CC BY
66
УДК 539.3
В. П. Глазырин, М. Ю. Орлов, Ю. Н. Орлова
КОМПЛЕКСНОЕ ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ ЛЬДА. ЧАСТЬ 3. РАСЧЕТ ПРОЦЕССА НИЗКОСКОРОСТНОГО ВНЕДРЕНИЯ КОМПАКТНЫХ УДАРНИКОВ В ЛЕД
Приведены результаты исследований процессов динамического нагружения льда. Представлены новые экспериментальные результаты взрыва однолетнего речного льда зарядом ВВ в полиэтиленовой оболочке. Обнаружены закономерности процесса взрывного разрушения льда. Исследован процесс внедрения компактных ударников в ледяной блок при низких начальных скоростях удара. Установлено, что поведение льда в данных условиях аналогично поведению некоторых геологических материалов.
Ключевые слова: лед, модель, метод, расчет, удар, взрыв, деформация, разрушение, преграда, ударник, ударный кратер.
Введение
В настоящее время актуальными являются поисковые научные исследования по динамическому нагружению льда. РФ входит в пятерку «ледовых» стран, поэтому существует необходимость развития северных территорий, в том числе аэродромов, транспортных узлов, проектирование портов в акваториях замерзающих морей. Увеличение добычи природных ископаемых в районах вечной мерзлоты также остается чрезвычайно важной научно-технической задачей. В ближайшее время правительство РФ планирует вплотную заняться развитием Арктической зоны. Для этого планируется создать специальный государственный орган, который будет курировать все аспекты национальный безопасности нашей страны в «холодном» регионе. Сейчас арктическая группировка войск РФ насчитывает около 12000 солдат и офицеров. Из-
Глазырин Виктор Порфирьевич — доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории № 21 (Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск); e-mail: [email protected].
Орлов Максим Юрьевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории № 21 (Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск); e-mail: [email protected].
Орлова Юлия Николаевна — старший преподаватель кафедры геологии и разработки
нефтяных месторождений (Национальный исследовательский Томский политехнический университет,
Томск), e-mail: [email protected]
Работа выполнена в соответствии с планом повышения конкурентноспособности ТГУ и подвержена РФФИ № 13-08-00509a, № 13-08-00296а.
© Глазырин В. П., Орлов М. Ю., Орлова Ю. Н., 2014
17
за возможного военного конфликта наша страна начала создание постоянной военной базы в Арктике вблизи Новосибирских островов. Безусловно, это активизирует ответные действия и научные мероприятия по «ледовой» во всем мире.
В Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики Томского государственного университета постоянно ведутся поисковые научные исследования по динамическому нагружению льда. Разработана физико-математическая модель деформирования и разрушения льда при ударных и взрывных нагрузках, создан численный 2D осесимметричный метод расчета напряженно-деформированного состояния с учетом эволюции деформационных картин и областей разрушения. Получены оригинальные научные данные (теоретические и экспериментальные) о поведении льда при различных начальных условиях нагружения. Решен ряд новых прикладных задач. Объектами исследования выступали цилиндры из конжеляционного и речного однолетнего льда различной толщины. Были организованы экспедиции в СФО на места взрывных работ для проведения натурных экспериментов. Работы по разрушению ледяного покрова динамическими нагрузками, путем генерации изгибно-гравитационных волн от движения подводных и надводных объектов, весьма актуальны сейчас и ведутся на Дальнем Востоке [1].
В работе [2] детально изучен процесс низкоскоростного нормального внедрения удлиненных ударников с различной формой головных частей в ледяную преграду конечной толщины. Проанализировано разрушение льда в процессе внедрения однородных ударников, рассчитано время и место зарождение первых очагов разрушения в нем, а также некоторые интегральные характеристики процесса внедрения. Выявлено, что максимальное время и глубина внедрения зафиксированы при внедрении ударника с оживальной головной частью.
Представлены результаты экспериментальных исследований процесса соударения сферического ударника с ледяными цилиндрами и подводного взрыва заряда взрывчатого вещества (ВВ) в воде из-подо льда [3]. Последнюю задачу в англоязычной литературе принято называть «UNDEX» — Under Explosive. Отметим, что такие результаты мало встречаются в открытых литературных источниках. Результаты экспериментальных исследований можно использовать в качестве количественных тестов для апробации разрабатываемых моделей и методик расчета. Получены рекомендации для наиболее эффективного разрушения толстых (2 метра и более) льдов безоболочечным зарядом ВВ.
