CC BY
27КОМПАКТ ТУПЛАМДА УЗЛУКСИЗ ФУНКЦИЯ ХОССАЛАРИ ЁРДАМИДА ЕЧИЛАДИГАН АЙРИМ МАСАЛАЛАР
Х,акимбой Мирзо ^ли Латипов Мохидил Алижон кизи Х,айитова
Бухоро давлат университети Бухоро шахар 34-мактаб
АННОТАЦИЯ
Мазкур маколада кесмада (компакт тупламда) аникданган узлуксиз функцияларнинг асосий хоссалари санаб утилади. Бу хоссалар панжарадаги Фридрихе модели ва умумлашган Фридрихс модели хос кийматларининг сони ва жойлашув урнини аниклашда кулланилади.
Калит сузлар: кесма, компакт туплам, узлуксиз функция, Фридрихс модели, умумлашган Фридрихс модели, хос киймат.
SOME PROBLEMS SOLVING USING THE PROPERTIES OF THE CONTINUOUS FUNCTIONS ON A COMPACT SET
Hakimboy Mirzo ugli Latipov Mohidil Alijon kizi Hayitova
Bukhara State University School no. 34, Bukhara city
ABSTRACT
In the present paper we give the main properties of the continuous functions defined on a segment (compact set). These properties are used to investigation of the number and location of the eigenvalues of the Friedrichs model and generalized Friedrichs model on a lattice.
Key words: segment, compact set, continuous function, Friedrichs model, generalized Friedrichs model, eigenvalue.
КЕСМАДА УЗЛУКСИЗ ФУНКЦИЯЛАР
Дастлаб укувчига кулайлик учун кесмада узлуксиз функциялар, узилиш нукталари ва уларнинг классификацияси хакида бошлангич тушунчаларни баён киламиз.
Фараз килайлик, D с R бирор туплам ва f: D — R берилган функция булсин.
Лимит ёрдамида киритилган таъриф: Агар f функция D тупламнинг х0 лимитик нуктасида лимитга эга булиб, бу лимит функциянинг f (х0) кийматига тенг булса, яъни
lim f (х) = f (х0)
X—^Xq
муносабат уринли булса, у холда f функция x0 нуктада узлуксиз дейилади.
s,8 тилида киритилган таъриф: Агар ихтиёрий s> 0 сони учун шундай 8 > 0 сони топилиб, | x - x0 |< 8 шартни каноатлантирувчи барча x е D лар учун | f (x) - f (x0 )|<s тенгсизлик бажарилса, у холда f функция x0 нуктада узлуксиз дейилади.
Эслатиб утиш жоизки, функция лимитининг Коши буйича таърифидан фаркли уларок функция узлуксизлиги таърифида 0 <| x - x01 шарт бажарилиши талаб килинмайди.
o -микдор ёрдамида киритилган таъриф: Агар f функцияни 8 ^ 0 булганда
f (x0 +8) = f (x0) + o(1)
куринишда тасвирлаш мумкин булса, у холда f функция x0 нуктада узлуксиз дейилади.
Тебраниш ёрдамида киритилган таъриф: Агар f функциянинг x0 нуктадаги тебраниши нолга тенг булса, у холда бу функция x0 нуктада узлуксиз дейилади.
Агар f функция D тупламнинг барча нукталарида узлуксиз булса, f га узлуксиз функция дейилади.
Агар бирор x0 нуктада узлуксиз функция таърифида келтирилган шарт бажарилмаса, берилган функция шу нуктада узилишга эга дейилади.
f: X ^ Y функция узилиш нукталарининг классификацияси X ва Y тупламларнинг тузилишидан боглик. Куйида уларни f: R ^ R функция учун келтириб утамиз. Функция махсус нукталари, яъни функция аникланмаган нукталар хам шу каби классификация килинади.
Агар функция бирор нуктада узилишга эга булса, яъни шу нуктада функция лимити мавжуд булмаса, ёки лимит мавжуд, лекин функциянинг берилган нуктадаги кийматига тенг булмаса, у холда сонли функциялар учун бир томонлама лимитлар билан боглик равишда иккита хол булиши мумкин:
1) агар хар иккала бир томонлама лимитлар ва чекли булса, бундай нуктага биринчи турдаги узилиш нуктаси дейилади. Биринчи турдаги узилиш нукталарига тузатиб буладиган узилиш нукталари ва сакраш нукталарини киритиш мумкин.
