Компьютерное моделирование области взаимодействия пучков электронов с облученными сегнетоэлектрическими материалами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.533.9:519.245

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЛАСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПУЧКОВ ЭЛЕКТРОНОВ С ОБЛУЧЕННЫМИ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ МАТЕРИАЛАМИ

_ л о

© А.В. Сивунов1, А.Г. Масловская2

Амурский государственный университет,

675027, Россия, г. Благовещенск, Игнатьевское шоссе, 21.

Представлены результаты компьютерного моделирования транспорта электронов в сегнетоэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий. Разработано программное приложение, позволяющее проводить 30-моделирование электронных траекторий методом Монте-Карло. Приведены численные реализации имитационной модели транспорта электронов в сегнетоэлектриках при диагностике методами растровой электронной микроскопии. Предложены модельные представления функции объемного источника, созданного пучком электронов в облученной мишени. Ил. 7. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: стохастическое моделирование; метод Монте-Карло; электронное облучение; транспорт электронов; сегнетоэлектрики; функция источника.

SIMULATING INTERACTION REGION OF ELECTRON BEAMS WITH IRRADIATED FERROELECTRICS A.V. Sivunov, A.G. Maslovskaya

Amur State University,

21 Ignatyevskoe Shosse, Blagoveshchensk, Russia, 675027.

The paper describes the results of electron transport simulation in ferroelectrics irradiated by electron beams of average energies. The programming application has been developed that enables 3D-simulation of electron trajectories by Monte-Carlo method. The numerical implementations of electron transport simulation model in ferroelectrics under diagnostics by scanning electron microscope techniques are presented. The model approximations of the function of the volumetric radiation-induced source in solids are proposed. 7 figures. 10 sources.

Key words: stochastic simulation; Monte-Carlo method; electron irradiation; electron transport; ferroelectrics; source function.

В современных исследованиях свойств и структуры материалов различного функционального назначения наблюдаются и требуют правильного объяснения явления, происходящие на микронном и субмикронном уровнях. Высокая информативность, простота изготовления объектов для исследования, высокая степень автоматизации количественного анализа изображения и обработки результатов измерений делают растровый электронный микроскоп (РЭМ) наиболее универсальным прибором для исследования структуры материалов и топографии поверхности [3]. В РЭМ исследуемая поверхность облучается тонко сфокусированным электронным пучком, который может либо покоится, либо развертываться в растр по поверхности образца. При взаимодействии пучка электронов с твердой мишенью возникает большое число явлений, которые служат основой для формирования различного рода сигналов и используются для измерения многих характеристик образца (состава, топографии поверхности, кристаллографической ориентации и т.д.).

Имитационное моделирование на ЭВМ методом Монте-Карло случайных процессов рассеяния и по-

терь энергии электроном в твёрдом теле позволяет получить подробную информацию о характерных процессах. На сегодняшний день известен широкий ряд научных работ, посвященных разработкам, программным реализациям и практическому применению метода Монте-Карло для моделирования транспорта электронов в конденсированных средах c учетом специфики исследуемых сред, режимов экспериментального наблюдения, симметрии и размерности задачи, теорий, лежащих в основе физических моделей процессов [1, 8, 10]. Многочисленные варианты реализаций алгоритмов транспорта электронов предлагают программные продукты, позволяющие изучать поведение электронного пучка в твёрдом теле (NISTMonte, WinXRay, Penelope, CASINO, David Joy's, NBSMonte, Electron Flight Simulation и др.).

Распространение методик растровой электронной микроскопии на полярные диэлектрики позволяет всесторонне исследовать материалы, в которых неравновесные условия, созданные электронным облучением, инициируют сопутствующие тепловые, инжекционные, зарядовые, радиационно-стимулированные эффекты. Для анализа подобных процессов требуется инфор-

1Сивунов Антон Валерьевич, аспирант, тел.: 89246801018, e-mail: [email protected] Sivunov Anton, Postgraduate, tel.: 89246801018, e-mail: [email protected]

2Масловская Анна Геннадьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и моделирования, тел.: 89638168419, e-mail: [email protected]

Maslovskaya Anna, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis and Simulation, tel.: 89638168419, e-mail: [email protected]

мация относительно характеристик локальной области взаимодействия пучка электронов с образцом [4, 7, 9].

