , Р Ъ
Р Р Ъ Р Р Ъ Р Ъ /Р Р
/1 о 0\
О — ^ О I . Тогда В
Ъ
\0
1
ъ
Р21Ъ22 ""Ь Р21Р31Ъ32 + Р31Р21Ъ23 +р|^33 ”1 £ ?
Р
где р*д,^ € Р. Элементы ги,гц,д12, ^з, «и единственным образом выражаются через элементы матрицы Р, а дц является произвольным элементом поля. В связи с этим всюду далее
В
В' Р
тывая при этом, что Е, Т, Б, Я определяются указанными выше равенствами (через элементы Р
10 0 0
0 Ъ' Ъ'
Ъ со -- Ъ' Ъ'
’зз € Р-
В первом столбце нижеприведенной таблицы указана пара эквивалентных матриц с условими на их коэффициенты, а также условие на характеристику поля Р, если результат, приведенный в соответствующей строке, не справедлив для полей произвольной характеристики. Во втором столбце расположена невырожденная матрица Р
валентность (Ъ22,Ъ2з,Ъ31,Ъз2,Ъзз € Р). Эквивалентность проверяется непосредственно, исходя из равенств вышеприведенной системы.
В г-. В'
Р
В
0 0 0
0 0 Ъ
0 Ъ Ъ
Ъ
'0 0 0
0 Ъ Ъ
0 Ъ 0
Ъ33
Ъ23
Ч) О О
—Ъ
,0 Ъ23 — Ъз2 Ъ23 .
623 ^ о, Ъ32 # 0, Ъз ф о
(1 0 0
0 Ъ33 0
Ъ2з
1 1
ь /° 0
Ъз2 \о ъ32 — Ъ2з
Ъ
о
о
Ъ
Ъ ф 0, Ъ23 ф , Ъ 0
0 0\ /° 0 0
Ъ Ъ - 0 Ъ 0
0 Ъ \о Ъ Ъ
/1
о
о -
0
1
Ъ
Ъз2
0 0 °\ /° 0 0
0 Ъ Ъ - 0 Ъ 0
'31 0 Ъ \0 Ъ Ъ
Ъ
/1
631
Ъ2з \ 0
0 0 0
0 Ъ 0
'31 Ъ Ъ
'0 о
Ъ
Ъ
о
о
Ъ
Ъ
( 1 0 0
631 1 0
Ъз2
\ 0 0 1
Из таблицы следует, что представители классов эквивалентности содержатся среди некоторого множества матриц, которое мы рассмотрим в оставшейся части данного раздела работы. Пусть
/О 0 0\ /0 0 0\
В , В' ,
Ъ Ъ'
где Ъ, Ъ' € Р. Если В — В', то заметим, что равенство (2) равносильно системе
Р Р ,
Р22 + Рз2Ъ = Рll,
Р Р Р Р Ъ ,
3
Р Р Р ,
Р Р Р Р Ъ ,
,Р23 +РззЪ= Ъ'р311.
Р
РР
Рзз Ф 0 (иначе 3еЪ(Р) = 0) и р23 = 0, р|2 = р|15 рр3Ъ = Ъ'р1г. Отсюда, Рд3Ъ = Ъ'р|2, т.е. Ъ' =
РРзз = ^
— Ъ. Таким образом, если В — В', то Ъ и Ъ'
Р
содержатся в некотором смежном классе группы Р* по подгруппе Р*2.
Ъ Ъ'
смежному классу Р*/Р*2, т.е. Ъ' = 3Ъ,
йфО. Тогда В — В', относительно матрицы
(3,2 0 0 \
Р= 0 3 о .
