Композиция смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной Римана-Лиувилля одного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

дробной производной по времени // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. тринадцатой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. 185-186

17. Азовский В.В., Носов В.А Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в бесконечной области // Волжский математический сборник. Куйбышев: Куйб. пед. ин-т. Вып. 15, 1973. С. 3-9.

18. СвешниковА.Г., ТихоновА.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.

19. БицадзеА.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. мат. ин-та им. Стеклова. М.: Наука, 41. 1953. 62 с.

Поступила 24.01.2005 г.

УДК 517.95

А.С. Еремин

КОМПОЗИЦИЯ СМЕШАННОГО ДРОБНОГО ИНТЕГРАЛА И СМЕШАННОЙ

ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ ОДНОГО ПОРЯДКА

Исследуется вопрос композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной в достаточно широком классе функций. Получена формула обращения смешанной дробной производной.

Введение Теория дробного исчисления посвящена исследованию и применению интегралов и производных произвольного порядка. Историю дробного исчисления следует вести еще с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля [1]. В последнее время интерес к дробному исчислению значительно усилился, что вызвано многочисленными приложениями в различных областях науки. В этой связи можно упомянуть монографии [2-6], работы [7-9].

Известны различные формы дробных интегралов и производных. Наиболее часто в научной литературе встречаются дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля [1]. Операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (а; Ь; с; z) рассматриваются, например, в работах [10-13]. В работах [14-16] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного интегро-дифференцирования.

Непосредственное распространение операций дробного интегро-дифференцирования Ри-мана-Лиувилля на случай многих переменных, когда эти операторы применяются по каждой переменной или по некоторым из них, дает так называемые частные и смешанные дробные интегралы и производные. Они известны достаточно давно [1]. Так, в работе [17] при помощи двухмерного преобразования Лапласа получено решение двухмерного интегрального уравнения Абеля.

В настоящей работе исследуется вопрос композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной в достаточно широком классе функций. Получена формула обращения смешанной дробной производной. Полученные результаты могут применяться в теории дифференциальных уравнений, содержащих смешанные дробные производные.

Абсолютно непрерывные функции. Важную роль в теории дробного интегро-дифференцирования играют абсолютно непрерывные функции.

Пусть О = {(x,у) : a < x < Ь,с < у < d}, -¥ < а < Ь <¥, -¥ < с < d <¥.

Определение 1 [1, с. 21]. Функция /(х) называется абсолютно непрерывной на отрезке [а, Ь], если по любому е > 0 можно найти такое 8 > 0, что для любой конечной системы попарно непересекающихся отрезков [ак, Ьк ] е [а, Ь], к = 1, т , такой, что ^ 1=1(Ьк - ак) < 8, справедливо неравенство ^т1 /(Ьк) - /(ак) |< е. Класс всех таких функций обозначается АС ([а, Ь]).

Определение 2 [1, с. 21]. Через АСп ([а, Ь]), где п = 1,2,... обозначим класс функций / (х), непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] до порядка п -1, причем / (п-1)(х) е АС ([а, Ь]). Определение 3 [18, с. 237]. Функция /(х, у) называется абсолютно непрерывной в О, если по любому е > 0 можно найти такое 8 > 0 , что для любой конечной системы попарно непересе-кающихся промежутков Дк = {(х,у): х1к < х < х2к,у1к < у < у2к}, сумма площадей которых

меньше 8, справедливо неравенство

п

X I/(Х2к ,у2к ) - /(х1к ,^ ) - /(Х2к , УН ) + /(х1к ,Як )| < ^ (1)

к=1

и если, кроме того, / (а, у) е АС ([с, d]) и / (х, с) е АС ([а, Ь]). Класс всех таких функций обозначается АС (О).

Определение 4. ЧерезАСп’т(О), гдеп = 1,2,..., обозначим класс функций, непрерывно дифференцируемых на О до порядка (п -1, т -1), причем ее смешанная частная производная дп+т-2// йхп-1Эут-1 абсолютно непрерывна в О.

