Компьютерный синтез двигательных действий с управлением движением по кинематическому состоянию биомеханической системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 796.012

КОМПЬЮТЕРНЫЙ

синтез двигательных действий с управлением движением по кинематическому состоянию биомеханической системы

Доктора педагогических наук, профессора В.И. Загревский, О.И. Загревский Томский государственный университет, Томск

COMPUTER AIDED MOTION SYNTHESIS WITH MOVEMENT CONTROLLED IN RESPECT TO KINE-MATICSTATUS OFBIOMECHANICAL SYSTEM

V.I. Zagrevsky, professor, Dr.Hab. O.I. Zagrevsky, professor, Dr.Hab. Tomsk state university, Tomsk

Key words: computer aided motion synthesis, critical poses-positions, biomechanical system, control.

Within the conceptual framework solution of a motor task presupposes division of the exercise into logically relevant blocks. The use of the structural-parametric approach in the biomechanical analysis of the technology of sports exercises is consistent and vital.

The structural-parametric approach supposes dividing an exercise into constituents (periods, stages, phases) and justification of the capacity of increasing or decreasing of the key parameters of biomechani-cal characteristics, aimed at design of the rational technology of the gymnastic exercise being learnt. The purpose of the study was to make a computer aided synthesis of athlete's motions based on the consecutive interpretation of the model-based system in single phases of the exercise from the initial set biomechanical status to the final required status. The research methods involved were as follows: user computer modeling of boundary positions of transition from one phase of an exercise to another; computer aided synthesis of athlete's motions in specific phases of an exercise and along the whole trajectory of the biomechanical system. Algorithms of equations are made for the unramified multi-stage model of rigid gymnast's body in conditions of support. The principal results of the study consist in the design of the software of synthesis of horizontal bar gymnastic exercises (based on the reverse-hecht straddle catch pattern) and its further realization in the computing experiments with obtained desired values of biomechanical characteristics of motor actions, specific for athlete's boundary positions in the studied phases of the exercise.

Ключевые слова: компьютерный синтез движений, граничные позы-положения, биомеханическая система, управление.

Введение. В литературе последних десятилетий, посвященной вопросам обучения в спорте, стало общепризнанным использование понятия «техника спортивных упражнений» в контексте способа решения спортсменом двигательной задачи. В этом смысле мы согласны с мнением Ю. К. Гавердовского [2, с. 94], который считает, что: «Техника спортивного упражнения суть биомеханически обусловленный способ индивидуального решения двигательной задачи». Так как в своей концептуальной основе решение двигательной задачи предполагает деление упражнения на логически обоснованные части, непротиворечивым и жизнеспособным является использование в биомеханическом анализе техники спортивных упражнений структурно-параметрического подхода. Структурно-параметрический подход предполагает деление упражнения на составные части (периоды, стадии, фазы) [1, 2] и обоснование возможности увеличения или уменьшения основных параметров биомеханических характеристик с целью построения рациональной техники осваиваемого гимнастического упражнения. В связи с этим на повестку дня ставится проблема предварительного прогнозирования результатов структурной и параметрической перестройки техники упражнений методом механико-математического моделирования движений спортсмена. В целом эта задача трансформируется в задачу компьютерного синтеза движений с переводом моделируемой биосистемы из заданного начального биомеханического состояния в требуемое конечное состояние.

Цель исследования - реализовать компьютерный синтез движений спортсмена на основе последовательного перевода моделируемой системы в отдельных фазах упражнения из на-

чального заданного биомеханического состояния в конечное требуемое состояние.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовали следующие методы: компьютерное построение пользователем граничных поз перехода из одной фазы упражнения в другую, компьютерный синтез двигательных действий спортсмена в отдельных фазах упражнения и на всей траектории биомеханической системы.

Первый из методов использовали для построения гимнастом граничных поз в отдельных фазах перелета Ткачева на основе субъективного зрительного представления о технике моделируемого упражнения.

