CC BY
9Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2015. Том 22, № 4
УДК 512.547.214
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С БОЛЬШОЙ СТЕПЕНЬЮ НЕПРИВОДИМОГО ХАРАКТЕРА С. С. Поисеева
Аннотация. Изучается конечная неединичная группа G, обладающая неприводимым комплексным характером 0, для которого |G| < 20(1)2. Доказано, что в случае 0(1) = p2q, где p > q и p, q — различные простые числа, группа G является разрешимой группой с абелевой нормальной подгруппой M индекса p2q. C помощью классификации простых конечных групп доказано, что конечная простая неабелева группа с абелевой силовской р-подгруппой P =1 порядка не более p2, для которой 2|P|3 > |G|, изоморфна группе L2 (q), где q — либо простое число, либо квадрат простого числа.
Ключевые слова: конечная группа, характер конечной группы, степень неприводимого характера конечной группы.
S. S. Poiseeva. Finite groups with an irreducible character large degree. Abstract: We study a finite nontrivial group G with an irreducible complex character 0 such that |G| < 20(1)2 and 0(1) = p2q, where p > q and p,q are different primes. In this case we prove that G is solvable groups with abelian normal subgroup M of index p2q. We use the classification of finite simple groups and prove that the group with abelian Sylow p-subgroup P =1 whose order less than p2 and 2|P|3 > |G| is isomorphic to L2(q).
Keywords: finite group, character of a finite group, irreducible character degree of a finite group.
Введение
Пусть G — конечная группа, обладающая неприводимым представлением над полем комплексных чисел с характером В.
В общем случае степени неприводимых характеров несут довольно скудную информацию о строении группы. Поэтому естественно изучать группы, у которых степени неприводимых характеров имеют некоторые дополнительные свойства и удовлетворяют определенным ограничениям.
Конечную группу G = 1, обладающую неприводимым комплексным характером В, для которого 2В(1)2 > |G|, будем называть LC(В)-группой.
Цель настоящей работы — изучение конечных LC(В)-групп с В(1) = p2q, где p и q — различные простые числа и p > q.
Так как |G| < 2p4q2 < 2p6, где p > q, p и q — различные простые числа, и си-ловская p-подгруппа группы G имеет порядок не меньше p2, сначала, используя классификацию конечных простых групп, опишем простые неабелевы группы G с абелевой силовской p-подгруппой P порядка p2, для которых |G| < 2|P|3.
© 2015 Поисеева С. С.
Е. П. Вдовиным в [1] доказано, что |А|3 < |С|, если С — конечная простая группа, неизоморфная РБЬ2(д) и А — ее абелева подгруппа. С использованием классификации конечных простых групп получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть С — конечная простая неабелева группа с абелевой силовской р-подгруппой Р =1 порядка не более р2. Если 2|Р|3 > |С|, то С изоморфна группе Ь2(д), где д — либо простое число, либо квадрат простого числа.
Теорема 2. Пусть С является ЬС(0)-группой. Если 0(1) = р2д, где р и д — различные простые числа, р > д, то С — р-разрешимая группа.
В доказательстве теоремы 2 также установлено, что при |С| £ {486, 648} порядок группы |С| равен р2дьт, где (рд,т) = 1. Следующая теорема дает описание ЬС(0)-групп.
Теорема 3. Пусть С является ЬС(0)-группой с 0(1) = р2д, где р > д и
р, д — простые числа. Тогда С имеет абелеву нормальную подгруппу М индекса
2
р д.
Все группы предполагаются конечными. Буквы р и д везде используются для обозначения различных простых чисел. Необходимые сведения, касающиеся обыкновенных и модулярных представлений конечных групп, можно найти в [2, 3]. Скалярное произведение характеров х и ф группы С обозначается через {х, ф). В частности, если эти характеры неприводимы, то (х, ф) = 5х,^ (5 — символ Кронекера). Множество неприводимых характеров группы С обозначается через 1гг(С).
1. Вспомогательные результаты
Напомним, фундаментальный результат Клиффорда об ограничении неприводимого характера х группы С на ее нормальную подгруппу N.
Лемма 1 (Клиффорд). Пусть N и х € 1гг(С), а в € ). Тогда из
{хN ,в)м = 0 следует, что
t
XN = вг'
г=1
где в^ — характеры, сопряженные в. Число 4 различных сопряженных характеров к характеру в равно индексу подгруппы инерции 1о(в) характера в (состоящей из всех д € С, для которых в9 = в), а число е = е(х) делит (в) : N^ если О/N — разрешимая группа.
Доказательство. См. теорему 6.2 из [3].
Лемма 2. Пусть N<О и х € 1гг(С), а в € ). Если 1С(в)/N — цикли-
t
ческая группа, то е(х) = 1, т. е. XN = в^
1=1
Доказательство. См. 9.12 из [4].
Напомним теорему Ито о степени неприводимого характера (теорема 6.15
в [3]).
Лемма 3 (Ито). Пусть N о G и N абелева. Тогда x(1)||G : N| для всех X е Irr(G).
В дальнейшем нам потребуются следующие две теоремы В. И. Зенкова из [5].
Лемма 4. Пусть G — конечная группа с силовской р-подгруппой P. Если р = 2 и не простое число Мерсенна, то P П Px = Op(G) для некоторого x е G. Если Op(G) = 1, то |P|2 < |G|.
Лемма 5. Пусть G — конечная группа, р — простое число, P — силовская р-подгруппа из G, S(G) — разрешимый радикал группы G и |G| = pam, где (p, m) = 1. Если pa > m, то справедливо одно из следующих утверждений:
(1) G содержит характеристическую р-подгруппу порядка > pam-1;
(2) в фактор-группе S(G) = S(G)/Op(G) выполняются утверждения одного из следующих пунктов:
(2а) р = 2, q = 2n + 1 — простое число Ферма и S (G) содержит секцию, изоморфную (Z2n+1 X Z2n) ? Z2, при n > 2 и ((Z3 X Z2) ? Z2) ? Z2, V9 X SD16, (V9XZ8)îZ2, (79XQ8)!Z2jipzn=l; _
(2б) р = 2n — 1 — простое число Мерсенна и S (G) содержит секцию, изоморфную (Z2n X Zp) ? Zp;
(2в) р = 2 и S (G) содержит секцию, изоморфную ((V72 X SD25 ) ? Z2) ? Z2, причем во всех трех случаях (2а), (2б) и (2в) действие точное;
(3) р =2 и фактор-группа G = G/S (G) содержит секцию L, изоморфную одной из следующих групп: (((S5 ? Z2) ? Z2) ? Z2) ? Z2, Aut(A6) ? Z2, Aut(L3(2)) ? Z2, Aut(L3(4)) ? Z2, причем каждая компонента из L является изоморфным образом соответствующей компоненты из E(G).
В [6] доказаны два вспомогательных утверждения, которые будут использоваться при изучении LC(В)-групп с ©(1) = р2?.
Лемма 6. Пусть G — LC(©)-группа и M — ее собственная нормальная подгруппа. Тогда характер ©м приводим.
Лемма 7. Пусть G — LC(©)-группа и N — ее собственная нормальная подгруппа. Если ©(1) = m, то (|G/N|,m) = 1.