Цель данной работы - аналитическое описание области взаимодействия электронов средних энергий с облученными полярными диэлектрическими материалами на основе 30-компьютерного стохастического моделирования транспорта электронов в программном приложении, реализующем метод Монте-Карло.

Алгоритм моделирования случайных электронных блужданий в облучаемой мишени. При использовании метода Монте-Карло для моделирования транспорта электронов, согласно общепринятому подходу [1, 8], считается, что каждый электрон с энергией E0 падает на поверхность образца в некоторую точку P0 с определенными координатами. Электрон может испытывать упругие или неупругие соударения и может быть отражен обратно из образца (взаимодействие упругого типа приводит к изменению направления движения электрона без изменения его энергии, неупругого - к уменьшению энергии при незначительном изменении траектории). Методика расчета предполагает, что каждый электрон после рассеяния в точке P, на углы щ, (pi (щ - азимутальный

угол; (pt - угол отклонения) проходит в образце между

случайными событиями рассеяния путь длиной s с

энергией E, вдоль прямой линии, направление которой вычисляется на каждом шаге. При расчете определяются значения щ , (pi, E, в каждой последующей точке P, расположенной на расстоянии s по траектории.

Новое значение энергии и направление движения электрона после каждого акта рассеяния получают из соответствующих распределений с помощью генератора псевдослучайных чисел, которым обладают практически все современные программные среды.

Пусть электрон первоначально попадает в точку A под углом 90° к осям х и y и под углом 180° к оси z. В этой точке электрон сначала отклоняется на угол ф от первоначального направления, а затем поворачивается на азимутальный угол щ как это схематически показано на рис. 1. В результате электрон получит новое направление и окажется в точке B. Упругое рассеяние происходит в результате столкновения электронов с ядрами атомов, частично экранированных связными электронами. Электрон отклоняется от направления падения на угол фу, который может принимать значения от 0° до 180°, но его типичное значение -10°. Значение фу определяется генерацией

ж ж\

случайного числа из диапазона —,— . При не-

L 90 6 J

упругом взаимодействии происходит отклонение электрона на угол (, причем фN <<ф. Положим

0°<( < 2°. Азимутальный угол щ рассчитывается по формуле: щ = 2nR, где R - случайное число.

Рис. 1. Схема изменения траектории электрона

Расстояние, которое электрон проходит между двумя соседними взаимодействиями, равно длине пробега электрона:

5 = —Я 1п (£), (1)

где % е (0,1) - равномерно распределенная случайная величина.

Средняя длина свободного пробега в формуле (1) может быть вычислена как

1 м А

Жору С, а где А, - атомный вес /-го элемента, г/моль; С,- массовая концентрация /-го элемента; М - число элементов,

входящих в состав вещества; = 6,022-1023 -

1 3

число Авогадро, моль-); р - плотность, г/см ; а -

2

сечение рассеяния, см .

Для определения полного сечения рассеяния использована формула, предложенная в [6] (сечение Мотта):

4,7-10-18(z133 + 0,032Z2)

, см

(е + 0,0155Z1 33Е 0 5 )1 - 0,02Z0 3 exp (- u2))

u =

log^EZ 133),

где E выражается в кэВ.

Для описания изменения траектории движения электрона в трехмерной модели предложен следующий алгоритм. Текущая траектория электрона определяется единичным вектором r , который характеризуется направляющими косинусами cosa = r • i , cos P = r • j , cos^ = r • k . Первоначально положение электрона задается координатами (x', y1, zi) и траектория определена значениями направляющих косинусов (0,0 -l). Новое положение электрона

') рассчитывается по соотношению:

(x'+\ У+1, z'+v

aMott

x1+1 = x1 + cosa- 5

У+1 = У + cos P - s ,

z1+1 = z1 + cosy- s

где s - это тот путь, который электрон проходит между двумя соударениями, рассчитываемый по формуле (1).

Для дальнейшего расчета направляющих косинусов в программном приложении использованы соотношения, полученные с помощью преобразований системы координат в пространстве и определения значений направляющих косинусов «нового» вектора

Г движения электрона относительно введенной глобальной системы координат (рис. 2).

