CC BY
30
Дедков В.К., Северцев Н.А.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ ОТКАЗОВ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ СТАРЕНИЯ СОПРОТИВЛЯЕМОСТИ
Работа выполнена по гранту QB-QB-QQQB6-а
В статье рассматриваются примеры компьютерного моделирования интенсивности потоков отказов для типовых испытаний (прогнозирования) восстанавливаемых нестареющих объектов.
На основе зависимостей между случайными переменными комплекса условий испытаний или эксплуатации восстанавливаемого объекта, приведенных в работе авторов [1], составлена универсальная программа моделирования процессов эксплуатации восстанавливаемых объектов на компьютере, позволяющая рассчитывать характеристики потоков отказов, а также соответствующие показатели безотказной работы объектов. Ниже приведены результаты расчетов характеристик потоков отказов для наиболее характерных комплексов условий испытаний (прогнозирования) восстанавливаемых объектов. Интенсивность потока отказов b(n), -как показано в [1], находится по формуле n—1
h(n)=Pn0(n) + 'Lh(j)Pnj(rl-j)' [и = 1(1)°°]' (!)
j=1
Величины вероятностей F^ (П) и phj(n-j) определяются по формулам [1] d “ и-1
pn0 («) = J ^ (*;*Я)П^ (х’хі)Фх(х)<& ' (2)
i=1
да
n—J — l
Ря, (n - if J Ru (X’Xn-j) П (X’’XM
^ x + Aj ^ V BJ J
dx
и
(З)
i=1
Рассмотрим поток отказов, возникающий при эксплуатации восстанавливаемого объекта в условиях стационарного случайного процесса нагружения при отсутствии старения сопротивляемости х (t) объекта. Как показано в работе [1], наибольшие случайные независимые значения и процесса нагружения й (t) на интервалах корреляции гКор подчинены закону экстремального распределения «первого типа»
Fu(u) = ехр{-ехр [~Р(и - /л)]} ,
где ц и р - параметры распределения.
Совокупность исходных данных о составляющих комплекса условий эксплуатации восстанавливаемого объекта для рассматриваемого случая представлена следующими выражениями:
d
Fa (и) = ехр{-ехр[-/?(м = 40,/? = 0,33);
/ \ 1 (х-х)2 d „ , _ ч
ф2 (х) = .——ехр[— -----■^—\=ф3 (х;х = 60, сг^ = 3) ;
•42ж(Ух 2<т^
Фу (х)=фЛх)=Фу {х’У=60=ау=3У
a = b = a = Q\ ax-bx-ax - 0,
где - функция распределения случайной величины нагрузки й в одном нагружении,
Фх(х) и Фу{*) ~ соответственно, плотность распределения сопротивляемости объекта, используемого
сначала эксплуатации, и плотность распределения сопротивляемости объекта, вводимого в работу взамен отказавшего.
Из приведенных выше данных следует, что сопротивляемость х рассматриваемого объекта распределена по нормальному закону распределения вероятностей с параметрами (х = 60,<ТХ = 3) . Поскольку старение отсутствует как при хранении запасных объектов a =b = &х =0, так и объектов, подвергаемых нагружению во время работы a — b — CC — 0; то фу (х) = (х) = ф° (х\у = 60,= 3^ .
Заметим, что при принятых исходных данных в силу равенства Фх{х) = Фу{х) для — 1 (l)°°]? вероятность
отказа объекта в л-ом нагружении, введенного в эксплуатацию, в любой момент времени (в любом нагружении) будет
да
Рп0 (и) = Рп (и) = J Ru (Х)РГ1 {Х)Фх (x)dx ( 4 )
— ОТ
Результаты расчетов интенсивности потока отказов h (n) и интенсивности отказа невосстанавли-
ваемого объекта при [n=1(1)50] представлены на рис. 1. На рис. 2 представлены результаты расчета
функции надежности для приведенных выше условий.