Приведем известный результат из [7] о разрешимости группы, обладающей самонормализуемой силовской р-подгруппой (р > 3).
Лемма 8. Пусть G — конечная группа с силовской р-подгруппой P, р > 3 и Ng (P) = P. Тогда G разрешима.
Для оценки порядков абелевых подгрупп простых групп нам потребуется следующий результат Е. П. Вдовина [1].
Лемма 9. Пусть С — неабелева конечная простая группа и С ^ Ь2(д), где д = р4 для некоторого простого числа р. Пусть А — абелева подгруппа группы С. Тогда |А|3 < |С|.
Лемма 10. Пусть С = С' — не р-разрешимая группа с силовской р-под-группой Р порядка р > 3, не имеющая нормальных подгрупп порядка 2. Если |С| < р3, то С ~ ^(г), где г = р или г = 2а = р — 1.
Доказательство. См. следствие 5.2, гл. VIII из [8].
Лемма 11 (Казарин). Пусть С — конечная группа, х € С — элемент простого порядка д. Если |С : Со(х)| — степень простого числа р, то (хо)' = Ор((хо)). В частности, нормальное замыкание х в С имеет коммутант, являющийся р-группой.
Доказательство. См. [9].
Предложение 1. Пусть С — конечная группа, и пусть х такой элемент группы С, что |С : Со(х)| — степень простого числа р. Тогда
[хо,хо] С Ор(С).
Доказательство. См. [10].
2. Доказательство теоремы 1
Согласно теореме классификации конечных простых неабелевых групп (см. [11] для более подробной информации) все простые неабелевы группы принадлежат одному из следующих семейств:
I. Классические простые группы лиева типа: Ьп(д), п > 2, ип(д), п > 3, Ягп(д), п > 2, РПап+1(д), п > 2, РП±„(д), п > 4.
II. Исключительные простые группы лиева типа: С2(д), ^4(д), Еб(д), Е^(д), Е8(д), 2С3(д), (2Е4(д))', 3Б4(д), 2В2(д), д — степень простого числа.
III. Спорадические простые группы.
IV. Знакопеременные группы Ап, п > 5.
Доказательство теоремы 1 будем проводить шаг за шагом для всех перечисленных групп. Напомним, что в теореме 1 силовская р-подгруппа Р = 1 имеет порядок не выше р2.
I. Классические простые группы лиева типа.
При изучении групп Шевалле полагаем: СЕ(д) — поле порядка д, г — его характеристика.
(а) Пусть С = Ьп(д),п > 2. Легко видеть, что |С| > дп -п, а наибольший простой делитель порядка группы не превосходит дп — 1 < дп. Так как 2р6 < р7п, то д7п > дп -п. Отсюда п2 — п < 7п и п2 — 8п < 0, значит, п < 8.
При п = 7 имеем
|С| = 1/г!д21(д7 — 1)(д6 — 1)(д5 — 1)(д4 — 1)(д3 — 1)(д2 — 1) > д42,
где в = (7, д — 1). Так как д7 — 1 = (д — 1)(д6 + д5 + д4 + д3 + д2 + д +1), наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д6 +д5 +д4+д3+д2+д+1 < 2д6. Если р2|д6 + д5 + д4 + д3 + д2 + д + 1, то р2 < д6 + д5 + д4 + д3 + д2 + д + 1 < 2д6. Значит, 2(2д6)3 = 24д18 > |С| > д42, что невозможно.
Если р2 \ д6 + д5 + д4 + д3 + д2 + д + 1, то р | д4 + д3 + д2 + д +1, ибо д5 — 1 = (д — 1)(д4 + д3 + д2 + д + 1). Так как д4 + д3 + д2 + д +1 < 2д4 и д5 — 1 взаимно просто со всеми делителями вида д1 — 1 при г = 5 порядка группы, то р2 < 2д4 и р2 | д5 — 1. Значит, 2р6 < 2(д5 — 1)3 < 2д15 < д42, что исключает этот случай.
Пусть п = 6, тогда |С| > д30. Так как д5 — 1 = (д — 1)(д4 + д3 + д2 + д + 1), наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д4 + д3 + д2 + д +
1 < 2д4. Если р2 | д4 + д3 + д2 + д + 1, то р2 < д4 + д3 + д2 + д + 1 < 2д4. Значит, 2(2д4)3 = 24д12 > |С| > д30, что неверно.
Если р2 | д4 + д3 + д2 + д + 1, то р | д2 + д + 1, ибо д6 — 1 = (д3 — 1)(д3 + 1) = (д — 1)(д2 + д +1)(д +1)(д2 — д + 1). Тогдар < д2 + д + 1, атак как д2 + д +1 < 2д2 в разложении порядка группы имеет вторую степень, то р2 < (2д2)2. Значит,
2р6 < 2(2д2)6 = 27д12 < д30, что исключает этот случай.
При п = 5 наибольший простой делитель порядка группы также не превосходит д4 + д3 + д2 + д +1 < 2д4 и |С| > д20. Если р2|д4 + д3 + д2 + д + 1, то р2 < д4 + д3 + д2 + д +1 < 2д4. Значит, 2(2д4)3 = 24д12 > |С| > д20, что неверно.
Если р2 | д4 + д3 + д2 + д + 1, то р | д2 + д +1, ибо д3 — 1 = (д — 1)(д2 + д + 1). А так как д2 + д + 1 < 2д2 взаимно просто со всеми делителями порядка группы вида дг — 1 при г = 3, то р2 < 2д2 и р2|д3 — 1. Значит, 2р6 < 2(д3 — 1)3 < д20, что исключает и этот случай.
Если п = 4, то наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д2 + д +1 < 2д2 и |С| > д12. Если р2 | д2 + д + 1, то р2 < д2 + д + 1 < 2д2. Значит, 2(2д2)3 > |С| > д12, что неверно. Если р2 не делит д2 + д +1, то р | д2 +1. Так как д2 + 1 взаимно прост со всеми делителями порядка группы вида д1 — 1 при г = 3, то р2|д2 + 1. Значит, 2р6 < 2(д2 + 1)3 < д12, что исключает и этот случай.
Если п = 3, то |С| = (1/в)д3(д3 — 1)(д2 — 1), в = (3, д — 1). Поэтому р2 делит либо (д — 1)2, либо д + 1, либо д2 + д +1. Непосредственные вычисления показывают, что и этот случай исключен.
Таким образом, если С ^ Ьп(д) удовлетворяет условию теоремы 1, то п = 2.
(Ь) Пусть С ^ ип(д),п > 3. Легко видеть, что |С| > дп -п, а наибольший простой делитель порядка группы не превосходит дп. Так как 2р6 < р7п, то д7п > дп -п. Отсюда п2 — п < 7п и п2 — 8п < 0, поэтому п < 8.
Допустим, что п = 7. Тогда
|С| = 1/вд21(д7 + 1)(д6 — 1)(д5 + 1)(д4 — 1)(д3 + 1)(д2 — 1) > д42,
где в = (7, д +1). Так как д7 + 1 = (д + 1)(д6 — д5 + д4 — д3 + д2 — д +1), наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д6 — д5 + д4 — д3 + д2 — д +1 < д6. Если р2 | д6 — д5 + д4 — д3 + д2 — д + 1, то р2 < д6 — д5 + д4 — д3 + д2 — д + 1 < д6.