Обнаружено, что при ударных нагрузках лед ведет себя как некоторые ранее изученные геологические материалы. Разрушение льда вследствие действия ударников сопровождается его растрескиванием. При проведении исследований сформулированы новые задачи для углубления теоретических знаний в области физики и механики разрушения
18
льда, а также выявления основных закономерностей процесса его разрушения при динамических нагрузках. Решение некоторых таких задач описано ниже.
Физико-математическая модель поведения льда и метод расчета его ударного и взрывного нагружения
Описание поведения льда при динамических нагрузках проводится с позиции феноменологической макроскопической теории механики сплошных сред на основе фундаментальных законов сохранения. Лед моделировался упруго-пластической, пористой, сжимаемой средой с учетом свойств прочности, ударно-волновых явлений, а также совместного образования отрывных и сдвиговых разрушений. Упруго-пластическое течение задается уравнениями Прандтля — Рейса при условии текучести Ми-зеса. Уравнение состояние выбрано в форме Уолша, основным достоинством которого является широкая доступность постоянных. Действие взрывного нагружения задается в приближении модели мгновенной детонации заряда взрывчатого вещества (ВВ). Уравнение состояние продуктов детонации описывается политропой Ландау-Станюковича [4].
В качестве основного инструмента исследований использован модифицированный лагранжев метод, расчетная часть которого дополнена механизмами расщепления расчетных узлов и разрушения расчетных элементов. Оригинальность метода заключается в новом способе выделения поверхностей разрыва сплошности материалов, который не накладывает серьезных ограничений на решение современных динамических многоконтактных задач МДТТ. В процессе счета допускается появление новых свободных поверхностей, в том числе разделяющие взаимодействующие тела на отдельные фрагменты [5].
Для двумерного плоского и осесимметричного случая разработан пользовательский многофункциональный программный комплекс решения динамических многоконтактных задач МДТТ, позволяющий в интерактивном режиме подготавливать начальные данные, включая автоматическое разбиение расчетной области, осуществлять расчет в консольном режиме, а также проводить графическую и табличную обработку полученных результатов. (Св-ва о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010610912 от 21.01.2010 г. и № 2010610911 от 28.01.2010 г.) [4].
Достоверность результатов численного моделирования установлена путем решения ряда тестовых задач и сравнением с известным аналитическим решением, а также экспериментальными результатами. Экспериментальные данные были полученными на уникальном баллистическом стенде с высокоточными приборами регистрации в НИИ прикладной математики и механики. Отдельные эксперименты специально были проведены в ЦНИИ им. А. Н. Крылова (Санкт-Петербург). Результаты физических экспериментов представлены в [5].
19
Экспериментальное исследование поведения бесснежного ледяного покрова при взрывном нагружении
В начале весны совместно с ОАО «КузбассСпецВзрыв» проведена серия натурных экспериментов по взрывному нагружению однолетнего речного льда. Эксперименты проведены в рамках ежегодных противопаводковых мероприятий МЧС РФ на р. Томь в пригороде Томска. Первичный осмотр ледяного покрова показал следующее. В местах закладки ВВ лед был ровный, без трещин и разводьев. В радиусе 10 метров отсутствовали стационарные полыньи. Глубина воды под экспериментальной площадкой, которая располагалась на фарватере реки, более 7 метров. Ширина реки не менее 500 метров. Температура воздуха и воды в день проведения эксперимента 3°С. Скорость ветра и течение воды не измерялась. Неделя, предшествующая эксперименту, была относительно холодная, поэтому пористость льда не увеличивалась. Аномально теплой погоды также не было.
На рисунке 1 показано состояние ледяного покрова до взрыва ВВ. Выбрана первая из десяти лунок. На рисунке 1а показан предполагаемый радиус взрывной майны (200 см), который должен получиться после подрыва ВВ массой 8 кг. Прогноз основывался на прошлогодних экспериментах. Рисунок 1б иллюстрирует лунку для закладки ВВ. Диаметр лунки составил 11 см и был на 5 см меньше, чем в прошлом году. На фото отчетливо видны ледяные крошки, извлеченные из лунки в процессе ее подготовки к эксперименту. Подрыв ВВ осуществлялся в воде при помощи детонирующего шнура ДШЭ-12 ГОСТ 6196-78 по классической схеме.