Известно [19, с. 338], что классу АС ([а, Ь]) принадлежат те и только те функции / (х), которые представимы в виде первообразных от суммируемых по Лебегу функций:

/ (х) = |y(x)dx + с, у( х) е Ц(а, Ь). (2)

а

Лемма 1 [1, с. 46]. Классу АСп([а,Ь]) принадлежат те и только те функции/(х), которые представимы в виде

1 х п—1

/(х) =7----771 (х -* )п-1 ф(1 )а + X Ск (х - а), (3)

(п -1)! 1 к=о

где ф( х) е Ц ([а, Ь]), а ск — произвольные постоянные.

В формуле (3)

Р(0 = /(п)(/), Ск = /<к )(а) /к!. (4)

В последнем равенстве используется обозначение /(п)(х) = dn/(x)/dxn.

Аналогичное свойство функций / (х, у) е АС (О) выглядит следующим образом.

Лемма 2 [18, с. 238]. Классу АС (О) принадлежат те и только те функции / (х, у), которые представимы в виде

х У х У

/ (х У) = cp(x')dxdy + |у( x)dx + |Х(у^у + d, (5)

ас а с

где ср(х,у) е ^1(О), у(х) е Ь1(а,Ь), £(у) е Ь1(с,d), а d — произвольная постоянная.

Для того чтобы обобщить последнюю лемму на случай класса АСп’т (О), нам понадобится следующая лемма.

Лемма 3. Пусть /(х,у) е АСп,т (О), тогда справедлива формула

/(х, у) = --77 11 (х - 0п-1 (у - 5)т-1 /(п'т) (х, у^Ф +

(п - 1)!(т -1)! ас

п-1 / (,’0) (а, у) ^ т-1 /(0’к)(х, с) а 1 т-1 /(а)(а, с). .к

+Х^------(х - а)' +Х^------------7Г~^ (у - с)к-XX ,,, (х - а)' (у - с)к. (6)

£0 '! к=0 к! £0 £0 '!к!

В формуле (6) использовано обозначение /{,’к)(х, у) = d‘+к/(х, y)/dx'dyk.

д п+т-2 / ___

Доказательство. Пусть — ----------— е АС (О). В силу леммы 2 имеем

дхп дут

дп+т-2 / ху х у

дхп-1дут-1 = Я ^(+ |¥(х)^х + |£00^ + ^ • (7)

* а с а с

Интегрируя последовательно (7) п -1 раз по х и т -1 раз по у, получим

- у , _\т-1

/ (х, у) =----------------1-11 (х - /)п '(у - 5 )т '®(х, y)dxdy +----------------------------------------———--------|7х - /)п Хш(х)скх-

(п- 1)!(т -1)! {с (п - 1)!(т -1)! а ' ’

(х - а)п

\п-1 у п-1_ т-1

/ 14^ I (у - с)т-1 Х(у)йу + ХТ'-(у)( х - а) + X *к(х)( у - с)к, (8)

(п - 1)!(т -1)! с '-О £0

где т1 (у) (' = 0, п -1), тк (х) (к = 0, т -1) — произвольные функции. При интегрировании использована широко известная для п -кратного интеграла формула [1]

х х х л х

| dx | Ох...^ (х)ох = --1)! | (х - / )п-1 Г (/, (9)

а а а

доказательство которой легко осуществить методом математической индукции. Из доказательства станет ясно, что произвольная постоянная в формуле (7) связана с произвольными функциями формулы (8) соотношением

—(т-1) ~(п-1)

(п - 1)!тп-1 (с) + (т -1)! Тт-1 (а) = d0.

- д'+к/

Поскольку / (х, у) е АСп’т (О), то производные --------------г (0<' < п ,0 < к < т) существуют и не-

дх' дук

прерывны в О. Вычисляя производные по х порядка 0,., п -1 функции / (х, у), задаваемой формулой (8), и полагая в них х = а, получим равенства

т-1

д'/(а, у) , т-1 % (')

дх

лп-1 , Д 1 у

= йг, (у) + Xтk (а)(у - с)к, ' = 0, п - 2, (10)

дп /(а, у) _ 1

^(у-с)т-‘Х(у¥у +(п- 1)Тп-1(у) + X%к (а)(у-с)к. (11)

дхп-1 (т -1)! с.............................. к"0

Аналогичным образом, дифференцируя (8) по у и полагая у = с, получим равенства

дк /(х с) п 1 —(к) . ~ -----------

---------Р— = XTi (с)(х - а)' + к!%к (х), к = 0, т - 2,

ду '=0

_ (12)