Значит, 2(д6)3 > |С| > д42, что неверно. Если р2 \ д6 - д5 + д4 - д3 + д2 - д + 1, то р|д4 - д3 + д2 - д +1, ибо д5 + 1 = (д + 1)(д4 - д3 + д2 - д + 1). Так как д4 - д3 + д2 - д + 1 < д4 взаимно просто со всеми делителями порядка группы вида д1 - (-1)г, то р2 < д4 и р2|д5 + 1. Значит, 2р6 < 2(д5 + 1)3 < д42, что исключает этот случай.
Пусть п =6, тогда |С| > д30. Так как д5 + 1 = (д + 1)(д4 - д3 + д2 - д + 1), наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д4 - д3 + д2 - д +
1 < д4. Если р2|д4 - д3 + д2 - д + 1, то р2 < д4 - д3 + д2 - д +1 < д4. Значит, 2(д4)3 = 2д12 > |С| > д30, что неверно. Если р2 \ д4 - д3 + д2 - д +1, то р|д2 + д + 1, ибо д3 - 1 = (д - 1)(д2 + д + 1). Поэтому р < д2 + д +1. Так как д2 + д + 1 взаимно просто со всеми делителями порядка группы вида д1 - (- 1)г при г = 3, то р2|(д2 + д + 1). А значит, 2р6 < 2(д2 + д + 1)3 < д30, что исключает и этот случай.
При п = 5 наибольший простой делитель порядка группы также не превосходит д4 - д3 + д2 - д + 1 < д4. Если р2|д4 - д3 + д2 - д + 1, то р2 < д4 - д3 + д2 - д +1 < д4. Значит, 2(д4)3 > |С| > д20, что невозможно. Если р2 не делит д4 - д3 + д2 - д + 1, то р| д2 + 1. Так как д2 + 1 взаимно прост со всеми делителями порядка группы, имеем р2|д2 + 1. Тогда 2р6 < 2(д2 + 1)3 < д20, что исключено.
Если п = 4, то |С| > д12 и наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д2 + 1. Если р2 | (д2 + 1), то р2 < д2 + 1. Значит, 2(д2 + 1)3 > |С| > д12, что неверно. Если р2 не делит (д2 + 1), то р|д2-д+1, ибо д3 + 1 = (д+1)(д2-д +1). А так как д2 - д + 1 < д2 взаимно просто со всеми делителями порядка группы вида дг - (-1)\ то р2 < д2 и р = д. Потому 2р6 < д12, что тоже исключает этот случай.
Если п = 3, то |С| = (1/й)д3(д3 + 1)(д2 - 1), й = (3, д + 1). Поэтому р2 делит либо д - 1, либо (д + 1)2, либо д2 - д +1. Непосредственные вычисления показывают, что и этот случай исключен.
(с) Пусть С изоморфна 52и(д) или Р02и+1(д), п > 2. Порядок С равен
1/йд"2 (д2п - 1)... (д2 - 1),
где й = (2, д - 1). Если п > 2, то |С| > д2п . Наибольший простой делитель порядка С не превосходит дп + 1. Если р2|(дп + 1), то 2(дп + 1)3 < д3п+2 < д2п для п > 3. При (д, п) = (2, 2) группа С ^ $4(2) не проста и $4(2)' ^ Р2(9).
Если р2 | (дп + 1), то р|дп-1 + 1, значит, р2|дп-1 + 1. Потому 2р6 < 2(дп-1 + 1)3 < д3п—1 < д2п для п > 3, что исключает этот случай.
((¿) Пусть С ~ РО±п(д),п > 4. Легко видеть, что |С| > д2п2-2п, а наибольший простой делитель ее порядка не превосходит дп + 1. Если р2|(дп + 1), то 2(дп + 1)3 < д3п+2 при п > 4, то 2р6 < |С|.
Если р2 | (дп + 1), то р|дп-1 + 1, значит, р2|дп-1 + 1. Потому 2р6 < 2(дп-1 + 1)3 < д3п—1 < д2п -2п для п > 4, что исключает этот случай.
II. Исключительные простые группы лиева типа.
(a) Пусть С ~ С2(д). Порядок С равен д6(д6 — 1)(д2 — 1), так что наибольший простой делитель порядка группы не превосходит д2 + д + 1 < 2д2. Если р2|д2 + д + 1, то р2 < д2 + д + 1 < 2д2. Значит, 2(2д2)3 = 24д6 > |С|. Однако |С| > д13, так что этот случай исключен.
Если р2 { д2 + д + 1, то р|д2 — д +1. Так как д2 — д +1 взаимно просто со всеми делителями порядка группы вида д1 ± 1 для г = 3, то р2|д2 — д + 1. Тогда р2 < д2 — д +1 < д2, потому 2р6 < 2д6 < д13, что исключает этот случай.
(b) Пусть С ~ ^4(д) порядка д24(д12 — 1)(д8 — 1)(д6 — 1)(д2 — 1). Наибольший простой делитель порядка С не превосходит д4 + 1. Так как 2(д4 + 1)6 < |С|, этот случай исключен.
(c) Пусть С — одна из групп Е6(д), £7(д), Е8(д) или 2Е6(д). Порядок любой из этих групп больше д72, а наибольший простой делитель порядка не превосходит д9. Так что эти группы также исключены.
((¿) Пусть С ^ 2С2(д). Порядок этой группы равен д3(д3 + 1)(д — 1). При этом д = 32п+1,п > 1, а наибольший простой делитель р порядка группы не превосходит д + л/Зд + 1 < 2д. Пусть д > 3. Если р2+ л/Зд + 1, то р2 < д + л/3д+1 < 2д. Значит, 2(2д)3 = 24д3 < |С|, что невозможно. Еслир2 \ д + л/Зд+1, то р = д — наибольший простой делитель порядка С. Тогда 2д6 > |С|, так что д = 3 и С ^ Ь2(8).3 — не простая группа.
(е) Пусть С ~ (2^4(д))'. Ее порядок равен д12(д6 + 1)(д4 — 1)(д3 + 1)(д — 1) > 2д16, где д = 22п+1, п > 2, а наибольший простой делитель р порядка группы не превосходит д4 — д2 + 1 < д4. Если р2|д4 — д2 + 1, то р2|д4 — д2 + 1 < д4. Значит, 2(д4)3 = 2д12 < 2д16 < |С|. Если р2 \ д4 — д2 + 1, то р|д2 + 1. Значит, р < (д2 +1), а так как д2 +1 в разложении порядка группы имеет вторую степень, то р2 < (д2 + 1)2. Потому 2р6 < 2(д2 + 1)6 < |С|, что исключает и этот случай.
(О Пусть С ~ 3^4(д) порядка д12(д8 + д4 + 1)(д6 — 1)(д2 — 1) > д26, а наибольший простой делитель р не превосходит д4 — д2 + 1 < д4. Если р2|д4 — д2 + 1, то р2 < д4 — д2 + 1 < д4. Значит, 2(д4)3 = 2д12 < |С|.
Если р2 { д4 — д2 + 1, то р|д2 + д +1. Значит, р < (д2 + д + 1), а так как д2 + д + 1 < 2д2 в разложении порядка группы имеет вторую степень, то р2|д2+д+1. Поэтомур2 < д2+д+1 < 2д2, стало быть, 2р6 < 2(2д2)3 = 24д6 < |С|, что исключает и этот случай.
