CC BY
31
иммобилизованных из хозяйственного оборота собственных оборотных средств в виде дебиторской задолженности клиентских компаний. Это даст возможность организациям сократить расхо-
ды в области целевого маркетинга и управления взаимоотношениями с клиентами, увеличить объем товарного и денежного оборота, а также повысить значение чистой прибыли компании.
список литературы
1. Sommer, S. Relationship management and customer states: Towards a model of multichannel integration for the electronic commerce [Электронный ресурс] I S. Sommer, A. Hilbert Andreas, Juhrisch Martin II Online Proc. of Modelling Business Information Systems. -2010. -P. 164-174.
2. Hilbert, A. Customer-Value-Based Revenue Management [Электронный ресурс] I A. Hilbert, V Martens, TobiasII J. of Revenue & Pricing Management, advance online publication. -2009.
3. Hilbert, А. Customer data sources and analytical results in Customer Relationship Management [Текст] I A. Hilbert, D.R. Bogdanova, M.N. Kharisov II Proc. of the
4th Russian-German Workshop «Innovation Information Technologies: Theory and Practice». -Ufa, 2011.
4. Шеремет, А.Д. Методика финансового анализа деятельности коммерческих организаций [Текст] / А.Д. Шеремет, Е.В. Негашев. -М.: Экономика, 2008. -371 с.
5. Соколов, Е.В. Управление финансами наукоемких предприятий: Учебник [Текст] / Е.В. Соколов, К.Д. Гайво-ронская, А.В. Пилюгина [и др.]; Под ред. Е.В. Соколова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.- 523 с.
6. Результаты исследований [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.index-crm.ru
УДК 519.854.2
A.C. Филиппова, C.B. Телицкий
комплексный подход к решению задачи покрытия области заготовками неопределенных размеров
В различных областях жизнедеятельности возникают ситуации, когда необходимо покрыть заданную геометрическую область объектами меньшего размера так, чтобы была покрыта вся область. Эта задача является частным случаем NP-трудного класса задач «раскроя и упаковки» [1]. Сложность подобных задач экспоненциально увеличивается с увеличением размерности [2]. Задачи геометрического покрытия встречаются при проектировании и размещении систем воздушного и космического наблюдения, систем безопасности, в агротехнических системах.
Задача покрытия ортогонального полигона минимальным количеством прямоугольников получила название «Irreducible Covering Problem». Y. Cheng, S.S. Iyegnar и R.L. Kashyap показали, что эта задача имеет практическое применение в процессе сжатия изображений и в печати интегральных схем [3] и др. Впервые W.J. Masek доказал, что задача является NP-полной [4]. Качество решения оценивается фактором аппроксимации. Фактор аппроксимации для этой задачи
покрытия представляет собой отношение количества прямоугольников в решении алгоритма к количеству прямоугольников в оптимальном решении. Фактор аппроксимации задачи покрытия полигона - O(log n), где n - число вертикальных или горизонтальных ребер многоугольника, стал известен благодаря D.S. Johnson и L. Lovasz, использовавшим «жадную» схему [5]. Таким образом, этот фактор аппроксимации считался лучшим до настоящего времени. D.S. Franzblau ввел дополнительные ограничения [6]: если многоугольник M не имеет отверстий, то фактор аппроксимации равен двум; если M вертикально выпуклый, то точное решение можно найти алгоритмом полиномиальной сложности. В обоих случаях существование отверстий невозможно. J. Gudmundsson и C. Levcopoulos описывают алгоритм решения задачи покрытия прямоугольниками, работающий за время O(n log n) [7, 8].
