CC BY
39
КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ И ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Д.Ю. БАШМАКОВ, студент ФМХТДМГУЛа
В настоящее время актуальным является компьютеризация лабораторных работ с целью перехода от работы на громоздких лабораторных стендах к работе с компьютером.
Студентом Башмаковым Денисом Юрьевичем разработана программа для выполнения лабораторных работ на компьютере по дисциплине «Моделирование объектов и систем управления».
Описание этой программы приводится в прилагаемой статье «Компьютеризация лабораторных работ по моделированию и оптимизации технологических объектов».
В статье изложены разделы программы компьютера по имитации технологических объектов, по выполнению эксперимента на моделях объектов, по изучению методик их математического описания и поиска оптимальных решений, описываются разделы программы компьютера по имитации технологических объектов, а также по получению их математического описания и поиску оптимальных решений экспериментальными методами.
Выполненная студентом работа потребовала углубленных математических знаний и творческого осмысления методологии научных исследований технологических объектов.
В статье излагается методика выполнения лабораторных работ по дисциплине «Моделирование объектов и систем управления» на компьютере.
Изложенный материал является новым и может быть полезным при компьютеризации лабораторных работ по другим дисциплинам.
Профессор кафедры автоматизации и производственных процессов
В.Р. Фергин
Лабораторные работы по моделированию и оптимизации объектов на кафедре автоматизации производственных процессов (АНН) традиционно выполнялись на физических моделях объектов (тепловых, электрических и др.). С расширением компьютерной базы кафедры возникла целесообразность выполнения этих работ на компьютере с использованием математических моделей объектов.
Для этого потребовалась разработка программного обеспечения для имитации характеристик исследуемых объектов, постановки на модели объекта «эксперимента», а также для статистической обработки опытных данных с целью получения его математического описания и оптимизации экспериментальными методами.
Для имитируемых при помощи компьютера объектов, по сравнению с их физическими моделями, легко обеспечить обширное множество вариантов их статических и динамических характеристик с наложением случайных составляющих различ-
ных уровней для факторов объекта. Кроме того, на компьютере автоматизируется статистическая обработка «опытных» данных без их трудоемкого ввода с клавиатуры.
Комплекс компьютерных программ для выполнения лабораторных работ предназначен для студентов специальности 2100.02 «Автоматизация технологических процессов и производств» по дисциплине «Моделирование объектов и систем управления». Он разработан на основе «Методических указаний к лабораторным работам», составленных профессором кафедры АПП В.Р. Фергиным.
«Методические указания» предусматривают выполнение следующих лабораторных работ, которые разбиты на два цикла.
Цикл 1. «Математическое описание объектов управления экспериментальным методом».
Лабораторная работа 1.1. Получение статистической модели объекта в виде закона распределения.
Лабораторная работа 1.2. Выявление доминирующих факторов объекта методом отсеивающего эксперимента.
Лабораторная работа 1.3. Математическое описание объекта с использованием плана эксперимента первого порядка.
Лабораторная работа 1.4. Математическое описание объекта с использованием плана эксперимента второго порядка.
Лабораторная работа 1.5. Получение динамических характеристик объекта управления.
Цикл 2. «Экспериментально-статистическая оптимизация объектов управления».
Лабораторная работа 2.1. Оптимизация объекта методом поочередного изменения переменных.
Лабораторная работа 2.2. Оптимизация объекта методом симплекс-планирования эксперимента.
Для каждой лабораторной работы согласно ее сущности в первую очередь программируется математическая модель объекта в виде его статической или динамической характеристики.
Статическая характеристика моделируется полиномом второго порядка, включающего линейные эффекты, парные взаимодействия и эффекты второго порядка. Он имеет следующий общий вид.
У
А-1, А-1*и+*п*;
+ ... + Ьх~
(1)
где Г - выходной фактор объекта; х - входные факторы; Ь(),Ъп
, Ъпп - коэффициенты полинома.