(Я) Пусть С ~ 2В2(д) ~ ^(д) порядка д2(д2 + 1)(д - 1), где Ч = 22п+1,п > 1. Наибольший простой делитель р порядка С не превосходит д + л/2д + 1 < 2д. Если р2|д + л/2д + 1, то р2 < д + + 1 < 2д. Значит, 2(2д)3 < |С|. Если р2 \ д + л/2д + 1, то - л/2д + 1, откуда р2- ^Дд + 1 и р2 < д - л/2д + 1 < д. Потому 2р6 < 2д3 < |С|, что исключает и этот случай.
III. Спорадические простые группы. Все случаи исключены (см. [12]).
IV. Знакопеременные группы Ап, п > 5.
Так как |Ап| = п!/2 < 2п6, то п! < 4п6. С другой стороны, известно, что п! > пп/2. Поэтому пп/2 4п6 < п7, отсюда п/2 < 7 и п < 14. При п = 5, 6 появляются группы А5, А порядков 60, 360 соответственно, с абелевой силовской р-подгруппой Р порядков 4, 9 соответственно. Заметим, что А5 ^
Ь2(5) и А — Ь2(9). Все остальные возможности исключены. Теорема доказана.
3. Доказательство теоремы 2
Пусть С — ЬС(О)-группа с 0(1) = р2д, где р и д — различные простые числа и р > д. Зафиксируем данные обозначения.
В силу равенства ^ х(1)2 = |С| и 2%(1)2 > |С| характер 0 является
хе1гг(о)
единственным неприводимым характером группы С наибольшей степени, причем все значения 0(д), д € С, являются целыми рациональными числами.
В [13] доказано, что любой неприводимый характер ЬС(О)-группы, порядок которой не равен степени числа 2, является конституентой характера Ф = 02. Отметим, что Z(С) = 1 и 0 — точный характер.
Допустим, что Р € Бу1р(С). Так как С — ЬС(О)-группа с 0(1) = р2д, где р и д различные простые числа и р > д, причем р4д2 < |С| < 2р4д2 и рд||С|, то |С| = радьт, а, Ь,т € N и 2 < а, т. е. силовская р-подгруппа группы С имеет порядок не меньше р2. Заметим, что |С| < 2р4д2 < 2р6, поскольку р > д.
Верхние границы порядка силовской р-подгруппы в ЬС(О)-группе с 0(1) = р2д сформулируем в виде следующей леммы.
Лемма 12. Пусть С — ЬС(0)-группа с 0(1) = р2д, где р и д — различные простые числа и р > д. Тогда силовская р-подгруппа Р группы С имеет порядок не больше р5. Если Р о С, то |С| = 486. Если Р не нормальна в С, то |Р| < р3.
Доказательство. Пусть С — ЬС(0)-группа с 0(1) = р2д, где р > д. Так как |С| < 2р4д2 < р7, то |Р| < р6, иначе д не делит |С|. Если |Р| = р6, то 2р4д2 < 2р6 ввиду д < р. Значит, |С| = |Р| = р6 что неверно, ибо в таком случае д не делит |С|. Значит, |Р| < р5.
Допустим, что |Р| = р5. Так как |С| = р5дьт < 2р4д2, где (т,рд) = 1, то Ь < 2. Однако р > д > 2. Следовательно, можно считать, что Ь =1. В этом случае рт < 2д. Так как при т =1 подгруппа РоС, то то > 2 и р<д вопреки предположению. Стало быть, |Р| о С и |С| = р5д. При этом |Z(Р)| = р и подгруппа Q порядка д из С действует нетривиально на Z(Р). Отсюда д | р - 1. Существует р - 1 сопряженных характеров группы С степени р2д, исчезающих на Р^(Р). Поэтому группа Q разбивает их на орбиты длины д. Таким образом, имеется (р - 1)/д характеров группы С степени р2д. Так как может быть только один характер степени р2д, то д = р - 1. Отсюда р = 3, д = 2 и |С| = 486.
Допустим, что Р о С и |Р| = р4. По лемме 1 имеем
Bp = е]Г
Xi
где e, s | |G/P| и xi G Irr(P). Так как G/P имеет порядок, взаимно простой с p, и B(1) = p2q, то xi(1) = Р2, что приводит к противоречию, ибо сумма квадратов степеней неприводимых характеров группы P в этом случае больше p4. Стало быть, в случае нормальной P ее порядок равен p5. Лемма доказана.
Следующая лемма показывает, что когда 0(1) = 32 • 2, порядок группы С содержится в {342, 486, 504, 648}.
Лемма 13. Пусть С — ЬС(0)-группа с 0(1) = р2д, где р и д — различные простые числа, р > д. Тогда либо р > 3, либо |С| € {342,486, 504, 648}.
Доказательство. Допустим, что р = 3. Тогда д = 2. Поэтому |С| < 34 23
= 648, при этом порядок группы С делится на 0(1) = 32-2 = 18. Учитывая,
что
|С| - 23 ' 34 < 22 • З2 = 36,
|0(1)| 2 • 32
и то, что неразрешимая группа порядка не более 81 • 8 = 648 имеет неразрешимый композиционный фактор, содержащийся в [12], убеждаемся в том, что таких факторов не должно быть. Отсюда заключаем, что С разрешима и |С| делит одно из чисел: 648 = 23 • 34, 342 = 19 • 2 • 32, 486 = 2 • 35 или 504 = 23 • 32 • 7. Применяя САР [14], убеждаемся, что каждая из этих возможностей реализуется.
Начиная с этого момента будем считать, что р > 3. Покажем, что порядок Р может равняться р3 только при Ор (С) > 1.
Лемма 14. Если Ор(С) = 1, то либо Р = Мс(Р) и |Р| = р3, либо |С| = р2дьт, где (рд, т) = 1.
Доказательство. Допустим, что Ор(С) = 1. Так как |С| делится на 0(1) = р2д, то |С| = радьт, где (рд,т) = 1 и а, Ь, т € N. По леммам 12 и 13 имеем р> 3, 2 < а < 3. В силу леммы 4 ра < дьт и из 20(1)2 > |С| получаем дь-2т < 2р4-а.
Пусть а = 3 и |С| = р3дьт, где р3дьт < 2р4д2. Тогда дЬ-2т < 2р. Так как Ор(С) = 1, из леммы 4 получаем р3 < дьт < 2рд2. Значит, р2 < 2д2.
Пусть |Мс(Р)| = п|Р| = пр3, где п > 1. Так как по лемме 4 хотя бы для одного х € С выполнено Р П Рх = 1, то
а а
где а = |Мс(Р)ПМс(Р)х||п. Поэтому р3дьт > пр3 + пр6, откуда дьт > пр3. Так как пр3 < дьт < 2рд2, то пр2 < 2д2, где п > 1, т. е. р2 < д2, что невозможно.
Поэтому при Ор(С) = 1 имеем Мс(Р) = Р для |Р| = р3 или |С| = р2дьт, где (рд, т) = 1.
Следующая лемма показывает, что для не р-разрешимой группы С случай Ор(С) = 1 невозможен.