В данной статье рассматривается проблема, встречающаяся в строительной индустрии. Это задача покрытия заданной геометрической обла-
сти материалом, размеры которого (или один из размеров) меньше размеров (или одного из размеров) покрываемых областей - покрытие полов линолеумом, ДВП и другими материалами. Допускается покрытие областей отдельными кусками материала (заготовками), но накладывается ограничение на максимально допустимое количество заготовок, покрывающих область. В этом случае требуется найти план покрытия многосвязных ортогональных областей прямоугольными заготовками, нарезаемыми из исходного материала, минимизирующий суммарный расход материала. Основные трудности при решении этой задачи связаны с неопределенностью размеров и много-критериальностью общей постановки задачи.
Для решения подобных #Р-трудных задач актуальна разработка новых подходов к решению задач раскроя и геометрического покрытия области с использованием быстрых эвристических и метаэвристических алгоритмов.
В статье предлагается комплексный подход построения рационального геометрического покрытия ортогонального многоугольника прямоугольниками неопределенного размера. Данный подход состоит из взаимосвязанных задач:
построение плана покрытия ортогонального многоугольника прямоугольными заготовками произвольных размеров, удовлетворяющих технологическим условиям;
построение плана раскроя заданного материала на прямоугольные заготовки, минимизирующего затраты исходного материала.
Постановка подзадач комплексного решения
Комплексная задача сводится к определению плана покрытия заданного ортогонального многоугольника прямоугольными заготовками, вырезаемыми из исходного материала (рулонов или листов) и минимизирующими при этом его расход. На начальном этапе заданный ортогональный многоугольник разбивают на прямоугольные области, для которых затем определяют план покрытия и размеры прямоугольных заготовок. Последний этап - это рациональный раскрой материала на покрывающие прямоугольные заготовки. На рис. 1 изображены основные этапы решения задачи покрытия ортогонального многоугольника.
Этап I - задана конфигурация ортогонального многоугольника М.
Этап II - разбиение ортогонального многоугольника М на прямоугольные области р р р3, р4, с размерами Бк х Бк, к = 1, 2, 3, 4. Целесообразно исследовать различные разбиения М. Это можно осуществить, используя, например, эволюционную стратегию.
Этапы III, IV - определение плана покрытия каждой прямоугольной области рк прямоугольными заготовками г и их размеров ё . х s ,, г = 1,6. Здесь необходимо учитывать технологические ограничения, такие, как максимально допустимое количество заготовок, покрывающих область, размеры материала (рулон, листы) из которого будут раскраиваться эти заготовки. Кроме того, можно использовать деловые отходы (остатки от
М
II Р\
Р2 рз
р4
III
чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^ чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^ чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^ ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ"-
.чччччччччччччччччччччччччч
.чччччччччччччччччччччччччч .чччччччччччччччччччччччччч .чччччччччччччччччччччччччч .чччччччччччччччччччччччччч
ччччччч--. ччччччч--. ччччччч--. ччччччч--. ччччччч--. ччччччч--.
ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ'
ччччччччч^ ччччччччч^ ччччччччч^
ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ'
V
IV
■ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ\
.ччччччччччччч .ччччччччччччч
чЧЧЧЧЧЧЧЧ>чччччччччччччччччччччччччч^ чЧЧЧЧЧЧЧЧ"^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^
ччччччччч^Чччччччччччччччччччччччччч^
ЛЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ" „_;
ЛЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ" .. ■. ■. ■. ■. -.1 чччччччччччччччччччччччччч]
,Ч% 1 чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ ,Ч"- 1 чЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ .44 . . . .ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ ч 4 ,ччч^ Ч 4 •.ЧЧЧ' ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ'
ч .ччччччч ч 2 .ччччччч ; _ ччччччч .• 3 ччччччч чччччччччччч
5 6
Рис. 1. Этапы решения задачи покрытия ортогонального многоугольника прямоугольными заготовками неопределенного размера
I
предыдущих покрытий и раскроев) в качестве покрывающих прямоугольных заготовок.
Этап V - определение плана раскроя исходного материала (рулонов) размера Б* х У на прямоугольные заготовки, определенные на этапах III и IV.