Рис. 1. Подготовка к проведению эксперимента: а — предполагаемый радиус взрывной майны, б — ВВ до погружения в воду перед взрывом
На рисунке 2 показана взрывная майна, образованная на бесснежном ледяном покрове после взрыва ВВ. Фотография сделана со спасательного катера через 10 минут после взрыва. Видно, что в воде присутствуют ледяные осколки различных размеров, но в основном небольшие. Более
20
крупные осколки находятся на льду рядом с майной. Радиус разлета осколков более 5 метров. Анализ поверхности разрушения кромки льда показал следующее. Поверхность разрушения не является гладкой, рядом с ней находятся осколки льда относительно крупных размеров. Форма майны близка к окружности, диаметром около 4,3 метров. Слева виден отколовшийся фрагмент льда в форме плиты размером 50-70 см. Местоположение на рисунке 2 — левый нижний угол. Скорее всего, он образовался из-за внутренних дефектов льда, которые не были обнаружены первичным осмотром. Визуально установлено, что в процессе разрушения льда преобладало хрупкое разрушение. Это можно объяснить холодной зимой и небольшими заморозками, которые предшествовали экспериментальным работам. Для дальнейших исследований следует измерить пористость льда, которая меняется в зависимости от погодных условий. В настоящее время это возможно сделать при помощи ультразвукового оборудования.
Рис. 2. Взрывная майна после подрыва ВВ
Исследование процесса низкоскоростного внедрения компактных ударников в лед
В настоящее время детально исследуется поведение льда как в роли ударников, так и преград. Пионерские работы по соударению ледяных сфер с жесткой стенкой являются библиографической редкостью [5]. В работе [1] проведены исследования процесса нормального внедрения удлиненных ударников с различной формой головных частей в лед. Описан процесс разрушения льда на всех стадиях процесса внедрения. Проанализированы деформационные картины и области разрушения льда, вычислено время внедрения, диаметр ударного кратера во льду и
21
другие интегральные характеристики процесса. Для анализа напряженно-деформированного состояния льда рассчитаны временные зависимости гидростатического давления и девиаторных напряжений в контрольных точках. Установлено, что в указанных начальных условиях разрушение льда сопровождалось его растрескиванием, что является типичным для ряда геологических материалов [6]. В продолжение исследований определенный научный интерес представляют изучение процесса внедрения компактных ударников в ледяную преграду.
Расчет процесса внедрения компактных ударников в ледяную преграду
Физическая постановка задачи формулируется как контактное взаимодействие однородных ударников (цилиндрический и сферический) с ледяным цилиндром. Ударники — прямой круговой цилиндр размерами в сечении (5*5) мм и сфера d = 5,82 мм. Материал ударника — сталь ШХ-15, а масса 0,78 г. Преграда — ледяной цилиндр диаметром 60 мм и высотой 45 мм. Серия вычислительных экспериментов состояла из 12 вариантов, в каждом последующем начальная скорость удара Vo увеличивалась на 25 м/с. Диапазон изменения начальной скорости варьировался от 50 до 325 м/ с. Таким образом, в варианте 1 (первом) скорость была равной 50 м/ с, а в варианте 12 (последнем) — 325 м/ с. Расчеты проведены для осесиммет-ричного случая. На контактной границе ударника и преграды задано условие скольжения. Для расчета гидростатического давления и тангенциальных напряжений была выбрана контрольная точка, расположенная на оси симметрии в середине ледяного цилиндра.
На рисунке 3 представлены конечные конфигурации взаимодействующих тел на поздних стадиях процесса внедрения. Детальный анализ деформационных картин и областей разрушения льда показал, что первые очаги разрушения образовываются в зоне контакта «ударник — лед». Установлено, что большую часть процесса ударник внедряется в ослабленный растягивающими разрушениями лед. Во льду образовываются магистральные трещины, разделяющие ледяной цилиндр на отдельные части. Процесс внедрения сопровождался формированием лицевых и тыльных отколов.
Семейство кривых на рисунке 4 соответствует изменению глубины внедрения сферического ударника от времени. Установлено, что процесс внедрения сферического и цилиндрического ударника проходил по одному сценарию. Глубина сферического ударника была больше, чем цилиндрического. Выявлено, что с ростом начальной скорости удара увеличивается время внедрения ударника, причем в двух последних вариантах оно примерно одинаковое. Также установлено, что с ростом начальной скорости удара увеличивается угол наклона между осью абсцисс и касательной в точке начала координат.
