CC BY
37
делями. Формализация и преобразования начинаются с формулировки очередной постановки задачи и ее QA-анализа.
По всей цепочке представлений и преобразований осуществляются работы с формальными текстами, в каждом из которых используется определенный формальный язык. По этой причине преобразования осуществляются в формах машинного перевода. В число форм представления прецедентов и их прототипов включены псевдопрограммы, ориентированные на проектировщиков, не обладающих знаниями профессионального программирования. Более того, псевдопрограммы интерфейсов, связывающих части прототипов в целое, создаются из интерфейсной диаграммы и затем преобразуются в исходный код практически без участия проектировщиков. Представленные выше средства прошли представительную проверку в производственной практике и подтвердили свою эффективность.
Литература
1. Precedent. URL: http://dictionary.reference.com/browse/ precedent (дата обращения: 18.11.2011).
2. Nguyen P. and Chun R., Model Driven Development with Interactive Use Cases and UML Models. URL: pnguyen.tigris.org/ SER4505.pdf (дата обращения: 18.11.2011).
3. Соснин П.И. Вопросно-ответное программирование человеко-компьютерной деятельности. Ульяновск: Изд-во Ул-ГТУ, 2010. 240 с.
4. Sosnin P., Programming of Human-Computer Interactions in Development of Software Intensive Systems, Intern. Journ. of Computer Information Systems and Industrial Management Applications, 2011, Vol. 3, pp. 444-452.
5. Arnowitz J., Arent M. and Berger N., Effective Prototyping for Software Makers. Morgan Kaufmann, Elsevier, 2007, 624 p.
6. Sosnin P., Question-Answer Approach to HumanComputer Interaction in Collaborative Designing. Chapt. in the book «Cognitively Informed Intelligent Interfaces: Systems Design and Development» IGI Global Publ., 2012, pp. 157-176.
7. Sosnin P., Pseudo-code Programming of Designer Activity in Development of Software Intensive Systems, Proc. 25-th Intern. Conf. IEA/AIE 2012, Dalian, Chine, 2012, pp. 45-46.
References
1. Precedent, Available at: http://dictionary.reference.com/ browse/precedent (accessed 18 Nov. 2011).
2. Nguyen P., Chun R., Model Driven Development with Interactive Use Cases and UML Models, Available at: http://pnguyen.tigris.org/SER4505.pdf (accessed 18 Nov. 2011).
3. Sosnin P., Voprosno-otvetnoe programmirovanie chelove-ko-kompyuternoy deyatelnosti [Question-Answer Programming of Human-Comp. Interactions], Ulyanovsk, Ulyanovsk State Technical Univ., 2010, 240 p.
4. Sosnin P., IJCISIM, Vol. 3, 2011, pp. 444-452.
5. Arnowitz J., Arent M., Berger N., Effective Prototyping for Software Makers, Morgan Kaufmann, Elsevier, 2007, 624 p.
6. Sosnin P., Cognitively Informed Intelligent Interfaces: Systems Design and Development, IGI Global, 2012, pp. 157-176.
7. Sosnin P., Proc. of the 25th Int. Conf. on Industrial Engineering and other Applications of Applied Intelligent Systems (IEA/AIE 2012), Dalian, Chine, 2012, pp. 45-46.
УДК 62.50
КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ ЧИСЛАМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
А.А. Усков, д.т.н., профессор; И.А. Киселев, аспирант (Российский университет кооперации, ул. В. Волошиной, 12/30, г. Мытищи, 141014, Россия, [email protected])
Аппарат нечеткой логики широко используется при математическом описании сложных систем в условиях неопределенности, позволяя описывать знания, представленные в качественной форме, не требуя выполнения предпосылок применимости теории вероятностей.
Нечеткие числа LR-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.
В статье доказана теорема, позволяющая сводить арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа (сложение, умножение, нахождение противоположного и обратного элементов) к арифметическим операциям над комплексными числами.