2) агар бир томонлама лимитларнинг бирортаси мавжуд булмаса ёки чексизга тенг булса, у холда бундай нукталарга иккинчи турдаги узилиш нукталари дейилади. Иккинчи турдаги узилиш нукталарига кутб нукталари ва мухим узилиш нукталари киради.
Агар f функциянинг x0 нуктадаги лимити мавжуд ва чекли, бирок бу функция x нуктада аникланмаган ёки функция лимити унинг x нуктадаги
киймати билан устма-уст тушмаса, f функциянинг х0 нуктада тузатиб буладиган узилишга эга дейилади. Комплекс узгарувчили функциялар назариясида тузатиб буладиган махсус нукта дейилади. Агар f функцияни х0 нуктада "тузатиб",
üm f (х) = f (х0)
X—^Xq
деб олинса, f функцияни х0 нуктада узлуксиз функцияга айланади. Бу жараёнга функцияни узлуксиз килиб аниклаш дейилади ва тузатиб буладиган узилиш нуктанинг номланиши шу билан асосланади. Агар
lim f (х) ф lim f (х)
х—_ 0 х—х0 +0
муносабат бажарилса, f функция х0 нуктада сакрашга эга дейилади.
Агар бир томонлама лимитларнинг камида биттаси чексизга тенг булса, бундай нуктага кутб узилиш нуктаси дейилади. Мухим махсус нуктада бир томонлама лимитларнинг камида биттаси умуман мавжуд булмайди.
УЗЛУКСИЗ ФУНКЦИЯЛАРНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ Аввало локал хоссаларнининг баъзилари санаб утамиз.
1) Агар f функция х0 нуктада узлуксиз булса, бу функция шу нуктанинг бирор атрофида чегараланган функция булади.
2) Агар f функция х0 нуктада узлуксиз ва f (х0) > 0 (f (х0) < 0) булса, х0 нуктанинг шундай атрофи топилиб, бу атрофдаги барча х нукталарда f (х) > 0 ( f (х) < 0) тенгсизлик бажарилади.
3) Агар f ва g функциялар х0 нуктада узлуксиз булса, у холда f + g ва f • g функциялар хам х0 нуктада узлуксиз булади.
4) Агар f ва g функциялар х0 нуктада узлуксиз булиб, g(х0) ф 0 булса, у холда f / g функция хам х0 нуктада узлуксиз булади.
Энди глобал хоссаларнинг айримларига тухталиб утамиз.
5) Кесмада (ёки исталган компакт тупламда) узлуксиз функция, шу тупламда текис узлуксиз булади.
6) Кесмада (ёки исталган компакт тупламда) узлуксиз функция чегараланган булади хамда узининг энг кичик ва энг катта кийматларига эришади.
7) [a, b] кесмада узлуксиз булган f функциянинг кийматлари туплами
[min f (х), max f (х)]
хе[а,b] хе[a,b]
тупламдан иборат булади.
8) Агар f функция [a, b] кесмада узлуксиз булиб, f (a) • f (b) < 0 булса, у холда шундай % е (a, b) нукта топилиб, f (£) = 0 булади.
9) Агар f функция [a, b] кесмада узлуксиз булиб, бирор A хакикий сони учун f (a) < A < f (b) куштенгсизлик уринли булса, у холда шундай % е (a, b) нукта топилиб, f (%) = A булади.
10) Кесмада узлуксиз функция (акслантириш) инъектив булиши учун бу функция берилган кесмада монотон булиши зарур ва етарлидир.
11) [a, b] кесмада монтон булган f функция узлуксиз булиши учун унинг кийматлар туплами четки нукталари f (a) ва f (b) га тенг кесмадан иборат булиши зарур ва етарлидир.
ФРИДРИХС МОДЕЛИ ВА УМУМЛАШГАН ФРИДРИХС МОДЕЛИ Бу булимда замонавий математиканинг куплаб сохаларида, хусусан, квант механикаси, статистик физика, гидродинамиканинг куплаб масалаларида учраб турадиган Фридрихс модели ва умумлашган Фридрихс модели деб аталувчи икки турдаги операторлар киритилади. Уларнинг спектрал хоссларини хусусан хос кийматларининг сони ва жойлашув урнини урганишда компакт тупламда узлуксиз функцияларнинг хоссаларининг кулланилиши баён килинади.