Рис. 2. Г - «старое» направление электронной траектории с направляющими косинусами

( 0 гь0 <Л ~

(cosa , cos p , cos y ); г - «новое» направление

электронас направляющими косинусами

(cos a1, cos p1, cos y1 )

Таким образом, при программной реализации алгоритма можно предположить:

- если |cosy1+1| > 0,9999,

то

cos a1+1 = cos о - sin p,

i+1 cos p - cos y1

cos P'+ = sino- sinp, cosy1 + =

- во всех остальных случаях:

1+1

cosa =

cosy

sinp

sin y + cosa1 - cosp, cos PM =

(cos a1 - cos y1 - cos o - cos p1 - sin o)+

sinp

(cos P1 -

sin y + cos P' - cos p

cosy - coso- cosa - sino)+,

cosy^1 =- sinp-coso-sin y1 + cosy1 - cosp.

Неупругое рассеяние электронов обусловлено существованием двух механизмов взаимодействия: неупругих взаимодействий с ядрами атомов и неупругих взаимодействий со связными электронами. Подобное изменение энергии можно описать с помощью непрерывной функции. Для многокомпонентного вещества дифференциальные ионизационные потери энергии выражаются модифицированным законом Бете [8]:

dEm=

dx , кэВ/см, (2)

= -2*4 ^сД ln f 1,166(Em + J Em 1=1 4 l Ji где Z¡ - атомный номер i-го элемента мишени; Аi -атомный вес i-го элемента, г/моль; C¡- массовая концентрация i-го элемента; M - число элементов, входящих в состав вещества; Ji - эффективный потенциал ионизации i-го элемента, кэВ.

Средний потенциал ионизации, которым является средняя потеря энергии на взаимодействие при учете всех возможных процессов потери энергии, дается эмпирическим соотношением Бергера-Слетзера [1]:

J = (9,76-Z + 58,5 -Z-019)-10 3,

кэВ.

Дополняя уравнение (2) начальным условием, имеем задачу Коши, для решения которой используем встроенные функции программной среды. Расчет траектории и потерь энергии на ее длине для каждого электрона производится до тех пор, пока величина его энергии вследствие неупругого рассеяния не уменьшится до энергии электронов в твердом теле или до произвольной пороговой энергии, которая обычно инициализируется как энергия, при которой симулируемые процессы не проявляются. Так, например, при энергии Ей~0,5 кэВ электрон уже не может больше вызывать ионизацию. Вычислительный эксперимент проводится для N историй электронов, количество которых должно быть достаточным для статистически верного описания процесса рассеяния электронов при выбранных моделях рассеяния электронов и потерь ими энергии.

Алгоритм симуляции транспорта электронов методом Монте-Карло реализован в ППП МаАаЬ в виде программного комплекса, в результате работы которого могут быть получены: геометрическая 30-визуализация области взаимодействия электронов с веществом; соответствующие двумерные проекции; графическое представление потерь энергии электронов в веществе и аппроксимации функций распределения выделенной энергии в исследуемых объектах, необходимые для дальнейшего анализа.

Симуляция транспорта электронов в сегнето-электрических материалах. Проведем анализ зависимости области взаимодействия падающего пучка электронов от параметров экспериментального наблюдения и модельного образца: энергии пучка, материала мишени, наличия металлического электрода. Модельный расчет формы и размеров области электронного рассеяния в облучаемой мишени вы-

полним на примере типичных сегнетоэлектрических кристаллов: ниобата лития, триглицинсульфата, тита-ната бария. Первоначальный угол падения электронного луча к поверхности мишени во всех вычислительных экспериментах составлял 900, энергий останова вычислительного процесса - ^ = 500 эВ.

Ввод геометрических и физических параметров образца позволяет рассчитать электронные траектории, дающие визуализацию формы области взаимодействия пучка в твердом теле при различных значениях параметров экспериментального наблюдения.

Для интерпретации результатов моделирования рассмотрим процесс облучения поверхности сегнето-электрического кристалла ШЬ03 сфокусированным

пучком электронов средних энергий (значения ускоряющего напряжения и~1-40 кВ). Результат симуляции в последний момент времени наблюдения при параметрах, соответствующих данным физического эксперимента, представлен на рис. 3.

Рассчитанные трехмерные графики хотя и дают наглядное пространственное представление, но для дальнейшей численной обработки не являются удобными. Поэтому ограничим представление проекциями трехмерной картины случайных блужданий на координатную плоскость ЮХ.

На рис. 4 приведены результаты моделирования транспорта электронов в кристаллах типичных сегне-тоэлектриков.