Приведена графическая иллюстрация выполнения арифметических операций сложения и вычитания над нечеткими числами на комплексной плоскости, что дает возможность производить эти операции графическим методом.
Как известно, широко распространенные системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) содержат средства, позволяющие выполнять арифметические операции над комплексными числами, причем как в численном, так и в символьном виде. В то же время указанные системы компьютерной математики в своей стандартной комплектации не содержат средства выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Приведенная в статье теорема позволяет достаточно просто использовать указанные системы в практике расчетов с нечеткими числами.
В качестве примера вычислений рассматривается расчет чистого приведенного дохода в условиях неопределенности. В частности, предполагается, что поступления от инвестиционного проекта, отток денежных средств и индекс инфляции заданы симметричными нечеткими числами LR-типа.
Ключевые слова: экономический анализ, нечеткая логика, комплексные числа, неопределенность, нечеткие числа.
COMPLEX METHOD OF ARITHMETIC OPERATIONS PERFORMANCE WITH FUZZY NUMBERS AND ITS APPLICATION IN THE ECONOMIC ANALYSIS UNDER UNCERTAINTY Uskov A.A., Ph.D., professor; Kiselev I.A., postgraduate (Russian University of Cooperation, Voloshinoy St., 12/30, Mytishchi, 141014, Russia,
prof.uskov@gmail. com)
Abstract. Fuzzy logic is widely used in the mathematical description of complex systems under uncertainty. It allows to describe the knowledge presented in a qualitative way without requiring the implementation of the applicability prerequisites of the theory of probability.
LR-type fuzzy numbers are a type of fuzzy numbers defined according to certain rules in order to reduce the amount of computation in operations.
The article describes and proves a theorem that allows to convert the arithmetic operations with LR-type symmetric fuzzy numbers (addition, multiplication, finding the opposite and inverse elements) to arithmetic operations with complex numbers.
The article shows a graphic illustration of the arithmetic operations of fuzzy numbers adding and subtracting in the complex plane which makes it possible to make these arithmetic operations graphically.
As it known, widely distributed computer math systems (MATLAB, MathCAD, Maple etc.) have the means to perform arithmetic operations with complex numbers, both in numbers and in symbolic form. At the same time, standard configuration of these systems does not contain tools to perform arithmetic operations with fuzzy numbers. The theorem proposed in the article can simply use these systems in practical calculations with fuzzy numbers.
There is an example of net present value calculation under uncertainty. In particular, it is assumed that the investment project income, the money outflow and inflation rate are set by LR-type symmetrical fuzzy numbers.
Keywords: economic analysis, fuzzy logic, complex numbers, uncertainty, fuzzy numbers.
Аппарат нечеткой логики широко используется при математическом описании сложных систем в условиях неопределенности, позволяя формали-зовывать знания, представленные в качественной форме, и не требуя выполнения предпосылок применимости теории вероятностей [1-3].
Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, то есть нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел Я с функцией принадлежности дл(х)е[0, 1], где х - действительное число, то есть хеЯ [2, 3].
Нечеткие числа ЬЯ--типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, то есть задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними [2, 3]. Функции принадлежности нечетких чисел ЬЯ-типа задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительных переменных Ь(х) и Я(х), удовлетворяющих свойствам: а) Ь(-х)=Ь(х), Я(-х)=Я(х); б) Ь(0)=Я(0). Пусть Ь(х) и Я(х) - функции ЬЯ-типа. Унимодальное нечеткое число А с модой а (то есть Да(я)=1) с помощью Ь(х) и Я(х) задается следующим образом:
при х< а,
при х > а,
где а - мода; а>0, р>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.
Таким образом, при заданных Ь(х) и Я(х) нечеткое число задается тройкой (а, а, Р).
Предположим, имеются нечеткие числа ЬЯ-ти-па а=(ш, а, Р)№ и ¿¡=(п, у, 8)№.
