CC BY
46
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 103-113
= Информатика =
УДК 681.5+621.327.12
Компьютерное моделирование экспериментальных зависимостей фотоупругих свойств элементов конструкции контактного устройства
A.B. Уланов
Аннотация. Исследована актуальность исследования фотоупругих свойств элементов конструкции, проанализированы теоретические основы построения цифровых фотоупругих изображений. Построены и проанализированы цифровые фотоупругие изображения.
Ключевые слова: фотоупругие свойства элементов конструкции контактного устройства, цифровые фотоупругие изображения.
Введение
Фотоупругость — один из самых старых методов экспериментального анализа напряжения, который за прошлые три десятилетия был вытеснен методом конечных элементов для технических применений. Однако такие новые области применения фотоупругости как инфракрасная фотоупругость, малозатратная динамическая фотоупругость, применение фотоупругости в стереолитографии возродили использование фотоупругости [1, 2]. В частности, определение концентрации напряжений перед метками и отверстиями было и остается одним из самых частых и обычных применений фотоупругости в проектировании деталей машин.
Основные принципы фотоупругости описаны в [3]. Стандартный плоский полярископ состоит из источника света и пары поляроидов, которые называют поляризатором и анализатором, с пересеченными поляризационными осями с обеих сторон модели. Наибольший недостаток метода фотоупругости — сложность процедур вычисления компонентов напряжений от оптических линий изоклин и изохроматических интерференционных картин. Сгенерированные оптические картины должны быть проанализированы с использованием усложненного конечно-разностного приближения [4].
Методы визуализации результатов анализа методом конечных элементов важны по нескольким причинам. Во-первых, многозначительное и точное представление процессов, имеющих место в проанализированных конструкциях. Во-вторых, что возможно даже более важно, построение основания для
гибридных фотоупруго-численных экспериментальных методов. Типичный пример применения метода конечных элементов в развитии гибридного метода представлен в [5].
К сожалению, традиционные методы анализа конечных элементов основаны па аппроксимации узловых смещений (не напряжений) через функции формы [3]. Рамеш и др. [4] правильно отметили, что фотоупругие изохромы могут эффективно использоваться для обнаружения проблем нанесения сетки с помотцыо метода конечных элементов.
Традиционный метод конечных элементов требует недопустимо плотного нанесения сетки для того, чтобы получить достаточно гладкую фотоупру-гую картину. Кратпомасштабпое нанесение сетки недопустимо, либо целая область конструкции должна быть проанализирована с той же самой точностью. Поэтому существует потребность в развитии метода сглаживания генерируемых фотоупругих интерференционных картин, отображающих распределение напряжений и вычисленных исходя из распределения смещений. Предложенный метод сглаживания основан па сопряженной аппроксимации, используемой для вычисления узловых значений напряжений [6], и обеспечивает получение цифровых изображений приемлемого качества па относительно грубых сетях. С другой стороны, гибридный метод конечных элементов [7], основанный па интерполяции напряжений (не смещений), не может эффективно использоваться, поскольку вычисление собственных мод было бы фактически невозможно из-за сложности формулировок.
Цель работы заключается в развитии методов для гибридного экспери-мепталыто-числеппого анализа фотоупругости. Общая схема такого анализа представлена па рис. 1. Генерация цифровых изображений, изображающих эффект фотоупругости, естественным образом внедряется в гибридную итеративную процедуру, позволяющую эффективную интерпретацию экспериментальных результатов, и обеспечивает понимание физических процессов, имеющих место в анализируемых объектах.
Теоретические основы построения цифровых фотоупругих изображений
Исходными данными для построения цифровых фотоупругих изображений являются значения узловых смещений, полученные с помощью вычислений конечных элементов. Если анализ динамического процесса проведен, собственные моды для конструкции в плоском напряженном состоянии вычисляются с использованием формулировки задачи в перемещениях, общей и для анализа методом конечных элементов. Предполагается, что конструкция испытывает высокочастотные колебания соответственно собственной моде (частота возбуждения приблизительно равна собственной частоте соответствующей собственной моды, и собственные моды не являются кратными). Схема приложения нагрузки проанализированной консольной пластины показана па рис. 2.