\ 0 0 34/
Рассмотрим матрицы
/0 0 0\ /0 0 0\
В = 0 1 0 , В'= 0 1 о ,
Ъ Ъ'
Ъ, Ъ' € Р В — В'
тим, что равенство (2) равносильно системе
Р22Р31 + Р32Р21 = 0,
РІ2 + Р22Р32 + РІ2 Ь = Р11,
Р22Р23 + Р23Р32 + Р32РЗЗ& = 0,
-Р Р Р Р ,
Р22Р23 + РЗЗР22 + Р32Р336 = РІ1,
.РІЗ + Р23РЗЗ + Рзз6 = 6Ріі •
Вычитая из пятого равенства третье, получаем А = pfl5 ГДЄ А = р22рзз — Р23Р32-
Р
РззРІ2 + Р33Р22Р32 + РззРз2Ъ = Дрзз- Из третьего следует, что РзгРззЬ = —р22р2з — Р23Р32- Делая замену в предыдущем равенстве и упрощая результат, получаем цепочку равенств:
РЗЗР22 +РЗЗР22РЗ2 +Р32 (— Р22Р23 — Р23РЗ2) = ДРЗЗ , РЗЗР22 + РЗЗР22Р32 — Р32Р22Р23 — Р23Рз2 = ДРЗЗ , Р2г(РЗЗР22 — Р32Р23)+Р32(РЗЗР22 — Р23Р32) = Дрзз,
ДР22 + Дрз2 = Арзз,
Р22 + Р32 = Рзз^
Р
ем
Р32РІЗ + Р32Р23РЗЗ +РззР32^ РзгЪ'Д •
Выражаем рз2рззЪ из третьего равенства и делаем подстановку:
Р32Р23+Р32Р23Р33+Рзз (—Р22Р23 — Р23Р32) = Р32 А,
Р32Р23+Р32Р23РЗЗ —РЗЗР22Р2З — РЗЗР23Р32 = РЗгЪ'Д,
Р2з(Р32Р23 — РЗЗР22) = Р32 А,
—Др2з = рз2Ъ'Д,
—Р23 = РЗ^Ъ •
Далее, из второго равенства мы получаем, что Рд26 = Д — р|2 — р22р32 = Д — р|2 + р|2 — Р22Р33 = — Р23Р32 = Ъ'р32Рз2 = Ъ р\2. Следовательно, р32(Ъ — 6') = 0. Если р32 ф 0, то Ъ = Ъ.
Если Р32 = 0, то Р22 ф 0 и рзз ф 0 (так как 3вЛ(Р) ф 0). Тогда из третьего равенства поР
ми два, пять и два, шесть соответственно, что Р22 = РЗЗР22 и рд3Ъ = Ъ'р|2. Так как р22 ф 0, то Р22 = Рзз- Следовательно, = Ъ'р33. Так как РР Р Ъ Ъ' Р ВЪ — ЪВР' Ъ Ъ'
Рассмотрим матрицы
'0 0 (Л
В = | 0 1 0
.0 0 Ь і
В' =
'0 о о' 0 1 о
Ь'
(Р22Р2З + РззР22Ь + Рз2РІ5Ь+Р22Р2з) = Ь'Рі1> (2р|2р|з + Д2Ь + 2рззр22Р2зРз2Ь) = Ь'р11: (2р|2р|з + д2Ь - 2р|2р13) = Ь'р^1; д Ч = Ь'р\1.
р
Следовательно, Ь = (
Ь'
относительно матрицы
В — В' Ъ Ъ'
Р* Р*
Ъ Ъ'
смежному классу Р*/Р*2, т. е. Ъ' = 32Ъ, 3 ф В — В'
/1 0 (Л
Р
\о о ¿у
Несложно проверить, что следующие пары В, В'
Для этого достаточно выписать систему, равносильную равенству (2), и заметить ее про-
Р
Д = Р22Р33 - Р23Р32 ф 0.
Независимо от четности или нечетности екатР имеем
0 0 (Л В
1 0 0)
В' =
где Ь, Ь' Є В. Если В ~ В', то заметим, что равенство (2) равносильно системе
[рі2 + Рз2Ь = Рll, iР2г+РlгЬ=Ь'Рll, р р р р Ь .
Перемножим правые и левые части первых двух равенств:
р р р р Ь р р Ь р р Ь Ь'р .
Из третьего равенства получаем рзгРззЬ =
2 2 1,2 2 2 А 2 2 2
—p22p23, р32рЗЗЬ — р22р23 И ^ _ р22р33
р р р р р р
0 О (Л
В
1 0 0)
0 0 (Л
В
1 0 1,
о о 0^
В
Ь
О О (Л
В
Ь
^0 о 0^
В
,0 -1 0!
В' =
В' =
В' =
о о 0\
В = и о 1 , В' =
\ 1 о/
где Ь, Ь'22, Ь'33 Є В.
