CC BY
21
6. V. F. Molchanov. Canonical representations on Lobachevsky spaces: an interaction with an overalgebra. Acta Appl. Math. 2007, vol. 99, 321-337.
V. F. Molchanov. Canonical representations for hyperboloids: an interaction with an overalgebra. For canonical representations on hyperboloids, an interaction of Poisson transforms with an overalgebra is determined explicitly (the overalgebra is the Lie algebra of SL(n, R)). Keywords: hyperboloids, overgroups, canonical representations, Poisson and Fourier transforms.
Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.
УДК 517.98
Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде 1
© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова
Ключевые слова: гиперболоид, тензорные произведения, преобразования Пуассона и Фурье, формула Планшереля.
Тензорное произведение двух неприводимых конечномерных представлений группы О = 8Ь(2, К) реализуется как представление группы О в функциях на однополостном гиперболоиде в К3. Дается разложение этого представления в терминах гиперболоида.
В построении [2] полиномиального квантования на однополостном гиперболоиде X в М3 существенную роль играл конечномерный анализ на этом гиперболоиде, то есть разложение на неприводимые составляющие представлений группы С? сдвигами в многочленах на X. Эти представления могут быть рассматриваемы как конечномерный аналог канонических представлений. Такие представления появляются, когда мы умножаем тензорно неприводимые конечномерные представления 7ГI группы (7 = SL(2, М) на их контраградиент-ные представления щ. В настоящей работе мы хотим изучить в таком же духе тензорные произведения 7Г; <Э 7гт, I ф т.
Группа (7 = ЭГ(2,М) состоит из вещественных матриц
9 = ( 7 б ) ’ а6~Р'У = 1-
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-
учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
Всякое конечномерное неприводимое представление 7Гі группы С задается числом I (старшим весом), таким, что 21 Є N = {0,1,2,...}. Оно действует в пространстве Ц многочленов от £ степени ^ 21 (так что сІітТ^ = 21 + 1) по формуле
(тггЫ/Н*) = /(*)(#+ <У)2‘, Ї = г • д = , (1)
Меняя в(1)ас<5и/5с7, мы получим контраградиентное представление тт; (оно эквивалентно -кі):
(*) = /(*)(7* + а)2г,
где
^ ^ 6Ь + р Л ( й 1
Алгебра Ли д группы С состоит из вещественных матриц X со следом 0. Базис в ней состоит из матриц:
0 о \ / 1/2 0 \ /01
1 0 ) ’ 1 I 0 -1/2 J ’ + I 0 0
Для базисных элементов из д имеем
7гг(1а) = =г^-1,
7г,(£+) = тгг(£_) = -£2 + 2И,
аъ
7Г,(£_) = 7Г/(£+) = ^ .
Одночлены 1 и являются соответственно минимальным и максимальным векторами относительно представления 7Г;, т. е. аннулируются соответственно элементами и Ь+, относительно представления 7гI таковыми являются одночлены ^ и 1.
Представление 7г* сохраняет следующую невырожденную билинейную форму Д на V;: на базисных элементах она задается формулой (6^ - дельта Кро-некера):
Bi(tm, tp) = (—l)m
2Г _1
ш
Пусть 21, 2т £ N. Предположим, что число г = т — / - целое. Для определенности возьмем I ^ т, так что г G N. Пространство = Vi®Vm состоит из многочленов /(£, г/) от двух переменных £, 77 степени ^ 2/ по £ и степени ^ 2т по г]. Представление Rim = щ ®тгт группы G действует в Wim по формуле
v) = /(£, + £)2'Ы + a)2m.
Представление Rim и пространство W/m разлагаются в прямые суммы Rim — ^m-l “Ь ^m—l+1 "Ь • • • “Ь 7Гт+/,
w,„ = +...+
7гк действует в \Уь , к — т — I,... ,тп + I. Минимальный и максимальный векторы в \У1кт - это многочлены (мы не указываем зависимость от I, т)
дгт+1-к ^к+т-1; Ук = дТт+1-к ^к-т+1? дг = І - £77.
Билинейная форма Дт = Вт на И7/™ инвариантна относительно подпространства ортогональны относительно нее. Обозначим
В1т(ик,ук) = Л(/,ш; /с).