Второй метод исследования осуществляли на основе автоматизированного построения математической модели синтеза движений с помощью ЭВМ.

Результаты исследования и их обсуждение. 1. Концептуальные основы двигательной программы управления движением. Теоретический анализ литературных источников показывает, что для решения двигательной задачи система должна обладать определенными биомеханическими свойствами, отражающими биомеханическое состояние спортсмена и проявляющимися как на всей траектории движения, так и в отдельных положениях. В этом случае указание требуемых значений биомеханических характеристик двигательных действий, определенных для конечного момента времени или для конечного положения (возможно, и на всей траектории биосистемы) и характеризующих качество выполнения движения, представляет собой цель движения [3].

Из одного биомеханического состояния в другое биосистема переводится с помощью управляющих функций, которые будем считать программными, или при синтезе движений человека на ЭВМ - программным управлением. Таким образом, программа движения включает в себя как минимум два компонента:

- цель движения;

- программное управление.

Заданная цель движения реализуется с помощью управляющих сил (внешних и внутренних). Анализ уравнений целенаправленных движений спортсмена в условиях опоры [3] показывает, что внешние силы выступают в качестве моментов силы тяжести отдельных звеньев модели, а их равнодействующая - момента силы тяжести общего центра масс биомеханической системы. Следовательно, результат проявления действия внешних сил является функцией:

- положения звеньев биосистемы в декартовой системе координат;

- конфигурации биомеханической системы.

Так как величина моментов силы тяжести

звеньев тела спортсмена является производной

от траекторного положения звеньев биомеханической системы, то целенаправленно управлять величиной действия момента силы тяжести мы можем исключительно за счет изменения конфигурации биосистемы.

Анализ других структурных компонентов уравнений целенаправленных движений человека показывает, что в их левую часть в качестве неизвестных функций времени входят обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные ускорения звеньев биомеханической системы, а в правую часть - управляющие моменты мышечных сил. Эти функции описывают все возможные свойства системы.

Управляющие силы, необходимые для реализации цели движения, являются в этом случае программными силами. Как уже указывалось, управляющие силы могут быть как внешними, так и внутренними. В частности, к внутренним программным силам правомерно отнести управляющие моменты мышечных сил в суставах спортсмена.

Программное управление движением, реализуемое на кинематическом уровне, должно ограничивать изменения обобщенных координат и их производных по времени в соответствии с целью движения и решать поставленную двигательную задачу. Так как с помощью уравнений программного управления формируется кинематика целенаправленного движения, уравнения цели движения, заданные на кинематическом уровне, также определяют и программу движения.

Граничные моменты перехода из одной фазы в другую можно рассматривать как граничные позы, характеризующие согласование движений [1]. В этом случае в процедуре организации компьютерного моделирования техники спортивных упражнений наиболее информативными критериями для определения фазового состава спортивных упражнений могут быть экстремумы управляющих функций (программное управление) и исходная и конечная рабочие позы в изучаемых упражнениях [4].

2. Механико-математическое обеспечение компьютерного синтеза движений спортсмена включало рассмотрение вопросов построения математических моделей движения биомеханической системы и способов программирования управления движением человека на кинематическом уровне.

У

Уз

Ж' \ ф2

/б9у / V'

О [ж] X

Рис. 1. Кинематическая схема трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела человека

Модель опорно-двигательного аппарата тела гимнаста представлена на рис. 1.

Здесь: руки - первое звено, туловище с головой - второе звено, ноги - третье. В процессе выполнения упражнений спортсмен не теряет контакта с опорой, к примеру с грифом перекладины. Поэтому расположим кисти рук спортсмена в начале неподвижной системы координат Оху (рис. 1, А), а её, в свою очередь, совместим с торцом грифа перекладины.