На рисунке 5 показаны графические зависимости поврежденности льда от времени при внедрении сферического ударника. Выявлено, что
22
при действии сферического ударника в первых трех вариантах развитие разрушений во льду протекало вплоть до 60 мкс, что почти в 6 раз больше чем при действии цилиндрического. Почти на всех кривых повреж-денности обнаружена «ступенька», наибольшая высота которой была зафиксирована в последних двух вариантах. Установлено, что при действии сферического ударника ее высота была практически в два раза меньше, чем при действии цилиндрического.
• Стальная сфера d = 5,82 мы
Рис. 3. Конечные конфигурации «ударник — ледяной блок» для варианта 12
23
Рис. 4. Временные зависимости глубины внедрения ударника
Рис. 5. Временные зависимости поврежденности льда
Получено, что гидростатическое давление и тангенциальное напряжение во льду в контрольной точке при внедрении цилиндрического ударника были больше почти в 1,5 раза, чем при внедрении сферического. В обоих случаях величина давления в несколько раз превышала напряжение. Максимальное давление зафиксировано при внедрении цилиндрического ударника и было в пять раз больше откольной прочности льда. На кривых давления имелись пилообразные колебания. Давления, которые возникали во льду, можно классифицировать как невысокие (< 1 ГПа).
24
Выявленный факт роста девиаторных напряжений одновременно с ростом давления отмечен при ударно-волновом нагружении керамических и геологических материалов в работе [7]. Исследуемые образцы были подвержены растрескиванию в процессе нагружения. Напряжения, которые генерировались в ледяном цилиндре, были несколько меньше предела текучести льда. Временные зависимости тангенциальных напряжений позволяют проследить фазы сжатия и растяжения льда. В большинстве вариантов после 150 мкс давления и напряжения стремились к нулю.
В таблице представлены результаты расчетов нормального процесса внедрения компактных ударников в ледяной цилиндр в диапазоне начальных скоростей удара от 50 до 325 м/ с. Приведены расчетные значения времени внедрения ударников Ьк, глубины внедрения в преграду Ьк и объем поврежденности льда Б^^. В исследуемых образцах фиксировались наличие лицевого и тыльного отколов.
Таблица
Результаты расчетов процесса внедрения ударников в лед
Вариант Vo tk Lk Dmg Откол
Вариант 1 50 85/118 1,7/2,8 7,76/3,20 Лиц. Тыль.
Вариант 2 75 101/139 3,0/5,4 8,4/4,91 -/- -/-
Вариант 3 100 140/185 5,0/8,0 8,9/6,55 -/- -/-
Вариант 4 125 184/200 8,33/10,4 12,6/8,0 -/- -/-
Вариант 5 150 199/216 11,5/12,9 13,7/8,35 -/- -/-
Вариант 6 175 215/241 14,2/16,6 16,7/12,47 -/- -/-
Вариант 7 200 225/255 16,2/20,3 18,6/16,98 -/- -/-
Вариант 8 225 230/272 18,3/23,8 20,3/19,15 +/- -/-
Вариант 9 250 235/281 20,5/26,7 23,5/21,37 +/- -/-
Вариант 10 275 265/295 23,9/30,5 25,2/23,67 +/- -/-
Вариант 11 300 275/301 27,8/32,7 30,6/26,86 +/- -/-
Вариант 12 325 285/313 29,8/35,9 32,7/28,10 +/+ +/+
В числителе указаны числовые значения для цилиндрического, а в знаменателе для сферического ударников.
Из таблицы видно, что в рассмотренном диапазоне начальных скоростей, обшая длительность процесса внедрения составила 0,3 мс. Компактные ударники смогли внедриться на глубину, равную 6 их диаметрам, причем глубина внедрения сферического ударника во всех вариантах была больше. Временные зависимости скорости ударника и глубины его внедрения, а также поврежденности льда аппроксимируются алгебраическими и трансцендентными функциями. Объем поврежденного льда достигал 30 % и более, причем его основная часть сформирована до 150 мкс. При внедрении цилиндра объем поврежденного льда был несколько больше. Скорость изменения поврежденности льда достигала своего максимума после полного внедрения ударников в лед. Гидростатические давления, возникаюшие во льду при внедрении цилиндра, были больше, чем при внедрении сферы. Тангенциальные напряжения,
25
которые генерировались во льду, были в несколько раз меньше, чем давления. После 150 мкс они стремились к нулю. На кривых давления и напряжения присутствуют пилообразные осцилляции.