'=0

дтЧ / (х, с) 1

|(х - t)nly(x)dx + Xт (с)(х - а)' + (т - 1)!%т-1(х). (13)

ду (п -1) а '=0

Выражая из формул (10) - (13) с(у) и с(х) соответственно, получим

п-1 т-1

X Т ‘ (у)( х - а) + X % к (х)(у - с)к =

'•= 0 к=0

п-1 (х - а)' Г д'/(а,у) т- %(‘К ^ а 1 т- / а Г дк/(х,с) К V

= X^-r~ д, -X % к (а)( у - с)к +X (у - с)к -ду -X Т (с)(х - а)' -

'=0 '! [ дх к=0 J к=0 [ ЧУ '=0 ^

(х - а)п-1 у, \ т-1 а ^, (у - с)т-1 *

| (у - с)т-1 Ху^ ~ ,Ч!/ 1М | (х - / )п-1 у( х)ох =

•> / м _ I ш т — I V *

(п - 1)!(т -1)! с (п - 1)!(т -1)!

= X Сx—_аУд/(а,у) +X—1(у-с)к дк/(х,с)

1=0 '! дх' £0 дук

(х - а)п-1 у. (у - с)"

"Г (у-с)т 1£(у)Ф------------------------I (х-/)п У(x)dx-

^ ^ / „у , - 1)!(т -1)! J V > г \ >

(п - 1)!(т -1)! с (п - 1)!(т -1)!;

п-1 т-1

-XX( х - а)'(у- с)к

п-1т-1 Г Т(к)(с) + %к')(а)1

к! '!

V 0

,/+к

(14)

д'+к/

Вычисляя смешанные производные —:—т функции (8) в точке (а, с), получим

дх' дук

1 д'+к/(а с) = т (к )(с) + % к')(а)

'!к! дх' дук к! '! ' )

Подставляя (14), (15) в (8), получим

/(x, у) = 7----77-------771" Г(х - /)п-1(у - 5)т-1 Р(x, У)dxdУ +

(п - 1)!(т - 1)На 1с

(х - а)' ^(у - с)к-X X;1 -1-/> (х - а)' (у - с)к • (16)

'! дх' к=0 к! Чу '■=0 к=0 '!к! дх' ду

дт+п / (а с)

Равенство (6) следует из (16) и из того факта, что р( х, у) =------ ’ . Лемма доказана.

дхпдут

Следующая лемма дает описание класса АСп’т (О). Она обобщает лемму 1 на случай двух

переменных и лемму 2 на случай п + т > 2.

Лемма 4. Классу АСп’т(О) принадлежат те и только те функции/(х,у), которые представимы в виде

/<х’ У) = 7—-------------7! II(х -1 )п-1 (У - 5)т-1 ^< х’ У^ +

(п- 1)!(т -1)! аС

т-1 (у — с)^ * п-1 (х — а)' £ п-1 т-1

+Етт,—771(х-оп-1у(х)^х+Егк—— |(у-с)т-1#,-(у)4у + ЕЕ^*(х-а)'<у-с)к, (1Т)

£0 к!(п -1)! а £0 '!(т -1)! С £0 £0

где р(х,у)е^(х,у), ук(х)е^(а,Ь) (к = 0,т-1), £(у)е^(с,d) (' = 0,п-1), а dik — произвольные постоянные.

Доказательство. Необходимость. Пусть /(х,у) е АСп,т (О). Согласно лемме 3

1 х у

/ (х, У) = ^“77-ТТ 1|( х - ^ (У - 5 )т-1 /<п’т) (х, У)dxdy +

(п - 1)!(т -1)! аС

п-1 / (',0) (а, у) , ,, т-1 /(0’к)(х, с). а ^ /(а)(а, с). V, а

+Е“------7^ (х - а)' + £---------ГТ^ (У - с)к-ЕЕ ,,, (х - а)' (У - с)к. (18)

1=0 '! £0 к! 1-0 £0 '!к!