Дастлаб Фридрихс моделини караймиз. Td оркали d улчамли торни, L2(Td) оркали эса Td да аникланган квадрати билан интегралланувчи (умуман олганда комплекс кийматларни кабул килувчи) функцияларнинг Гильберт фазосини белгилаймиз. L2(Td) Гильберт фазосида
(hif )(x) = u( x)f (x) - v( x) J v(t )f (t )dt
d
куринишда таъсир килувчи ва Фридрихс модели деб аталувчи операторни караймиз. Бу ерда u(•) ва v(-) функциялар Td да аникланган хакикий кийматли узлуксиз функциялар. Параметр функцияларга куйилган бу шартда h Фридрихс модели L2(Td) Гильберт фазосидаги чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма оператор булади.
h операторнинг мухим спектри u() функциянинг кийматлари тупламидан иборат булади. 7)-хоссага кура
Im u() = [min u(x), max u(x)].
xeTd xeTd
Демак
°ess (h) = [min u( x), max u( x)].
xeTd xeTd
h операторнинг дискрет спектрини тадкик килишда мухим булган ва Фредгольм детерминанти деб аталувчи ёрдамчи функцияни киритамиз. С \ [min u(x), max u(x)] сохада регуляр булган
xeTd xeTd
A,(.-):= 1 — J ^
jdU(t) — —
функцияни киритамиз. Курсатиш мумкинки — е С \ [min u(x), max u(x)] сони h
xeTd xeTd
операторнинг хос киймати булиши учун A (—) = 0 булиши зарур ва етарлидир. h оператор уз-узига кушма оператор булганлиги сабабли унинг хос кийматлари хакикийдир. Куриниб турибдики, A(•) функция (—да, minu(x)) ва (maxu(x), +да)
xeTd xeTd
ораликларда монотон камаювчи булади. Иккинчи томондан
lim A (—) = 1
-^—да
тенглик уринлидир. Интеграл белгиси остида лимитга утиш хакидаги Лебег теоремасига кура киймати чекли ёки чексиз булган
v2(t )dt f v 2(t )dt
lim j vvjdL = r
rnin 1l(v\—П ^ * . '
u (x)-0/dU(t) — — }du(t) — min u( x)
лимит мавжуд булади. Агар
v (t)dt
4 7 = да
rd
u(t) — min u( x)
булса, у холда
lim A(—) = —да
—^ min u (x)—0
xeTd
тенгликга эга буламиз. 8)-хоссага кура шундай —0 е (—да, min u(x)) сони топилиб,
xeTd
A (—) = 0 булади, яъни —0 сони h операторнинг хос киймати булади. Функциянинг монотонлик хоссасига кура —0 сони ягона ва бир карралидир. Аникланишига кура исталган — е (maxu(x), +да) сони учун A(—) > 0 тенгсизлик
xeTd
уринли, яъни h оператор (maxu(x), +да) ораликда ётувчи хос кийматларга эга
xeTd
эмас.
Фараз килайлик,
С v2(t )dt ' v 7 < да
Lu(t) — min u( x)
xeTd
булсин. Бу холда h оператор учун хос киймат мавжудлик масаласи A (min u(x)) нинг ишорасидан боглик. Агар A (min u(x)) > 0 булса, у холда монотонлик
xeTd
хоссасига кура исталган — е (да, min u(x)) сони учун A (—) > 0 булади хамда h оператор (да, min u(x)) ораликда ётувчи хос кийматларга эга эга булмайди. Агар
xeTd
A (min u(x)) > 0 булса, у холда юкоридаги каби мулохазалар юритамиз. 8)-хоссага
xeTd
кура шундай z0 e (-<*>, min u(x)) сони топилиб, \ (z0) = 0 булади, яъни z0 сони h
операторнинг хос киймати булади. Функциянинг монотонлик хоссасига кура z0 сони ягона ва бир карралидир.