Лемма 15. Если С не р-разрешима, то Ор(С) = 1.
Доказательство. Допустим, что Ор(С) > 1. По лемме 3 степень любого неприводимого характера группы С делит |С : Ор(С)|, если Ор(С) абелева. Так как С не р-разрешима, Р не нормальна в С. Поэтому либо |Ор(С)| = р, либо | Ор (С) | = р3. Покажем, что в любом случае С имеет нормальную подгруппу и порядка р. Если |Ор(С)| = р это верно.
По лемме 3 если |Op(G)| = p3, то P неабелева и потому |Z(P)| = p и U = Z(P) <G. Пусть H = CG(U). Так как U<G, то H<G и G/H < Aut(U) и потому изоморфна циклической группе, имеющей порядок, делящий p — 1. Так как Z(G) = 1, то G/H = 1 и является циклической группой. По лемме 7 получаем, что (p — 1) — степень числа q. Применяя теорему Клиффорда (лемма 1), имеем
где Хг — сопряженные неприводимые характеры, e и s делят |G/H| = q\ Отсюда p2q = В(1) = esxi(1). По лемме 2 e = 1 и Хг(1) = Р2, s = q. Таким образом, H имеет q неприводимых характеров Хг степени p2, откуда |H| > p4q и |G| > p4qq\ Поэтому А =1. Так как |G| = |H|q < 2p4q2, то |P|qb-1m = |H| < 2p4q.
Если |P| = p4, то qb-1m < 2q. При этом |H : P| = mqb-1 < 2q. При b > 2 получаем, что m < 2 и H, а потому и G разрешима. Если b = 1, то |H : P| = m < 2q. Напомним, что q | p — 1. Так как p нечетно, то q < (p — 1)/2. Поэтому |H : P | <p и P о H о G. В силу характеристичности P имеем P о G и G будет p-разрешимой вопреки предположению. Поэтому случай |P| = p4 невозможен.
Теперь |P| = p3 и |H : P| = qb-1m < 2pq. При b = 2 имеем |H : P| = qm < 2qp и потому m < p. Тогда PoH, откуда PoG и G будет p-разрешимой вопреки предположению. Наконец, при b =1 имеем |H| = p3m, где m < 2pq.
Заметим, что |Op(G)| = p и m < 2pq < p(p — 1). Поэтому в группе H = H/Op(G), порядок которой меньше |P|2, подгруппа Op(ii) нетривиальна по лемме 4; противоречие. Лемма доказана.
Лемма 16. Если P = Ng(P), то G — p-нильпотентная группа порядка
Доказательство. По лемме 8 группа G разрешима. Если |G| = p2qbm, где (pq,m) = 1, то G p-нильпотентна по теореме Бернсайда.
По леммам 12 и 13 |G| = paqbm, где (pq, m) = 1 и 2 < a < 3. Предположим, что a = 3, причем qb-2m < 2p.
Допустим, что 1 = m < p. Если m | |Op' (G)|, то для любого простого делителя r числа m в группе Op' (G)P существует холлова {r, pj-подгруппа RP, являющаяся нильпотентной, что противоречит условию. Аналогичным образом, не существует нормальной подгруппы K группы G, порядок которой делится на r, но не делится на |P|. Так как G разрешима, она и r-разрешима. Поэтому Or',r(G) содержит P и по аргументу Фраттини Ng(P) = P; противоречие. Стало быть, либо m =1, либо m > p и является простым числом.
Если m > p — простое число, то qb-2 < 2, откуда 1 < b < 2. При b = 1 получаем противоречие аналогично предыдущему случаю. Поэтому b = 2. Так как P = Ng(P), то при m | |Op'(G)| подгруппа M порядка m будет нормальна в Op' (G), а потому ив G. В этом случае H = CG (M) oG и |G/H | | | Aut(M )| = m — 1. Так как m > p и m < 2p, то p не делит |G/H|. В то же время H = G, ибо
s
Z(С) = 1; противоречие. Следовательно, т не делит |Ор'(С)|. Таким образом, либо Ор' (С) = 1, либо д2 = |Ор (С)|.
Допустим, что |Ор'(С)| = д2. Если Q € (С) циклическая, то С/Сс(ф) имеет порядок, делящий д — 1 и отличный от единицы. Как и в предыдущем случае, это приводит к противоречию. Итак, Ор' (С) = 1.
По теореме 6.3.3 из [2] имеем Сс(Ор(С)) С Ор(С). Если |Ор(С)| = р, то |С| | р(р — 1), что противоречиво. Если |Ор(С)| = р3, то РоС вопреки условию. Если же |Ор(С)| = р2, то получаем противоречие с леммой 3.
Итак, можно считать, что т = 1 и |С| = р3дь, где дЬ-2 < 2р. Из |Р| = |Мс(Р)| = р3 следует, что случай |Ор(С)| = 1 ведет к противоречию. По теореме 6.3.3 в [2] и лемме 4 получаем, что |Од(С)| = дь и р2 < 2д2. В частности, С является р-нильпотентной группой. Отметим, что Q = Од (С) является элементарной абелевой группой ввиду леммы 4 (в противном случае некоторый элемент порядка р индуцирует тривиальный автоморфизм на Q/Ф(Q)). По лемме 3 получаем, что С не имеет неприводимых характеров степени р2д; противоречие. Все случаи рассмотрены. Лемма доказана.
Далее будем считать, что |С| = р2дьт, где т взаимно просто с рд, Ь € N.
Лемма 17. Пусть С — не р-разрешимая ЬС(0)-группа. Тогда С не проста и любая простая не р-разрешимая секция Ь группы С изоморфна Ь2(г), где г — степень простого числа, причем г = р, р2 или р — 1.
Доказательство. Пусть С — простая ЬС(0)-группа. По лемме 15 имеем Ор(С) = 1, а по леммам 14 и 16 порядка |С| = р2дьт, где р > д, будет (т,рд) = 1. Напомним, что 0(1) = р2д. По теореме 1 группа С изоморфна группе Ь2(г). Так как порядок силовской р-подгруппы группы С делит р2, то г равно р, р2 или р — 1.
Таблицы характеров данных групп имеются в [15]. Ни одна из перечисленных групп не является ЬС(0)-группой при любом выборе неприводимого характера 0.
Предположим, что С имеет секцию Б, изоморфную простой неабелевой группе. Так как порядок Б равен радст', где а < 2, т' < т, с < Ь и |С| < 2|Р|3, из теоремы 1 следует, что Б ^ Ь2(г), где г — степень простого числа. Лемма доказана.
Перейдем к завершению доказательства теоремы 2.
Доказательство теоремы 2. В силу леммы 4 и условий, наложенных на группу С, имеем
р4д2 < |С| = радьт < 2р4д2,
где а < 4 ввиду леммы 12. Так как С не является р-разрешимой группой, из лемм 15 и 16 следует, что а = 2, откуда дЬ-2т < 2р2 и дЬ-2т > р2.
Покажем, что в композиционном ряде группы С не может содержаться двух не р-разрешимых композиционных факторов. В самом деле, по лемме 17 каждый из факторов будет изоморфен группе Ь2(г), где г = р, р2 или р — 1.