Рис. 3. Результат расчета электронных траекторий в модельном образце ИЫЬйз (электронные пучки с энергией старта Ео=10 кэВ, N=1000 историй электронов,

диаметр зонда в=0,2 мкм)

а) б)

Рис. 4. Результаты моделирования транспорта электронов при стартовой энергии пучка Ео=25 кэВ, диаметре зонда в=0,2 мкм: а - ИТайз; б - БаТЮз

Анализ подобных расчетов показывает, что геометрия области взаимодействия пучка электронов с сегнетоэлектрическими материалами, в зависимости от элементного состава, имеет полусферическую, полуэллипсоидальную (преимущественно для кристаллов неорганической группы - ниобат лития, титанат бария, танталат лития), «грушевидную» формы (последняя характерна для органических кристаллов группы - ТГС, ДТГС, тиомочевина, сегнетова соль). Геометрический параметр - глубина проникновения электронов Я определяется химическим составом и значением энергии ускоряющего напряжения электронов. Для кристалла ниобата лития соответствующие значения глубины инжекции в зависимости от энергии ускоряющего напряжения будут равны: ¡=1,2 мкм при £0=15 кэВ; ¡=2,4 мкм при £0=25 кэВ; ¡=5 мкм при £0=40 кэВ. Следует отметить, что при увеличении энергии ускоряющего напряжения для ряда сегнето-электриков форма кривой, огибающей зону взаимодействия электронов с веществом, вытягивается вдоль координатного направления 01 и от полусферической преобразуется к форме полуэллипсоида.

Сфокусированный пучок с радиусом порядка долей микрометра (для режимов высоковольтных РЭМ диаметр зонда й — 0,1 мкм) преимущественно используется в экспериментальных методиках сканирования для получения геометрического или потенциального рельефов изучаемых поверхностей. Расфокусированный или сфокусированный до величины порядка 10-100 мкм электронный луч может быть использован в практике исследования физических свойств кристаллов, модифицированных электронным зондом [4], а также в методиках управляемого точечного переключения доменов сегнетоэлектриков электронным пучком [7, 9]. Результаты симуляции транспорта электронов в кристалле ТГС при различных значениях линейных размеров области облучения показывают, что абсолютная глубина проникновения электронов в образец не зависит от характерного размера «пятна» на поверхности.

Экспериментальные методики зондирования полярных диэлектриков могут использовать как режимы наблюдения на «открытой» поверхности кристалла (наблюдение доменной структуры в режиме вторичной электронной эмиссии и др.), так и с нанесенными на грани кристалла металлическими электродами (наблюдение потенциального контраста в режиме токов электронно-стимулированной поляризации, регистрация геометрического рельефа). На рис. 5 показаны результаты моделирования транспорта электронов в кристалле ТГС ((МН2СН2С00Н)3Н2804) с нанесенным на верхнюю грань металлическим электродом (серебро и золото) при различных значениях толщины металлического покрытия (для серебряного электрода).

Как показывает вычислительный эксперимент, значение толщины /0 « 1 мкм является критическим -

энергии электронов оказывается недостаточно для проникновения вглубь кристалла. При значениях толщины металлического покрытия /0 < 0,1 мкм наличие

металлического электрода не препятствует проникновению электронов в основной материал - геометрия форм и глубина проникновения электронов остаются практически такими же, как и в модельном случае, имитирующем наблюдение на открытой поверхности образца. Приведенные оценки являются принципиально важными при исследовании процессов переключения поляризации сегнетоэлектрических кристаллов под действием инжектированных зарядов. В данных методиках, как правило, используют нанесение тонких проводящих покрытий на грань кристалла [7, 9]. При построении модели процесса переключения доменной структуры и формирования токов электронно-стимулированной поляризации предполагается, что используемый электрод является «прозрачным» для инжектируемых вглубь образца электронов, т.е. его толщина соответствует указанному доверительному интервалу [4].