Рис. 1. Процедура гибридного экспериментально-численного анализа
Построение фотоупругих изображений, исходя из результатов конечных элементов, требует узловых значений компонентов напряжённого состояния. Следует отметить, что вычисление этих значений это нетривиальная процедура в общепринятом анализе методом конечных элементов, основанном на формулировке задачи в перемещениях.
Компоненты напряжённого состояния в области проанализированного конечного элемента могут быть вычислены обычным способом
| = [О] [В] {¿о} , (1)
Тху J
где <5о вектор узловых перемещений собственной моды; [В] — матрица, связывающая напряжения со смещениями; [Б] — матрица, связывающая усилие воздействия с напряжениями; аХ1 аУ1 тху компоненты напряженного состояния в задаче двухосного (плоского) напряженного состояния. Следует отметить, что смещения непрерывны в межэлементных границах, но вычисленные усилия воздействия прерывисты из-за операции дифференцирования [8].
Самый естественный путь для вычисления узловых значений напряжений минимизация квадрата разности между непрерывной функцией напряжения (1) и интерполированного поля напряжений функциями формы
10 тш
<=>
Рис. 2. Третья собственная мода консольной пластины (серые линии — конструкция в состоянии равновесия, черные линии — собственная мода)
проанализированного элемента. Эти различия объединены в областях соответствующих элементов
? \ Це ^ ^х^ ~а^2 в,х ? \ Це ^ *бу^ ~ау)2 Лх ^
? \ Це ^ *бху^ ~Тху)2 Лх
где 8Х — вектор узловых значений ах; 6у — вектор узловых значений ау; $ху вектор узловых значений тху; [Л/] ряд функций формы конечного элемента; е* поддерживает область г-го конечного элемента; суммирование обозначает прямую процедуру [9].
К сожалению, нахождение неизвестных узловых значений 6Х1 6у и 6ху по формуле (2) неудовлетворительно для генерации цифровых фотоупругих изображений, поскольку производные интерполированных полей напряжения
остаются разрывными (прерывистыми). Данная ситуация проиллюстрирована в численных результатах. Поэтому были введены дополнительные члены штрафа для быстрого изменения полей напряжения:
Л ((дах/дх)2 + (дах/ду)2) ,
Л ((дау/дх)2 + (дау/ду)1) , (3)
А {(0тху/дх)2 + (дтху/д-у)2) ,
где А — параметр сглаживания. После преобразований, получим
Е \ Ц ((М V*} - ^)2 +А [е*]т йх йУ'
Е \ [I ((^1 ^ ^ + А ^ [0*]Т (1х йУ' (4)
Е \ [Iе ((м м -т*»)2+А мт [е*]т м)йх йУ'
где \В*\ — матрица производных функций формы (первый ряд относительно х; второй — относительно у). Минимизация невязок, определенных в (4), приводит к следующим системам линейных алгебраических уравнений для определения каждого компонента напряжений
(Е Ц (мт м + [е*]т А йх ёу) • ^ = Е Ц мт а*(1х йУ' (Е II (МТ № + [¿НТ А [0*]) (1х <1у) ' {М = Е II МТ <1У' (Е Ц (мт м + [е*]т А (1х ¿у) ■ м = Е Ц мт т*у*х у•
(5)
Следует отметить, что, когда параметр сглаживания является слишком маленьким, восстановленные изображения имеют недопустимое качество вследствие пефизического характера изменения поля напряжения в результате их вычисления из формулировки задачи в перемещениях. Когда параметр имеет слишком большое значение, получается сверхсглажеппое изображение, которое может выглядеть вполне приемлемым, по быть далеко от реального фотоупругого изображения. Выбор параметра сглаживания А может быть выполнен с использованием норм погрешности (ошибки) [10] конечных элементов. Компоненты напряжений могут быть проиптерполировапы из их узловых значений при использовании функций формы конечного элемента. Тогда компоненты напряжений ех, еу, уху будут получены с использованием
этих значении усилии воздействий и матрицы постоянных упругости
(£х 1 ( сгх ^
[ = [О]“' I *у\ (6)
'Уху) \ТХУ )
Норма относительной ошибки для ¿-го конечного элемента может быть вычислена так
В„ ((4 - [В] {МГ [Р] ((4 - [В] М) ** Лу ' //«, (£}Т [°] М ЛУ
Для тех частей изображения, где нормы относительной ошибки конечных элементов являются слишком большими, изображение, вероятно, будет недостаточно качественным и может потребоваться лучшее нанесение сетки или сглаживание изображения с большим значением параметра сглаживания. Выбор параметра сглаживания А осуществляется в таком случае непосредственно из формулы , .
