CC BY
5
Н. А. Елисеева
Список литературы
1. Елисеева Н. А. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении Н(П)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. № 39. С. 63—66.
2. Елисеева Н. А. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслонии Н(П)-распреде-ления // Там же. 2006. № 37. С. 44—51.
3. Елисеева Н. А. Н(П)-распределения проективного пространства. Калининград, 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН, № 206-В2002.
4. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полосы // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С. 25—54.
N. Eliseeva
INVESTIGATION OF THE NORMAL CONNECTIONS, INDUCED IN A BUNDLE OF NORMALS OF THE 2-ND KIND ON A-SUBBUNDLE OF H(n)-DISTRIBUTION
This article develops some ideas published in one of the previous article of the author [1]. The coincidence conditions of the normal connections, induced on equipped in sense of Norden—Bortolotti A-subbundle are indicated.
УДК 514.75
М. В. Кретов
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
КОМПЛЕКСЫ КВАДРИК С ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ В ЛИНИЮ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРОВ
В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) центральных невырожденных квадрик с вырождающимся в линию многообразием центров. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий.
65
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Отнесем комплекс К31 центральных невырожденных квадрик q с вырождающимся в линию Ь многообразием центров к реперу Я = {А, ёг}, 1, ], к, ... = 1, 2, 3, который геометрически характеризуется следующим образом: вершина репера совмещена с центром квадрики q, а векторы ёг направлены по тройке сопряженных диаметров указанной квадрики, причем концы их лежат на квадрике q.
Уравнение квадрики q в репере Я принимает вид
(X])2 + (X2)2 + (X3)2 -1 = 0. (1)
Принимая формы в1 = о2 + а>\, в2 = а>\ + а>\ и в3 = ($1 + оз\ за независимые первичные, запишем систему уравнений Пфаффа комплекса К в виде
( = Ав, о1 = в)в, о2 = Л2о\ о3 = Л3о' (2) (по 1 не суммировать!).
Определение 1. Комплекс К31 квадрик, в котором касательная к линии Ь параллельна вектору ёх и на квадрике q имеется, по крайней мере, три фокальные точки [1] А, не лежащие на одной прямой и на одной плоскости, проходящей через центр, и определяющие три сопряженных направления, называется комплексом К31.
Теорема 1. Существует шесть и только шесть классов комплексов К31: комплексы КК 2|, К3 и К31, определяемые с произволом, соответственно: одной функции трех аргументов, одной функции двух аргументов, двух функций одного аргумента и одной функции одного аргумента.
Доказательство. Специализируем репер Я таким образом, чтобы концы векторов ëi совпадали соответственно с фокальными точками Аг-. Такой репер будет каноническим.
Так как касательная прямая к линии Ь параллельна вектору
е, то:
66
М. В. Кретов
со2 = 0, со3 = 0. (3)
Замыкая уравнения (3), находим: с 2 = &с1, С = РсС.
Учитывая то, что А{ принадлежат фокальному многообразию квадрики д, запишем систему уравнений Пфаффа многообразия Къх в виде:
со\ =-с1, с2 = с3 = =&1= 0, с1 = —Лив',
С =ас\ с3 = Ас1, а\ = Л23гв1, (4)
где формы в1 =с2, в2 =Сз и в3 = ю2 приняты за базисные. Замыкая уравнения с2 = 0 и а>\= 0, получим соотношения:
оАХ1 = 0, оАв = 0, [Мп = 0, /ЗАи = 0, Л^ = 0, Л32 = 0. Тогда система уравнений (4) для комплексов КК 2\, К^ и К^ состоит из уравнений:
1 19 3 2 3 2 3
С = -с , с = с = с2 = с = ®1 = ®1 = 0 (5) и соответственно из уравнений:
с1 = — льв', с2 = Л23зв3, (6)
с1 = - Лцв1 — Лз2в2, с2 = л23зв3, (7)
с1 = — Лз2в2 — Лззв3, ®2 = л23зв3, (8)
с1 = —л13в3 — л в1, ®2 = л23зв3, (9)
с1 =—л1 Зв3, с2 = Л23зв3, (10)
с1 = — л в1, с2 = 0. (11)
При получении систем уравнений (5) — (11) исключались случаи, когда многообразия центров вырождались в точку.
Находя чистые замыкания [2] систем (5) — (11), убеждаемся в справедливости доказываемой теоремы.
Теорема 2. Комплексы К^, К\\ и К3 обладают следующими геометрическими свойствами:
67
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
1) фокальная точка А1 и координатная прямая (А, гх) неподвижны;
2) фокальные точки А- (г, 7,... = 2,3) описывают цилиндрические поверхности с образующими, параллельными прямой (А, ех), и касательными плоскостями в точках А-, параллельными соответственно координатным плоскостям (А, ёг, ), I < j, I,] ф г;
3) смещение точки А- при переходе с одной образующей цилиндрической поверхности (А-) на другую происходит в направлении вектора , - Ф г;
4) вдоль асимптотической линии поверхности (А-) координатная плоскость (А, ,) неподвижна;
5) индикатрисы векторов описывают поверхности, касательные плоскости к которым параллельны координатным плоскостям (А, 6, 6-), - Ф г .
Доказательство.