Допустим, что в G имеется два композиционных фактора, изоморфных L2(p). Тогда |G| > (1/4)p2(p2 — 1)2, тогда как |G| < 2p4q2. Так как p > 3, то q < p — 1. Отсюда
8p4g2 = 8p2q2 2р2
р2(р2-1)2 (p2 - I)2 " (р + I)2
Учитывая, что Z(G) = 1, а внешняя группа автоморфизмов группы L2(p) имеет порядок 2 для нечетного p, заключаем, что G имеет подгруппу индекса < 4, изоморфную L2(p) х L2(p).
Так как при r = p — 1 и p> 3 число r является степенью двойки, имеем |L2(p — 1)| = p(p — 1)(p — 2) > |L2(p)|. Поэтому случай, когда хотя бы одна из групп L2(p) заменена на L2(p — 1), также исключен.
Докажем, что существование в композиционном ряде группы G фактора, изоморфного L2(p2) также невозможно. Действительно,
|L2(p2)| = (1/2)p2(p4 — 1) > |L2(p) х L2(p)|.
По лемме 15 Op(G) = 1. Пусть M = Op (G). Если CG(M) Ç M, то из леммы 5 следует, что |M| > |P| + 1 = p2 + 1. Так как |P| = p2, получаем
2p4q2 > |G| > |M||L2(p)|p = (1/2)(p2 + 1)p2(p2 — 1).
Отметим, что q делит |L2(p)|. Поэтому q < (p + 1)/2 и, стало быть, G совпадает с подгруппой порядка (1/2)(p2 + 1)p2(p2 — 1). Причем в этом случае |M | = p2 + 1. Последнее возможно только в том случае, когда P имеет единственную орбиту на M \ {1}. Тогда MP — группа Фробениуса и P — циклическая группа, что неверно.
Таким образом, Cg(M) <G не является p-разрешимой группой, но порядок G делится на |M|p|L2(p)|. Более того, имеется единственный не p-разрешимый фактор группы Cg (M), изоморфный L2(p). Поэтому T ^ L2(p) или T ^ SL2(p) нормальна в G. В G имеется фактор, изоморфный Cp, циклической группе порядка p, причем наибольшая нормальная p-разрешимая подгруппа S группы G имеет p-длину один. Легко видеть, что G/S изоморфна L2(p), группе автоморфизмов L2(q) порядка p(p2 — 1). Таким образом, имеются следующие возможности:
a) G/S ~ PGL2(p), q = 2 и |G| < 8p4;
b) G/S ^ L2(p), S/M — расширение Cp с помощью подгруппы порядка
qM | (p — 1);
c) G/S ~ L2(p), |S/M| = p, q | (p + 1)/2.
Во всех случаях по теореме 6.3.3 в [2] имеем Cs(M) Ç M и потому |M| > p+ 1. Так как Z (G) = 1, случай, когда подгруппа, изоморфная SL2(p), нормальна в G, исключен.
(a) Если q = 2, то |G| < 8p4, тогда как |S|2|L2(p)| > (p + 1)p2(p2 — 1). Поэтому p < 7. Так как в этом случае подгруппа Op' (G) должна иметь порядок не более 8, получаем противоречие. Случай (a) невозможен.
(b) В этом случае д < (р—1)/2 и С ^ БхЬ, где Ь ^ Ь2(р). Непосредственные вычисления дают оценку |М | < 2р — 2. Поэтому в М имеется не более одной орбиты длины р. В частности, М — элементарная абелева примарная группа. Отсюда степень любого неприводимого характера ф группы Б = М х Ср х С для
делящего р — 1, делит ¿р. Так как р2 > |М|, то ф(1) < Согласно [15, с. 262, 263]) степень любого неприводимого характера группы Ь2(р) не превосходит р +1. По теореме 3.7.1 в [2] любой неприводимый характер группы С есть произведение неприводимых характеров групп Б и Ь. Стало быть, С не имеет характеров степени р2д.
(c) Группа С = Б хЬ. Так как |С| < 2р4д2, то |Б||Ь| < 2р4д2 и |Б| < 4рд2+2д. Так как Ь не имеет характеров степени больше, чем р + 1 (см. [15, с. 262, 263]), а степень любого неприводимого характера группы С является произведением степени неприводимого характера группы Ь и степени неприводимого характера группы Б, то должен существовать неприводимый характер Б степени рд. Поэтому |Б| > р2д2, откуда р < 4д. Это означает, что д = (р + 1)/2.
Напомним, что дЬ-2т < 2р2. Так как р — 1 делит в этом случае т, то т = Ь(р — 1) для некоторого натурального Ь. При Ь = 4 получим (р + 1)2т < 8р2. Но тогда т < 7 и р < 8. Несложные вычисления исключают эту возможность.
Предположим, что Ь =3. Тогда т < 4(р — 1). В этом случае |М| = д2т/(р — 1) = Ьд2, где Ь < 4. Если Ь = д = 2, то р = 3, что уже было исключено. Если Ь = д = 3, то р = 5. Но тогда р = 5 не делит |ОиЬ(М)|. В остальных случаях группа Б имеет абелеву силовскую д-подгруппу. По лемме 3 Б не может иметь неприводимого характера степени рд.
Предположим, что Ь = 2. Тогда р2 < т < 2р2. При этом т = Ь(р — 1) для некоторого натурального Ь. Порядок М равен дт/(р — 1). Если Ь = д или Ь = 2д, то группа Б не имеет неприводимого характера степени рд. В любом другом случае группа Б имеет порядок, меньший р2д2, и потому Ь = 2.
Теперь Ь =1, |С| = р2дт, где р2д < т < 2р2д, д = (р + 1)/2. В этом случае |Б| = рт/(р — 1). Поскольку степень неприводимого характера должна делить порядок группы, отсюда следует, что Б не имеет характера степени рд, а тогда и С не имеет характера степени р2д. Все возможности исключены. Теорема 2 доказана.
4. Доказательство теоремы 3
В теореме 2 было установлено, что С является р-разрешимой группой. В лемме 12 (при условии, что |С| = 486) порядок силовской р-подгруппы Р группы С не больше р3. В леммах 14 и 16 доказано, что |Р| = р2 при Ор(С) = 1.
Лемма 18. Ор(С) = 1 и |Р| = р2.
Доказательство. Допустим, что и = Ор(С) = 1. По лемме 12 подгруппа Р € Бу1р(С) не нормальна в С. Из леммы 3 следует, что |и| = р2. Поэтому |и| = р. Следовательно, Н = Сс(Р) содержит коммутант группы С, и в силу
леммы 7 |G/H| = qx = 1 и группа G/H циклическая. По леммам 1, 2 и 6 имеем
вя=è хг,
i=1
где Xi G Irr(P). Так как G/H имеет взаимно простой с p порядок и в(1) = p2q, то Xi(1) = Р2. Поэтому H имеет q сопряженных неприводимых характеров степени p2. Так как |H| > p4q и |G/H| = qÀ, то Л =1.
Имеется q-подгруппа Q группы G, не лежащая в H. Она действует сопряжениями на множестве неприводимых характеров степени p2 группы H. Группа Галуа действует на множестве характеров степени p2q группы G. Общее количество неприводимых характеров степени p2 группы H равно p — 1. В орбиту группы Q попадают q таких характеров. Поэтому количество неприводимых характеров степени p2q у группы G не меньше (p — 1)/q. Так как имеется ровно один характер, сопряженный с в, то p — 1 = q. Поэтому в данном случае p = 3, q = 2, что исключено в замечании перед леммой 14. Итак, 0p(G) = 1 и |P| = p2. Лемма доказана.