Так как /(п-1’т-1) (х, у) е АС (О), то /(п-1-т-1) (а, у) е АС ([с, d ]), следовательно,

/(п-1,0)(а,у) е АСт([с,d]), откуда /(',0)(а,у) е АСт([с,d]) (' = 0,п-1). Используем лемму

[9, с. 46]:

1 У т-1 Г(',к)(а с)

/("’0)(а,у) = ------1 (у -c)m-1^(y)dv + Е 1 .( , ) (У -с)к, (19)

(т -1)! с £0 к!

где X (У) е ^ (с, d). Тогда

Е <х - „у=£ - сг'х(у*!у+Е Е ^УУ2 (х - «>'<у - с)к. (20)

£0 '! 1=0 '!(т -1)! с 1=0 £0 '!к!

Аналогичным образом доказывается, что

Е(У-с)к =ЕкрО (х-')n—‘Ук(х)* + ЕЕ/:,£>(х-,(У-с)к, (21)

£0 к! к=0 к!(п -1)! а 1=0 £0 '!к!

где ук (у) е Ь1(а, Ь). Подставляя (20), (21) в (18), получим формулу (17), в которой

dik =т17 / (',к )(а, с). (22)

'!к!

Необходимость доказана.

д'+к/ дх' ду

что все они непрерывна! в О, и

Достаточность. Вычисляя непосредственно ——^ (0<' < п ,0< к <т), легко убедиться,

д п+т-2 /

дхп-1дут

..п-1^ ,т

а с

Г = || Р<х,У)dxdy + |y(x)dx + |X(y)dy + (п - 1)!(т - 1)4-1,т-1 • (23)

дп+т-2 / _ _

Очевидно, что—-1--1 е АС (О), откуда следует / (х, у) е АСп,т (О).

дхп 1дут 1

Теорема доказана полностью.

Заметим, что

(х, у)= V,

j(x, у)=/ (n’m)(x, у); (24)

У к (х) = /{п,к) (х, с), к = 0, т -1; (25)

X (у) = /(',т) (а, У) ' = 0п-1; (26)

dЛ = гк / (а)(а, с). (27)

'!к!

Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная Определение 5 [1, с. 341]. Пусть /(х,у) е ^(О). Интеграл

( Л(х у) =______________________________________1_ Г _/(г,_ (28)

(а+,с+3)( ,у) Г(а)Г(Ь)(а,х)'(с,у)(х-г)~а(у-*)1-Р ’ ( )

где а > 0, Р > 0 , называется смешанным дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка (а,Р).

Дробный интеграл (28), очевидно, определен на функциях /(х, у) е ^(О), существуя почти всюду.

С помощью теоремы Фубини доказывается полугрупповое свойство.

Пусть / (х, у) е Ьх(а, Ь), а, Р , у, 8 - положительные числа, тогда почти всюду в О справедливо равенство

та,р ту,3 / _ та+у,р+5 1 (29)

а+,с+ а+,с+^ а+,с+ */ * )

Можно показать, что если а > 0, функция /(х, у) определена в О и /(х, у) е ^(О), то

(а/) (ху) е 11(с’^ " х е (аЬ); (а/-)(ху) е 11(а’Ь) "у е (с’

В последних равенствах Га+х/, !аа+уу/ - частные дробные интегралы Римана-Лиувилля по переменным х и у соответственно.

С учетом этих равенств непосредственно проверяется, что

(С,х<у/)(х,у) _ «уС,х/)(х,у) _ (СР+/)(х,у). (30)

Определение 6 [1, с. 342]. Для функции /(х,у), заданной на О, выражение

(/(ху) _______________1__________— Г ____________/ (*,__________ (31)

1 а+'с^ Г(п-а)Г(т - Р) дхпдут ^у)(х - /)а-и+1(у - *)Р-Я+1 ’ ' '

где а > 0, Р > 0 , называется смешанной дробной производной Римана-Лиувилля порядка (а,Р), п _ [а] +1, т _ [Р] +1.

Если функция /(х,у) обладает свойством 1ап+аС’ГР/ е ЛСп,т (О), то порядок взятия производных в (31) не имеет значения, и

(яа+р+ /) (х, у) е 1,(0).

Определение 7 является двумерным аналогом определения 2.4 [1, с. 50].

Композиция смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной одного порядка. Следуя [1, с. 50], определим следующие классы функций.