Проанализировано время зарождения первых очагов разрушения и их местоположения во льду. Определено направление распространения магистральных трещин. Зафиксировано наличие откольных тарелок с лицевой и тыльной сторон исследуемого образца. Разрушение стальных ударников в расчетах выявлено не было, т. к. прочностные характеристики стали во много раз больше льда. При внедрении сферического ударника в двух последних вариантах, скорее всего, ледяной цилиндр был разломлен на две части через магистральную трещину, проходящую по оси симметрии. Выявленные различия можно объяснить геометрией ударников. При действии сферического ударника эффекты разгрузки выражены в большей степени.
Таким образом, проведенные исследования позволили углубить научные знания в области современной механики разрушения льда.
Список литературы
1. Zemlyak V. L., Kozin V. M., Baurin N. O., Petrosyan G. V. Influence of Peculiarities of the Form of a Submarine Vessel on the Parameters of Generated Waves in the Ice Motion // Proceedings of the International Offshore and Polar Engineering Conference Сер. «Proceedings of the 24rd International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE 2014» 2014. Pp. 1135-1140.
2. Орлов М. Ю., Глазырин В. П., Орлов Ю. Н., Садохин А. Н., Богомолов Г. Н. Комплексное теоретико-экспериментальное исследование поведения поликристаллического льда при динамических нагрузках. Часть 1 Эксперименты по ударно-взрывному нагружению пресноводного льда. Расчет процесса взрывного нагружения системы «Лед — ВВ — Вода» / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2013. № 2(13). С. 98 — 112.
3. Глазырин В. П., Орлов М. Ю., Орлова Ю. Н. Исследование процессов ударно-взрывного нагружения поликристаллического льда / / Материалы Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2013), Крым, Алушта, 22 — 31 мая 2013. М.: изд-во МАИ, 2013. С. 307—309.
4. Физика взрыва: в 2 т. Т. 1. / С.Г. Андреев, А.В. Бабкин, Ф.А. Баум [и др.]; под ред. Л. П. Орленко. 3-е изд., испр. М.: Физматлит, 2004. 823 с.
5. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu., Orlova Yu. N. Influence of arrangement of additional layer in three-layer barrier on shock resistence / / Proceedings of 14th International Scientific and practical conference of students, post-graduates and young scientists: Modern technique and technologies MTT' 2008 (March 24 — 28, 2008, Russia, Tomsk). Tomsk: Tomsk polytechnic university: TPU-Press, 2008. Pp. 82 — 85.
6. Kelly S. Carney, David J. Benson, Paul DuBois, Ryan Lee A phenomenological highstrain rate model with failure for ice / / International Journal of Solids and Structures. 2006. No 43. Pp. 7820 — 7839.
7. Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996. 408 с.
26
8. Герасимов А. В., Пашков С. В. Численное исследование 3D процесса проникания ударников в лед / / Математическое моделирование и краевые задачи: труды V Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 29-31 мая 2008. Самара: СамГТУ, 2008. С. 96-98.
9. Горельский В. А., Коняев А. А., Толкачев В. Ф. Моделирование глубины проникания ударников в пресный лед при температуре 0 + -25°С / / Полярная механика: тезисы докладов Всероссийской конференции, Новосибирск, 2 — 9 июня 2012. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2012. С. 21—22.
•Jc -Jc -Jc
Glazyrin Viktor P., Orlov Maksim Ju., Orlova Julija N.
INTEGRATED THEORETICAL AND EXPERIMENTAL STUDY
OF DYNAMIC LOADS ON THE ICE. PART 3 CALCULATION
OF THE LOW SPEED IMPLEMENTATION OF COMPACT STRIKERS IN ICE
(National Research Tomsk State University, Tomsk)
The processes of ice dynamic loading were investigated and the results are presented in the paper. New experimental results of the explosion of the annual river ice with the help of an explosive charge were studied and discovered some regularities of the explosive ice destruction. The process of impactors implementation into an ice block at low initial impact velocities was investigated. It was established that the behavior of ice in these conditions is analogous to the behavior of some geological materials.