А = /(!>)'
г '
где функция / подбирается как линейная возрастающая функция, для которой / (0) = 0. Крутизна функции зависит от нанесения сетки и особенно от типа используемого конечного элемента.
Главные напряжения а\, <72 в каждом узле вычисляются как собственные значения матрицы
<7,- Г,„ (9)
а нормализованные собственные векторы этой матрицы У\, У% являются направлениями главных напряжений.
Вектор поляризации может быть представлен в следующем виде
{Р} = , (10)
где а — угол между вектором поляризации и осыо X.
Тогда интенсивность в фотоупругом изображении в плоском полярископе (изоклипы и изохромы переплетаются) может быть вычислена по формуле
I = (({V,} ■ {Р}) (Ш ■ {P})smC (а, -а2))\ (И)
где С — константа, зависящая от толщины проанализированной конструкции
в плоском напряженном состоянии и от материала, из которого конструкция произведена [11J.
Интенсивность фотоупругого изображения для кругового полярископа (изохромы) может быть вычислена по формуле
/ = (sill с (<71 - СГ2))2 , (12)
а интенсивность изоклинной картины может быть вычислена по формуле
I = т'г] ■ 1П) т) ■ {р})у
(13)
Следует отметить, что последнее изображение не может быть получено непосредственно из экспериментальных исследований, но оно требуется для определения поля напряжения. Рассмотренные выше отношения формируют основу для построения цифровых фотоупругих изображений. Процедура построения цифровых изображений в плоскостях проекции по изопараметри-ческим конечным элементам подробно описана в [12].
Построение цифровых фотоупругих изображений. Рассмотрим прямоугольную консольную пластину с зажатой гранью в плоском напряженном состоянии. Нижняя грань пластины зафиксирована (оба компонента смещений приняты равными нулю). Полагается, что пластина выполняет резонансные колебания на собственной моде, которая не является кратной: нагруженность должна быть гармонической с частотой собственной моды и не ортогональной к ней. Рассмотрено движение согласно единственной собственной моде. Третья собственная мода пластины и схема пупинизации показаны на рис. 2. Восстановленные главные напряжения (собственная мода напряжений) в узлах показаны на рис. 3.
Рис. 3. Восстановленные узловые главные напряжения третьей собственной моды (темный серый — отрицательные, светлый серый — положительные)
Рис. 4. Изолинии абсолютных значений разности главных напряжений третьей собственной моды
Изолинии абсолютных значений разности главных напряжений третьей собственной моды представлены на рис. 4. Главные направления напряжений для третьей собственной моды показаны на рис. 5. Изображение, генерируемое круговой полярископом (изохромы), представлено на рис. 6.
■+++++++++++*-А**ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*А*А'*.)гА-*■•¥++++++++++++ '+++++++++++*■/-•/-****** * X X X X X X X X X X X X X * X** Л- Л-А--V •¥•¥+•¥++++++++++ ■+++++++* ++-А¥--АХХХХХХ XX XX X X X X X X X X X X X XX *■***- **+•¥•¥ •¥++++++++++ ■+++-М-+-М-++т[-*-/-ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*А--\'А-А'* •¥+++++++++++ ■+++++++++++*ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХЛ^-*Аг-У •¥•¥+■*•+++++++++ ■++++++++++¥-+-А-АХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХЛ-Л-Л-А-Л--¥+++++++++++ ++++++-/-*++**ХУ-ХХХХХХХХХХХХХ X ХХХХХХХХХХ*Л^*А-ЛГ*ЛЧ-+++++++++ •+++++++++т‘-**ХХХХХХХХХХХХХХХ X ХХХХХХХХХЛЛ Л-Л--УЛ-А- •¥+++++++++++ ■+++++-/-+*+++Т^ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*^гЛг*-¥++++-М--Н-+++ ■++++++-Н-+***ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ.>сАгА-.¥.* Л- •¥+++++++++++ ■+++++-*-+-/-*-А-|‘-т<- *ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХА^гА'А:-¥+-аГ*++-У-+++++++ ++++++-Н-++**т‘-*ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*.>г •**■*++++++++++++++ ++++4^-+***+*-А*ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*->гАг-У*+-'гА--\Ч--Н'-Н-+++++ ++++++++++++•/-*-*т‘-ХХХХХ хх хх хх х х х хх х х ххл-*А--*-¥ЛгА-А-А--\-++++++++++