Динамические свойства объекта моделируются временными характеристиками инерционных звеньев первого и второго порядка вида:
>>(/) = кх(
1-е
"т
у(і) = кх о
Т,
т
7;-7;
/
Тг
(2)
(3)
где ^ - время; х0 - величина «скачка» входного фактора; к - коэффициент усиления объекта; е - основание натурального логарифма; Т, 7| и Т2 - постоянные времени объекта.
С целью имитации вероятностных свойств объекта на значение выходного фактора накладывается случайная составляющая Ус, которая суммируется с ним. Принято распределение случайной составляющей по нормальному закону, что характерно для большинства технологических объектов деревообработки.
В математическом обеспечении компьютера предусмотрена возможность выборки случайных чисел, распределенных по равномерному закону в пределах от 0 до 1. Согласно центральной предельной теореме сумма т равномерных распределенных независимых случайных величин Д стремится
к нормально распределенной величине при бесконечном увеличении т. Для получения выборки, подчиняющейся нормальному закону распределения, достаточно воспользоваться 12-ю случайными числами Л,, равномерно распределенными в интервале [О, 1]. Таким образом определим случайную величину Г:
7' = й1+йг+,.. + Л„ = £/г,
(4)
В соответствии с центральной предельной теоремой Т является асимптотически нормальной величиной со средним значением Т - т/2 и дисперсией о2 =1.
Для любого нормального распределения с дисперсией о2, отличной от единицы, случайное отклонение Ус, соответствующее указанным выше т случайным числам, получается из формулы
У =о
(5)
Кроме имитации объекта исследования, программа для каждой лабораторной работы обеспечивает статистическую обработку экспериментальных данных (вычисле-
ние средних, дисперсий), а также регрессионный анализ и проверку статистических гипотез.
Программа составлена в средстве создания Windows-приложений Delphi 4.0, и предназначена для работы в среде операционных систем Window 95/98 или Windows NT.
Характеристики и параметры исследуемого объекта задаются преподавателем на «странице объекта», отражаемой на дисплее компьютера. Она защищена от несанкционированного вмешательства паролем.
Рассмотрим особенности программ для выполнения лабораторных работ на компьютере.
Лабораторная работа 1.1 связана с получением статистической модели объекта в виде закона распределения. Предусмотрена модель в виде нормального закона распределения выходного фактора. Формируются случайные измерения выходного фактора У по формуле
У=У'Р + К- (6)
Преподавателем задаются среднее значение выходного фактора Уср ~Ь0 и его
среднее квадратическое отклонение а, диапазоны варьирования входных факторов. Случайная составляющая Ус формируется по формуле (5).
Нами запрограммировано:
а) формирование вариационного ряда случайных чисел;
б) расчет среднего арифметического и дисперсии;
в) проверка статистической гипотезы о наличии грубых измерений;
г) расчеты по проверке статистической гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона,
д) построение полигона случайных значений выходного фактора и его теоретического распределения.
В лабораторной работе 1.2 производится отсеивающий эксперимент по насыщенному плану эксперимента с целью выявления доминирующих факторов объекта. На «странице объекта» преподавателем в урав-
нении полинома назначаются только значимые коэффициенты регрессии, случайные характеристики объекта, диапазоны варьирования входных факторов.
В этой работе программа предусматривает:
а) составление плана эксперимента;
б) определение числа измерений в каждом опыте;
в) имитацию измерений выходной величины для всех опытов;
г) расчет статистических оценок результатов измерений;
д) расчет коэффициентов регрессии, отражающих линейные эффекты, по формулам для ортогональных планов эксперимента;
е) проверку статистической гипотезы о незначимое™ коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента.
В лабораторных работах 1.3 и 1.4 следует получить математическое описание объекта в виде уравнений регрессии первого и второго порядка.
Преподавателем назначаются коэффициенты регрессии, случайные параметры объекта и диапазоны варьирования входных факторов.
Программа выполнения этих работ обеспечивает:
а) формирование плана эксперимента;
б) имитацию данных опытов;
в) расчет статистических оценок для всех опытов;
г) проверку статистической гипотезы об однородности дисперсий по критерию Кохрана;
д) расчет коэффициентов регрессии;
е) проверку статической гипотезы о незначимости коэффициентов регрессии;
ж) проверку статистической гипотезы об адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера.
В работах 1.3 и 1.4 для расчета коэффициентов регрессии используется метод регрессионного анализа, реализуемый при помощи операций с матрицами. Вектор коэффициентов регрессии В равен:
В = {Х-Х’УХ'У, (7)
где X - матрица определяемых эффектов; X' - матрица, транспонированная к матрице X; X ■ X' - произведение матриц; У- вектор-столбец результатов опытов.
Для обращения матрицы в программе применен метод Гаусса.
Такой подход дает возможность рассчитывать коэффициенты регрессии для неортогональных планов эксперимента.
В лабораторной работе 1.5 следует получить динамические характеристики для одноемкостного и многоемкостного объектов управления.
Преподавателем назначаются постоянные времени объекта, коэффициент усиления и величина «скачка» входного фактора.
В ходе работы программа обеспечивает:
а) имитацию изменения выходного фактора во времени с учетом случайной составляющей;
б) построение графиков экспериментальных кривых разгона;
в) графическое определение констант динамических характеристик объектов;
г) построение графиков теоретических кривых разгона;
д) определение максимального расхождения между экспериментальной и теоретической кривыми разгона.
Для выполнения лабораторных работ 2.1 и 2.2 по оптимизации объектов экс-периментально-статистическими методами преподавателем задаются коэффициенты полинома, описывающего объект, случайная составляющая и диапазоны варьирования входных факторов.
Студентом поэтапно производятся опыты путем имитации ряда измерений выходного фактора. После каждого этапа анализируются результаты и назначаются условия проведения следующих опытов (опыта). Опыты ставятся до тех пор, пока не будет выполнено условие окончания поиска оптимального решения.
Программа обеспечивает измерения оптимизируемого фактора объекта для сочетаний входных факторов по матрице опытов, формируемой студентом на дисплее компь-
ютера. Анализ результатов опытов также производится студентом.
В лабораторной работе 2.1, отражающей метод поочередного изменения переменных (метод Гаусса-Зайделя), по результатам анализа предыдущей серии планируются и вводятся в компьютер условия последующей серии опытов.
В лабораторной работе 2.2, отражающей метод симплекс-планирования эксперимента, план исходной серии опытов в условном масштабе при помощи разработанной нами программы формируется автоматически по заданной размерности п объекта. Также автоматически осуществляется перевод плана эксперимента в натуральный масштаб факторов. На этой матрице производится поиск оптимального решения.
После имитации измерений исходной серии опытов, анализ результатов выполняется студентом. Он выявляет наихудший опыт, а координаты точки его зеркального отображения вычисляются по программе. Вблизи экстремума оптимизируемого фактора симплексы зацикливаются. Это выражается в том, что какая-то строка матрицы не вычеркивается как наихудшая в течении N шагов:
ЛГ>1,6и + 0,5и\ (8)
При выполнении условия (8) программа выдает сигнал о том, что оптимальное решение найдено. Это центр цикла - сочетание входных факторов в остающейся строке матрицы.
С целью неформального выполнения лабораторных работ предусмотрена возможность обращения с любой страницы «рабочего поля» к соответствующему тексту «Методических указаний», заложенных в компьютер.
По каждой лабораторной работе предусмотрено заполнение готового бланка отчета, в котором отражается методика выполнения работы. Полученные численные результаты, а также сделанные студентом выводы, записываются им в бланк лабораторной работы самостоятельно. Отказ от полной автоматизации формирования отчета будет способствовать более творческому изучению дисциплины.