Арифметические операции над нечеткими ЬЯ-числами определяются следующим образом:
(т, а, Р)ья+(п, у, 5)№=(т+п, а+у, Р+5)№ (т, а, Р)ЬЯ-(п, у, 5)ЬЯ=(тп, ап+ут, Рп+5т)ЬЯ, т>0, п>0
-(т, а, Р)№= (-т, Р, а)№
m а, Р)-1^f-Лл
mm m
, rn>0.
Нечеткое число а =(т, а, Р)ЬЯ - симметричное нечеткое число ЬЯ-типа, если а=Р.
Теорема. Пусть имеются симметричные нечеткие числа ЬЯ-типа: а=(т, а, а)ЬЯ и Ь=(т, у,
у)ЬЯ. Сопоставим им комплексные числа аоа= =ш+/а и Ь оЬ=п+/у, где/=//—1.
Тогда арифметические операции над симметричными нечеткими числами ЬЯ--типа а и Ь соответствуют операциям над комплексными числами: а+Ьоа+Ь, -а о—а, а-Ь ^ а-Ь, а~ 1 <н> а" 1, где а=ш—/а — комплексное сопряженное по отношению к .
Доказательство.
Сравним результаты арифметических операций над нечеткими числами и их комплексными изображениями а и Ь [2—4]:
а + Ъ=(ш+п, а+у, а+у)ЬЯ,
а+Ь=(ш+п)+/(а+у).
Таким образом, а+Юа+Ь; а• Ь=(ш-п, ш-у+п-а, ш-у+п-а)ЬЯ, а • Ь=(ш+/а) • (п+/у)=ш • п+/(ш • у+п • а)—а • у.
С учетом того, что для нечетких чисел ш п>>а •у, в практических расчетах можно считать а • Ь«ш • п+/(ш • у+п • а).
Таким образом, а •ЮаЬ, — а=(—ш, а, а)ЬЯ, —а=—ш+/ • а.
Таким образом, -а<->-а, а ' = (—. -Ц-
m>0, а =
от + ja
2 2 . от +а
С учетом того, что для нечетких чисел m >> а, в практических расчетах можно считать
_-i 1 а ___,
а и —+ j—-, а \
от от
Теорема доказана.
На рисунке показана графическая иллюстрация выполнения арифметических операций сложения и вычитания над нечеткими числами на комплексной плоскости.
Как известно, широко распространенные системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) содержат средства, позволяющие выполнять арифметические операции над
комплексными числами, причем как в численном, так и в символьном виде. В то же время указанные системы компьютерной математики в своей стандартной комплектации не содержат средства выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Приведенная ранее теорема позволяет сводить арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа к арифметическим операциям над комплексными числами.
В качестве примера рассмотрим расчет чистого приведенного дохода в условиях неопределенности [5]. Предположим, что поступления от инвестиционного проекта Рт, отток денежных
средств Ym и индекс инфляции \т в т-\\ месяце заданы симметричными нечеткими числами LR-типа. Формула чистого приведенного дохода за N месяцев имеет вид [5]
JV _ 1
NPV = Y(P -Y )--=-.
m=l (1 + 1J
Для расчета комплексным методом согласно доказанной теореме необходимо произвести следующие действия:
- перейти от нечетких чисел к комплексным:
Р —»Р , Y —»Y , I ;
т т > т т > т т >
- произвести вычисления по формуле
NPV = £(Pm-Yj{(l + Imr
ra=i L
- осуществить обратный переход от комплексных чисел к нечетким:
NPV NPV.
Приведенные в статье результаты позволяют упростить использование систем компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) в практике нечеткого моделирования и представлять результаты расчетов в наглядной форме в виде векторных диаграмм на комплексной плоскости.
Литература
1. Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия-Телеком, 2004.
2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.
3. Круглов В.В., Усков А.А. Два подхода к самоорганизации базы правил системы нечеткого логического вывода // Информационные технологии. 2006. .№ 2. С. 14-18.