Если же екатР = 2, то
/0 0 Ь'
,1 0^
0 0 (Л
В
о 1 оу
0 о 0^
В
1 1 1,
0 0 (Л
В
1 1 1,
0 о (Л
В
1 1 1 >
В' = 0 1
,1
и22
о
Ь'
33/
В' = 0 1 о
о о 0>
В
—
^0 о 0^
В = \ 0 0 1|, В'= |0 0 1
^0 -1 0 у
Ь
Ь'
33/
/о о о'
Ь'
/о о о'
В' = 0 1
Ь'
/о о 0^
В' = О 0 1
\1 1 О,
^0 о
Ь'
где Ь', Ь22 ,Ь'33 Є В.
Итак, нами доказана следующая теорема: Теорема 3. В следующем списке перечислены представители всех классов эквивалентности, определенной на четверках матриц (Л, В, С, В).
Если CharF ф 2, то четверки матриц имеют вид [A, B,C,D], где
Л =
C
D
B
'О 0 0>
О 1 О
v0 1 d)
^0 0 0^
ООО ,1 0 0,
^0 о о
О 0 1
Л 1 о,
/о о 0>
О 1 о
Ч1 О Ь,
^0 О 0^
О 0 1
,0 -1 О/
'О о 0> О 1 о
Ь
^0 О 0^
ООО у0 0 Оу
где 3 € Р, а элемент Ъ пробегает множество всех представителей смежных классов Р*/Р*
Если СкатР = 2, то к вышеуказан-
ному списку необходимо добавить матрицу
^0 0 0^
В
Ч1 1 1,
Теорема 4. Четверки матриц, представленные в предыдущей теореме, определяют все попарно неизоморфные конечные локальные кольца порядка р6 с условиями: екагЕ = р, йЫр Ц{Е)/Ц{Е)2 =3, йЫр Ц{Е)2/Ц{Е)3 = 1, (1ш1_р -ЦЕ)3 = 1, 7(Е)4 = 0, где Е/.1(Е) = Р.
Доказательство. Так как \Е\ = р6, и т(1 + сИт_р Ц(Е)/Ц(Е)2 + ((¡тр Ц(Е)2/Ц(Е)3 +
1.
2.
3.
I
5.
6. 7.
1 О
0 О
1 О
0 О
1 О
0 о
1 о
0 о
1 о
0 S
1 о
0 1
1 о
0 1
1 о
О £
0 1
1 о
0 1
1 о
О 1
-1 о
О 1 -
1
1 о о о
0 1
1 о
1 о о о
0 1
1 о
1 о о о
0 1
1 о
1 о
0 о -
1 о
сИт_р Ц(Е)3) = 6, то т = 1. Следовательно, Р = и все автоморфизмы поля Р являются тождественными. В силу следствия из теоремы 2, проблема классификации колец с определенными выше соотношениями (с точностью до изоморфизма) сводится к нахождению представителей классов эквивалентности, определенной ранее па четверках матриц (Л, В, С, Б). Теорема доказана.
4.2. Случай, когда сИт_р Ц(Е)/Ц(Е)2 = 2, сИт_р Ц(Е)2/Ц(Е)3 = 2, сИт_р Ц(Е)3 = 1. Пусть М - множество ненулевых элементов г толя Р, таких, что
Ух € Р г(1 + 35х2) — х5(3 + 5х2) ф 0.
Рассмотрим множество функций К = {у±с: М ^ Р} ,
У±с
z =
±az(a2 + 3Sc2) — cS(2>a2 + Sc2
Sc2)
а(а2 + 35е2) ^ е^(3а2
где а = 0,е = 1 или а = 1,е € Р. Относительно бинарной операции (ф о ф2)(г) = ф\(ф2{г)) (ФьФ € К) данное множество образует группу,
М
через К\ М множество представителей орбит. Пусть также, 5 - некоторый фиксированный элемент Р* \ Р*2, 5 ф 1.
Теорема 5. Пятерки матриц, перечисленные в следующем списке, определяют все попарно неизоморфные конечные локальные кольца порядка р с условиями: екатЕ = р, Ц(Е)4 = 0 и <Етр Ц(Д)/Ц(Д)2 = 2, (1 'ипР Ц{Е)2/Ц{Е)3 = 2, датр Ц(Я)3 = 1, где Е/.1(Е) = Р. а) если Р = ОР(рг),р ф 2, то:
о
-1
0 1
1 о
—
1 о
о о
s О
о о
s
о о о о
о о
s
о о
s
о о
s
о о о о
, для всех в\,32 € {ОЛ}> для всех в € {ОЛ}>
, для всех в € {ОЛ}>
Ч
для всех в € {ОЛ }> для всех в € {ОЛ} для всех в € {ОЛ }> для всех е € {1, 5};
9.