а) б) в)

Рис. 5. Результат моделирования транспорта электронов в кристалле ТГС при энергии пучка Ео=25 кэВ, диаметре зонда й=10 мкм в режиме с нанесенным на грань металлическим электродом: а - серебряный электрод толщиной 0=0,1 мкм; б - серебряный электрод толщиной 1о=1 мкм; в - золотой электрод толщиной 1о=0,1 мкм

Кроме того, сопоставление рис. 5,а и 5,е в данной серии вычислительных экспериментов позволяет сделать вывод, что материал электрода не оказывает существенного влияния на глубину проникновения пучка в образец. Использование золотых, медных или серебряных электродов с минимально возможной толщиной покрытия основного образца дает область взаимодействия с приблизительно одинаковыми геометрическими характеристиками.

Исследование тепловых и зарядовых процессов, наблюдаемых в облученных электронами кристаллах методами численного анализа, также требует априорных сведений относительно влияния наличия электродов, их геометрических размеров и, как следствие, пространственной конфигурации области возбуждения в образце на анализируемые динамические процессы.

Результаты моделирования области взаимодействия электронного зонда с веществом, полученные с помощью разработанного программного приложения, могут быть использованы в качестве исходных данных для оценки эффектов «последействия», например, для расчета характеристик зарядовых и тепловых процессов [5]. Анализ подобных эффектов имеет важное значение для интерпретации экспериментальных данных при обработке материалов электронными пучками. Математическая формализация полевых задач, как правило, предполагает, что сфокусированный электронных зонд, проникая в образец, действует как сосредоточенный источник зарядов или тепла. Математические постановки задач требуют инициализации функции внутреннего источника в основном объеме материала. Задание функции источника зарядов или теплового источника может быть проведено на основе симуляции транспорта электронов методом Монте-Карло.

Аппроксимация распределения накопленной дозы облучения. В качестве модельного образца выберем кристалл ниобата лития при следующих параметрах симуляции: диаметр зонда с(=0,2 мкм, ускоряющее напряжение £0=25 кэВ, количество симулируемых электронных траекторий N=10 000.

Аппроксимация источника требует задания геометрии самого источника и аналитического приближения для распределения накопленной дозы облучения.

Для определения приближенных значений, задающих геометрию источника, используем графическую визуализацию транспорта электронов в модельном образце, показанную на рис. 4,а. Таким образом, для аппроксимации геометрии источника в данном вычислительном эксперименте можно использовать полусферу радиуса а = 2,4 мкм.

Для аппроксимации объемной плотности мощности теплового источника и аппроксимации первоначального распределения зарядов требуется задать модельное распределение выделенной энергии в образце. С этой целью примем одно из известных распределений - нормальное распределение. Такой подход к аппроксимации накопленной дозы облучения является одним из общепринятых [2]. Рассчитанная в программном приложении область потерь энергии электронами в образце представлена на рис. 6.

Рис. 6. Графическое распределение потерь энергии в веществе (кристалл ИЫЬйз, в=0,2 мкм, Ео=25 кэВ, N=10 000)

Тогда функциональная зависимость для накопленной дозы облучения, аппроксимированная распределением Гаусса, будет иметь вид:

(

I = 10 • ехр

(г — г )

У тах /

2 • (Гтах )2

2 Л

7 2 . 2 . 2 X + у + 7

где !0 - нормировочный коэффициент (имеющий соответствующую физическую размерность); г^ -

абсцисса максимума энерговыделения, м.

Для наглядной визуализации введенного приближения (3) представим на одном графике приведенное (безразмерное) распределение электронной плотности по глубине образца и аппроксимацию с помощью распределения Гаусса (рис. 7). Оценивая значение абсциссы максимума графика можно положить, что

Гтах = 0,76 мкм.

Учитывая значения параметров, соответствующих экспериментальным режимам высоковольтных РЭМ, можно ввести аппроксимацию для объемной плотности мощности внутреннего источника, созданного инжектированными электронами в материале. В этом

Ж

случае место 10 в формуле (3) займет /0 = — -

объемная плотность мощности источника, Вт/м3, где № - полная мощность теплового источника в объекте, Вт; V- объем внутреннего источника, м3.

Рис. 7. Аппроксимация накопленной дозы облучения с помощью распределения Гаусса (кристалл ШЬйз, 6=0,2 мкм, Е0=25 кэВ, N=10 000)

При токе зонда I = 10 9 А и ускоряющем напряжении и = 25 кВ, полная мощность зонда будет равна: Ж = I •и = 2,5 •Ю-5 Вт. Объем внутреннего источника можно рассчитать по элементарной формуле:

2

V = - жаъ, м3.