Определение 7. Через 1а+рс+ (Ц) обозначим класс функций /(х, у), представимых смешанным дробным интегралом порядка ( а,Р) от суммируемой функции: / _ 1аа’рс+Ф, фе ^(О).

Определение 8. Пусть 0 < а< 1,0 < Р< 1. Будем говорить, что функция

/ (х, у) е Ц(а, Ь) имеет суммируемую дробную производную Ваа'Рс+/, ес-

ли С;+т-Р / е ЛСп’т (О).

Следующая теорема задает необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости двухмерного интегрального уравнения Абеля.

Теорема 1. Для того чтобы/(х,у) е 1аа'Р(Ц), а > 0, Р> 0, необходимо и достаточно, чтобы

/п- а ,т-Р е ЛСП’т (О), (32)

где п _ [ а] +1, т _ [Р] +1, и чтобы

/П-а,т-Р(а,у) ° 0, / _ М-!; (33)

/п°-а1-Р(х,с) ° 0, к _ 0,т -1; (34)

/п-£т-Р(а,С) _ 0, I _ 0,п -1, к _ 0,т -1. (35)

Доказательство. Необходимость. Пусть/ _!аа'^с+ф,фе ^(О). Тогда в силу полугруппово-

го свойства

20

/п-а,т-( (х, у) _ 1Па+-ТР/ = С>, (36)

гдефе Ц1(О). Отсюда следует выполнимость условий (33)-(35). Выполнимость условия (32) вытекает из леммы 4.

Достаточность. При выполнении условия (32) можем представить /п а тр согласно лемме 3 в виде

/-ат-Р (*’ у) = (п - 1)1(т - |)! ! Г(х - ')"" (у - *)'-‘ /па-Р (х. у)*Ф +

п 1 /{',°) (а у) т-1 /(°’к) (х с) п-1 т-1 /(',к) (а с)

+Е /—^ (х - а)' +Х /п-акР^ (у - с)к-££ (х - а)' (у - с)к, (37)

'=0 '! к=0 к! '=0 к=0 '!к!

где/{пп_ат-р е Ц(О). С учетом условий (33) - (35) последнее равенство запишется в виде

/п-а,т-Р (Р, у) = 7—т)------ТГТ и(х - 0п-1 (у - *)т-1 /пат-((х,у)^. (38)

3 (п - 1)!(т -1)! ас р

тп-а,т-( р тп,т р(п,т) тп-а,т-(та,Р р(п,т) /'ЗОЛ

а+,с+ ^ а +,с + У п-а,т-( а +,с + а+,с+У п-а,т-( V /

Отсюда /ап;а+т-Р(/ - 1аа+Р+/ппат-Р) = 0 . Применив к этому равенству интеграл !а^с+ , получим

1;+:+(/ - а+/п-ат - р )^у=0. (40)

Отсюда / = 1а‘+р+/п(-па'т^-Р, /{п-а1-р е Ц1(О). Теорема д°казана.

Отметим, что теорема 1 является обобщением теоремы 2.3 [1, с. 49] на случай двух переменных. Из нее, в частности, следует, что класс функций, имеющих суммируемую дробную производную Ца+Р+/ в смысле определения 8, шире класса функций /а+р+ (Ц). А именно, классу /а+р+ (Ц) принадлежат только те функции, имеющие суммируемую дробную производную Ца+(+/, для которых выполняются равенства (33)-(35).

Теорема 2. Пусть а > 0, ( > 0 . Тогда равенство

па+(+1а+(+/=/ (х, у) (41)

выполняется для любой суммируемой функции /(х, у).