Таким образом, при решении задачи построения плана покрытия ортогонального многоугольника выделим следующие подзадачи.
Задача разбиения. Наиболее общей задачей разбиения является задача о минимальном покрытии множества, при этом все остальные задачи являются подклассами этих задач. Специфика конкретных задач состоит в структуре покрывающих и покрываемых множеств, а также в выборе критериев оптимизации. Задача минимального покрытия множества является КР-трудной, как и большинство других представителей задач покрытия.
Необходимо покрыть ортогональный многоугольник (ОМ) прямоугольниками так, чтобы их число было минимальным. Размеры прямоугольников задаются алгоритмом произвольно исходя из условия непересечения прямоугольника с ОМ.
Приведем формальную постановку задачи построения плана покрытия области ортогонального многоугольника. Дан ортогональный многоугольник М. Требуется найти множество Р = {р1,р2, ...,р} минимальной мощности, состоящее из прямоугольников рк = < х у Б >, к = 1, 2, ..., ц, где (хк, ук) - координаты нижнего-левого угла прямоугольника; Бк - его ширина, а Бк -длина, удовлетворяющие следующим условиям:
Р к £ Р,
(1)
и р* =м.
к=1
План покрытия Р состоит из совокупности карт покрытия рк, отвечающих покрытию к-й области. Для каждой области известна величина Тк - максимально допустимое количество заготовок, покрывающих область. Считается, что каждая область покрывается либо вертикальными, либо горизонтальными заготовками. Каждая карта к характеризуется числом т(к), показывающим направление покрытия, и кортежем
11( к), ?2( к), 11( к), ..., (к), ..., 1т (к), (2)
где г.(к) - номер заготовки, покрывающей область.
При этом заготовки должны удовлетворять следующим условиям:
5 . < S* V 5 . < D* и d. < S* V d. < D', (3)
l l l l ' v /
m(k) < Tt, (4)
где S*, D* - ширина и длина исходного материала.
Существует множество П различных планов Р покрытий заданных областей, удовлетворяющих условиям (3) и (4).
Каждому плану покрытия P е П соответствует набор заготовок с размерами di х si и количеством Ъ. , i = 1, 2, ..., m.
t 7 7 7 7
Задача покрытия. При заданных исходных данных определить план покрытия P е П и соответствующие этому плану заготовки, удовлетворяющие условиям (3) и (4), которые минимизируют расход исходного материала при раскрое его на эти заготовки (т. е. при решении задачи раскроя):
ц (X, P) = min ц (X).
РеП
Задача раскроя. В задачах планирования оптимального раскроя обязательным условием для единичного и мелкосерийного производства является целочисленность раскройного плана. В массовом производстве в силу цикличности его характера этим требованием удается пренебречь. Задача раскроя с неопределенными размерами заготовок сводится к следующей математической модели.
Заданы габариты раскраиваемого материала (Wk - ширина листа; Lk - длина листа) и размеры заготовок d, s, Ъ, которые необходимо из него раскроить, где d = (dp d2, ..., d,, ..., dm); d. - ширина заготовки, i = 1, ..., m; s = (sp s2, ..., s., ...,sm); s.- длина заготовки, i = 1, ..., m; b = (Ър b2, ...,Ъ., ..., Ъ ); b - количество заготовок типа . = 1, ..., m.
m7' .
Требуется составить наиболее экономичный план раскроя, с минимальным количеством используемых листов. Каждому раскрою r сопоставим вектор а(r) = (al(r), a2(r), ..., a.(r), ..., ajr)), компоненты a.(r) которого указывают количество деталей .-го вида, получаемых при реализации раскроя.
Раскрой будем называть реализуемым, если выдержаны размеры и технологические параметры для всех получаемых заготовок. Реализуемый раскрой назовем допустимым в задаче целочисленного раскроя, если для него выполняется условие а,.(г) < bt, i е I = {1, 2, ..., m}.