10.
11.
12.
13.
1 1\ ° 1\ 1 1
-1 0/ ’ її 0/ ’ 1-2 -2
—,
2 -2] , їв 0
0 1 + в\ ( 0 1 — в
(1— в)2 0 М(1 + в)2 0
1 0\ /0 1 + в\ /1 0\ /і о\ /о о
0 0^ VI — в О / , V0 0^ Д 0^ Д в
1 (А [ о і + в
, — в для всех в Є В*;
і оЛ ^ о і + вА [ о і + вА [ о і — в
О о)^1 — в о ¡, ^(1— в)2 о ^ 1у(1 + в)2 о
для всех в Є В *, в4 — 1 = 0;
для всех в Є {0,1};
, для всех в Є В*, в Є {0,1};
О О О о
0 1
1 1
1 1
-1 1
О 2 О О
—
-1 1
—
-1 1
О О
в
, для всех в Є {0,1};
екатВ
для всех в Є {0,1};
1 О О О
0 1
1 О
1 1 1 О
1 1 1 О
О О
в
Если множество М не пусто, то дополним список матрицами 1 (А [0 і\ [1 х\ /1 х\ [0 О
о ¿ги о і, и б), и б) , їв О
О О
в
Если найдется элемент г Є В*, такой, что г ф ±1 матрицами
“1 (А [0 Л [1 х\ А г
0 V , Vі оу , ^ іу , 1
Если — 1 Є В*2, то дополним список матрицами
1 ОЛ [о А [і У—') [1 —у—
0 l), V— VV— — г VV—1 1
Если —І Є В*2; то дополним список матрицами
1 оЛ [о А [і У—бЛ [ і — У—б
о ¿г і ог VV—б —б)^V— б
Если —З Є В*2, то дополним список матрицами
Л , [ вЛ , [ вЛ , [
О Оу , у 1 — в 0 у , у( 1— в? О ¡, \(1 + в)
где в = Є В;
Ъ) если В = ОВ(2), то:
, для всех в Є {0,1}, где г Є К\М;
г
г
, для всех в Є {0,1};
Є В , то дополним
О О
в
О о
в
—в
для всех в Є {0,1};
для всех в Є {0,1};
О О О О
1.
2.
3.
4.
5.
1 О
0 о
1 о о о
0 1
1 о
0 о
1 о
0 о
1 о о о
0 1
1 о
0 1
1 1
1 о
О 1
0 о
1 о
О 1
о о
вв
в
вв
в
вв о о
вв
0 о
1 о о о
1 о о о
в в
в
о о
в
ч° 0 вв в'в о о
вв в'в
в
о о
список
7.
0 1
1 О
0 1
1 1
1 1
О s
О 1 О О
si
1 1 О О
О 1 О 1
о о
s О
si
s's^s2 s's^s2
s's^ s2 s's^ s2
для всех s, si, s € ^, 1}, s' = 1 — s, s^ = 1 — si. Всего 32 пятерки матриц.
ss
ss
ss
ss
ss
ss
Таким образом, с точностью до изоморфизма классифицированы все конечные локальные
р
которых имеет индекс нильпотентности 4. Полученный результат является продолжением ис-
следований по классификации конечных локальных колец порядка рп,п € N (см. [1-4]).
Автор выражает благодарность профессору Ю.Н. Мальцеву за внимание, проявленное к данной работе.
Литература
1. Gorbas B., Williams G.D. Rings of order p5. Part 1. Nonlocal rings // Journal of Algebra. 2000. V. 231.
p
Part 2. Local rings // Journal of Algebra. 2000. V. 231.
3. Corbas B. Finite rings in which the product
of any two zero divisors is zero / / Archiv der Math. 1970. V. 21.
4. Chikunji C. J. On a Class of Finite Rings // Communication in Algebra. 1999. V. 27(10).
5. Raghavendran R. Finite associative rings // Compositio Math. 1969. V. 21.