По теореме 2 группа G является p-разрешимой, а из леммы 18 получили, что силовская p-подгруппа P группы G абелева порядка p2. По теореме 6.3.3 в
[2] имеем G = 0p',py (G), причем H = Op',p(G) = M x P, где M = Op(G). Эти
обозначения зафиксируем до конца доказательства теоремы 3.
q
Лемма 19. Если G = H, то |G : H| = q и вя = J2 Xi, где Xi G Irr(H) —
i=1
сопряженные характеры группы H степени p2.
Доказательство. По теореме 2 РС(в)-группа G p-разрешима и |G| =
у
р2дьто, где 0(1) = р2д, причем (рд,то) = 1. Допустим, что Р £ 8у1р^) и Н = Так как Р — абелева группа порядка р2, то Р изоморфна ли-
бо циклической группе Ср2, либо элементарной абелевой Ср х Ср. Тем самым G/H < Ои£с(Р) является р'-группой. Обозначим / = ^ : Н|. По лемме 7 группа G/H не может иметь нормальных подгрупп простого индекса, отличного от д. Так как р'-группа Ои£с(Р) изоморфна либо циклической группе порядка, делящего р — 1 (случай Р = Ср2), либо группе порядка, делящего (р2 — 1)(р — 1) (случай Р = Ср х Ср), то д делит р± 1. По лемме 1 (теория Клиффорда) имеем
0и =
г=1
где Хг — сопряженные неприводимые характеры группы Н, причем евх1(1) = р2д, где ее делит ^ : Н|. В частности, из (р, ее) = 1 следует, что ее = д и
Хг(1) = р2. В любом случае имеется нормальная подгруппа Н1 > Н индекса д
q
в G. Так как 0и1 приводим ввиду леммы 7, то 0и1 = е ^ хг, где Хг(1) = р2.
г=1
В частности, ^ : 1с (х1)1 = д. Поэтому получаем
t
где один из характеров, скажем ф1, равен В и
]Те2 = |/с(Х1): Н| = //д.
г=1
Понятно, что Н1 = /с(В). Так как Н1 имеет д неприводимых характеров степени р2, то |Н1| > (р4д + 1). С другой стороны, подгруппа М = Ор(С) не централизуется элементом из
Р # ввиду леммы 3 (теорема Ито). Поэтому |М| > р2 и потому |Н| > р4. Следовательно, из |С| = |С : Н| < 2р4д2 получаем, что / = |С : Н| < 2д2. Таким образом, ввиду леммы 7 имеются следующие возможности:
(a) |С : Н| = д2;
(b) |С : Н| = д(д + 1), где либо д + 1 — степень двойки, либо д +1 = 3, д = 2;
(c) |С : Н| = д.
Однако в случаях (а) и (Ь) имеется более одного неприводимого характера степени р2д, что неверно. Значит, |С : Н| = д и лемма доказана.
Лемма 20. Если С = Н, то для любого неприводимого характера х = хг из разложения Вн существует р2 линейных характеров ф^-, сопряженных с
р2
характером ф = ф1; таких, что хм = ф^' • Группа М абелева.
¿=1
Доказательство. Пусть ф — неприводимый характер группы М, входящий в разложение характера хм, где х = Хг — любой неприводимый характер
группы Н, определенный в лемме 19. Согласно лемме 1
<
хм = е'^ фг,
г=1
где фг — характеры, сопряженные с ф, е' и 4 делят |Н : М | = р2. В частности,
р2 = х(1)= е'4ф(1).
Так как (|М|,р) = 1, то фг(1) не делится на р. Поэтому е'4 = р2 и фг(1) = 1. В частности, кег(фг) содержит коммутант группы М. Отсюда ф^-(у) = 1 для любого j и у € М. Но тогда х(у) = р2 для любого характера х, сопряженного с х1. Как результат В(у) = р2д. Так как В — точный характер, то у =1, т. е. М' = 1 и М абелева группа, что и требовалось доказать.
Лемма 21. Пусть С = Н, С = М х Р и С не содержит нормальных под-
р2
групп индекса д. Тогда Вм = аг, где аг € 1гг(М) — сопряженные характеры
г=1
группы М степени д.
Доказательство. Пусть а € 1гг(М) — неприводимый характер группы М, входящий в разложение Вм, и пусть /с (а) — его группа инерции. Согласно лемме 1
Вм = еУ^аг,
г=1
где аг € 1гг(М), е делит |/с(а) : М|, а в делит |С : /с(а)|. По лемме 6 Вм — приводимый характер и потому в > 1. Так как В(1) = р2д = ева(1), причем (а(1),р) = 1 (порядок М не делится на р), то ев = р2 и а(1) = д. Так как в = 1, то е = 1. Поэтому в = р2. Лемма доказана.
Лемма 22. Если г — простой делитель |М |, то М содержит силовскую г-подгруппу К, допустимую относительно Р •
Доказательство. Группа Р действует с помощью сопряжения на множестве силовских г-подгрупп группы М. Их число — это индекс нормализатора силовской подгруппы, который взаимно прост с числом | Р| . Так как каждая нетривиальная Р-орбита группы имеет длину, делящуюся на р, то существует силовская г-подгруппа, допустимая относительно Р. Лемма доказана.
Лемма 23. Группа С = М х Р содержит подгруппы ^Р и КР порядков дЬр2 и гар2 соответственно, причем га |т, где Р — силовская р-подгруппа группы С, Q — силовская д-подгруппа О, а К — силовская г-подгруппа С. В частности, М имеет холловы {р, д} и {р, г}-подгруппы.
Доказательство. Как сказано выше, С = М х Р, где |М| = дьт, |Р| = р2 и (р, дт) = 1. Так как Р действует с помощью сопряжений на множестве силов-ских д-подгрупп группы М, а их число не делится на р, то имеется силовская д-подгруппа Q группы М, инвариантная относительно Р. Таким образом, в С содержится подгруппа Ь = QP, имеющая индекс т в С. По лемме 22 группа С содержит также подгруппу У = ЯР индекса ^г- Лемма доказана.
Лемма 24. Если С = Н, то верно одно из утверждений:
1. С = QCG(P), где = дь, причем дь > р2.
2. С = КСс(Р), где |К| = га делит т.
3. С = Сс(а)Сс(и), где Р = (а) х (и) порядка р2.
Доказательство. Напомним, что |С| = р2дьт и (р, дт) = 1, причем дЬ-2т < 2р2.
Допустим, что К € 8у1г(С), где г|т. Если Р нетривиально действует на К, то |К| > р + 1.
Предположим теперь, что Р действует тривиально на всякой силовской подгруппе группы С, кроме К. В силу леммы 11 группа С имеет нормальную подгруппу У1, являющуюся нормальным замыканием подгруппы Р, содержащуюся в У = КР. Из теоремы Ито (лемма 3) следует, что Р = 11. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что У1 = К1 х Р = (Рс), где К1 — подгруппа группы К, на которой Р действует нетривиально. В этом случае С = КСс(Р), так что выполнено утверждение 2.