При заданных исходных данных для рассматриваемой задачи требуется найти совокупность раскроев rp r2, ..., r, ..., rn и неотрицательный век-
тор x = (xp x2, ..., xn) с целочисленными компонентами x, j = 1, ..., n, удовлетворяющими условиям
n
Zai(ri)xj ='г'е/
j=1
и минимизирующими функцию
n
н() = Z x •
j=1
Рассматриваемая задача раскроя сводится к известной целочисленной модели задачи 2DBP (2-Dimensional Bin Packing - задача двумерного раскроя-упаковки) [9], для которой разработаны эффективные эвристические и метаэвристиче-ские методы решения [10].
Гибридный алгоритм решения
комплексной задачи покрытия области
заготовками неопределенных размеров
Пусть P - множество прямоугольников размерами Dk х Sk и количеством Uk, k е P; I1 -множество заготовок, покрывающих заданные прямоугольники (или часть прямоугольников); I2 - множество прямоугольников, для которых не определены заготовки, покрывающие их. Материал, используемый для покрытия заданных прямоугольников, имеет размеры di х st и количество b, i е I.
Алгоритм решения данной задачи, приведенный ниже, представляет собой итерационный процесс c уточнением оценок и эволюционными изменениями, направленными на локальный поиск оптимального решения, на каждом шаге которого определяются по некоторому правилу (процедуры 2, 6, см. рис. 1) допустимые размеры заготовок и осуществляется их раскрой с помощью алгоритма построения плана раскроя.
Рассмотрим основные процедуры алгоритма.
1. Подготовительная процедура анализа исходной информации, проверка корректности исходных данных.
2. Разбиение на области P = {pl, p2, ..., pq} исходя из размеров и конфигурации заданного ортогонального многоугольника M. На этом этапе используется эволюционный алгоритм (1 + 1) декомпозиции, описанный в [9]. На каждом следующем шаге которого проводятся небольшие изменения текущего плана разбиения, что позволяет проводить поиск локального лучшего решения в окрестности.
3. Использование стратегии «максимально подходящий». Определение дляpk = <Dk, S>, k = 1,
2, ..., q, плана покрытия Q: размеры заготовок
d = (dP ^ ..., 4 ..., dJ, sk = ^ ^ ..., s ...,
i = 1, ..., m, координаты нижнего левого угла xk = (xp x2, ..., xm), y = Oj, y2, ..., ym) и множества всех
заготовок со своими размерами DS = [J ^dk; sk ^ .
k=1
4. Раскрой исходного материала размера D х S на заготовки <dk, sk>, k = 1, 2, ..., q. Определение плана раскроя R(P). Для этого целесообразно использовать эффективный многопроходный алгоритм последовательного уточнения оценок [13].
5. Вычисление ц(Х, P) - требуемого исходного материала для раскроя на заготовки DS по плану R(P).
6. Сравнение н( X, P )с рекордным значением Rec. Минимум - новый рекорд. Пока не выполнен критерий останова: «количество итераций Г», «время расчетов tmax» или «нет улучшения рекорда на последних итерациях» - переход на процедуру 2 и получение нового плана разбиения P. Иначе - переход на 7.
7. Вывод плана раскроя R(P), плана покрытия Q, информации о деловых остатках O, получаемых при раскрое исходного материала по плану
R(P).
Укрупненная блок-схема алгоритма приведена на рис. 2.
Модуль управления для решения
комплексной задачи покрытия области
с неопределенными размерами заготовок
Таким образом, схему решения комплексной задачи покрытия области с неопределенными размерами заготовок можно представить в виде модуля управления (рис. 3).
Данные о заготовках содержатся в базе данных (БД). При проведении анализа первого этапа выбирается вид решаемой задачи: задача раскроя, покрытия, разбиения или комплексная задача, включающая поиск плана покрытия и раскроя.