Энди умумлашган Фридрихс моделини киритамиз. Кулайлик учун H0 = C,
H = L (Td) ва H = H 0 H каби фазоларни караймиз. H Гильберт фазосида
h2:=
h00 h01
h h
v h0i hii,
иккинчи тартибли блок операторли матрицани караймиз. Бунда кг] : H ^ H, i, j = 0,1 матрицавий элементлар
h00f0 = аи h0ifi = jv(t)fi(t)dt;
(hiJi)(x)=u(x)fi(xX fte Hi, i=0,2
каби аникланган. Бу ерда a фиксирланган хакикий сон, u(•) ва v(-) функциялар
Td да аникланган хакдкдй кийматли узлуксиз функциялар. Параметр функцияларга куйилган бу шартларда h2 блок операторли матрица (умумлашган Фридрихс модели) H Гильберт фазосидаги чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма оператор булади.
Содда мулохазалар ёрдамида чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг узгармаслиги хакидаги Вейл теоремасидан фойдаланиб h2 операторнинг мухим спектри u ( • ) функциянинг кийматлари тупламидан иборат эканлигини курсатиш мумкин. Шу сабабли 7)-хоссага кура
°ess (h2) = tmin u(x), max u(x)] •
xeTd xeTd
h2 операторнинг дискрет спектрини тадкик килишда максадида Фредгольм детерминанти деб аталувчи ёрдамчи функцияни киритамиз. С \ [min u(x), max u(x)] сохада регуляр булган
xeTd xeTd
Д2 (z):= a - z - j -
v 2(t )dt
z):= a - z- '
J,du(t) — z
функцияни киритамиз. Курсатиш мумкинки z e С \[min u(x), max u(x)] сони h
xeTd xeTd
операторнинг хос киймати булиши учун Д2 (z) = 0 булиши зарур ва етарлидир. h2 оператор уз-узига кушма оператор булганлиги сабабли унинг спектри, хусусан барча хос кийматлари хакикийдир. Куриниб турибдики, Д2 ( • ) функция minu(x)) ва (maxu(x), ораликларда монотон камаювчи булади.
xeTd xeTd
Иккинчи томондан
lim A (z) = +(Ю, lim A (z) = -да
z—-да z—+»
тенгликлар уринли булади. \ Фридрихс моделидан фаркли уларок h2 умумлашган Фридрихс модели купи билан иккита хос кийматга эга булади. Бу хос кийматлардан бири мухим спектрдан чап томонда, иккинчиси эса мухим спектрдан унг томонда жойлашган булади. Хос кийматларнинг мавжудлик шартлари эса Фридрихс моделидаги каби компакт тупламда узлуксиз функцияларнинг асосий хоссалари ёрдамида тадкик килинади.
Эслатиб утиш жоизки, Фридрихс модели ва умумлашган Фридрихс моделининг спектри, хос кийматлари сони ва жойлашув урни хакидаги маълумотлар ёрдамида мос равишда уч заррачали модель операторлар ва учинчи тартибли операторли матрицаларнинг мухим ва дискрет спектрларини тадкик килиш мумкин [1-30]. Параметр функцияларга куйилган узлуксизлик шарти етарли булмаган холларда улар мос шартларга алмаштирилади.
REFERENCES
1. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
2. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // НТО. 72:8 (2020), C. 13-16.
3. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // ВНО. 94:16-2 (2020), C. 9-13.
4. Хайитова Х., Ибодова С. Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса // НТО, 77:2-2 (2021), С. 48-52.
5. Хайитова Х.Г. О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением // НТО, 72:8 (2020), С. 5-8.
6. Исмоилова Д.Э. О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса // НТО, 60:1 (2021), С. 21-24.
7. Умиркулова Г.Х. Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке // ВНО. 16-2 (94), 2020, С. 14-17.
8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
9. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
10. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
11. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. (2020). Поля значений одной 2х2 операторной матрицы. Вестник науки и образования, 17(95), 14-18.
12. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.
15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
17. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.
18. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
19. Латипов Х,.М. (2021). 4-тартибли матрица хос сонларининг таснифи. Scientific progress. 2:1, 1380-1388 бетлар.
20. Латипов Х.М., Пармонов Х.Ф. (2021). Некоторые задачи, сводимые к операторным уравнениям. ВНО, 113:10, часть 3, С. 15-21.
21. Расулов Т.Х. (2008) О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц. Матем. заметки, 83:1, C. 86-94.
22. Расулов Т.Х. (2016) О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами. ТМФ, 186:2, C. 293-310.
23. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.
24. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.
25. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.
26. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles. Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.
27. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1, 37-41.
28. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.
29. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.
30. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12 (2015), С. 168-184.