1. В силу уравнений (5) — (10)
ш\ = {ах1 + а (x1 -1) вг) е, (12)
аМ?1 = (ах1 + а х(х1 - 1)в1 + а12 (х1 - 1)в2) 61, (13)
аМ?2 = (ах1 + а12(х1 - 1)в2 - Аз(х1 - -1)в3) 61, (14)
аМ?3 = (ах1 + ап (х1 -1) в1 + Аз (х1 - 1)в3) 61, (15)
М = (ах1 + (х1 -1) Аз в3) е (16)
где ММ2 и МI — текущие точки прямых (А, е), ассоциированных соответственно с комплексами К ? и К31. Анализируя формулы (12) и (13), убеждаемся в справедливости первого утверждения теоремы.
2. Из систем (5) — (10) и деривационных формул репера Я следует, что
68
М. В. Кретов
dЛ2 = dЛ3 = dЛ2 = dЛ3 = dЛ2 = dЛ3 = dЛ2 = dЛ3 = dЛ2 = dЛ3 =
в1 — Лв ) ёх + Л2з въё3,
в2 — Лв) ё1 +въё2,
в1 — Л в1 — А2в2) ёх + Л23в%
в2 — а в1 — а2в2) е +въе2, в1 — а 2в2 — А Зв3) е + л2з в3е3 в2 — а 2в2 — л13 в3) е +въе2, в1 — а в1 — АЗв3) е + л2зв3е3: в2 — а в1 — АЗв3) е +в3^, в1 — а Зв3) е + Аз в3^, в2 — а Зв3) е +в3е2
(17)
43^ /с'1 1 ^ 2'
для фокальных точек А2 и А3, ассоциированных соответственно с комплексами К1 , К2\ и К 2 .
Уравнения асимптотических линий поверхностей (А2) и (А3), ассоциированных с комплексами К1 , К 2\ и К2 , имеют вид
(в3)2 = 0, (18) откуда следует второе утверждение теоремы.
3. Справедливость предложения следует из формул (17).
4. Пусть МI, М2' и М3 — текущие точки координатных
плоскостей (Л, , ё), ассоциированных соответственно с
комплексами К 21, К32 и К331. Тогда из вида дифференциалов указанных выше текущих точек и уравнения (18) следует соответствующее утверждение теоремы.
5. Последнее утверждение теоремы вытекает из того, что имеет место:
dё2 =в1е + Л2з в3е3, dё3 = в2 е +въе2. Теорема 3. Комплексы К31 обладают следующими геометрическими свойствами:
1) фокальная точка А, координатная прямая (Л, ) и координатная плоскость (Л, , е2 ) неподвижны;
69
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
2) фокальная точка А описывает прямую, параллельную вектору 6;
3) фокальная точка А описывает поверхность с касательной плоскостью в точке А , параллельной координатной плоскости (А, ё1,ё2 );
4) индикатриса вектора 62 вырождается в линию с касательной, параллельной вектору ёх.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Теорема 4. Характеристические многообразия [1] квадрики
д, ассоциированной с комплексами К2\ и К31, состоят из точек координатных прямых (А, ё2 ), (А, 63) и фокальной точки А1.
Доказательство. Характеристические многообразия квадрики д, являющейся образующим элементом комплексов К? и К31, соответственно задаются следующими системами уравнений: ^(АцХ + X2 - А„) = 0, + X3 - А12) = 0, XX3 = 0, XX2 = 0,
Х\АиХ + X3 - А12) = 0, А^1)2 + (1 + А?з)X2X3 - А^ = 0, X1(A11X1 + X2 - Ап) = 0, XX3 = 0, А^)2 + (1 + А233) XX3 - А^ = 0,
*13(* ) + (1 + а22 )
XX2 = 0, XX3 = 0, А^1)2 + (1 + Аз) XX3 - А^1 = 0,
откуда следует утверждение теоремы.
Обозначим через Р1 точку с координатами:
^ А12(1 + А23) А11 А12
V1 + А12 + А12 А23 1 + А12 + А12А22 1 + А12 + А12А22
а через 5 — плоскость, задаваемую уравнениемX2 = А11(1 -X1). Теорема 5. Характеристическое многообразие квадрики д,
ассоциированной с комплексами К 1 , состоит из точек координатных прямых (А, ё2), (А, ёъ), точек А1 и р, а квадрики д, ассоциированной с комплексами К31, — из точек плоскости 5, прямых (А, 62 ), (А, ёъ) и точки А1.
70
М. В. Кретов
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4. Обозначим через P2 точку с координатами
(Ац}2 -1 2Ли ^ (Лп)2 + 1'(ЛИ}2 +1' Теорема 6. Фокальное многообразие квадрики q, ассоциированной с комплексами KK32 и K31, состоит из пяти точек, три из которых являются концами векторов ei, а остальные диаметрально противоположны точкам Л2 и Л3, а фокальное многообразие квадрики q, ассоциированной с комплексами K31, содержит еще дополнительную точку P2.
Доказательство теоремы следует из того, что фокальные многообразия квадрики q, описывающей комплексы K K\\, K33j и K31, задаются системами уравнений, состоящих из уравнения (1) и соответственно из уравнений, задающих характеристические многообразия квадрики q, ассоциированной с указанными комплексами.
Список литературы
1. Малаховский В. С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в п-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 113—133.
2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
M. Kretov
COMPLEXES OF QUADRICS WITH VARIETY OF THE CENTERS DEGENERATING INTO A LINE
In three-dimensional affine space complexes (three-parametrical families) of central non-degenerate quadrics with variety of the centers degenerating into a line are considered. It is shown, that such complexes exist. Geometrical properties of researched varieties are found.
71