Доказательство. Имеем

дп+т 1

^а( уа,( /_ ^ Iп-а,т-(Iа,( /_ ^

а+,с+ а+.с+“ -“ч п -“ч т а+.с+ а+.с+^

X-

дхпдут ^ — Г(а)Г(()Г(п - а)Г(т - ()

дп+т }у сИЖ гг / (и, у)СиСу

г г шах г г / (и,у)аиау (42)

.И (х - г)а(у - е)3.!.!^ - и)п-а(х - «)т-(. ( )

д^и д^т а с (х - г г (у - а с«- и га (* - ^

Меняя порядок интегрирования, получим

^а( Iа( / =_______________1___________х

а+’с+ а+’с+ Г(а)Г(Р)Г(п - а)Г(т - ()

дп+т ГГ г( )ааГГ

хдхпдут ГГ /(и, ^аип\

дхпдут С с---------- и V (г - и)п-а (х - у)т-Р (х -1)а (у - х)Р

а с •лп+т х у

гг /(и, у)сису______________________________1_Г_а___

дхпдут с с Г(а)Г(п - а) { (/ - и)п-а (х - г)а

1 у а*

I *

Г(()Г(т - () V (х - у)т-Р(у - х)Р

1 дп+т х у

= Г( )Г( ) Я^п д т Г Г ■/"(u, у)(х - и)п-1 (у - У)т-1 СиСУ = /(x, У), (43)

Г(п)Г(т) дх дут С с

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Для любой функции /(х,у) е 1а+р+ (Ц) выполняется равенство

С!Яа+Р / = /(х,у), (44)

а для любой функции, имеющей суммируемую производную ца+ь+/ (в смысле определения 8), выполняется равенство

п-1 (х - а)а

1%+^/=/(х, у) - Е Г(;, /п-а-1,0 (а,у) -

,=0 Г(а -')

-Е (у - с)р - 1 (0,т-4-1) () + ^4 Е (х - а) а ' 1(у - с)В к 1 („-,._1,т_*-1) (а с) (45)

Е Г(В- к) 7 °'т-В ( ’ ) Е Е Г (а - /)Г(Ь- к) Л- а ,т-В ( ’ ); ( )

где/у^(XУ) = 1га?с+/ •

Доказательство. Пусть /(х, у) е /0+В+ (Ц), тогда /(х, у) = /,а+В+ф,ф(х, у) е ^(П) • На основании теоремы 2 имеем

/о+В+°:+В+/=10+,!+п+В+о=!:+ьс+^=/ (х, у). (46)

Пусть теперь 11~*с+Р/ е (Ц). Согласно лемме 3, интеграл /п-а,т-р(х,у) = /п+5с+т-В/ предста-

вим в виде

-1 /п-а.т-В (а, у)

/ (х у) = 1п,т (п,т)

^п-а ,т-В\л'У) а+,с^ п

а+,с+^ п - а ,т-В

-Е:

п- а ,т-В '!

-(х - а)' +

■Сат-В^ с) .

(у - с)к-ЕЕ п-а ,т.-^ (х - а)' (у - с)к

к=0 к! '=0 4=0 '!к!

В силу полугруппового свойства выполняется равенство

^п,т /(п,т) _ /п-а>т-В/а,3 /(п,т)

'а+,с+ ^ п-а ,т-В а+,с+ а+,с+Л п-а ,т-В*

(47)

(48)

Далее,

(х а) Г(л',0) (а у) = тп-а,т-В

^п-а ,т-Р'и’У) а+,с+

Л!

Л

п- а (х а) пт-В /■ ('■ ,0) (а у)

.. с+,у ^п-а,т-^В">У>

\

(х - а)' (у - с)т-В-1

(

__/п - а ,т-В

(х - а)

^ Г(1 + Л - п + а) Из последнего равенства следует, что

'-п+ а \

/!-1(а, у)

/

(х - а)' (у - с)т-В-1 ЛГ(т - В)

йГ(т - В) /п-аД (а, с).

/п', с) =

(49)

п-1 /('’0) (а V)

Е ^ п - а т-рУ^У)

(х - а)' =

__/ п-ат-В

(х - а)

' = 0 '-п+ а

у) +Е

1 (х - а)' (у - с)т-В-1

'! Г(т - В)

/п-0 )1 (а, с), (50)

откуда, переобозначая индекс суммирования, получаем

-(х - а)' =

п-1 /0) (а у)

Е п-а ,т-В\Ы^У>

_/п-а ,т-В

а-/-1

л

Е

'■=0 Г (а -') Аналогично получается равенство

-о1'01 а у) + Е(х -'аГ!т- ‘Г""' /“ (а. о-

'!Г(т - В)

(51)

т-1 /(0,к) (х с)

Е -'п-а ,т-В^ ’ ) (у - с)к =

к=0 к!