3

В итоге приходим к следующей аппроксимации плотности мощности источника в образце с помощью распределения Гаусса:

(

f = fo • exP

(r — r )

V max / 2^ )2

,2 Л

(4)

Вт/м3.

где / = 8,63 -101

Таким образом, для аналитического описания области взаимодействия электронного пучка с облучаемой мишенью необходимо задать геометрию пространственного распределения и функциональную зависимость от координат распределения выделенной энергии.

Для введения геометрических аппроксимаций можно использовать области правильных геометрических форм: полусферу или полуэллипсоид с определяемыми на основе результатов вычислительного эксперимента (по симуляции транспорта электронов) характерными пространственными размерами. Более сложный вариант реализации моделей принципиально можно ввести с учетом численной криволинейной аппроксимации границы, представляющей собой огибающую области взаимодействия пучка с облучаемой мишенью.

Инициализация функции плотности мощности источника, как правило, предполагает введение аппроксимирующих функций для интенсивности распределе-

ния электронов в образце. В подобных оценках следует учитывать смещение максимума электронной плотности от точки падения пучка электронов на некоторое расстояние по глубине в осевом сечении. Для математической формализации использование нормального распределения дает один из возможных способов задания функций, аппроксимирующих интенсивность электронного распределения.

Следовательно, численная реализация имитационной трехмерной модели транспорта электронов позволяет аналитически описать область взаимодействия сфокусированного зонда РЭМ с исследуемыми материалами. Реализованная стохастическая модель основана на классическом подходе, предполагающем использование модельного дифференциального сечения Мотта, закона непрерывных ионизационных потерь энергии Бете и значения длины шага, пропорциональной средней длине свободного пробега электронов. Для трехмерной модификации модели предложен алгоритм расчета изменения траектории движения электронов. Разработано программное приложение в ППП Matlab, позволяющее наблюдать анимацию электронных траекторий в образцах сегнетоэлек-трических материалов для выбранного элементного состава, энергии ускоряющих напряжений, количества историй электронов, а также после каждой реализации вычислительного эксперимента контролировать основные характеристики области взаимодействия пучка с облучаемой мишенью. Проведена аппроксимация конфигурации области взаимодействия электронов с типичными сегнетоэлектрическими материалами, предложены аппроксимации для функциональной зависимости пространственного распределения энергии электронов с помощью распределения Гаусса.

Библиографический список

1. Аккерман А.Ф. Моделирование траекторий заряженных частиц в веществе. М.: Энергоатомиздат, 1991. 200 а

2. Борисов С.С., Грачев Е.А., Зайцев С.И. Вычисления распределений по глубине энергии и заряда выделенных при облучении мишени электронным пучком в приближении дискретных потерь // Прикладная физика. 2007. № 1. С. 50-54.

3. Гоулдстейн Дж., Ньюбери Д., Эчлин П. Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. М.: Мир, 1984. 348 с.

4. Масловская А.Г., Копылова И.Б. Исследование процесса переполяризации сегнетоэлектрических кристаллов в ин-жекционном режиме // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2009. Т. 136, вып. 1 (7). С. 105-109.

5. Масловская А.Г. Анализ тепловых эффектов, возникающих при взаимодействии электронных пучков с сегнетоэлек-трическими кристаллами // Известия вузов. Физика. 2010.

№ 1. C. 34-40.

6. Czyzewski Z., MacCallum D.O., Roming A., Joy D.C. Calculations of Mott scattering cross section // J. Appl. Phys. 1990. V. 68. P. 3066-3072.

7. He J., Tang S.H., Qin Y.Q., Dong P., Zhang H.Z., Kang C.H., Sun W.X., Shen Z.X. Two-dimensional structures of ferroelectric domain inversion in LiNbO3 by direct electron beam lithography // J. Appl. Phys. 2003. V. 93. P. 9943-9946.

8. Joy D.C. Monte-Carlo Modeling for Electron Microscopy and Microanalysis. New York: Oxford University Press, 1995. 216 p.

9. Molina P., Ramirez M.O., Garcia-Sole J., Bausa L.E. Effect of electron beam writing parameters for ferroelectric domain structuring LiNbOs:Nd3+ // Optical Materials. 2009. V. 31. P. 1777-1780.

10. Napchan E. Monte Carlo Simulation of Electron Trajectory // European Microscopy and Analysis. 1992. V. 2. P. 21-23.