Анализ характера изменения h(n) во времени показывает, что рассматриваемый поток является квази-
стационарным, так как при n^ h(n)^const.
Чтобы определить, обладает ли данный поток свойством отсутствия последствия, рассмотрим условную
функцию надежности объекта — на интервале от к-го нагружения до л-го нагружения, т.е. за
оставшийся до л-го нагружения интервал нагружений т. Причем к - это число нагружений, прошедших с момента наступления предыдущего отказа. Надежность, т.е. вероятность безотказной работы объекта на оставшемся до л-го нагружения интервале (времени), при условии, что с момента наступления предыдущего отказа уже прошло к нагружений (событие Ak ), определяется как вероятность того, что случайное
число нагружений до отказа ( in ) окажется больше оставшегося числа нагружений т=п-к .
В условиях данного примера (при отсутствии старения) безусловная функция надежности объекта
Rno («) определяется по формуле
да
Rr,An)= J F."(x)0s(x)dx ■
Учет успешного исхода нагружений, предшествующих к-му нагружению, приводит к трансформации плотности распределения сопротивляемости объекта от исходной плотности распределения ^(х) к условной
плотности распределения ф^^. (*) , которая в соответствии с формулой Байеса можно представить выраже-
Ф~Лх)рп(х)
J F,1 (х)Фх (x)dx
(6)
С учетом (5) условная функция надежности R(гг-к) объекта, при работе на оставшемся интервале
т/А(к) v ’
нагружений т определится по формуле
00
("~к) = ВеР > (" - к)1Лк)) = J рй~к
—да
После подстановки выражения (5) в (6) получим
да
J/•;;i.vkvi.vk/.v R
= ^= П)
\ FA {x)<l>i{x)dx
—да
где \ (") - значение функции надежности за п нагружений, начиная с п=1.
\(к) - значение функции надежности за к нагружений, начиная с момента предшествующего отказа.
Из выражения (7) следует, что для рассматриваемого потока отказов (и) Ф R^(k} , что является доказательством наличия ограниченного последействия в данном потоке. На рис. 3 приведены графики функций R^j2^(n — А:) при к =var.
Таким образом, поток отказов нестареющего объекта, восстанавливаемого после каждого отказа до исходного уровня сопротивляемости, является ординарным (еще раз подчеркиваем, что в данном исследовании рассматриваются лишь ординарные потоки), квазистационарным потоком с ограниченным последействием.
Даже в достаточно простом случае (отсутствие старения сопротивляемости при эксплуатации и ее восстановление каждый раз до исходного уровня) поток отказов объекта имеет довольно сложный характер.
Проанализируем вид закона распределения \ (") времени наработки или числа нагружений на отказ.
Из рис. 2 видно, что при отсутствии старения функция надежности R-q (и) по форме близка к геометрическому закону. Однако это сходство не является полным. Для геометрического закона характерно постоянство во времени параметра распределения, т.е. интенсивности отказа X(n} = const. Из рис. 1 видно, что
параметр распределения nj не является постоянным, т.е. const, поэтому закон распределения не
является геометрическим, а поток отказов данного объекта является рекуррентным.
Рис. 1. Интенсивность потока отказов h(n) и интенсивность отказа Л(л) нестареющего восстанавливаемого объекта
Рис. 2. Функция надежности R^ (и) нестареющего объекта
ним
Рис. 3. Условные функции надежности (р ~ £)г к=^аг, нестареющего объекта
Отклонение закона распределения наработки на отказ от геометрического тем больше, чем
больше неопределенность уровня сопротивляемости X (т.е. чем больше (Ух)'
Только в том случае, когда полностью исключена неопределенность в исходном уровне сопротивляемо-
сти ( х =Хо) г и отсутствует старение сопротивляемости при функционировании объекта, - закон распределения наработки на отказ (п) становится геометрическим.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ им. Дородницына РАН. 2006. 272 с.