__/ п-а ,т-В

а +,с+

Е ГгВ1- /',ттВ‘-1’( х, с) 0+^ -,с:)Г(х ~а)Г а -1 /ИВ с)-к=0 Г (В - к)

0 к=0 к!Г(п - а )

Нетрудно видеть, что

п-1 т-1 ('"’к) (а с) ( п-1 т-1

ЕЕ /п- а,тк ’ (х - а)' (у - с)к = Га-:;ГВ ЕЕ/

'•= 0 к=0 '!к!

(52)

/п-а ,т-В а+,с+

(х - а) (у - с) '!к!

к

/n(-І)m-P(a, с)

_/п - а ,т-В

".n_1 т-1 (х - а) а-''-1 (у - с)В-к-1

Е Е -----л^-1,»-к-1) (а, С)

ч 1=0 Г (а -' )Г(В- к) •/п- а ,т-В ^ ^

^ п- а ,т-В

С учетом равенств (48), (51)-(53) равенство (47) запишется в виде

тп-а,т-- f тп-а,т-— та— г\а— р . т

а+■:+ J ~ а +■: + а+■:+ а+■:+J <

п-а,т-— а +■:+

Г(а - i)

+і( x -Г(У - -Г т 1

i=o

і!Г(т - -)

+J

п-а,”-—

f m-1

Е(У с) /■ (O.m-k-1)(x C)

_ Г(—- k) Jo■m-— (x C)

о- о -

k=o і!Г(: - a)

Jn-a■m-— a+■:+

V V (x - a)I ' 1(y - сУ f (n-i-1,m-k-1) (a C)

т~'ґ г~'ґ О 1 \ n—a■m—— 4 5/

У 1=0 k=0 Г (a- і )Г(—- k)

(54)

Группируя слагаемые, получим

Jn-a■m-— a+■:+

"-1 (x - a)

"-1 m-1 (x - a)a-i—1 (y - с)--k-1

(J - Ja— Da— J-У-V a+■:+ a+■o+J Ao г(a - i)

JIV,У) -І Г(-) ,) Jo’(x,с) + k=o Г(—-k)

—-k-1

+ VV^^----------J

to £0 г (a- i) г (—- k) 7n

(n-i-lm-k-1) n-a,m-—

(а, с)

=І( x — 1°'- а с)+i( y -Г-ar;' о, о.

i=0 і.Г(ш - —) k!r(n -a)

(55)

В правой части равенства (55) под интегралом - суммируемая функция. Применяя к обоим частям равенства (55) оператор /а+С+ , получим

и-1 (г _ л)а-'-1 т-1 (у _ г\Р-к-1

уп,т ( /• /-а,Ь ТЛаЬ /“ ^ ' /‘(”-/-1,0)/^ , д \.У ^/

тп,т а+■:+

(J - J0;^+d%+J-І (Г а, /n(-naio-1■0)(a, У)-І Г— ,) Jo’/-1)( x, с)+

v 1=0 Г (a- ') ^ г, а ;,ч

+ V V (x - а) (у - с) f (n-i-lm-t-1)(а с)

L^i L^i г-’s -\г-ґО l\ Jn-a,m-— \U>LJ

1=0 £0 Г (a- i )Г(—-k)

= 1^J-(a,с) + ]Г(Г-C)k+-(x-ГГ' J^iс).

(56)

,=0 Щ + а + 1Щ(т) ™' ' ' £0 Щ(к + Ь + 1Щ(п)

Под интегралом в левой части равенства стоит суммируемая функция, а правая часть равенства

абсолютно непрерывна. Находя смешанную производную

д”

dx"дУ”

от обоих частей равенства,

получим

f - Jа- D"- f— І (x a) f(n-i-1’0)(a У)— І (У с) J-(0,m-k-1)(x с) +

J 1а+C+LJa+■ с+J .ч Jn-а,0 Уи’У' ^ т^ґО 1\ ^0■m-— \л^) “|"

i=0 Г(а - і) £0 Г(—- k)

+і і(x ~”г' "ГУ -c)k-k--11 <ас=0.

(57)

=0 к=0 Г(а - /)Г( Ь - к)

Теорема доказана.