Вычисление дает
(А: — т + /)! (к + т — 1)\ (т + I — к)\ (т + I + к + 1)!
Х(1, гп', к)
(21)\ (2т)! (2к + 1)!
Пусть X обозначает гиперболоид —х% + х\ 4- = 1 в!3. Реализуем его как
множество матриц
х=-( 1~Хг ХУХ' ) (2)
2 \ х2 + хг 1 + х3 )
с определителем равным нулю. Группа (? действует х д~1хд на нем транзитивно. Стационарная подгруппа точки х° = (0, 0,1) - подгруппа Н диагональных матриц /г = diag((!>~1, <5). Введем на X орисферические координаты £,77:
•-И7Т) я
Действие группы С в этих координатах разделяется: если х имеет координаты £,77, то д~гхд имеет координаты £, г/. Базисная точка х° имеет координаты
£ = 0, г] = 0. Элемент д Є С? переводит х° в точку с координатами £ = 7/5,
г] = /3/а, так что N = (а5)-1. В частности, таковым является элемент
Отображение
1/ІУ г7/ЛГ \
£ і 1
/ ІГ = N /, / Є И^т, (4)
переводит И^т в пространство Міт некоторых рациональных функций .Р от £, г]. В силу (2) и (3) эти рациональные функции являются многочленами от Х\, Х2, Хз на X. В частности, функции / = 1 отвечает многочлен
' і і \ 2т
Л(х) ' 13 + 1
Отображение (4) сплетает і?/т и представление 11г группы Є, индуцированное характером к ь-» 6~2г подгруппы Н. В орисферических координатах представление иг есть
(имгж, ч) = ? (I ч) (К+*)~2г■
Обозначим через образ подпространства при отображении (4).
Возьмем в пространстве Ук одночлен вк<г(Ъ) = £*~г. В представлении тгк он является собственным вектором для Л 6 Н с собственным числом 52г. Он порождает ядро, назовем его ядром Пуассона:
РкЛх'Л) = («Л;1 )«<,,) («)
Ядро Рк<г определяет преобразование Пуассона
СРк,г<р){х) = {’Рк,г<р){£,ч) = Вк(Рк,г(х, ■), <р)-
Это преобразование отображает Ук на и сплетает тгк и 11г. Базис ts в Ук
переходит при отображении РкуГ и умножении на (—1)А:~Г в базис
м=я- (2*у е (*;!г) (*:;) е- .
Минимальный и максимальный векторы
= (~)"г (^)2Г отвечают и*, ук при отображении (4). Базисный вектор Я?к = Рк,к+г зависит только от хз, он выражается через многочлены Якоби [1] 10.8:
Мы имеем разложение:
тп+1
А= ^2 Л(1,т;к)~1Фк.
к=т—1
Эту формулу можно рассматривать как аналог разложения дельта-функции по сферическим функциям (аналог формулы Планшереля).
Литература
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.
2. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.
V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis on a hyperboloid of one sheet. The tensor product of two irreducible finite dimensional representations of the group G — SL(2, M) is realized as a representation of G on functions on the hyperboloid of one sheet in R3. A decomposition of this representation is given in terms of the hyperboloid. Keywords: hyperboloid, tensor products, Poisson and Fourier transforms, Plancherel formula.
Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.
УДК 517.98
Инварианты аффинной группы в пространстве многочленов 1
© В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок
Ключевые слова: аффинная группа прямой, орбиты, инварианты, результант.
Дано описание инвариантов группы х ах + /5, действующей сопряжениями в пространстве многочленов.
В настоящей работе мы даем описание инвариантов аффинной группы прямой, действующей сопряжениями в пространстве многочленов: мы пишем различные формулы для инвариантов этого действия в терминах коэффициентов многочлена и в терминах корней его производных. Наши результаты дают простые и прозрачные доказательства формул, полученных в [1], [2].
Пусть Уп - пространство многочленов /(ж) степени ^ п над полем М:
/(х) = а0 + ахх + ... + апхп,
переменная х пробегает Е. Оно имеет размерность п + 1. Пусть (7 - группа аффинных преобразований (р прямой Е:
х ь-> ц>(х) = ах + /?,
где а, (3 € К, а > 0. Она действует в пространстве Уп сопряжениями:
Т{ф)1 = ^ о/о<р.
1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-
учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