Для принятой модели введем следующие обозначения (рис. 1, Б): L. - длина /-го звена; Si - расстояние от оси вращения г -го звена до его центра масс; (|>. - угол наклона г-го звена к оси Ох (обобщенные координаты г-го звена); фг. - угловая скорость г-го звена; <р. - угловое ускорение г-го звена; г - буквенный индекс, используемый для обозначения номера звена (¡=1,2,.., Ы); N - количество звеньев модели. В связи с тем что за обобщенные координаты биомеханической системы приняты <р(, то <р, и ср, соответственно будут обозначать обобщенную скорость и обобщенное ускорение г-го звена.

Обозначим с помощью символьной записи П1, и2 кинематическое программное управление в плечевых и в тазобедренных суставах (рис. 1, С), которое для любого момента времени (Г) будет определяться разностью обобщенных координат биомеханической системы

и1=Ф2-Ф1, и2=Фз-Ф2 . (1)

Для обозначения масс-инерционных характеристик рассматриваемой трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела спортсмена введем следующие идентификаторы: Р. - вес г-го звена; т. - масса г-го звена; J. - центральный момент инерции -го звена.

Расчетная модель многозвенной неразвет-вленной биомеханической системы с жесткими связями в условиях опоры. В компактной записи формульное выражение уравнений движения нераз-ветвленной многозвенной модели биомеханической системы, представленное в форме уравнений Ла-гранжа второго рода, имеет вид [5]:

Х4Ф/ С08(Ф; -Ф,)-2Х)Ф/ ^"(Ф/ + ^ совф,. = А/.-Мм

^=l м

/=1,.., Ы, г=1,.., N. (2)

Здесь А/ - динамические коэффициенты, учитывающие индивидуальные антропометрические и весовые особенности спортсменов, определяемые кинематическими и масс-инерционными характеристиками звеньев модели и вычисляемые по формуле [5]:

А.. = Ь..^. + т^.2) +т.1.$.(1-Ь) + Тт.Ь.Ь, />г;

. / ^ г г г 7 /г / г/ »

если г>/, то А.. = А..; к=1

г = 1, 2, 3, ..,Ы;/ = 1, 2, 3, .., N. (3)

В уравнении (3) запись Ь. означает символ Кро-некера. Символ Кронекера равен если г = ], если г Ф _/.

41, 10.

Содержательный смысл коэффициентов 7., содержащихся в левой части уравнений, заключается в том, что они представляют собой выражения для определения обобщенных сил в уравнениях Лагран-жа и в компактной записи имеют вид

N

¥ = Р.Б.+УР.Ь.

I I I к I

. (4)

Целенаправленные движения человека описываются введением в правую часть уравнений (2) управляющих моментов мышечных сил в суставах (М), записываемых для /-го уравнения системы (2) в виде алгебраической суммы слагаемых М( - М(+1, где

М.+, ф 0, если <Ы и М.+, = 0, (5)

г+1 ' г+1 ' 4 '

если г = Ы; М1 - момент силы трения.

Базисную математическую модель движений биомеханической системы, построенную в форме (2), можно эксплуатировать в двух направлениях. В первом направлении вычисляются управляющие моменты мышечных сил в суставах спортсмена по материалам оптической регистрации движений. Во втором базисную модель (2) можно использовать в компьютерном синтезе движений спортсмена.

Математическая модель синтеза движения многозвенной неразветвленной многозвенной биомеханической системы с жесткими связями в условиях опоры с программным управлением на кинематическом уровне. Построим математическую модель синтеза движений биомеханических систем, используя базисную модель в форме (2). Так как программное управление на кинематическом уровне задается разностью обобщенных координат (1), то для М-звенной модели программное управление с его производными можно представить в формульной записи (6):

-Ф.. й = !-фг,7 = 1,2,3,...^-1. (6)

Уравнения (6) можно преобразовать в вид: Фг+1= Фг+1 = У>г+Ч, фг+1=фг+Ц. г=1,2,3,...,ЛТ-1. (7)

Наложенная кинематическая связь (7) однозначно определяет любую из обобщенных координат и ее первую и вторую производные через неизвестные ф1 ф1 ф1 и программные управления с их производными:

Фр=Ф1+&, ФР=Ф1+&! ФР=Ф1+&- Р=2,Ъ,...Л (8)

г=1 2=1 г=1

Заменим вторые производные от обобщенных координат по времени в системе уравнений (2) их связями в форме (8). Решение будем искать относительно второй производной от первой обобщенной координаты по времени. Выполним дальнейшие преобразования, обозначив номер обобщенной координаты буквенным индексом у, а номер уравнения в системе (2) - буквенным индексом /. Сложим все уравнения системы (2), получим уравнение, равносильное исходной системе уравнений, из которого и найдем ф1:

14 14 14 14 г» к-1

м, "Х5^ С08<Р, + ^(Ф; с08(Ф4 -ф,)

«М

С08(ф; -<р()

-. (9)

Полученная модель не имеет аналитического решения и в процессе моделирования движений спортсмена на ЭВМ необходимо использовать численные методы интегрирования уравнения (9). В наших исследованиях применялся численный метод интегрирования - метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Шаг интегрирования задавался равным 0,0001 с.

Программное управление. Для динамического моделирования отдельных фаз движений спортсмена необходимо решить задачу перевода биомеханической системы из заданного биомеханического состояния в конечное состояние за определенное время. С этой целью построим программное управление в форме полиномиальной функции на основе подхода, изложенного в [4].

Будем считать, что в качестве граничных поз-положений спортсмена, разделяющих отдельные фазы упражнения, рассматриваются те рабочие позы, в которых гимнаст достигает экстремума сгибательно-разгибательных движений в суставах. В этих местах происходит переключение суставного сгибания к разгибанию (или наоборот) и управление характеризуется максимумом или минимумом функции и нулевым значением первой производной. Так как правый конец траектории программного управления рассматриваемой фазы упражнения является исходным для левого конца траектории управления последующей фазой упражнения, в качестве исходных данных для левого конца траектории управления последующей фазой упражнения принимаются вычисленные значения программного управления и его производных предшествующей фазы упражнения.

Таким образом, программное управление биомеханической системой в отдельных фазах упражнения можно описать полиномом четвертой степени с тремя краевыми условиями на левом конце траектории программного управления и двумя -на правом конце траектории управления. В этом случае уравнения программного управления (<р (1)), первой (ф(1))и второй (ф ) производными по времени (/) от /0=0 до г=к имеют вид:

%,ГЬ0+Ь1+Ь 2?+Ь/+Ь/;%)=Ь1+2Ь^+ЗЬ/+4Ь/+Ь/; Ч>(()=2Ь2+6Ь3Г+12Ь/ (10)

При пяти краевых условиях программного управления первой и второй производными получим пять уравнений с пятью неизвестными: Ф(,о) =Ь0+ ¿Л + Ъ2г2 + Ь^03 + Ь/04;

%о)=Ь1+2Ь^0+ЗЬ^02 +ЛЬ^03;

ф(0 =Ь0+ ¿Л + Ъ212 + + ЬЛ^А; %1)=Ь1+Ьа2^+ЗЬ^2 + 4Ь^3. (11)

Решая аналитическим методом полученную систему уравнений (11), найдем формульные выражения для определения пяти неизвестных коэффициентов Ь.:

Ь0=%;Ь1=%; ь2=^; Ъ,

4(Ф1-Ф0) (Зфр+Ф,) Ф0. А3 А2 А '

, 3(Ф0 -ФО (2Ф0+Ф.) Фо 4 А4 А3 2А2

(12)

Здесь Ф0, Ф0, Ф0 - программное управление, его первая и вторая производные в начальный момент времени =0, а ф1, ф1 - программное управление и его первая производная в конечный момент времени = 1. Так как на правом конце траектории управления ограничение на вторую производную не накладывается, ее значения в процессе синтеза движения будут находиться из (10).