В результате следующего анализа (Анализ 2) производится выбор метода решения задачи. Это может быть однопроходной алгоритм «первый подходящий», метод последовательного уточнения оценок (SVC) [11], эволюционный [12] или гибридный алгоритм. Последние два алгоритма базируются на методе SVC. Проводимый анализ основан на оценке требований, предъявляемых к результирующим планам, включающих быстроту получения решения, точность решения и др.
Рис. 2. Блок-схема алгоритма построения плана покрытия
Последний анализ (Анализ 3) производится на основе полученных планов решений, здесь же оцениваются деловые остатки, которые при раскрое листового материала на заготовки используются при решении следующей задачи покрытия. Карты планов покрытия, раскроя, информация о деловых остатках поступают в базу данных для использования в будущем, например при решении следующей задачи.
Задача максимального покрытия двумерных листов прямоугольными элементами. Имеются прямоугольные листы заданной ширины Б и длины 5 и набор из т прямоугольных предметов заданных размеров (ё., s .), 1 = 1, ..., т, где ё - ширина; s . - длина стороны. Введем пря-
моугольную систему координат: оси Ох и Оу совпадают соответственно с нижней и боковой сторонами полосы. Положение каждого прямоугольника Я. зададим координатами (х., у) его левого нижнего угла. Требуется найти максимальное количество полностью покрытых листов. При этом любая точка на листе принадлежит одному или нескольким прямоугольникам, покрывающим лист. Для любой точки (х, у) найдется прямоугольник Я(х, у .), 1 = 1,т , у которого х1, < х < х + ^ и у < у < у1 + d . . Требуется найти план максимального количества полностью покрытых листов.
Решение этой задачи может представлять самостоятельный интерес или использоваться при покрытии остатками прямоугольной области,
4
1. Комплексная задача
2. Задача раскроя 3. Задача покрытия 4. Задача разбиения
Однопроходный алгоритм
Метод SVC
Эволюционный алгоритм
Гибридный алгоритм
План раскроя для задачи 2 План покрытия для задачи 3 План разбиения для задачи 4 План покрытия и раскроя для задачи 1
Информация о деловых отходах
Рис. 3. Схема модуля управления для комплексной задачи покрытия области с неопределенными размерами заготовок
выделенной из ортогонального многоугольника. Для решения разработаны методы: первый подходящий с упорядочиванием, эволюционный алгоритм, метод последовательного уточнения оценок [13].
Рассмотрена комплексная задача построения рационального геометрического покрытия ортогонального многоугольника прямоугольными заготовками, вырезаемыми из исходного мате-
риала и минимизирующими его расход. Показана декомпозиция исходной задачи на задачу разбиения многоугольника на прямоугольные области, задачу определения плана покрытия и размеров прямоугольных заготовок, а также задачу рационального раскроя материала на покрывающие прямоугольные заготовки. Показана связь между задачами.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №12-07-00631.
список литературы
1. Канторович, Л.В. Рациональный раскрой промышленных материалов [Текст] / Л.В. Канторович, В.А. Залгаллер. -СПб.: Невский Диалект, 2012. -304 с.
2. Фроловский, В.Д. Приближенные методы решения NP-трудных задач в системах автоматизации проектирования / В.Д. Фроловский. -Новосибирск: НГТУ, 2006. -100 с.
3. Cheng, Y. A new method for image compression using irreducible covers of maximal rectangles [Text] / Y. Cheng, S.S. Iyegnar, R.L. Kashyap // IEEE transactions on software engineering. -1988. -Vol. 14. -№5. -P. 651-658.
4. Masek, W.J. Some NP-complete set covering problems [Text] / W.J. Masek // Manuscript. MIT, 1977.
5. Johnson, D.S. Approximation algorithms for com-
binatorial problems [Text] / J. of Computing and systems sciences. -1974. -№ 9. -P. 256-278.