Заключение. Доказанные в работе лемма 3 о представимости функции /(х,у) е АСт’п(О) в виде (6) и лемма 4 обобщают известные ранее леммы 1 и 2 на двумерный случай. Леммы 3,4 позволяют доказать теорему 1 (необходимое и достаточное условие представимости функции /(х, у) в виде смешанного дробного интеграла от суммируемой функции) и теоремы 2,3 о композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной. Отметим, что теоремы 2,3 обобщают результаты теоремы 2.4 [1, с. 50] на двухмерный случай.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 702 с.

2. 2. OldhamK.B., Spanier J. The Fractional Calculus. New York-London: Academic Press, 1974. 234 p.

3. PodlubnyI. Fractional Differential Equations. //Mathematics is Sciences and Engineering, Vol. 198, San-Diego: Academic Press, 1999. Р. 32-39.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М: Высш. шк., 1995. 301 с.

5. Нахушев А.М. Элесенты дробного исчисления и их применение. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

6. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: КБНЦ РАН, 2002. 100 с.

7. Metzler R., Klafter J. The randomwalk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approac //Phys. Reports. 2000. Vol. 339. P. 1-77.

8. Sokolov I.M., Klafter J., Blumen ^.Fractional kinetics // Physics Today, November 2002. P. 48-54.

9. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Fractional differential equations: An emergent field in applied and mathe-

matical sciences// Factorization, Singular Operators and Related Problems. Proceedings of the Conference in Honour of Professor Georgii Litvinchuk. Eds.: Samko, Stefan; Lebre, Anarino and Santos, Antonio. Kluwer, Dordrecht-Boston-London, 2003. P. 151-173.

10. Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions// Proc. Edinburgh Math. Soc., 1967. Vol. 15. №3. P. 169-198.

11. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function// Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11. №2. P. 135-143.

12. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии// Минск: Труды Института Математики БАН, 2004. T. 12. №2. C. 75-81.

13. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Изд-во Саратовск. ун-та (Самарск. филиал), 1992. 162 с.

14. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегродифференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзной конф. Владивосток. 1990. С. 91.

15. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применение // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 7. Самара: СамГТУ, 1999. С. 27-37.

16. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 26. Самара: СамГТУ, 2004. С. 5-11.

17. Vasilache S. Asupra unei ecuatii integrale de tip Abel cu doua variabile // Comun. Acad. R.P. Romane, 1953. Vol. 3. №3-4. P. 109-113.

18. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: ОГИЗ, 1947. 584 с.

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968. 496 с.

20. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. погабие для вузов. М.: Наука, 1988. 816 с.

Поступила 15.12.2004 г.

УДК 517.956

Е.Н. Огородников, Е.Ю. Арланова

НЕКОТОРЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ ЗАДАЧИ КОШИ-ГУРСА И СУЩЕСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ БИЦАДЗЕ-ЛЫКОВА В СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧЯХ

На примере уравнения влагопереноса и системы подобных уравнений в условиях отсутствия единственности решения задачи Коши-Гурса рассмотрены простейшие нелокальные аналоги этой задачи и некоторые существенно нелокальные краевые задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского и Бицадзе-Нахушева. Обоснована их корректность.

Введение. Уравнение

У2ихх - иуу + аих = ^ (1)

описывающее при а > 0 процесс переноса потока влаги в капиллярно-пористых средах выведено в 1965 г. А. В. Лыковым методами термодинамики необратимых процессов и с тех пор известно как уравнение влагопереноса [1]. Ранее в 1959 г. в монографии А. В. Бицадзе [2] это

уравнение приводилось в качестве примера, для которого при |а| < 1 корректна по Адамару за-

дача Коши

Нш и(х,0) = т(х), Нш иу (х,у) = у(х), х е (0,1) (2)

у®+0 у®+0

с начальными данными на линии у = 0 параболического вырождения, хотя и нарушено известное условие Геллерстедта [3]. Регулярное в области О = |(х,у):0 < х - ^2- < х + ^2- < 1^| решение задачи (2) для уравнения (1) находится методом Римана и при |а| < 1 имеет вид [2 ,4]:

, у2

X+J

2 ( ,,2 ЛЬ 1 ( ,,2 Л

y

x +----s

2

ds +

X---

2