Из (12) следует, что численные значения коэффициентов Ь1 определяются не только ограничениями на кинематику программного управления (Ф0, Ф0, ф0, ф1, ф1), но и длительностью ф) рассматриваемой фазы упражнения в виде:

И=-0. (13)

Определение И в отдельных фазах упражнения осуществляется в итерационном процессе, построенном на его постепенном приближении к значению, при котором удовлетворяются условия ограничений, наложенных на кинематику программного управление на левом и правом концах его траектории.

Технологические аспекты реализации задачи приведения. Введем обозначения. Пусть в анализируемом упражнении выделено Ж фаз сгибательно-разгибательных действий спортсмена в суставах. Допустим, к - номер изображения, где под изображением понимается кадр кинетограммы упражнения, разграничивающий упражнение по фазам. Всего таких граничных поз-положений будет Р (к=1, 2, ..., Р; Р=1, 2, ..., Ж+1). Обозначим через Г текущее время на интервале от Т2 до Т+ (2=0, 1, ..., Ж). Пусть также И^ - длительность выполнения фазы упражнения между граничными позами и определяется выражением И=Тг+1-Тг, где 2=0, 1, ..., Ж. В компьютерной реализации значение Т^ (время начала отдельной фазы упражнения) всегда задавалось равным нулю.

Каждому кадру кинетограммы, разграничивающему упражнение на фазы, соответствуют обобщенные координаты биомеханической системы, записываемые в виде двумерного массива Qk . (рис. 2, С), где к - номер изображения, I - номер звена биомеханической системы (к=1, 2, ..., Р; 1=1, 2, ..., М). На рис. 2, А показаны граничные позы-положения спортсмена, разделяющие опорный период гимнастического упражнения «перелет Ткачева на перекладине» на отдельные фазы, которым соответствуют определенные числовые значения массива Qk. (рис. 2, С).

Сформулируем задачу синтеза движения спортсмена по заданным значениям граничных поз-положений тела спортсмена на некоторых участках траектории биомеханической системы.

Траектория движения спортсмена состоит из нескольких участков, и границы их разделения заданы последовательностью обобщенных координат ,) биомеханической системы. Здесь к -номер точки разбиения упражнения на отдельные фазы (к=1, 2, ..., Р), I - номер звена биомеханической системы и соответствующий ему номер обобщенной координаты (1=1, 2, ..., Ы), Р - количество поз-положений моделируемой биосистемы. Пусть точкам к соответствуют моменты времени Т1, Т2,..., Т. Пусть также известно начальное биомеханическое состояние моделируемой системы (6к,; <2к; йк ,), заданное обобщенными координатами (0к ,), обобщенными скоростями (¿к ,), обобщенными ускорениями (фк ,) звеньев (,) тела спортсмена, в точках (к) разбиения траектории на отдельные участки по фазам упражнения (к=1, 2, ..., Р). Здесь к - номер изображения граничных поз-положений в местах разделения упражнения на фазы. Требуется в течение времени Нк перевести биомеханическую систему из начального биомеханического состояния с кинематическими параметрами (бк ,; ¿к ,; бк ,) в конечное состояние (9к+1, Д+1, ,; йк+1,)'на участках траектории (к, к+1), соответствующих отдельным фазам упражнения. Поставленная нами задача трактуется как задача приведения, относящаяся к задачам управления конечным кинематическим состоянием биомеханической системы по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и обобщенным ускорениям.

Компьютерная реализация сформулированной задачи требует построения математической модели синтеза движений биомеханических систем в форме (9), формирования программного управления в виде (10-12) и итерационного поиска ^ в отдельных фазах упражнения в соответствии с (13).

Момент времени ^ окончания синтеза к-й фазы упражнения устанавливался исходя из соответствия синтезированного траекторного положения звеньев модели по обобщенным координатам (ф )

1 У' 90°

/ \ Гч4

\ (

180°\ У

270"

к \ Он в>,2 Оо

1 90 106 141

2 104 130 176

3 223 204 124

4 320 377 440

5 414 417 382

и заданной для этой фазы упражнения последовательности обобщенных координат ,). В математической форме это условие записывается в виде

£,=аЪ^к+1, - ф.