6. Franzblau, D.S. An algorithm for constructing regions with rectangles [Text] / D.S. Franzblau, D.J. Kleitman // Information and control. -1984. -№ 63. -P. 164-189.
7. Gudmundsson, J. Close approximations of minimum rectangular coverings [Text] / J. Gudmundsson, C. Levcopoulos // FST&TCS'96. LNCS. -1996. -Vol. 1180. -P. 135-146.
8. Gudmundsson, J. Lower bounds for approximate polygon decomposition and minimum gap [Text] / J. Gud-mundsson, C. Levcopoulos // Information Processing Letters. -2002. -Vol. 81. -Iss. 3. -P. 137-141.
9. Мухачева, Э.А. Проектирование размещения ортогональных объектов на полигонах с препятствиями [Текст] / Э.А. Мухачева, Ю.И. Валиахметова, Э.И. Хасанова, С.В. Телицкий // Информационные технологии. -2010. -№ 10. -С. 16-22.
10. Мухачева, А.С. Задачи двухмерной упаковки в контейнеры: новые подходы к разработке методов локального поиска оптимума [Текст] / А.С. Мухачева, А.Ф. Валеева, В.М. Картак. -М.: Изд-во МАИ, 2004. -192 с.
11. Мухачева, Э.А. Метод последовательного уточнения оценок: алгоритм и численный эксперимент для задачи одномерного раскроя [Текст] / Э.А. Муха-
чева, А.С. Мухачева, Г.Н. Белов // Информационные технологии. -2000. -№2. -С. 13-18.
12. Филиппова, А.С. Моделирование эволюционных алгоритмов решения задач прямоугольной упаковки на базе технологии блочных структур [Текст] / А.С. Филиппова // Информационные технологии. -2006. -№6. -36 с.
13. Филиппова, А.С. Некоторые способы кодирования решений комбинаторных задач в эволюционных методах [Текст] / А.С. Филиппова, М.А. Ильина, Д.М. Нуртдинова [и др.] // Межвуз. науч. сб.: Принятие решений в условиях неопределенности. -Уфа: Изд-во Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та, 2011. -С. 74-77.
УДК 681.5
разработка номограмм распределенного
Номографические методы занимают большое место в практике инженерно-технических расчетов. Являясь очень удобным счетным инструментом для вычисления по готовым формулам, номограммы позволяют значительно сократить время расчетов и быстро решить нужную задачу с достаточной для практики точностью. Основным достоинством номограмм как вычислительного аппарата является быстрота вычислений по ним.
Номограммы широко используются для определения настроек цифровых и аналоговых регуляторов в технических системах, реализующих типовые алгоритмы управления [1]. В отличие, например, от формульного метода, метод расчета по номограммам позволяет более точно определить настройки регулятора, т. к. учитывает наличие нелинейной зависимости между параметрами настройки регулятора и величиной отношения времени запаздывания и постоянной времени объекта.
В связи с интенсивным развитием теории систем с распределенными параметрами возникает потребность в разработке методов анализа систем этого класса и синтеза распределенных регуляторов.
А.Л. Ляшенко
для расчета настроек пид-регулятора
В настоящее время известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем:
1) аналитическое конструирование оптимальных регуляторов;
2) частотный метод синтеза;
3) параметрический синтез регуляторов.
Указанные методы позволяют с высокой точностью определить параметры распределенных регуляторов, но являются достаточно трудоемкими. Наличие номограмм позволит ускорить и упростить процедуру расчета настроек распределенных регуляторов.
Существующие номограммы для расчета настроек сосредоточенных регуляторов не позволяют решить данную задачу, т. к. не дают возможности расчета ряда параметров входящих в состав передаточных функций распределенных регуляторов. В связи с этим возникает потребность в разработке принципиально новых номограмм для систем с распределенными параметрами.
Постановка задачи
Рассмотрим процедуру построения номограмм для системы управления температурным полем объекта, представленного на рис. 1.
Математическая модель имеет вид:
