Конечно-элементный подход к моделированию затенения зеркала антенны Текст научной статьи по специальности «Физика»

Якимов А.Н.

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ЗАТЕНЕНИЯ ЗЕРКАЛА АНТЕННЫ

При проектировании осесимметричных зеркальных параболических антенн возникает проблема оценки затенения зеркала облучателем и элементами его крепления. Вследствие такого затенения не все компоненты электромагнитного поля, создаваемого зеркалом антенны, достигают точки наблюдения. Одна часть из них попадает в облучатель, изменяя его характеристики (реакция зеркала), а другая отражается от проводящих элементов, создавая вторичное поле, влияющее на исходное поле зеркала антенны.

Сложности оценки этого явления на этапе проектирования могут быть преодолены использованием при построении математической модели конечно-элементного метода. Конечно-элементное описание отражателя антенны [1] позволяет представить векторы электромагнитного поля Е и Н совокупностью компонент, формируемых отдельными фрагментами излучающей поверхности зеркала, являющимися конечными элементами (КЭ) ее разбиения. Зная геометрические характеристики этих элементов, можно определить центры их излучения и, используя справедливый для данного типа антенн метод геометрической оптики, оценить интервалы углов, в пределах которых затеняется излучение каждого КЭ.

Рассмотрим параболическую антенну с рупорным облучателем, геометрическая модель которой представлена в декартовой системе координат на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическая модель параболической антенны с рупорным облучателем

Угловые интервалы затенения зеркала в горизонтальной и вертикальной плоскостях определяется соответствующими максимальными фтах или 0тах и минимальными или 0^п угловыми положениями точек граней

затеняющего объекта для каждого заданного углового положения 0 в вертикальной или ф в горизонтальной плоскости соответственно. Для плоских граней такие положения определяются точками ребер этих граней.

Произвольные углы наблюдения текущих точек ребер затеняющего объекта из центров излучающих элементов, в соответствии с принятой геометрической моделью (см. рис. 1), могут быть определены по следующим формулам:

Фт = аг^

0Т = аг^

где фт , зетственно;

хік

т *ік Ут - Уік

zт - z,

(1)

(2)

о

т

углы наблюдения текущих точек ребер в горизонтальной и вертикальной плоскостях соот-

X*

хт , ут , ZJ - координаты текущих точек ребер; хік , у% , z/^, - координаты центров излучающих элементов с индексами і и к . При этом полагается, что zт > z^. .

Для ребер граней объекта затенения (в нашем случае рупорного излучателя), параллельных осям координат, все текущие точки с координатами хт , ут и zт определены координатами узловых точек 5...12.

При произвольной ориентации ребер, например, определяемых узловыми точками 1.8 (см. рис. 1), координаты их текущих точек могут быть определены из уравнения прямой, проходящей через две узловые точки ребра. Для ребра 1-5 расчетная формула [2] примет вид

(3)

Хт - Х1 = Ут - У = .

Х5 - Х1 У5 - У1 *5 - *1

где X , У , * , Х5 , у5 , - координаты узловых точек 1 и 5 ребра 1-5.

Из уравнения (3) получим ^ = ^ + (ут-у1)(^5-*1). (4)

У5 - У1

В свою очередь из формулы (2) следует, что при заданном угле 0 (Ут - У1к)

^т = *ік

*8 9т

(5)

Путем совместного решения уравнений (4) и (5) можно получить расчетное выражение для координаты ут которое сводится к виду

Ут

■ [(*к - *1)(У5 - У1) + У1 (*5 - *1)] *8 0т - У1к (У5 - У1)

(6)

(*5 - *1)18°т - (У 5 - У1)

Таким образом, с учетом выражения (6) для заданного угла наблюдения в вертикальной плоскости 0 по

формуле (4) может быть определена и соответствующая координата *т .

В свою очередь, с учетом знания Ут , координата Хт может быть получена из уравнения (3):

Х^ = х + (УТ - У1)( Х5 - Х1) . (7)

У5 - У1

Зная Х^ и *т по формуле (1) легко определить угол наблюдения этой текущей точки в горизонтальной

плоскости из центров излучающих элементов с индексами г и к .

Формулы для расчета углов наблюдения текущих точек в вертикальной плоскости при заданном угле фт в горизонтальной плоскости могут быть получены аналогично. Расчетные выражения в этом случае примут вид:

(х - X )(* - * )

X = *1 + —-------------— , (8)

. [(*к - *1)(Х5 - Х1) + Х1 (*5 - *1)] *8 фт - Хк (Х5 - Х1)

(*5 - *1)18фт - (Х5 - Х1)

(9)

Ут = У1 +

(хт - Х1)(У5 - У1)

(10)

Зная Ут и *т по формуле (2) легко определить угол наблюдения этой текущей точки в горизонтальной

плоскости из центров излучающих элементов с индексами г и к .

Полученные формулы оказываются полезными при расчете диаграммы направленности (ДН) антенны в любом ее сечении с учетом затенения зеркала объектами с плоскими гранями и произвольно ориентированными ребрами.

Расчеты могут быть значительно упрощены с учетом того, что пространственная ДН антенны Р (ф,0) с достаточной для практики точностью может быть представлена произведением функций, описывающих ее сечения главных плоскостях [1, 3] :

(11)

где Р (Ф), Р (0) - диаграммы направленности антенны в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно; ф, 0 - углы относительно оси антенны соответственно в горизонтальной и вертикальной плос-

костях.

С учетом такого представления интервалы углов затенения зеркала рупорным облучателем в каждой из плоскостей могут быть получены с помощью проекций затеняющего объекта на соответствующую плоскость. Так, например, проекция рупорного облучателя на плоскость хО* (рис. 2) позволяет определить интервалы углов затенения зеркала в горизонтальной плоскости.

С учетом представления излучающих элементов в виде матрицы [1], на рис. 2 приняты следующие обозначения: г - индексы строк излучающих элементов; к - индексы столбцов излучающих элементов; (ф^_1 )тц1 ,

(фк-1 )тах , (Фк)тт , (Фк)тах , (Фк+1)ш1п , (фк+1)тах - минимальный и максимальный углы наблюдения узлов ребер за-

теняющего объекта в горизонтальной плоскости из центров излучающих элементов к -1 , к и к +1 строки г ; числа 1...12 - номера узлов ребер затеняющего объекта.

Рис. 2. Проекции рупорного облучателя и сечения излучающей поверхности антенны на плоскость хО*

При расчете главного сечения ДН антенны в горизонтальной плоскости р (ф) необходимо задать угловое положение точки наблюдения в вертикальной плоскости 0 = 0Т =0° и для определения углов затенения излучения зеркала в горизонтальной плоскости воспользоваться формулой (1), придав текущим координатам ребер Х и * значения координат рассматриваемых узловых точек.

Из рис. 2 видно, что минимальный и максимальный углы наблюдения текущих точек ребер затеняющего объекта определяются их узловыми точками 1, 2, 5, 6, 9 и 10. Таким образом, совокупность угловых положений

этих точек определяет множество Sp возможных углов затенения излучения зеркала в горизонтальной плоскости.

Так как множество S^ конечно [2], то его точная верхняя граница sup S^ равна наибольшему числу, принадлежащему S^, : max S^ , а точная нижняя граница inf S^ равна min S^ . С учетом этого, интервал углов

затенения <p^n < ф< , является ограниченным замкнутым интервалом [ф^п] •

Для определения границ этого интервала фтп = min S^ и Pmax = max Sp могут быть использованы любые вычислительные методы. Например, в оболочке MatLAB [4] из угловых положений Щ ф , Фб , Щ и фо

узловых точек 1, 2, 5, 6, 9 и 10 (см. рис. 2) может быть сформирована матрица-строка, минимальные и

максимальные элементы которой определяются с помощью стандартных функций MatLAB min и max .

Из рис. 2 видно, что для каждого излучающего элемента характерны свои интервалы затенения. Так для излучающих элементов i, к — 1 и i, к нижняя и верхняя границы затенения определяются как Щ и

Фгах = Щ соответственно. При еще большем отклонении излучающего центра от оси антенны, например как у

элемента i,к +1 (см. рис. 2), нижняя граница затенения определяется, как и раньше, Щ, а верхняя

уже составляет фах = .

В свою очередь проекция рупорного облучателя на плоскость yOz (рис. 3) позволяет определить интервалы углов затенения зеркала в вертикальной плоскости.

На рис. 3 приняты следущие обозначения: (6»— i)mm , (Д—i)max , (6i)mm , (6i )max , (^mm , (6’i+l)max - минималь-

ный и максимальный углы наблюдения точек ребер затеняющего объекта из центров излучающих элементов

i — 1 , i и i +1 столбца к ; числа 1.12 - номера узлов ребер затеняющего объекта.

z А

10(9) 12(11)

О у

Рис. 3. Проекции рупорного облучателя и сечения излучающей поверхности антенны на плоскость yOz

При расчете главного сечения ДН антенны в вертикальной плоскости F (6) необходимо задать угловое положение точки наблюдения в горизонтальной плоскости ф=фт=00 и для определения углов затенения излучения зеркала в вертикальной плоскости воспользоваться формулой (2), придав текущим координатам ребер ут и z значения координат рассматриваемых узловых точек.

Из рис. 3 видно, что минимальный и максимальный углы наблюдения текущих точек ребер затеняющего объекта определяются их узловыми точками 2, 4, 6, 8, 10 и 12. Таким образом, совокупность угловых положе-

ний этих точек определяет множество S возможных углов затенения излучения зеркала в вертикальной плоскости.

Так как множество S^ конечно [2], то его точная верхняя граница sup S^ равна наибольшему числу, принадлежащему S : max S , а точная нижняя граница inf S равна min S . С учетом этого, интервал углов

затенения 6^п < 6< 6Ш^ , является ограниченным замкнутым интервалом [6^п,^х] • Таким образом, границы интервала углов затенения излучения антенны в вертикальной плоскости могут быть определены как

6min = min S6 и 6max = max S6 •

Для дальней зоны излучения антенны можно считать [1], что все направления от начала локальных систем координат КЭ излучающей поверхности на точку наблюдения параллельны. Угловые же координаты точки наблюдения в локальных системах координат КЭ вследствие нелинейности излучающей поверхности оказываются различными. В связи с этим, для определения электрических составляющих электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения гладкой криволинейной излучающей поверхностью, особое значение следует придавать оценке характеристик рассеяния граней гладкой части и ребер внешних граней, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении электромагнитной волной облучателя, падающей под произвольным углом. Следует также обратить внимание и на необходимость оценки пространственной ориентации электрических составляющих поля, создаваемых на идеально проводящих гранях и ребрах кромки излучающей поверхности тангенциальной составляющей магнитного поля в глобальной системе координат, чтобы обеспечить их векторное сложение в точке наблюдения. Компоненты общего поля получаются простым суммированием сферических компонент поля каждой грани и каждого краевого ребра кромки излучающей поверхности антенны относительно

глобальной системы координат. Зная интервалы затенения зеркала в горизонтальной и верти-

кальной 6^п<6<6^х плоскостях, легко при суммировании компонент поля в точке наблюдения исключить те из них, которые соответствуют полученным интервалам.

Предложенный подход к моделированию затенения зеркала антенны с использованием метода конечных элементов позволяет свести сложную электродинамическую задачу во многом к геометрической. При этом не следует забывать о необходимости векторного сложения компонент поля в точке наблюдения и учета возникающих краевых эффектов. Полученные результаты могут быть рекомендованы для дальнейшего практического использования при проектировании зеркальных параболических антенн.

ЛИТЕРАТУРА

1. Якимов А.Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий: Монография. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. — 260 с

2. Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн//. —

М.: Наука, 1974. — 832 с.

3. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. — М.: Высш. шк., 1988. — 432 с.

4. Дьяконов В.П. MatLAB 5.3.1 с пакетами расширений/ В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова, В.В. Круглов//

Под ред. В.П. Дьяконова. — М.: Нолидж, 2001. — 880 с.