(14)

Рис. 2. Синтезированная траектория биомеханической системы (В) по исходным данным рабочих поз спортсмена (С) на границах фаз упражнения (А)

Здесь е(. - допустимое отклонение синтезированных ф. , от заданных Qk+1,, яЪб - абсолютная величина. В наших исследованиях задавалось жесткое условие сходимости итерационного процесса: - е(. равнялось 0,1 градуса. Итерационный процесс определения ^ в отдельных фазах упражнения осуществляется в несколько этапов.

На первом этапе синтез движения моделируемой системы для следующей фазы упражнения выполняется с неизменяемой программной позой модели, принятой к окончанию предыдущей фазы упражнения. Непосредственно в самом начале процесса моделирования поза спортсмена соответствовала исходному положению по обобщенным координатам Q1 ,. Синтез завершается, когда величина обобщенной координаты первого звена, вычисленная на одном из шагов интегрирования, не превышает допустимого отклонения, установленного в 0,1 градуса от обобщенной координаты первого звена в соответствии с уравнением 14. Время процесса окончания синтеза движения принимается за к, и заново вычисляются коэффициенты Ъ, необходимые для формирования программного управления на следующем этапе итерационного цикла.

На втором этапе синтезируется движение с программным управлением, вычисленным на первом этапе итераций. Синтез движения завершается так же, как и на первом этапе, когда величина отклонения обобщенной координаты первого звена от конечного положения в синтезируемой к-й фазе упражнения не превышает заданной погрешности, т. е. e1=aЪs\Qkl- ф |.

На третьем этапе процесс итерационной сходимости рассматривался для всех программных управлений и реализовывался по схеме удовлетворения условия (14) по каждой обобщенной координате. Далее синтезированные обобщенные координаты моделируемой биосистемы и их первая и вторая производные для момента времени Тк+1=к принимались за исходные данные для синтеза последующей фазы упражнения.

3. Компьютерный синтез упражнения «перелет Ткачева на перекладине» в вычислительном эксперименте на ЭВМ. Синтезированная в вычислительном эксперименте на ЭВМ траектория биомеханической системы, соответствующая условиям поставленной задачи приведения, показана на рис. 2 в виде циклограммы (рис. 2, В) с шагом по времени 0,04 с. Расчет выполнялся для движения с начальной угловой скоростью звеньев модели, составляющей: Q11=1,63 рад/c,Q12=1,56 рад/c,Q13=5,27 рад/с

\ Q Ом 0„

1 90 106 141

2 104 130 176

3 223 204 124

4 273 267 262

5 320 377 440

6 414 417 382

Рис. 3. Синтезированная в вычислительном эксперименте на ЭВМ траектория биомеханической системы с коррекцией управления в момент прохождения вертикального положения под опорой

Структурно-педагогический анализ синтезированного упражнения показывает, что к моменту пересечения ОЦМ модели вертикального положения под опорой (см. рис. 2, В, кадры 16, 18) гимнаст согнут в плечевых и тазобедренных суставах, что является ошибкой техники выполнения перелета Ткачева. В этот момент спортсмен должен быть слегка прогнут в указанных суставах, что будет в дальнейшем способствовать более эффективному бросковому движению ногами. В связи с этим построим новую модель движения, в которую дополнительно введем слегка прогнутую позу гимнаста в момент прохождения им вертикального положения под грифом перекладины. Остальные позы-положения оставим без изменений. Для дополнительно вводимой позы (рис. 3, С, к=4) зададим обобщенные координаты звеньев модели (в градусах): б41=273, б42=267, б43=262

Выполненный на ЭВМ вычислительный эксперимент показал возможность модификации техники гимнастических упражнений с построением разнообразных вариантов структурно-параметрической перестройки управляющих действий, соответствующих критериям оптимальности решаемых двигательных задач. В данном случае для коррекции управления мы использовали возможности расчленения упражнения по фазовому составу. Кроме фаз упражнения, выделяемых по признаку чередования активных действий спортсмена (по программе «позы»), нередко выделяют и фазы, связанные с периодичностью и характером действия на тело спортсмена определенных внешних сил или физических эффектов [1, 2]. Таковы фазы спада и подъема в маховых движениях и др. Введенная дополнительно поза под № 4 (рис. 3, С) разделяет упражнение на фазы спада и подъема и не является противоестественной при описании техники упражнения.