Если Р действует нетривиально, кроме К € Яу1г(С), и на некоторую Б € Яу13(С), где в|т, в = г, то | > р + 1, причем
т > |Б||К| > (р + 1)(2р + 1) > 2р2.
Значит, т > 2р2. Так как дЬ-2т < 2р2, то Ь =1. Стало быть, |С| = р2дт, где (т, рд) = 1.
Если для любого простого г £ п(М) группа Р действует тривиально на некоторой К £ Яу1гто G = М х Р, что невозможно.
Пусть для любого г = д подгруппа Р действует тривиально на некоторой силовской г-подгруппе группы М из М = Ор По лемме 11 группа G имеет нормальную подгруппу Ь1, являющуюся нормальным замыканием подгруппы Р, содержащуюся в Ь = фР, порядка, делящегося на р2. По лемме 3 Р = Ь1, поэтому Ь1 = х Р = (Р°), где < ф. Тогда G = (Р), причем д6 > р2 и верно утверждение 1.
Наконец, возможен случай, когда Р действует нетривиально как на К, так и на ф, где |ф| = д6, |К| = га|т.
Понятно, что |К| > 1 + р. Если |К| > р2, то т > р2 + 1 и из тд6-2 < 2р2 следует, что д6-2 < 1, так что Ь =1 или 2.
Однако в этом случае |Р| > |ф| и Р не может действовать нетривиально на ф за исключением случая, когда д = 2, р = 3. Этот случай рассмотрен ранее. Поэтому далее считаем, что Ь > 3.
Стало быть, |К| < р2 и потому существует элемент порядка р, действующий тождественно на К. При этом т > |К| > р +1.
Рассмотрим Ь = ф х Р. Так как по теореме 5.1.4. Бернсайда из [2] элемент порядка р, не централизующий ф, должен действовать нетривиально на ф/ф(ф),то |Ф(ф)| < д.
Таким образом, имеются следующие возможности:
1) ф экстраспециальная порядка д6, где р делит д6-1 — 1, причем Ф(ф) = 2(ф) = ф' порядка д и |ф/Ф(ф)| = д6-1.
В этом случае Ь— 1 — четное число. Пусть Ь — 1 = 2в, тогда д2в — 1 делится на р и (дв — 1)(д8 + 1) делится на р. Значит, р < +1 < дь~2, однако дь~2то < 2р2. Тогда т < р, что невозможно.
2) ф — абелева не элементарная и |Ф(ф)| = д. Тогда ф = (а) х ф1, причем |(а)| = д2, |ф1| = д6-2. Понятно, что (аq) централизуется Р и (а17) х = О(ф) о Ь. По теореме Машке существует порядка д6-2 и (а7) х = О(ф), следовательно Р действует тривиально на ф, что исключено.
3) ф — элементарная абелева порядка д6, причем д6-1 — 1 = 0(modр). Так как д6 = д(д6-1 — 1) +д = др£+д и р2 > д6 > р, то существует элемент а порядка р, централизующий ф. Также существует элемент и порядка р, централизующий К. При этом (а) = (и), ибо 2= 1. Поэтому Сс(а)Сс(и) > G и Р = (а) х (и), где ар = = 1, т. е. верно утверждение 3. Лемма доказана.
Лемма 25. Пусть а — неприводимый характер группы М степени д, входящий в разложение 0м • Тогда для К о М характер а к приводим.
Доказательство. Из лемм 11 и 24 следует, что М не простая группа.
Это очевидно, если п(т) = 1. То же верно при п(т) = 2, В самом деле, если
G = КСс (Р) для некоторой силовской подгруппы К группы М, то по лемме 11 имеется нормальная подгруппа группы G,содержащаяся в М (случаи 1 и 2 лем-
мы 24). Если же ни один неединичный элемент группы Р не централизует хотя
бы пару силовских подгрупп группы M, скажем R и S, которые P нормализует, причем одна из них является r-силовской из M, а вторая s-силовская, где r = s £ n(m), то m > (p + 1)(2p + 1) > 2p2. Отсюда b = 1 и |G| = p2qm.
В этом случае P централизует Q £ Sylq(M). Пусть |n(m)| = 2, Предположим, что Cp(R) = (а). Тогда |G : Cg(a)| — степень числа s. По лемме 11 заключаем, что подгруппа (aG) — разрешимая {p, sj-подгруппа, так что M не проста. Если |n(m)| > 3 и если в P# нет элементов, у которых индекс централизатора — степень простого числа, то m > 2(p + 1)3, так что mq-1 > 2p2; противоречие. Итак, в любом случае M не проста.
Допустим, что K — наибольшая собственная нормальная подгруппа группы M. По лемме 1 имеем
d
ак = еУ^ As,
s=1
где d, е — натуральные числа, делящие |M : K|, и As — неприводимые характеры группы K, сопряженные с A1 = A. Отсюда q = а(1) = edA(1). Если ак неприводим для любого а, входящего в разложение Ом, то подгруппа K имеет p2 неприводимых характеров степени q. Но тогда ее порядок равен не меньше,
чем q2p2 + 1, тогда как |K| < |M|/(|M : K|) < p2q2 + 1; противоречие. Значит, q
ак = As, где As — линейные характеры. Лемма доказана.
s=1
Закончим доказательство теоремы 3.
Доказательство теоремы 3. Из леммы 25 следует, что пересечение ядер характеров As, входящих в разложение О к, содержит коммутант K и потому тривиально. Поэтому подгруппа K группы G, имеющая индекс p2q в G, абелева, что и утверждалось. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах // Алгебра и логика. 1999. Т. 38. С. 131-160.
2. Gorenstein D. Finite group. New York: Harper and Row, 1968.
3. Isaacs I. M. Character theory of finite groups. New York; San Francisco; London: Acad. Press, 1976.
4. Feit W. Characters of finite groups. New York; Amsterdam: Yale University, 1967.
5. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фундамент. и прикл. математика. 1996. Т. 2, № 1. С. 1-92.
6. Казарин Л. С., Поисеева C. С. О конечных группах с большой степенью неприводимого характера // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22, № 4. С. 483-499.
7. Guralnick R. M., Malle G., Navarro G. Self-normalizing Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 132, N 4. P. 973-979.
8. Фейт У. Теория представлений конечных групп. М.: Наука, 1990.
9. Казарин Л. С. О ра-лемме Бернсайда // Мат. заметки. 1990. Т. 4, № 2. С. 45-48.
10. Camina A. R., Camina R. D. Implications of conjugacy class size // J. Group Theory. 1998. V. 1. P. 257-269.
11. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.
12. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. ATLAS of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.
13. Казарин Л. С., Поисеева C. С. Конечные группы с большим неприводимым характером // Мат. заметки. 2015. Т. 98, № 2. С. 237-246.
14. The GAP Group. GAP — Groups, Algorithms and Programming. Version 4.4.10. (Aachen, St. Andrews, 2008.) http://www.gap-system.org
15. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.
Статья поступила 15 октября 2015 г. Поисеева Саргылана Семеновна
Ярославский гос. университет им. П. Г. Демидова, ул. Советская, 14, Ярославль 150000 pss.iiiSmail.ru