4. Берд Дж. Инженерная математика. М.: Додэка-XXI, 2008. (Сер. Карманный справочник).
5. Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Питер, 2006.
References
1. Uskov A.A., Kuzmin A.V., Intellektualnye tekhnologii upravleniya. Iskusstvennye neyronnye seti i nechyotkaya logika [Intelligent management technologies. Artificial neural network and fuzzy logics], Moscow, Goryachaya Liniya-Telekom, 2004.
2. Altunin A.E., Semukhin M.V., Modeli i algoritmy prinya-tiya resheniy v nechetkikh usloviyakh [Models and decision-making behavior under fuzzy conditions], Tyumen, Tyumen State Univ., 2000.
3. Kruglov V.V., Uskov A.A., Informatsionnye tekhnologii, [Information Technology], 2006, no. 2, pp. 14-18.
4. John Bird, Inzhenernaya matematika [Engineering Mathematics], Moscow, Dodeka-XXI, 2008.
5. Kucharina E.A., Investitsionny analiz [Investment analysis], St. Petersburg, PITER, 2006.
УДК 519.71
ПРОГРАММНЫЙ ПАКЕТ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
А.А. Усков, д.т.н., профессор; И.А. Киселев, аспирант; Н.В. Кондратова, аспирант
(Российский университет кооперации, ул. В. Волошиной, 12/30, г. Мытищи, 141014, Россия, [email protected])
В статье рассмотрены программный пакет «Анализ эффективности инвестиционных проектов с привлечением заемных средств» и его математическое обеспечение.
С помощью разработанного программного пакета можно в условиях неопределенности оценивать такие показатели эффективности инвестиционных проектов, как степень устойчивости инвестиционного проекта, наименьший срок погашения кредита, чистый приведенный доход, внутренняя норма доходности.
Инвестиционная деятельность всегда ведется в условиях неопределенности: точно не известны будущие денежные поступления от реализации инвестиционного проекта, индекс инфляции и некоторые другие показатели. В рассматриваемом программном пакете неопределенность учитывается путем введения в расчетные формулы нечетких переменных в виде нечетких чисел LR-типа, параметры которых должны быть оценены предварительно, например экспертным методом.
Предложена формула на основе арифметики нечетких чисел LR-типа для расчета чистого приведенного дохода от инвестиционного проекта при привлечении заемных средств. Данная формула отличается учетом параметров кредита, что позволяет совместно оценивать выбор инвестиционного проекта и условий получения кредита для его ф и-нансирования из множества доступных при неопределенности нечеткого характера.
Ключевые слова: инвестиционный проект, неопределенность, нечеткое число, чистый приведенный доход.
THE SOFTWARE PACKAGE OF INVESTMENT PROJECT EFFICIENCY ANALYSIS BASED
ON FUZZY COMPUTING
UskovA.A., Ph.D., professor; KiselevI.A., postgraduate; Kondratova N. V., postgraduate (Russian University of Cooperation, Voloshinoy St., 12/30, Mytishchi, 141014, Russia, [email protected])
Abstract. The article offers a formula for calculating net present value of the investment project using loan capital. This formula is different within the parameters of the loan, so you can conjointly evaluate the choice of the investment project and loan conditions to finance it under uncertainty.
Investment activity is always conducted under uncertainty: future investment project cash flows, the inflation rate and other indicators are uncertain. In proposed software package the uncertainty is taken into account by putting fuzzy variables into the formulas in the form of LR-type fuzzy numbers. Their parameters have to be assessed in advance, for example, using expert method. Using LR-type fuzzy numbers allows simplifying formulas.
As an intermediate result, a formula for the construction of LR-type fuzzy numbers is in the whole positive degree.
The numerical example is made in the system of computer mathematics Mathcad to illustrate the practical implementation of net present value calculation. Based on these results a software package «The investment projects analysis with borrowed funds» has been developed. The developed software package helps to estimate indexes of effectiveness under uncer-