Выводы

1. Прогноз изменения в технике спортивных упражнений, основанный на структурно-параметрической перестройке их фазовых компонентов, возможен на основе компьютерного синтеза движений биомеханических систем.

2. В качестве граничных поз спортсмена в местах разделения упражнения на двигательные фазовые структуры целесообразно использовать:

• исходное и конечное рабочие положения спортсмена в исполняемом упражнении;

• граничные позы спортсмена в местах разделения упражнения на фазы по признаку чередования его активных действий (экстремумы программного управления);

• граничные позы спортсмена в местах разделения упражнения на фазы по признаку периодичности и характера действия на тело спортсмена определенных внешних сил или физических эффектов.

3. Метод компьютерного синтеза движений спортсмена, основанный на моделировании граничных поз в отдельных фазах упражнения, может быть весьма эффективным в реализации идеи контрольно-корректировочного компонента ориентировочной основы действий путем сличения субъективных компонентов двигательной программы управления движением с ее объективными биомеханическими составляющими.

Литература

1. Аркаев Л.Я. Как готовить чемпионов / Л.Я. Аркаев, Н.Г. Су-чилин. - М.: Физкультура и спорт, 2004. - 328 с.

2. Гавердовский Ю.К. Обучение спортивным упражнениям. Биомеханика. Методология. Дидактика / Ю.К. Гавердовский - М.: Физкультура и спорт, 2007. - 912 с.

3. Загревский В.И. Построение оптимальной техники спортивных упражнений в вычислительном эксперименте на ПЭВМ / В.И. Загревский, Д.А. Лавшук, О.И. Загревский. -Могилев: МГУ им. А.А. Кулешова, 2000. - 190 с.

4. Загревский В.И. Планирование траектории управляющих движений спортсмена в координатах внешнего пространства / В.И. Загревский, В.О. Загревский // Теория и практика физ. культуры. - 2010. - № 10. - С. 56-61.

5. Загревский В.И. Математические модели синтеза движений биомеханических систем / В.И. Загревский, О.И. Загревский. - Могилев: Изд-во Palmarium Academic Publishing, 2012. - 175 с.

References

1. Arkaev, L.Ya. How to train champions / L.Ya. Arkaev, N.G. Suchilin. - Moscow: Fizkultura i sport, 2004. - 328 P.

2. Gaverdovsaky, Yu.K.Teaching sports exercises. Biomechanics. Methodology. Dialectics /Yu.K. Gaverdovsky. - Moscow: Fizkultura i sport, 2007. - 912 P.

3. Zagrevsky, V.I. Designing of the optimal technique of sports exercises via a computer experiment / V.I. Zagrevsky, D.A. Lavshuk, O.I. Zagrevsky. - Mahilyow: A.A. Kuleshov MSU, 2000. - 190 P.

4. Zagrevsky, V.I. Planning of the trajectory of athletes' controlling motions in interior coordinates / V.I. Zagrevsky, V.O. Zagrevsky // Teoriya i praktika fizicheskoy kultury kultury. - 2010. - № 10.

- P. 56-61.

5. Zagrevsky, V.I. Methematical models of motor synthesis of biomechanical systems / V.I. Zagrevsky, O.I. Zagrevsky.

- Mahilyow: Palmarium Academic Publishing, 2012. - 175 P.

Информация для связи с автором:

[email protected]

Поступила в редакцию 31.03.2013 г.