4+++++++++*++*-А-А***ХХХХХХХХХХХХХХХХ*-*А'**+-*++++-¥+++++++++
4+++++++++++++*1Ч^*ХХХХХХХХХХХХХ*Х*Л^А-*АЦЦ-АЧЧЧЧЧЧЧ-ЧЧЧ---++
$Ьщжшшш$й5?5^^й«шттттдй1й
1йшйжйжжй?5;шжжййщ
+++++-
ж
^■Уххххх-/-'А+
•++Л'А"-V А X X х х X хх^-а-/-+4-++-
^++-АгА-**ХХХХХХХХ***'А-И-
+ЧЧЧЧ**Аг *■¥ * X X X X X X X X X X XX X* -а-/--/-+++++-■ -Н"\'А--У-3г>г-3гхххххххххххххххХУ-'А-*-+ ‘ ' '
+++++ЧЧЧЧЧЧЧЧЧМ-А-А-А-*хххххххххххххххххххх*++-/-++-Н--Н-++++-+++++++++++++Л'-УЛ-'У-У-у-ч-х XX X X XX х X X XX X х ^^у-ххх-’/-/-/-/-+++++++++-++++++++++-¥-\-У-\-Л-Л--У>гХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХт(-'/-+^+++++++++-•+++++++++++-¥-1Г-¥Л-Л-><'ХХХХХХХХХХ х ххххххххххххх-тИИ--/• •/-+++++++• 444++++++*+А-Л-*-5гЛ'А'ХХХХХХХХХХ х х ххххххххххххх-/"/--/--/-*-/-+++++-
•++++++++++•¥-У-У •У Л*-УХХХХХХХХХХХ X ХХХХХХХХХХХХХХХУ-У--/-+++++• •+++++^++-\'-\--1гЛ-Л'>г.\-ХХХХХХХХХХХХ X хххххххххххххххху-•/-'/•-/■+++++-•++++++-¥+-У-У-'гАгЛ--У-УХХХХХХХХХХХХ X ххххххххххххххххху-у-^-/-++++• ++++++•¥■¥ •У-У-'г^А'ХХХХХХХХХХХХХХ X хххххххххххххххххх-/-■/•+++++-
++++-¥ •У-У-У-'г-’гА'А'-УХ'ХХХХХХХХХХХ XX X ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ-И-+■ +++++■¥■¥*• А-А'А'А'ХХХХХХХХХХХХХХХ X XX ХХХХХХХ XX ХХХХХХХХ-А-А-/--/-*-+■ '+++++Л-+А'А-А-.>гХХХХХХХХХХХХХХХХ X ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ-/--/•+-/-+•
■++++*++-У**А'**-ХХ*ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*'А++-Н-- . .
'++-Н'-У-)г->г-У-У.УХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХт|-*-*--А-И"И-+++++*-¥-1гА'А'Х.*ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ-А*'А+-/-/-+ -Н'-¥+-¥Аг-)гАг-У-Ч-ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*-М-+-М' \WW\iгА'.\-А-Х-Ч’ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ+++-^+ •У-А--1г->гА--¥-!гА-ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХт1-■/-+++ ■V-V ■¥+-¥*•■¥-Ухххххххххххххххххххх х ххххххххххххххххХХХХХХХХ*-*-А+
■V •¥->[-•¥-¥ А-ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ-* А-А--1гА'-УА-Х'ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХхххххххххххххххХХХХХХХХХХ'У:о[-Хт‘-А'А'А'А’А’ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX■/• -VArJrA'•VX•YXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ■УХХХХХХХХХХХХХххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх
ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ
ХХХХХХХХХХХХХХххххххххххххххх
ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ
ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХЖХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ
хкХххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх*
*хххххххххххххххххххх ......
*ххххххххххххххххххххххххххх
кхххххххххххххххххххх
ххххххххххххххххххххх
Рис. 5. Главные направления напряжений для третьей собственной моды
Рис. 6. Изохромы (изображение, генерируемое круговой полярископом) для третьей собственной моды
Направления главных напряжений непосредственно связаны с изображениями представленными ниже. Изображения изоклин при а = 0 и соответствующее изображение для плоского полярископа (изоклины и изохромы переплетены) представлены на рис. 7). Соответствующие изображения при а = 7г/8 показаны на рис. 8).
Рис. 7. а — Изображение изоклин третьей собственной моды при а = 0; б — смешанные изоклины и изохромы для третьей собственной моды при а = 0
Наконец, изолинии направлений главных напряжений, соответствующие самым темным частям изображений изоклин (диаграмм изоклин) показаны на рис. 9. Числа на рис. 9 связаны с углом вектора поляризации к оси X а. Последовательные числа і = 1,. .. , 10 соответствую значениям а = (і — 1) 7г/20.
б
Рис. 8. а — Изображение изоклин третьей собственной моды при а = 7г/8; б — смешанные изоклины и изохромы для третьей собственной моды
при а = 7г/8
Рис. 9. Изолинии главные направления напряжений для третьей собственной моды при а = (г — 1)7г/20, % — 1,. . . , 10
Другой важный численный метод — это определение изотропных точек в диаграмме изоклип. Изотропная точка — это точка, через которую проходят все изоклипы. Изотропные точки важны для экспериментального анализа напряжений, когда определяются изохроматические полосы пулевого порядка.
Данные в таблице представляют отношение между числом собственных мод и числом изотропных точек в анализируемой прямоугольной пластине.
Таблица 1. Отношение между числом собственных мод и числом изотропных точек
Число собственных мод 1 2 3 4 5 6 7 8
Число изотропных точек 0 0 1 1 5 3 4 8
Следует отметить, что сложность области напряжения увеличивается с числом собственных мод.
Список литературы
1. Soifer V.A. Computer processing of images /7 Herald of the Russian Academy of Sciences. 2QQ1. V. 71, N 2. P. 119-129.
2. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.
3. Doily J.W., Riley W.F. Experimental Stress Analysis. N.Y.: McCra.w Hill Book Company, 1991. Hybrid Experimental-numerical Concept of Residual Stress Analysis in Laser Weldments / Holstein A. [et. a.i.] /7 Experimental Mechanics. 2001. V. 41, N 4. P. 343-350.
4. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis. New Jersey: Prentice-Ha.il, 1982. 735 p.
5. Hybrid and Mixed Finite Element Methods / Atluri S.N. [et. a.i.], N.Y.: Wiley, 1983.
6. Pacey M.N., Haake S.J., Patterson E.A. A Novel Instrument for Automated Principal Strain Separation in Reflection Photoela.sticity // .1. of Testing and Evaluation. 2000. V.28, N 4. P. 229-235.
7. Vest C.M. Holographic interferometry. N.Y.: Wiley, 1979.
8. Asundi A., Sajan M.R. Multiple LED Camera, for Dynamic Photoela.sticity // Applied Optics. 1995. V. 34, N 13. P. 2236-2240.
9. Vasiliauskas R, Palevicius A, Ragulskis K. Analysis of holographic interferogra.ms by ultrasonic piezoelectric transducers in the investigation of three-dimensional vibrations /7 Acoustical Physics. 1988. V. 34, N 6. P. 573-575.
10. Ra,mesh K., Yadav A.K., Pankhawalla A. Plotting of fringe contours from finite element results // .1. Communications in Numer.Methods in Eng. 1999. V. 11. P. 839-847.
11. Su X.Y., Asundi A., Sajan M.R. Phase unwrapping in Photoela.sticity // ICEM’96. Advances and Applications. Singapore, 1996.
Поступило 25.11.2008
Уланов Андрей Викторович ([email protected]), к.т.п., ст. преподаватель, кафедра технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов, Сарапульский политехнический институт, филиал Ижевского государственного технического университета.
Computer modelling of photo elasticity experimental approach
A.V. Ulanov
Abstract. Topicality of research of photo elasticity — hybrid numerical experimental approach is considered in article. Governing equations, construction and analysis of the digital photoelastic images are considered.
Keywords: photoelastic features of contact device elements, digital photoelastic images.
Ulanov Andrey ([email protected]), candidate of technical sciences, senior teacher, department of technology of mechanical engineering, metal-cutting equipment and tooling, Sarapul Polytechnical Institute, branch of Izhevsk State Technical University.