Keywords: ice, model, method, calculation, explosion, deformation, fracture, barrier, impactor, impact crate.
References
1. Zemlyak V. L., Kozin V. M., Baurin N. O., Petrosyan G. V. Influence of Peculiarities of the Form of a Submarine Vessel on the Parameters of Generated Waves in the Ice Motion, Proceedings of the International Offshore and Polar Engineering Conference . «Proceedings of the 24th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE 2014», 2014, pp. 1135—1140.
2. Orlov M. Yu., Glazyrin V. P., Orlov Yu. N., Sadokhin A. N., Bogomolov G. N. Comprehensive Theoretical and Experimental Study of the Polycrystalline Ice Behavior under Dynamic Loads. Part 1: Experiments on Shock-Explosive Loading of Freshwater Ice. The Calculation Process of Explosive Loading of the «Ice — VV—Water» [Kompleksnoe teoretiko-eksperimental'noe issledovanie povedeniya polikristallicheskogo l'da pri dinamicheskikh nagruzkakh. Chast' 1 Eksperimenty po udarno-vzryvnomu nagruzheniyu presnovodnogo l'da. Raschet protsessa vzryvnogo nagruzheniya sistemy «Led—VV—Voda»], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universiteta im. Sholom-Aleykhema, 2013, no 2(13), pp. 98—112.
3. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu., Orlova Yu. N. Investigation of the Processes of Shock-Explosive loading of Polycrystalline ice [Issledovanie protsessov udarno-vzryvnogo nagruzheniya polikristallicheskogo l'da], Materialy Mezhdunarodnoy konferentsii po vychislitel'noy mekhanike i sovremennym prikladnym programmnym sistemam, Krym, Alushta, 22 — 31 maya 2013 (Proceedings of the International Conference on Computing Mechanics and Advanced Applied, Crimea, Alushta, 2013, May 22 — 31), Moscow, MAI, 2013, pp. 307—309.
4. Andreev S. G., Babkin A. V., Baum F. A. end etc.; edited by Orlenko L. P. Fizika vzryva (Physics Explosion) in 2 vol., v. 1, Moscow, Fizmatlit, 2004. 823 p.
27
5. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu., Orlova Yu. N. Influence of Arrangement of Additional Layer in Three-Layer Barrier on Shock Resistance, Proceedings of 14th International Scientific and Practical Conference of Students, Post-graduates and Young Scientists: Modern Technique and Ttechnologies MTT 2008, (March 24 — 28, 2008, Russia, Tomsk), Tomsk, Tomsk Polytechnic University: TPU-Press, 2008, pp. 82 — 85.
6. Kelly S. Carney, David J. Benson, Paul DuBois, Ryan Lee. A Phenomenological HighStrain Rate Model with Failure for Ice, International Journal of Solids and Structures, 2006, no 43, pp. 7820 — 7839. doi:10.1016/j.ijsolstr.2006.04.005
7. Kanel' G. I., Razorenov S. V., Utkin A. V., Fortov V. E. Udarno-volnovye yavleniya v kondensirovannykh sredakh (Shock-Wave Phenomena in Condensed Matter), Moscow, Yanus-K, 1996. 408 p.
8. Gerasimov A. V., Pashkov S. V. 3D Numerical Study of Projectiles Penetration in Ice [Chislennoe issledovanie 3D protsessa pronikaniya udarnikov v led], Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: trudy V Vserossiyskoy nauchnoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem (Proceedings of V All-Russian Scientific Conference with International Participation «Mathematical Modeling and Boundary Value problems»), Samara, SamGTU, 2008, pp. 96 — 98.
9. Gorel'skiy V. A., Konyaev A. A., Tolkachev V. F. Modeling of the Strikers Penetration into the Depth of Fresh Ice at 0 + -25°C [Modelirovanie glubiny pronikaniya udarnikov v presnyy led pri temperature 0 + -25°C], Polyarnaya mekhanika: tezisy dokladov Vserossiyskoy konferentsii (Abstracts of All-Russian Conference «Polar Mechanics 2013»), Novosibirsk, Institut gidrodinamiki im. M.A. Lavrent'eva SO RAN, 2012, pp. 21—22.
•Jc -Jc -Jc
28
